1.वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Cross Multiplication),वज्र-गुणन विधि कक्षा 10 (Cross Multiplication Method Class 10): 

Imp Examples of Cross Multiplication

वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Cross Multiplication) के इस आर्टिकल में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों पर आधारित विशिष्ट सवालों को वज्र-गुणन विधि से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Cross Multiplication):

निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण निकाय के बारे में ज्ञात कीजिए कि क्या निकाय का अद्वितीय हल है या कोई हल नहीं है या अनन्त हल हैं? यदि किसी निकाय के अद्वितीय हल विद्यमान है तो उनको ज्ञात कीजिए।
Example:1. \frac{x}{3}+\frac{y}{z}=3, x-2 y=2
Solution: \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=3, x-2 y=2 \\ 2x+3 y=18 \Rightarrow 2 x+3 y+18=0 \cdots(1) \\ x-2 y-2=0 \cdots(2) \\ a_1=2, b_1=3, c_1=-18 \\ a_2=1, b_2=-2, c_2=-2 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{1}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2} \\ \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान हैं
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{cc}3 & -18 \\ -2 & -2 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{cc}-18 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -2 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{3(-2)-(-18)(-2)}=\frac{y}{-18(1)-2(-2)}=\frac{1}{2(-2)-3 \times 1} \\ \Rightarrow \frac{x}{-6-36}=\frac{y}{-18+4}=\frac{1}{-4-3} \\ \Rightarrow \frac{x}{-42}=\frac{y}{-14}=\frac{1}{-7}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{-42}=\frac{1}{-7} \Rightarrow x=\frac{-42}{-7}=6
द्वितीय व अन्तिम से:
\frac{y}{-14}=\frac{1}{-7} \\ \Rightarrow y=\frac{-14}{-7}=2 \\ x=6, y=2
Example:2.19x-21y=15;21x-15y=25
Solution: 19 x-21 y=15, 21x-19 y=25 \\ 19 x-21y-15=0 \cdots(1) \\ 21 x-19 y-25=0 \cdots(2)\\ a_1=19, b_1=-21, c_1=-15 \\ a_2=21, b_2=-19, c_2=-25 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{19}{21}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-21}{-19}=\frac{21}{19} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान हैं
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{cc}-21 & -15 \\ -19 & -25 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{cc}-15 & 19 \\ -25 & 21 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc}19 & -21 \\ 21 & -19 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{(-21) \times(-25)-(-15)(-19)}=\frac{y}{-15(21)-19(-25)}=\frac{1}{19 \times-19-21 \times-21} \\ \Rightarrow \frac{x}{525-285}=\frac{y}{-315+475}=\frac{1}{-361+441} \\ \Rightarrow \frac{x}{240}=\frac{y}{160}=\frac{1}{80}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{240}=\frac{1}{80} \Rightarrow x=\frac{240}{80}=3 \\ \Rightarrow x=3
द्वितीय व अन्तिम से:
\frac{y}{160}=\frac{1}{80} \Rightarrow y=\frac{160}{80} \\ \Rightarrow y=2 \\ x=3, y=2
Example:3.3x+y-2=0;2x-3y-5=0
Solution: 3x+y-2=0,2 x-3 y-5=0 \\ a_1=3, y_1=1, c_1=-2 \\ a_2=2, b_2=-3, c_2=-5 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{-3} \\ \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान हैं
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -3 & -5 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{cc}-2 & 3 \\ -5 & 2 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 2 & -3 \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{1 \times-5-(-2)(-3)}=\frac{y}{-2 \times 2-3 \times-5}=\frac{1}{3 \times-3-1 \times 2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-5-6}=\frac{y}{-4+15}=\frac{1}{-9-2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-11}=\frac{y}{11}=\frac{1}{-11}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{-11}=\frac{1}{-11} \Rightarrow x=\frac{-11}{-11} \\ \Rightarrow x=1
द्वितीय व अन्तिम से:
\frac{y}{11}=\frac{1}{-11} \Rightarrow y=\frac{11}{-11} \\ \Rightarrow y=-1 \\ x=1, y=-1
Example:4.ax+by=1;bx+ay=1 जहाँ a \neq b
Solution:ax+by=1;bx+ay=1 जहाँ a \neq b
a x+b y-1=0 \cdots(1) \\ b x+a y-1=0 \cdots(2)\\ a_1=a, b_1=b, c_1=-1 \\ a_2=b, b_2=a, c_2=-1 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{a}{b}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{b}{a} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान हैं
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{cc}b & -1 \\ a & -1 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{cc}-1 & a \\ -1 & b \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc}a & b \\ b & a \end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{b(-1)-(-1) a}=\frac{y}{-1(b)-a(-1)}=\frac{1}{a \times a-b \times b} \\ \Rightarrow \frac{x}{-b+a}=\frac{y}{-b+a}=\frac{1}{a^2-b^2} \\ \Rightarrow \frac{x}{a-b}=\frac{y}{a-b}=\frac{1}{(a-b)(a+b)}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{a-b}=\frac{1}{(a-b)(a+b)} \\ \Rightarrow x=\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a+b}
द्वितीय व अन्तिम से:

\frac{y}{a-b}=\frac{1}{(a-b)(a+b)} \\ \Rightarrow y=\frac{(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a+b}
अतः x=\frac{1}{a+b}, y=\frac{1}{a+b}
Example:5. 4 x+7 y=10,10 x+\frac{35}{2} y=25 
Solution: 4 x+7 y=10,10 x+\frac{35}{2} y=25 \\ 4 x+7 y=10 \cdots(1)\\ 10 x+\frac{35}{2} y=25 \cdots(2)  \\ a_1=4, b_1=7, c_1=-10 \\ a_2=10, b_2=\frac{35}{2}, c_2=-25 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{7}{\frac{35}{2}}=\frac{2}{5}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-10}{-25}=\frac{2}{5} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अतः अनन्त हल विद्यमान हैं।

Imp Examples of Cross Multiplication

Example:6.3x-4y=-7;3x-4y=-9
Solution: 3 x-4 y=-7,3 x-4 y=-9 \\ \Rightarrow 3 x-4 y+7=0,3 x-4 y+9=0 \\ a_1=3, b_1=-4, c_1=7 \\ a_2=3, b_2=-4, c_2=9 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{3}=1, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-4}=1, \frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{9} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}
अतः कोई हल विद्यमान नहीं है।
Example:7.3x-y=2;6x-2y=4
Solution: 3 x-y=2,6 x-2 y=4 \\ 3 x-y-2=0 \cdots(1) \\ 6 x-2 y-4=0 \cdots(2)\\ a_1=3, b_1=-1,c_1=-2 \\ a_2=6, b_2=-2, c_2=-4 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}
अनन्त हल विद्यमान हैं।
Example:8.2x+3y=0;7x+8y=5
Solution: 2 x+3 y=0,7 x+8 y=5 \\ 2 x+3 y+0=0 \cdots(1)\\ 7 x+8 y-5=0 \cdots(2)\\ a_1=2, b_1=3, c_1=0 \\ a_2=7, b_2=8, c_2=-5 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{7}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{8} \\ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}
अद्वितीय हल विद्यमान हैं
वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\Rightarrow \frac{x}{\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 8 & -5 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -5 & 7 \end{array}}=\frac{1}{\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 7 & 8 \end{array}} \\ \frac{x}{3 \times-5-0 \times 8}=\frac{y}{0 \times 7-2 \times-5}=\frac{1}{2 \times 8-3 \times 7} \\ \Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{y}{10}=\frac{1}{16-21} \\ \Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{y}{10}=\frac{1}{-5}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{-15}=\frac{1}{-5}\\ \Rightarrow x=\frac{-15}{-5} \\ \Rightarrow x=3
द्वितीय व अन्तिम से:
\frac{y}{10}=\frac{1}{-5} \Rightarrow y=\frac{10}{-5} \\ \Rightarrow y=-2 \\ x=3, y=-2
Example:9.एक कक्षा में विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा किया जाता है।यदि एक पंक्ति में एक विद्यार्थी को अतिरिक्त खड़ा किया जाये तो पंक्तियों की संख्या 2 कम हो जाती है और यदि एक पंक्ति में एक विद्यार्थी कम खड़ा किया जाय तो पंक्तियों की संख्या 3 बढ़ जाती है।कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:माना मूल पंक्तियों की संख्या=x
मूलतः प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या=y
प्रश्ननुसार एक पंक्ति में 1 विद्यार्थी अतिरिक्त खड़ा किया जाये तो एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या=y+1
तथा पंक्तियों की संख्या=x-2
अतः विद्यार्थियों की कुल संख्या (y+1)(x-2)=xy
xy-2y+x-2=xy
x-2y-2=0  ….. (1)
पुनः एक पंक्ति में एक विद्यार्थी कम खड़ा किया जाता है तो एक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या=y-1
तथा पंक्तियों की संख्या=x+3
अतः विद्यार्थियों की कुल संख्या=(y-1)(x+3)=x y \\ \Rightarrow x y+3 y-x-3=x y \\ \Rightarrow -x+3 y-3=0 \\ \Rightarrow x-3 y+3=0 \cdots(2)
(1) व (2) को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:

\frac{x}{\begin{array}{cc}-2 & -2 \\ -3 & 3 \end{array}}=\frac{y}{\begin{array}{cc}-2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}} =\frac{1}{\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 1 & -3\end{array}} \\ \Rightarrow \frac{x}{(-2)(3)-(-2)(-3)}=\frac{y}{-2 \times 1-1 \times 3}=\frac{1}{1 \times-3-(-2) \times (1)} \\ \Rightarrow \frac{x}{-6-6}=\frac{y}{-2-3}=\frac{1}{-3+2} \\ \Rightarrow \frac{x}{-12}=\frac{y}{-5}=\frac{1}{-1}
प्रथम व अन्तिम से:

\frac{x}{-12}=\frac{1}{-1} \Rightarrow x=12
द्वितीय व अन्तिम से:

\frac{y}{-5}=\frac{1}{-1} \\  \frac{y}{5}=\frac{1}{1} \Rightarrow y=5
अतः विद्यार्थियों की संख्या=12×5=60
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Cross Multiplication),वज्र-गुणन विधि कक्षा 10 (Cross Multiplication Method Class 10) को समझ सकते हैं।

3.वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण की समस्याएँ (Imp Examples of Cross Multiplication Problems):

Imp Examples of Cross Multiplication

निम्न समीकरण निकाय के हल वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
(1.)x+y=10;x-y=12
(2.)3x-5y=-1;2x-y=-3
उत्तर (Answers):(1.)x=11,y=-1  (2.)x=-2,y=-1
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Cross Multiplication),वज्र-गुणन विधि कक्षा 10 (Cross Multiplication Method Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Cross Multiplication),वज्र-गुणन विधि कक्षा 10 (Cross Multiplication Method Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वज्र-गुणन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Cross Multiplication) के इस
आर्टिकल में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों पर आधारित विशिष्ट सवालों को वज्र-गुणन
विधि से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।