Inclusion-Exclusion Principle Class 11
1.समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त (Inclusion-Exclusion Principle Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न (Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets):
समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त (Inclusion-Exclusion Principle Class 11) के आधार पर पर व्यावहारिक प्रश्नों को हल करेंगें।
(i)मान लीजिए कि A और B परिमित समुच्चय हैं।यदि A \cap B=\phi तो
n(A \cup B)=n(A)+n(B) \ldots(1) \\ A \cup B के अवयव या तो A में हैं या B में हैं परन्तु दोनों में नहीं है क्योंकि A \cap B=\phi
(ii)व्यापक रूप से यदि A और B समुच्चय है तो
n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B) \cdots(2)
समुच्चय A-B ,A \cap B तथा B-A असंयुक्त है और इनका सम्मिलन (संघ) A \cup B हैं इसलिए:
n(A \cup B) =n(A-B)+n(A \cap B)+n(B-A) \\ =n(A-B)+n(A \cap B)+n(B-A)+n(A \cap B)-n(A \cap B) \\ =n(A)+n(B)-n(A \cap B)
(iii)पुनः यदि A,B और C परिमित समुच्चय हैं तो:
n(A \cup B \cup C) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(A \cap C) +n(A \cap B \cap C)
वास्तव में हम देखते हैं कि:
n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B \cup C)-n[A \cap ( B \cup C)] [(2) द्वारा]
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B \cap C)-n[A \cap(B \cup C)] [(2) द्वारा]
क्योंकि A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C) हमें प्राप्त होता है कि
n[A \cap (B \cup C)] =n(A \cap B)+n(A \cap C)-n(A \cap B) \cap(A \cap C) \\ =n(A \cap B)+n(A \cap C)-n(A \cap B \cap C)
अतः n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(A \cap C) +n(A \cap B \cap C)
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2.समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त के साधित उदाहरण (Inclusion-Exclusion Principle Class 11 Silver Examples):
Example:1.यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n(X)=17,n(Y)=23 तथा n(X \cup Y)=38 तो n(X \cap Y) ज्ञात कीजिए।
Solution: n(X)=17,n(Y)=23,n(X \cup Y)=38,n(X \cap Y) =? \\ n(X \cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X \cap Y) \\ 38=17+23-n(X \cap Y) \\ \Rightarrow n(X \cap Y)=40-38 \\ \Rightarrow n(X \cap Y)=2
Example:2.यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X \cup Y में 18,X में 8,और Y में 15अवयव हों तो X \cap Y में कितने अवयव होंगे?
Solution: n(X \cup Y)=18, n(X)=8, n(Y)=15 \\ n(X \cup Y) =? \\ n(X \cup Y) =n(X)+n(Y)-n(X \cap Y) \\ 18=8+15-n(X \cap Y)\\ \Rightarrow n(X \cap Y) =23-18 \\ \Rightarrow n(X \cap Y) =5
Example:3.400 व्यक्तियों के समूह में 250 हिन्दी तथा 200 अंग्रेजी बोल सकते हैं।कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं।
Solution: n(H)=250, n(E)=200, n(H \cup E)=400,(H \cap E)=? \\ n(H \cup E)=n(H)+n(E)-n(H \cap E) \\ \Rightarrow 400=250+200-n(H \cap E) \\ \Rightarrow n(H \cap E)=450- 400=50
Example:4.यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि S में 21,T में 32 और S \cap T में 11 अवयव हों तो S \cup T में कितने अवयव होंगे?
Solution: n(S)=21, n(T)=32, n(S \cap T)=11, n(S \cup T)=? \\ n(S \cup T)=n(S)+n(T)-n(S \cap T) \\ \Rightarrow n(S \cup T)=21+32-11 \\ \Rightarrow n(S \cup T)= 42
Example:5.यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X में 40,X \cup Y में 60 और X \cap Y में 10 अवयव हैं तो Y में कितने अवयव होंगे?
Solution: n(X)=40, n(X \cup Y)=60, n(X \cap Y)=10, n(Y)= \\ n(X \cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X \cap Y) \\ \Rightarrow 60=40+n(Y)-10 \\ \Rightarrow n(Y)=60-30 \\ \Rightarrow n(Y)=30
Example:6.70 व्यक्तियों के समूह में,37 काॅफी,52 चाय पसन्द करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों में से कम से कम एक पेय पसन्द करता है तो कितने व्यक्ति काॅफी और चाय पसन्द करते हैं?
Solution:माना काॅफी पीने वाले व्यक्तियों का समुच्चय C है तथा चाय पीनेवालों समुच्चय T है।इस प्रकार C \cup T उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो कम से कम एक पेय पसन्द करते हैं। C \cap T उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो दोनों ही पेय पसन्द करते हैं।
दिया है:n(C \cup T)=70, n(C)=37, n(T)=52, n(C \cap T)=? \\ n(C \cup T)=n(C)+n(T)-n(C \cap T) \\ \Rightarrow 70=37+52-n(C \cap T) \\ \Rightarrow n(C \cap T)=89-70 \\ \Rightarrow(C \cap T)=19
Example:7.65 व्यक्तियों के समूह में,40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस को पसन्द करते हैं किन्तु क्रिकेट को नहीं?कितने व्यक्ति टेनिस को पसन्द करते हैं?
Solution:माना क्रिकेट खेलनेवाले व्यक्तियों का समूच्चय C है तथा टेनिस खेलनेवाले व्यक्तियों का समुच्चय T है।इस प्रकार C \cup T उन व्यक्तियों का समुच्चय जो क्रिकेट या टेनिस में कम से कम एक खेल पसन्द करते हैं। C \cap T उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो दोनों खेल पसन्द करते हैं।
दिया है: n(C \cup T)=65, n(C)=40, n(C \cap T)=10 \\ n(C \cup T)=n(C)+n(T)-n(C \cup T) \\ \Rightarrow 65=40+n(T)-10 \\ \Rightarrow n(T)=65-30=35 \\ n(T-C)=n(T)-n(C \cap T)=35-10 \\ \Rightarrow n(T-C)=25
अतः केवल टेनिस पसन्द करते हैं n(T-C)=25
Example:8.एक कमेटी में 50 व्यक्ति फ्रैंच,20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रैंच दोनों ही भाषाओं में बोल सकते हैं।कितने व्यक्ति इन दोनों भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
Solution:माना कमेटी में फ्रैंच बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय F और स्पेनिश बोलनेवाले व्यक्तियों का समुच्चय S है।इस प्रकार F \cup T उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो फ्रैंच या स्पेनिश में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं। F \cap S उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो दोनों भाषाएँ बोल सकते हैं।
दिया है:n(F)=50, n(F \cap S)=10, n(S)=20 \\ \Rightarrow n(F \cup T) =n(F)+n(S)-n(F \cap S) \\ =50+20-10 \\ =70-10 \\ \Rightarrow n(F \cup T) =60
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त (Inclusion-Exclusion Principle Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न (Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets) को समझ सकते हैं।
3.समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त पर आधारित सवाल (Questios Based on Inclusion-Exclusion Principle Class 11):
(1.)वेन आरेख द्वारा सिद्ध कीजिए:
(i) A-B=A \cap B^{\prime} (ii) A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)
(2.)वेन आरेख द्वारा सिद्ध कीजिए:
(A-B) \cup (B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)
उपर्युक्त सवालों को हल नहीं पर समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त (Inclusion-Exclusion Principle Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न (Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त (Inclusion-Exclusion Principle Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न (Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.किसी विद्यालय के 600 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 150 विद्यार्थी चाय,225 विद्यार्थी काॅफी तथा 100 विद्यार्थी चाय और काफी दोनों पीते हैं।ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न काॅफी पीते हैं।
उत्तर:माना चाय पीने वाले व्यक्तियों का समुच्चय T है तथा काॅफी पीनेवालों समुच्चय C है।इस प्रकार T \cup C उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो कम से कम एक पेय पीते हैं। T \cap C उन व्यक्तियों का समुच्चय है जो दोनों ही पेय पीते हैं।
दिया है: n(T)=150, n(C)=225, n(T \cap C)=100 \\ n(T \cup C)=n(T)+n(C)-n(T \cap C) \\=150+225-100=275
चाय तथा काॅफी न पीनेवालों की संख्या=600-275=325
प्रश्न:2.विद्यार्थियों के एक समूह में 100 विद्यार्थी हिन्दी,50 विद्यार्थी अंग्रेजी तथा 25 विद्यार्थी दोनों भाषाओं को जानते हैं।विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिन्दी या अंग्रेजी जानता है।समूह में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
उत्तर:माना हिन्दी जाननेवाले विद्यार्थियों का समुच्चय H तथा अंग्रेजी जाननेवाले विद्यार्थियों का समुच्चय E है।H \cup E उन विद्यार्थियों का समुच्चय है जो हिन्दी या अंग्रेजी में कम कम एक एक भाषा जानते हैं।H \cap E उन विद्यार्थियों का समुच्चय है जो दोनों भाषाएँ जानते हैं।
दिया है: n(H)=100, n(E)=50, n(H \cap E)=25 \\ n(H \cup E)=n(H)+n(E)-n(H \cap E)=100+50-25=125
प्रश्न:3.60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H,26 लोग समाचार पत्र T,26 लोग समाचार पत्र I ,9 लोग H तथा I दोनों,11 लोग H तथा T दोनों,8 लोग T तथा I दोनों और 3 लोग तीनों समाचार पत्र पढ़ते हैं तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i)कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
(ii)ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
Solution:n(H)=25,n(T)=26,n(I)=26, n(H \cap I)=9, n(H \cap I)=11, n(T \cap I)=8, n(H \cap T \cap I)=3
(i)n(H \cup T \cup I)=n(H)+n(T)+n(I) -n(H \cap T)-n(T \cap I)-n(H \cap I)-n(H \cap T \cap I) \\ = 25+26+26-9-11-8+3 =52
अतः कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या=52
(ii)केवल H समाचार पत्र पढ़नेवाले=n(H)-n(H \cap T)-n(H \cap I)+n(H \cap T \cap I )\\=25-11-9+3=8
केवल T समाचार पत्र पढ़नेवाले=n(T)-n(T \cap I)-n(T \cap H)+n(H \cap T \cap I )\\=26-8-11+3=10
केवल I समाचार पत्र पढ़नेवाले=n(I)-n(T \cap I)-n(H \cap I)+n(H \cap T \cap I) \\=26-8-9+3=12
ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या=8+10+12=30
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समुच्चय में आविष्टि-अपवर्जन सिद्धान्त (Inclusion-Exclusion Principle Class 11),दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न (Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
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