1.त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Trigonometric Ratios),न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of An Acute Angles Class 10):

Imp Examples of Trigonometric Ratios

त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Trigonometric Ratios) के इस आर्टिकल में किसी समकोण त्रिभुज में किन्हीं दो भुजाओं के अनुपात पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Trigonometric Ratios):

Example:1.यदि $\triangle ABC$ में,a=12 सेमी,b=13 सेमी हो,तो $\angle A$ और $\angle C$ के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपात लिखिए।

Imp Examples of Trigonometric Ratios

Solution: $a=12, b=13, c=? \\ c=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{13^2-12^2} \\ =\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5 \\ \Rightarrow$ AB=c=5, BC=a=12, AC=b=13 
$\sin A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{a}{b}=\frac{12}{13}, \\ \cos A=\frac{31 \text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{c}{b}=\frac{5}{3} \\ \tan A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{a}{c}=\frac{12}{5} \\ \cot A=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }}=\frac{5}{12} \\ \operatorname{cosec} A=\frac{\text { कर्ण }}{\text { लम्ब }}=\frac{b}{a}=\frac{13}{12},\\ \sec A=\frac{\text{कर्ण}}{ \text{आधार}}=\frac{b}{c}=\frac{13}{5} \\ \sin C=\frac{c}{b}=\frac{5}{13}, \cos C=\frac{a}{b}=\frac{12}{13} \\ \tan C=\frac{c}{a}=\frac{5}{12}, \cot C= \frac{a}{c}=\frac{12}{5} \\ \operatorname{cosec} C=\frac{b}{c}=\frac{13}{5}, \sec A=\frac{b}{a}=\frac{13}{12}$
Example:2.यदि $\cos \theta=\frac{8}{17}$ हो,तो शेष त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

Imp Examples of Trigonometric Ratios

Solution: $\cos \theta=\frac{8}{17}$
आधार=8k,कर्ण=17k
लम्ब=$\sqrt{ \text{कर्ण}^2-\text{आधार}^2 } \\ =\sqrt{(17 k)^2-(8 k)^2} \\ =\sqrt{289 k^2-64 k^2} \\ =\sqrt{225 k^2}$
लम्ब=15k
$\sin \theta=\frac{A B}{A C}=\frac{15 k}{17 K}=\frac{15}{17} \\ \tan \theta=\frac{A B}{B C}=\frac{15 k}{8 k}=\frac{15}{8} \\ \cot \theta=\frac{B C}{A B}=\frac{8 k}{15 k}=\frac{8}{15} \\ \operatorname{cosec} \theta=\frac{A C}{A B}=\frac{17 k}{15 K}=\frac{17}{15} \\ \sec \theta=\frac{A C}{B C}=\frac{17 k}{8 K}=\frac{17}{8}$
Example:3.यदि $\cos A=\frac{5}{13}$ हो,तो $\frac{\operatorname{cosec} A}{\cos A+\operatorname{cosec} A}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Imp Examples of Trigonometric Ratios

Solution: $\cos A=\frac{5}{13}$
AB=5K, AC=13K
BC=$\sqrt{AC^2-AB^2} \\ =\sqrt{(13 K)^2-(5 K)^2} \\ =\sqrt{169 K^2-25 K^2} \\ =\sqrt{144 k^2} \\ \Rightarrow BC=12K \\ \operatorname{cosec} A=\frac{AC}{BC}=\frac{13 k}{12k}=\frac{13}{12} \\ \frac{\operatorname{cosec} A}{\cos A+\operatorname{cosec} A} =\frac{\frac{13}{12}}{\frac{5}{13}+\frac{13}{12}} \\ =\frac{\frac{13}{12}}{\frac{60+169}{12 \times 13}} \\ =\frac{13}{12} \times \frac{12 \times 13}{229} \\ =\frac{169}{229}$
Example:4.यदि $\cos \theta=\frac{3}{5}$ हो,तो $\tan \theta$ का मान लिखिये।
Solution: $\cos \theta=\frac{3}{5}$
आधार=3,कर्ण=5
लम्ब=$\sqrt{ \text{कर्ण}^2-\text{आधार}^2 } \\ =\sqrt{(5)^2-(3)^2}=\sqrt{25-9} \\ =\sqrt{16}=4 \Rightarrow$ लम्ब=4
$\tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{4}{3}$
Example:5.यदि $\cot A=\frac{4}{3}$ हो,तो $\operatorname{cosec} A$ का मान लिखिये।
Solution: $\cot A=\frac{4}{3}$
आधार=4,लम्ब=3
$\text { कर्ण }=\sqrt{\text { लम्ब }^2+\text { आधार }^2} \\ =\sqrt{(3)^2+(4)^2} \\ =\sqrt{9+16} =\sqrt{25} \\ \Rightarrow \text { कर्ण }=5 \\ \operatorname{cosec} A=\frac{\text { कर्ण }}{\text { लम्ब }}=\frac{5}{3}$
Example:6. $\triangle ABC$ में $\angle C$ समकोण है।यदि AB=2.5 सेमी तथा AC=2.4 सेमी हो,तो भुजा BC का माप लिखिये।
Solution:AB=2.5 cm,AC=2.4 cm
BC=$\sqrt{A B^2-A C^2} \\ =\sqrt{(2.5)^2-(2.4)^2} \\ =\sqrt{6.25-5.76} \\ =\sqrt{0.49} \\ \Rightarrow$ BC=0.7 सेमी
Example:7. $\triangle ABC$ में $\angle C$ समकोण है।यदि $\cos A=\frac{12}{15}$ हो,तो cos B का मान लिखिये।

Imp Examples of Trigonometric Ratios

Solution: $\cos A=\frac{12}{15}$
AC=12k,AB=15k
BC=$\sqrt{A B^2-A C^2} \\ =\sqrt{(15 k)^2-(12 k)^2} \\ =\sqrt{225 k^2-144 k^2} \\ \Rightarrow B C=\sqrt{81 k^2}=9k \\ \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{9k}{15k} \\ \Rightarrow \cos B=\frac{3}{5}$
Example:8. $\triangle ABC$ में $\angle C$ समकोण है।यदि $\sin A=\frac{3}{5}$ हो,तो $\sin B$ का मान लिखिये।

Imp Examples of Trigonometric Ratios

Solution: $\sin A=\frac{3}{5}$
BC=3k,AB=5k
AC=$\sqrt{A B^2-B C^2} \\ =\sqrt{(5 k)^2-(3 k)^2} \\ =\sqrt{25 k^2-9 k^2} \\ =\sqrt{16 k^2} \\ AC=4 k \\ \sin B =\frac{A C}{A B}=\frac{4 k}{5 k}=\frac{4}{5}$
Example:9.यदि $\sin \theta=\frac{3}{5}$ हो,तो $\frac{\operatorname{cosec} \theta-\tan \theta}{\sec \theta}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\sin \theta=\frac{3}{5}$
लम्ब=3k,कर्ण=5k
$\text { आधार }=\sqrt{\text { कर्ण}^2-\text { लम्ब }^2} \\ =\sqrt{(5 k)^2-(3 k)^2} \\ =\sqrt{25 k^2-9 k^2} \\ =\sqrt{16 k^2} \\ \Rightarrow \text { आधार }=4 k \\ \operatorname{cosec} \theta=\frac{\text{कर्ण}}{\text{लम्ब}}=\frac{5 k}{3 k}=\frac{5}{3} \\ \tan \theta=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }}=\frac{3 k}{4 k}=\frac{3}{4} \\ \tan \theta=\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{5k}{4 k}=\frac{5}{4} \\ \frac{\operatorname{cosec} \theta-\tan \theta}{\sec \theta}=\frac{\frac{5}{3}-\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} \\ =\frac{20-9}{12} \times \frac{4}{5} \\ =\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} \\ =\frac{11}{15}$
Example:10.यदि $\cos A=\frac{4}{5}$ हो,तो $\frac{\cot A-\sin A}{2 \tan A}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\cos A=\frac{4}{5}$
आधार=4k, कर्ण=5k
लम्ब=$\sqrt{\text { कर्ण }^2-\text { आधार }^2} \\=\sqrt{(5 k)^2-(4 k)^2} \\ =\sqrt{25 k^2-16 k^2} \\ =\sqrt{9 k^2} \\ \Rightarrow$ लम्ब=3k
$\cot A=\frac{\text { आधार }}{\text { लम्ब }}=\frac{4 k}{3 k}=\frac{4}{3} \\ \tan A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { आधार }} \frac{3 k}{4 k}=\frac{3}{4} \\ \sin A=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्न }}=\frac{3 k}{5 k}=\frac{3}{5} \\ \frac{\cot A-\sin A}{2 \tan A} =\frac{\frac{4}{3}-\frac{3}{5}}{2 \times \frac{3}{4}} \\ =\frac{20-9}{15} \times \frac{4}{6} \\ =\frac{11}{15} \times \frac{4}{6} \\ =\frac{22}{45}$
Example 11.यदि $\cos \beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ हो,तो $\cos \beta+\sin \beta \tan \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\cos \beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$
आधार=k,कर्ण=$\sqrt{2} k \\ \text{ लम्ब }=\sqrt{ \text{ कर्ण }^2- \text{ आधार }^2 } \\ =\sqrt{(\sqrt{2} k)^2-k^2} \\ =\sqrt{2 k^2-k^2} \\ =\sqrt{k^2} \\ \Rightarrow$ लम्ब=k
$\sin \beta=\frac{\text { लम्ब }}{\text{कर्ण}}=\frac{k}{\sqrt{2} k}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan \beta= \frac{\text { लम्ब }}{\text{आधार}}=\frac{k}{k}=1 \\ \cos \beta+\sin \beta \tan \beta=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 \\ =\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Example 12.यदि $\sin A=\frac{1}{2}$ हो,तो $(\sec A+\operatorname{cosec} A)(\sec A-\operatorname{cosec} A)$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\sin A=\frac{1}{2}$
लम्ब=k,कर्ण=2k
आधार=$\sqrt{\text { कर्ण }^2-\text { लम्ब }^2}\\ =\sqrt{(2 k)^2-(k)^2}\\ =\sqrt{4 k^2-k^2}\\ =\sqrt{3 k^2}\\ \Rightarrow \text { आधार }=\sqrt{3}k \\ \sec A=\frac{\text { कर्ण }}{\text { आधार }}=\frac{2 k}{\sqrt{3} k}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \operatorname{cosec} A=\frac{\text { कर्ण }}{\text { लम्ब }}=\frac{2 k}{k}=2 \\ (\sec A+\operatorname{cosec} A)(\sec A-\operatorname{cosec} A) \\ =\sec ^2 A-\operatorname{cosec}^2 A \\ =\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2-(2)^2 \\ =\frac{4}{3}-4=\frac{4-12}{3}=-\frac{8}{3}$
Example 13.यदि $\tan \theta=1$ हो,तो $\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: $\tan \theta=\frac{1}{1}$
लम्ब=k,आधार=k
कर्ण =$\sqrt{\text { लम्ब }^2+\text { आधार }^2} \\ =\sqrt{k^2+k^2} \\ =\sqrt{2 k^2} \Rightarrow \text { कर्ण }=\sqrt{2}k \\ \cos \theta=\frac{\text { आधार }}{\text { कर्ण }}=\frac{k}{\sqrt{2} k}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \theta=\frac{\text { लम्ब }}{ \text { कर्ण } }=\frac{k}{\sqrt{2} k}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Trigonometric Ratios),न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of An Acute Angles Class 10) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Trigonometric Ratios):

Imp Examples of Trigonometric Ratios

(1.)आकृति में भुजाओं की माप दी गई है,उनकी भुजाओं के अनुपात के आधार पर त्रिकोणमितीय अनुपात लिखिए।

Imp Examples of Trigonometric Ratios

(2.)यदि cosec A=2 तो $\cot A+\frac{\sin A}{1+\cos A}$ का मान ज्ञात कीजिए।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Trigonometric Ratios),न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of An Acute Angles Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Trigonometric Ratios),न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of An Acute Angles Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.त्रिकोणमितीय अनुपात से क्या आशय है? (What Do You Mean by Trigonometric Ratios?):

उत्तर:एक समकोण त्रिभुज के एक न्यून कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात त्रिभुज के कोण और उसकी भुजाओं की लम्बाई के बीच के सम्बन्ध को व्यक्त करते हैं।

प्रश्न:2.यदि दो त्रिभुज कोण समान बना रहे हों तो भुजाओं की लम्बाइयों में क्या परिवर्तन होता है? (If Two Triangles Make the Angles Equal then What Changes in the Lengths of the Sides?):

उत्तर:यदि कोण समान बना रहता हो,तो एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों में त्रिभुज की लम्बाइयों के साथ कोई परिवर्तन नहीं होता।

प्रश्न:3.किसी त्रिभुज के त्रिकोणमितीय अनुपातों को लिखिए। (Write the Trigonometric Ratios of a Triangle):

उत्तर:(1.) $\angle A$ का sine=$\frac{ \text{ कोण A की सम्मुख भुजा}}{\text{ कर्ण}} =\frac{BC}{AC}$

(2.) $\angle A$ का cosine= $\frac{ \text{ कोण A की संलग्न भुजा } }{\text{ कर्ण}}=\frac{AB}{AC}$

(3.) $\angle A$ का tangent=$\frac{ \text{ कोण A की सम्मुख भुजा}}{\text{कोण A की संलग्न भुजा}}=\frac{BC}{AB}$

(4.) $\angle A$ का cosecant= $\frac{ \text{ कर्ण}}{\text{ कोण A की सम्मुख भुजा}}=\frac{AC}{BC}$

(5.) $\angle A$ का secant= $\frac{ \text{ कर्ण}}{\text{ कोण A की संलग्न भुजा }} =\frac{AC}{AB}$

(6.) $\angle A$ का cotangent =$\frac{ \text{ कोण A की संलग्न भुजा}}{\text{ कोण A की सम्मुख भुजा}}=\frac{AB}{BC}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Trigonometric Ratios),न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of An Acute Angles Class 10) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय अनुपात के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Trigonometric Ratios)
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सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।