Imp Example of Congruency in Triangles
1.त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Example of Congruency in Triangles),त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9):
त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles) के इस आर्टिकल में सर्वांगसमता पर आधारित कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- Angles Sum Properties of Triangle 9th
2.त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles):
Example:1.आकृति में AE=EC और DE=BE तो बताइए
(i)क्या \triangle AED और \triangle CEB सर्वांगसम हैं? क्यों?
(ii) \angle A के बराबर का कोण ज्ञात कीजिए।
Solution: \triangle AED और \triangle CEB
AE=EC (दिया है)
DE=BE (दिया है)
\angle AED=\angle BEC (सम्मुख कोण)
\triangle AED \cong \triangle CED \\ \angle A=\angle C (अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
Example:2.आकृति में AB=AC,AP=AQ तो क्या \triangle ABQ और \triangle APC सर्वांगसम हैं? क्यों? इसके और क्या परिणाम निकलते हैं।
Solution: \triangle ABQ और \triangle ACP में
AB=AC (दिया है)
AQ=AP (दिया है)
\angle A=\angle A (उभयनिष्ठ है)
(अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से)
\triangle ABQ \cong \triangle ACP \\ \angle ABQ=\angle ACP (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव बराबर होते हैं)
और BQ=CP
Example:3.दी गई आकृति में O,सरल रेखा AB का मध्य बिन्दु है।A और B बिन्दुओं से समान्तर रेखाएँ AX और BY खींची गई हैं।यदि POM कोई सरल रेखा AX और BY को क्रमशः P तथा M बिन्दु पर सम्पाती है तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु O सरल रेखा PM का मध्य बिन्दु है।
Solution:दिया है (Given): A X \| B Y, AO=BO तथा PM व AB तिर्यक रेखा इनको काटती है।
सिद्ध करना है (To Prove):OP=OM
उपपत्ति (Proof): A X \| B Y तथा AB तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
\therefore \angle XAB=\angle ABY (एकान्तर कोण)….(1)
अब \triangle PAO तथा \triangle MBO में
AO=OB (दिया है)
\angle PAO =\angle OBM [(1) से]
\angle AOP=\angle BOM (शीर्षाभिमुख कोण)
\triangle PAO \cong \triangle MBO \\ \therefore OP=OM (कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)
OP=OM (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:4.आकृति में D बिन्दु \triangle ABC की भुजा BC का मध्य बिन्दु है CK तथा BH भुजा AD अथवा AD बढ़ाई हुई पर लम्ब डाले गए हैं।सिद्ध कीजिए कि BH=CK
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC की भुजा का मध्य बिन्दु D है तथा CK \bot AD व BH \bot AH
सिद्ध करना है (To Prove):BH=CK
उपपत्ति (Proof):D भुजा BC का मध्य बिन्दु है
\therefore BD=DC
अब \triangle BHD तथा \triangle CKD में
BD=DC
\angle BHD=\angle CKD =90^{\circ} \\ \angle BDH=\angle KDC (शीर्षाभिमुख कोण)
(कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle BHD \cong \triangle CKD \\ \therefore BH=CK (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:5.आकृति में CB=AD और AD=CD तो क्या \angle ABC और \angle ADC को बराबर कह सकते हो? और क्यों?
Solution: \triangle ABC तथा \triangle CDA में
CB=AD (दिया है)
AB=CD (दिया है)
AC=AC (उभयनिष्ठ है)
(भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle ABC \cong \triangle CDA \\ \angle ABC = \angle ADC (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं)
Example:6.आकृति में AD=BC, \angle 1=\angle 2 और \angle 3=\angle 4 है तो कौन से त्रिभुजों के सर्वांगसम होने से AC=BD हो जायेगी।क्या ये सर्वांगसम हैं? क्यों?
Solution: \angle 1=\angle 2 (दिया है) …..(1)
\angle 3=\angle 4 (दिया है)……(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
\angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4 \\ \Rightarrow \angle DAB=\angle CBA \cdots(3) \\ \triangle ADB तथा \triangle BCA में
AD=BC (दिया है)
\angle DAB=\angle CBA [(3) से]
AB=AB (उभयनिष्ठ है)
(अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle ADB \cong \triangle BCA
AC=BD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती है)
Example:7.आकृति में \angle 1=\angle 2 तथा \angle 3=\angle 4 ,तो क्या AC=AD और BC=BD है? क्यों?
Solution: \triangle ABC तथा \triangle ABD में
\angle 3=\angle 4 (दिया है)
\angle 1=\angle 2 (दिया है)
AB=AB (उभयनिष्ठ है)
(भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle ABC \cong \triangle ABD
BC=BD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
AC=AD (“)
Example:8.आकृति में \angle 1=एक समकोण, \angle 2=एक समकोण तथा BC=CD तो क्या AB=DE है? क्यों?
Solution: \triangle ABC तथा \triangle EDC में
\angle 1=\angle 2=90^{\circ} (दिया है)
BC=CD (दिया है)
\angle ACB=\angle ECD (शीर्षाभिमुख कोण)
(कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle ABC \cong \triangle EDC
AB=DE (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:9.आकृति में CN \perp AB, DM \perp AB और CN=DM है।क्या OC और OD बराबर हैं? क्यों?
Solution: \triangle DOM तथा \triangle CON में
DM=CN (दिया है)
\angle DOM=\angle CON (शीर्षाभिमुख कोण)
\angle DMO=\angle CNO=90^{\circ} (दिया है)
(कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle DOM \cong \triangle CON
OC=OD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं)
Example:10.आकृति में AB \| DC और AD \| BC,क्यों और सर्वांगसम हैं? क्यों?
Solution: \triangle ADB और \triangle CBD में
BD=BD (उभयनिष्ठ है)
\angle ADB=\angle CBD (एकान्तर कोण)
\angle ABD=\angle CDB (एकान्तर कोण)
(कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म से)
\triangle ADB \cong \triangle CBD
Example:11.आकृति में यदि AB=AC,CD=CA तथा \angle ADC=20^{\circ} हो,तो \angle B का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: \triangle ACD में
AC=CD (दिया है)
अतः \angle CAD=\angle ADC (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
\Rightarrow \angle CAD=20^{\circ} \\ \angle CAD+\angle ADC+\angle ACD=180^{\circ} (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
\Rightarrow 20^{\circ}+20^{\circ}+\angle ACD=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACD =180^{\circ}-40^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACD=140^{\circ} \\ \angle ACD+\angle ACB=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म)
\Rightarrow 140^{\circ}+\angle ACB=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACB=180^{\circ}-140^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACB=40^{\circ} \\ \angle B=\angle ACB=40^{\circ} (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
Example:12.आकृति में AB=AC, \angle A=32^{\circ},\angle BCE=42^{\circ}, \angle CBD=53^{\circ} सिद्ध कीजिए कि
(i)AE=CE (ii)CD=BC
Solution: \triangle ABC में AB=AC
\angle ABC=\angle ACB (बराबर भुजाओं के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)……(1)
\angle A + \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ} \\ \Rightarrow 32^{\circ}+\angle ABC+\angle ABC =180^{\circ} [(1) से]
2 \angle ABC=180^{\circ}-32^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A B C=\frac{148^{\circ}}{2}=74^{\circ} \\
\Rightarrow \angle ABC=\angle ACB=74^{\circ} \\ \angle ACB=\angle ACE+\angle BCE \\ \Rightarrow 74^{\circ}=\angle ACE+42^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACE=32^{\circ} \\ \angle ACE=\angle A
अतः AE=CE (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
\triangle BCD में
\angle CBD+\angle BDC+\angle BCD=180^{\circ} \\ \Rightarrow 53^{\circ}+\angle BDC+74^{\circ}=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BDC=180^{\circ}-127^{\circ}=53^{\circ} \\ \angle CBD=\angle BDC=53^{\circ}
अतः CD=BC (बराबर कोण की अभिमुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles)त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Important Examples of Lines and Angles
3.त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Example of Congruency in Triangles)त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता के कौन-कौनसे गुणधर्म हैं? (What are the Properties of Congruency in Two Triangles?)
उत्तर:(1.)भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म
(2.)भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म
(3.)कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता गुणधर्म
(4.)समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म
प्रश्न:2.भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता अभीगृहीत क्या है? (What is the Axioms of side-angle-side Congruency?):
उत्तर:यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अन्तरित कोण (Included angle) क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके अन्तरित कोण (included angle) के बराबर हों तो वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
प्रश्न:3.दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता से क्या आशय है? (What Do You Mean by Congruency of Two Triangles?):
उत्तर:दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं,यदि और केवल यदि एक त्रिभुज को दूसरे त्रिभुज पर अध्यारोपित करने पर वे परस्पर पूर्ण रूप से और ठीक-ठीक ढक सकें।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles)त्रिभुजों में सर्वांगसमता कक्षा 9 (Congruency in Triangles Class 9) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here |
Imp Example of Congruency in Triangles
त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण
(Imp Example of Congruency in Triangles)
Imp Example of Congruency in Triangles
त्रिभुजों में सर्वांगसमता के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Example of Congruency in Triangles)
के इस आर्टिकल में सर्वांगसमता पर आधारित कुछ महत्त्वपूर्ण सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
