Important Examples of Mean and Median
1.माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Important Examples of Mean and Median),बहुलक और माध्य कक्षा 9 (Mode and Mean Class 9):
माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Mean and Median) के इस आर्टिकल में माध्य,माध्यिका और बहुलक पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Mean and Median):
निम्न प्रश्नों के उत्तरों के चार सम्भावित विकल्प दिए हुए हैं।सही उत्तर वाले विकल्प का चुनाव कीजिए:(प्रश्न 1-10):
Example:1.स्थिति माध्य है:
(क)समान्तर माध्य (ख)गुणोत्तर माध्य (ग)हरात्मक माध्य
Solution:(घ)
Example:2.श्रेणी का बहुलक मूल्य होता है:
(क)मध्यवर्ती मूल्य (ख)सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य (ग)न्यूनतम बारम्बारता वाला मूल्य (घ)सीमान्त मूल्य
Solution:(ख)
Example:3.निम्न श्रेणी का माध्यिका मूल्य है:
520,20,340,190,35,800,1210,50,80
(क) 1210 (ख) 520 (ग) 190 (घ) 35
Solution:आरोही क्रम में रखने परः
20,35,50,80,190,340,520,800,1210
माध्यिका (M)=\frac{n+1}{2} वाँ मूल्य
=\frac{9+1}{2} वाँ मूल्य
=\frac{10}{2} वाँ मूल्य
=5 वाँ मूल्य
\Rightarrow M=190
अतः विकल्प (ग) सही है।
Example:4.चार छात्रों के सांख्यिकी में प्राप्तांक 53,75,42,70 हैं,उनके प्राप्तांकों का समान्तर माध्य है:
(क) 42 (ख) 64 (ग) 60 (घ) 56
Solution:समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum X}{n} \\ =\frac{53+75+42+70}{4} \\ =\frac{240}{4}=60 \\ \Rightarrow \overline{X}=60
अतः विकल्प (ग) सही है।
Example:5.एक छात्र को गणित,भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान में क्रमशः 85,87 तथा 83 अंक मिले।उनके इन विषयों में प्राप्तांकों का माध्य है:
(क) 86 (ख) 84 (ग) 85 (घ) 85.5
Solution:समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma x}{n} \\ =\frac{85+87+83}{3} \\ =\frac{255}{3} \\ \Rightarrow \overline{X} =85
अतः विकल्प (ग) सही है।
Example:6.यदि 5,7,9,x का समान्तर माध्य 9 हो,तो x का मान है:
(क) 11 (ख) 15 (ग) 18 (घ) 16
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma X}{n} \\ \Rightarrow 9=\frac{5+7+9+x}{4} \\ \Rightarrow 36=21+x \\ \Rightarrow x=36-21 \\ \Rightarrow x=15
Example:7.बंटन 2,3,4,7,5,1 की माध्यिका है:
(क) 4 (ख) 7 (ग) 11 (घ) 3.5
Solution:आरोही क्रम में रखने परः
1,2,3,4,5,7
माध्यिका (M)=\frac{n+1}{2} वाँ मूल्य
=\frac{6+1}{2} वाँ मूल्य
=\frac{7}{2} वाँ मूल्य
=3.5 वाँ मूल्य
\Rightarrow M= \frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3.5
विकल्प (घ) सही है।
Example:8.बंटन 1,3,2,5,9 की माध्यिका है:
(क) 3 (ख) 4 (ग) 2 (घ) 20
Solution:आरोही क्रम में रखने परः
1,2,3,5,9
माध्यिका (M)=\frac{n+1}{2} वाँ पद
=\frac{5+1}{2} वाँ पद
=\frac{6}{2} वाँ पद
=3 (तृतीय) पद
\Rightarrow M=3
अतः विकल्प (क) सही है।
Example:9.बंटन 3,5,7,4,2,1,4,3,4 का बहुलक हैः
(क) 7 (ख) 4 (ग) 3 (घ)1
Solution:मूल्य 4 की बारम्बारता सबसे अधिक 3 है अतः बंटन का बहुलक 4 है।
फलतः विकल्प (ख) सही है।
Example:10.किसी स्कूल के छात्रों की संख्या उनकी आयु के अनुसार निम्न है:
\begin{array}{|cc|} \hline \text{ आयु वर्षों में} & \text{छात्रों की संख्या} \\ \hline 8 & 15 \\ 9 & 25 \\ 10 & 40 \\ 11 & 36 \\ 12 & 41 \\ 13 & 37 \\ 14 & 20 \\ 15 & 13 \\ 16 & 5 \\ 17 & 3 \\ \hline \end{array}
इनका बहुलक होगाः
(क) 41 (ख) 12 (ग) 3 (घ) 17
Solution:आयु 12 की सबसे अधिक बारम्बारता 41 है अतः बंटन का बहुलक 12 है।
फलतः विकल्प (ख) सही है।
निम्न बंटनों का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए: [प्रश्न 11 से 14 तक]
Example:11. \begin{array}{|l|llllll|} \hline x & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline f & 4 & 8 & 14 & 11 & 3 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & f & f x \\ \hline 5 & 4 & 20 \\ 6 & 8 & 48 \\ 7 & 14 & 98 \\ 8 & 11 & 88 \\ 9 & 3 & 27 \\ \hline \text { Total } & 40 & 281 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma fx}{N} \\ =\frac{281}{40} \\ \Rightarrow \overline{X} =7.025
Example:12. \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & 10 & 15 & 17 & 20 & 22 & 30 & 35 \\ \hline f & 5 & 10 & 2 & 8 & 3 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean
\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & f & fx \\ \hline 10 & 5 & 50 \\15 & 10 & 150 \\ 17 & 2 & 34 \\ 20 & 8 & 160 \\ 22 & 3 & 66 \\30 & 6 & 180 \\ 35 & 6 & 210 \\ \hline \text { Total } & 40 & 850 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\Sigma f x}{N} \\ =\frac{850}{40} \\ \Rightarrow \overline{X}=21.25
Example:13. \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & 19 & 21 & 23 & 25 & 27 & 29 & 31 \\ \hline f & 13 & 15 & 16 & 18 & 16 & 15 & 13 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean
\begin{array}{|ccc|}\hline x & f & f x \\ \hline 19 & 13 & 247 \\ 21 & 15 & 315 \\ 23 & 16 & 368 \\ 25 & 18 & 450 \\ 27 & 16 & 432 \\ 29 & 15 & 435 \\ 31 & 13 & 403 \\ \hline \text { Total } & 106 & 2650 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\Sigma fx}{x} \\ =\frac{2650}{106} \\ \Rightarrow \overline{X}=2.5
Example:14. \begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline f & 45 & 25 & 19 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Mean
\begin{array}{|ccc|} \hline x & f & f x \\ \hline 1 & 45 & 45 \\ 2 & 25 & 50 \\ 3 & 19 & 57 \\ 4 & 8 & 32 \\ 5 & 2 & 10 \\ 6 & 1 & 6 \\ \hline \text { Total } & 100 & 200 \\ \hline \end{array}
समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\Sigma f x}{N} \\ =\frac{200}{100} \\ \Rightarrow \overline{X}=2
निम्न बंटन की माध्यिका ज्ञात करो [प्रश्न 15-16]
Example:15. \begin{array}{|l|llllllllll|} \hline x & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 \\ \hline f & 30 & 60 & 20 & 40 & 10 & 50 & 35 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Median
\begin{array}{|ccc|} \hline x & f & cf \\ \hline 0.1 & 30 & 30 \\ 0.2 & 60 & 90 \\ 0.3 & 20 & 110 \\ 0.4 & 40 & 150 \\ 0.5 & 10 & 160 \\ 0.6 & 50 & 210 \\ 0.7 & 35 & 245 \\ \hline \text { Total } & 245 & \\ \hline \end{array} \\ \frac{N}{2}=\frac{245}{2}=122.5
वह पद जिसकी संचयी बारम्बारता 122.5 से ठीक अधिक अर्थात् 150 के संगत पद मान 0.4 है।
अतः माध्यिका (M)=0.4
Example:16. \begin{array}{|cc|} \hline \text{जूतों की माप} & \text{जूतों की संख्या} \\ \hline 4.5 & 1 \\ 5.0 & 2 \\ 5.5 & 4 \\ 6.0 & 5 \\ 6.5 & 15 \\ 7.0 & 30 \\ 7.5 & 60 \\ 8.0 & 95 \\ 8.5 & 82 \\ 9.0 & 75 \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Median
\begin{array}{|ccc|} \hline x & f & cf \\ \hline 4.5 & 1 & 1 \\5.0 & 2 & 3 \\ 5.5 & 4 & 7 \\ 6.0 & 5 & 12 \\ 6.5 & 15 & 27 \\ 7.0 & 30 & 57 \\ 7.5 & 60 & 117 \\ 8.0 & 95 & 212 \\ 8.5 & 82 & 294 \\ 9.0 & 75 & 369 \\ \hline \text { Total } & 369 \\ \hline \end{array} \\ \frac{N}{2}=\frac{369}{2}=184.5
वह पद जिसकी संचयी बारम्बारता 184.5 से ठीक अधिक अर्थात् 212 के संगत पद मान 8.0 है।
अतः माध्यिका (M)=8.0
Example:17.क्रिकेट की एक टीम के खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों की संख्या निम्न प्रकार है:
57,17,26,91,115,26,83,41,57,0,6
इसका समान्तर माध्य,माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।
Solution:समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\sum X}{n} \\ =\frac{57+17+26+91+ 115+26+83+41+57+0+26}{11} \\ =\frac{539}{11} \Rightarrow \overline{X}=49
आरोही क्रम में रखने पर:
0,17,26,26,26,41,57,57,83,91,115
माध्यिका (M)=\frac{n+1}{2} वाँ पद
=\frac{11+1}{2} वाँ पद
=\frac{12}{2} वाँ पद
=6 (छठा) पद
\Rightarrow M=41
रनों की संख्या 26 की बारम्बारता सबसे अधिक 3 है अतः बंटन का बहुलक 26 होगा।
बहुलक (Z)=26
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Mean and Median),बहुलक और माध्य कक्षा 9 (Mode and Mean Class 9) को समझ सकते हैं।
3.माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण के सवाल (Important Examples of Mean and Median Questions):
(1.)आरोही क्रम में व्यवस्थित चर मान (x) निम्नानुसार है:
8,11,12,16,16+x,20,25,30
यदि माध्यिका 18 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
(2.)प्रथम दस विषम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)x=4 (2.) \overline{X}=10
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Mean and Median),बहुलक और माध्य कक्षा 9 (Mode and Mean Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Important Examples of Mean and Median),बहुलक और माध्य कक्षा 9 (Mode and Mean Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.माध्यिका के दोष क्या हैं? (What Are the Demerits of Median?):
उत्तर:माध्यिका के दोष:
(1.)मानों का अनियमित वितरण होने पर माध्यिका प्रतिनिधि अंक प्रस्तुत नहीं करता व भ्रमपूर्ण निष्कर्ष निकलता है।
(2.)जब चरम मूल्यों को समान महत्त्व देना हो तो यह केन्द्रीय प्रवृत्ति का मान अनुपयुक्त है।
(3.)इसका प्रयोग गणितीय प्रक्रियाओं में नहीं किया जा सकता है।
प्रश्न:2.समान्तर माध्य ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula for Finding Arithmetic Mean):
उत्तर:(1.)व्यक्तिगत श्रेणी का समान्तर माध्य
समान्तर माध्य=\frac{\text { आंकड़ों का योग }}{\text { आंकड़ों की संख्या }} \\ \overline{X}=\frac{\Sigma x}{n}
(2.)असंतत बारम्बारता बंटन (Discrete Frequency Distribution)
समान्तर माध्य \overline{X}=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f}
प्रश्न:3.माध्यिका ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write Down the Formulas to Find the Median):
उत्तर:(1.)व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series)
माध्यिका (M)=\left\{\begin{array}{l} \frac{n+1}{2} \text { वाँ पद यदि n विषम हो } \\ \frac{n}{2} \text { वां व } \frac{n}{2}+1 \text{वां पद का औसत यदि n सम हो } \end{array} \right.
(2.)अवर्गीकृत श्रेणी (Ungrouped Series)
माध्यिका (M)=\left\{\begin{array}{l} \frac{n+1}{2} \text { वाँ पद अर्थात् } x_{\frac{n+1}{2}} \text{ यदि n विषम संख्या हो } \\ \frac{n}{2} \text { वें व } \frac{n}{2}+1 \text{ वें पदों का औसत अर्थात् } \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1} }{2} , \text{यदि n सम संख्या हो} \end{array} \right.
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा माध्य और माध्यिका के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Important Examples of Mean and Median),बहुलक और माध्य कक्षा 9 (Mode and Mean Class 9) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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में अध्ययन करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
