1.विचित्रता की जाति के उदाहरण का परिचय (Introduction to Illustrations of Kind of Singularities),फलनों की विचित्रता की जाति के उदाहरण (Examples of Kind of Singularities of Functions):

Illustrations of Kind of Singularities

विचित्रता की जाति के उदाहरण (Illustrations of Kind of Singularities) के इस आर्टिकल में विश्लेषिक फलनों की विचित्रताओं पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विचित्रता की जाति के उदाहरण (Illustrations of Kind of Singularities):

Illustration:1.निम्नलिखित फलन में किस प्रकार की विचित्रता है:
(What kind of singularity has the following function):
\sin z-\cos z at z=\infty
Solution:माना f(z)=\sin z-\cos z
f(z) के शून्यक: \sin z-\cos z=0 \\ \Rightarrow \tan z=1 \\ \Rightarrow z=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in I
चूँकि z=\infty इन शून्यों का एक सीमा बिन्दु है जो इसलिए एक वियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Illustration:2.निम्नलिखित फलनों में किस प्रकार की विचित्रता है:
(Show kind of singularity have the following functions):
Illustration:2(i). \cot z at z=\infty
Solution:यहाँ f(z)=\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}
\sin z का अनन्तक: \Rightarrow \sin z=0 \\ \Rightarrow z=n \in I
अतः z=\infty इन अनन्तकों का एक सीमा बिन्दु है फलतः z=\infty अवियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Illustration:2(ii). \sec \left(\frac{1}{z}\right) at z=0
Solution:यहाँ f(z)=\sec \left(\frac{1}{z}\right) \\ \Rightarrow f(z)=\frac{1}{\cos \left(\frac{1}{z}\right)}
अतः f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं:
\cos \frac{1}{z}=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{z}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow z=\frac{1}{2 n \pi \pm \frac{\pi}{2}} \\ \Rightarrow z=\frac{1}{\left(2 n \pm \frac{1}{2}\right) \pi}, n \in I
अतः z=0 इन अनन्तकों का एक सीमा बिन्दु है फलतः z=0 अवियुक्त अनिवार्य विचित्रता है।
Illustration:3(i). \frac{(z+1)^2}{\left(z^2+1\right)^2} के शून्यक और अनन्तक ज्ञात कीजिए।
(Find zeros and poles of \frac{(z+1)^2}{\left(z^2+1\right)^2} )
Solution: f(z)=\frac{(z+1)^2}{\left(z^2+1\right)^2}
f(z) के शून्यक दिए जाते हैं:
(z+1)^2=0 \\ \Rightarrow z=-1,-1
\therefore z=-1 दो कोटि के शून्यक हैं।
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं:
\therefore \left(z^2+1\right)^2=0 \\ \Rightarrow(z+i)^2(z-i)^2=0 \\ \Rightarrow z=-i,-i, i, i
z=i तथा z=-i प्रत्येक द्विकोटि का अनन्तक है।
Illustration:3(ii).फलन \frac{e^z}{z^2+4} में किस प्रकार की विचित्रता है?
(What kind of singularity has the function \frac{e^z}{z^2+4} ?)
Solution:माना f(z)=\frac{e^z}{z^2+4}
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं:
z^2+4=0 \\ \Rightarrow z= \pm 2 i
अतः z=2i,-2i साधारण अनन्तक हैं।
Illustration:4.निम्नलिखित फलनों की विचित्रताओं की प्रकृति की विवेचना कीजिए:
(Discuss the nature of singularities of the following functions):
Illustration:4(i). \tan z
Solution:माना f(z)=\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}
f(z) की विचित्रताओं को ज्ञात करने के लिए f(z) के हर को शून्य के बराबर रखने पर:
\cos z=0 \Rightarrow z=2 n \pi \pm \frac{\pi}{2}, n \in I \\ \Rightarrow z=(4 n \pm 1) \frac{\pi}{2}, n \in I
or z=(2 n \pm 1) \frac{\pi}{2}, n \in I
यहाँ z=(2 n \pm 1) \frac{\pi}{2}, (n \in I),f(z) का साधारण अनन्तक है।
Illustration:4(ii). \frac{1}{z\left(1-z^2\right)}
Solution:माना f(z)=\frac{1}{z\left(1-z^2\right)}
f(z) की विचित्रताएँ दी जाती हैं:
z\left(1-z^2\right)=0 \\ \Rightarrow z=0,-1,1
जो कि साधारण अनन्तक हैं।
Illustration:4(ii). \frac{z}{1+z^4}
Solution:माना f(z)= \frac{z}{1+z^4}
f(z) की विचित्रताएँ दी जाती हैं:
1+z^4 =0 \Rightarrow z=(-1)^{\frac{1}{4}} \\ \Rightarrow z =(\cos \pi+i \sin \pi)^{\frac{1}{4}} \\ =[\cos (2 n \pi+\pi)+i \sin (2 n \pi+n)]^{\frac{1}{4}} \\ =\cos (2 n+1) \cdot \frac{\pi}{4}+i \sin (2 n+1) \frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow z =e^{i(2 n+1) \frac{\pi}{4}}
n=0,1,2,3 रखने पर:
z=e^{\frac{i \pi}{4}}, e^{\frac{3 \pi i}{4}}, e^{\frac{5 \pi i}{4}}, e^{\frac{7 \pi i}{4}}
जो कि f(z) के साधारण अनन्तक हैं।

Illustrations of Kind of Singularities

Illustration:5.दर्शाइए कि फलन e^{-\frac{1}{z^2}} में कोई विचित्रता नहीं है।
(Show that the function e^{-\frac{1}{z^2}} has no singularities.)
Solution: f(z)=e^{-\frac{1}{z^2}}
f(z) के शून्यक दिए जाते हैं:
e^{-\frac{1}{z^2}}=0 \Rightarrow z^2=0 \\ \therefore z=0,दो कोटि का शून्यक है।
शून्यकों का कोई सीमा बिन्दु नहीं है अतः f(z) की कोई विचित्रता नहीं है।
f(z) की विचित्रता दी जाती है: e^{\frac{1}{z^2}}=0
जो कि असम्भव है।
अतः अनन्तकों का अस्तित्व नहीं है फलतः e^{-\frac{1}{z^2}} की कोई विचित्रताएँ नहीं है।
Illustration:6.यदि f(z)=\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{z^2}{4+n^2 z^2} ,यह दर्शाइए कि f(z), z के सभी वास्तविक मानों के लिए परिमित और सतत है, लेकिन f(z) को मैकलॉरिन की श्रेणी में विस्तारित नहीं किया जा सकता है।दिखाएँ कि f(z) में लौराँ का विस्तार है जो रिंग के आकार के रिक्त स्थान के रूप में मान्य है।
(If f(z)=\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{z^2}{4+n^2 z^2} f(z),show that f(z) is finite and continuous for all real values of z but f(z) cannot be expanded in a Maclaurin’s series. Show that f(z) possesses Laurent’s expansion valid in a succession of the ring-shaped spaces.)
Solution: यहाँ f(z)=\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{z^2}{4+n^2 z^2}
Case:1.z एक वास्तविक चर है।इस स्थिति में दी गई श्रृंखला का प्रत्येक पद धनात्मक है ताकि
u_n=\frac{z^2}{4+n^2 z^2} \leq \frac{z^2}{n^2 z^2}=\frac{1}{n^2}
माना v_n=\frac{1}{n^2} .तब श्रृंखला \sum V_{n} अभिसारी है,परिणामस्वरूप वायर्स्ट्रास के M-परीक्षण द्वारा श्रृंखला \sum V_{n} ,z के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए एकसमान रूप से अभिसारी है।इसके अलावा,श्रृंखला का प्रत्येक पद सतत है क्योंकि \frac{z^2}{4+n^2 z^2} का हर z के किसी भी वास्तविक मान के लिए समाप्त नहीं होता है,परिणामस्वरूप योग फ़ंक्शन f(z) भी z के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए सतत है।
f(z)=\sum \frac{z^2}{4+n^2 z^2}<\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \left[\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}\right]
इस प्रकार 0 < f(z) < \frac{\pi^2}{6} अतः f(z),z के सभी वास्तविक मानों के लिए परिमित है।
अतः f(z), z के सभी मानों के लिए परिमित और सतत है।
Case:2.z एक सम्मिश्र चर है।f(z) की विचित्रताएँ 4+n^2 z^2=0 \Rightarrow z=\frac{ \pm 2i}{n},(n=1,2,3, \cdots) द्वारा दी जाती हैं जैसे n \rightarrow \infty, z=0 इन विचित्रताओं का सीमा बिंदु है ताकि f(z) शून्य के प्रत्येक प्रतिवेश में विचित्रताएँ रखता है।इस प्रकार बड़ा या छोटा वृत्त खींचा जाए जिसका केंद्र z=0 पर हो,फलन f(z) वृत्त के भीतर नियमित नहीं हो सकता,अतः f(z) का विस्तार करना संभव नहीं है।
Illustration:7.दर्शाइए कि z=1 के निकट,फलन \log (1+z^2) को \log 2+ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n(z-1)^n के रूप की श्रेणी में विस्तारित किया जा सकता है
और a_{n} का मान ज्ञात कीजिए,लघुगणक का मुख्यमान लिया जा रहा है।
(Show that near z=1,the function \log (1+z^2) may be expanded in a series of the form \log 2+ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n(z-1)^n and find the value of a_{n} ,the principal value of the logarithm being taken.)
Solution: f(z)=\left(1+z^2\right) \\ 1+z^2 के शून्य अर्थात z= \pm i फलन \log (1+z^2) के दो शाखा बिंदु हैं।इसलिए z=i और z=-i,f(z) के दो सिगुलर बिंदु हैं।
निकटतम विचित्रता से बिंदु z=1 की दूरी (दोनों विचित्रताओं z= \pm i से समान दूरी पर हैं) \sqrt{2} है।वृत्तीय डोमेन |z-1|<\sqrt{2} ,f(z) को एकल मान और विश्लेषिक माना जा सकता है,विशेष शाखा डोमेन में किसी भी z के लिए फ़ंक्शन f(z) का मान है।प्रश्न में उल्लिखित विशेष शाखा को मुख्यमान के रूप में दिया गया है अर्थात् z =1 के लिए वास्तविक मान \log 2 है।
फ़ंक्शन f(z) वृत्ताकार क्षेत्र |z-1|= \sqrt{2} के भीतर विश्लेषिक है, इसलिए इसे वृत्त के भीतर टेलर श्रेणी में विस्तारित किया जा सकता है।
\therefore f(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} a_n(z-1)^n \cdots(1)
जहाँ a_n=\frac{f^n(1)}{n!} \\ f(z)=\log \left(1+z^2\right)
तब f^{\prime}(z)=\frac{2 z}{1+z^2}=\frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}=(z+i)^{-1}+(z-i)^{-1}
(n-1) बार अवकलन करने परः
f^n(z)=(-1)^{n-1}(n-1)!\left[\frac{1}{(z+i)^n}+\frac{1}{(z-i)^n}\right] \\ \therefore f^n(1)=(-1)^{n-1}(n-1)!\left[(1+i)^{-n}+(1-i)^{-n}\right] \\=(-1)^{n-1}(n-1)!r^{-n} \cdot\left[(\cos \theta+i \sin \theta)^n+(\cos \theta-i \sin \theta)^{-n}\right]
[ 1=r \cos \theta, 1=r \sin \theta रखने पर]
=(-1)^{n-1}(n-1)! r^{-n}(\cos n \theta-i \sin n \theta +\cos n \theta+i \sin n \theta) \\ =(-1)^{n-1}(n-1)! r^{-n} 2 \cos n \theta \\=2(-1)^{n-1}(n-1)!(\sqrt{2})^{-n} \cos \frac{n \pi}{4}\left[\because r=\sqrt{2}, \theta=\frac{\pi}{4}\right]
इस प्रकार a_n=\frac{2}{n}(-1)^{n-1}(\sqrt{2})^n \cos \frac{n \pi}{n}
अतः (1) सेः
f(z)=a_0+ \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n(z-1)^n=\log 2+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n(z-1)^n
जहाँ a_n=\frac{2}{n}(-1)^{n-1}\left(\sqrt{2}\right)^{-n} \cos \frac{n \pi}{4}
Illustration:8. श्रेणी \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{1}{n!} \frac{1}{1+\left(2^n z\right)^2} द्वारा निरूपित फलन की विचित्रताओं पर विचार कीजिए
और लौराँ प्रमेय द्वारा विस्तार प्राप्त करें।
(Consider the singularities of the function represented by the series
\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{1}{n!} \frac{1}{1+\left(2^n z\right)^2}
and obtain the expansion by Laurent’s theorem.)
Solution: f(z)=\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{1}{n!} \frac{1}{1+\left(2^n z\right)^2}
f(z) की विचित्रताओं को ज्ञात करने के लिए हमें f(z) के हर को शून्य के बराबर रखना होगाः
f(z) की विचित्रताएँ दी जाती हैं:
1+\left(2^n z\right)^2=0 \\ \Rightarrow z= \pm \frac{i}{2^n}, n=0,1,2,3 \ldots
स्पष्ट है कि f(z) की विचित्रताएँ साधारण अनन्तक हैं जो वृत्त |z|=1 के अंदर स्थित हैं।
z=0 एक सीमा बिंदु है इसलिए z=0,f(z) की एक अनिवार्य विचित्रता है।चूंकि f(z), |z|=r (r>1) द्वारा दिए गए वृत्त \gamma पर और बाहर विश्लेषिक है,इसलिए इसे z की ऋणात्मक घातों में लौराँ श्रेणी के रूप में प्रसार किया जा सकता है।इसके अलावा,f(z) z का एक सम फलन है,इसलिए इसका प्रसार रूप का होगा:
f(z)=\frac{b_2}{z^2}+\frac{b_4}{z^4}+\frac{b_6}{z^6}+\cdots=\underset{m=1}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{b_{2 m}}{z^{2 m}} \ldots(1)
जहाँ b_{2 m}=\frac{1}{2 \pi i} \int_r z^{2 m-1} f(z) d z \\ =\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} z^{2 m-1} \left[\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{1}{n!} \cdot \frac{1}{1+\left(2^n z\right)^2}\right] d z \\=\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma z^{2 m-1} \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \left(\frac{1}{n!} \cdot \frac{2^{-2 n}}{2^{-2 n}+z^2}\right) d z \ldots(2)
अब z^{2 m-1} \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{1}{n!} \cdot \frac{z^{-2 n}}{z^{-2 n}+z^2}=z^{2 m-3} \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \frac{2^{-2 n}}{n!} \left(1+2^{-2 n} z^{-2} \right)^{-1} \\ =z^{2 m-3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{-2 n}}{n!}\left(1-z^{-2 n} z^{-2}+2^{-4 n} z^{-4}- \cdots\right) \\=z^{2 m-3} \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} \left[1-z^{-2}+z^{-4}-\cdots+ \frac{2^{-2}}{1} \left(1-2^{-2} z^{-2}+2^{-4} z^{-4}-\cdots\right)+ \cdots\right] \\=z^{2m-3} \left[\left(1+\frac{2^{-2}}{1!}+\frac{2^{-4}}{2!}+\frac{2^{-6}}{3!}+\cdots\right)-z^{-2}\left(1+\frac{2^{-4}}{1!}+\frac{2^{-8}}{2!}+\cdots\right)\right.+ \left.(-1)^{m-1} \left(z^{-2}\right)^{m-1}\left(1+\frac{2^{-2m}}{1!}+\cdots \right)+\cdots \right]\\ =z^{2 m-3} e^{(2^{-2})}-z^{2 m-5} e^{(2^{-4})} +\cdots \cdots+(-1)^{m-1} z^{-1} \cdot e^{(-2 m)} \cdots(3)
यह देखना आसान है कि उपर्युक्त श्रेणी z के सभी मानों के लिए एकसमान रूप से अभिसारी है,जिसके लिए |z| >1 इसलिए पदशः समाकलन संभव है।(3) के मान को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम देखते हैं कि सभी समाकल्य शून्य हो जाते हैं,सिवाय उसके जिसमें पद समाविष्ट है।
b_{2 m}=\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma(-1)^{m-1} z^{-1} e^{(2^{-2 m})} d z \\=\frac{(-1)^{m-1} e^{\left(2^{-2 m}\right)}}{2 \pi i} \int_0^{2 \pi} e^{-i \theta} \cdot i e^{i \theta} d \theta
[ z=e^{i \theta} \Rightarrow d z=i e^{i \theta} d \theta रखने पर]
=(-1)^{m-1} e^{\left(2^{-2 m}\right)} \\ b_{2m} का मान (1) में रखने परः
f(z)=\underset{m=1}{\overset{\infty}{\sum}} (-1)^{m-1} e^{\left(2^{-2 m}\right)} \frac{1}{z^{2 m}}= \frac{e^{\left(z^{-2}\right)}}{z^2}-\frac{e^{\left(z^{-4}\right)}}{z^4}+\frac{e^{\left(z^{-6}\right)}}{2^6}- \cdots \cdots \\ z=\frac{1}{\zeta}, f(z) में रखने परः
f\left(\frac{1}{\zeta}\right)=\zeta^2 e^{\left(z^{-2}\right)}-\zeta^4 e^{\left(z^{-4}\right)}+\zeta^6 e^{\left(z^{-6}\right)} \cdots \cdots
\zeta=0 का एक f\left(\frac{1}{\zeta}\right) शून्यक द्वितीय कोटि का है,इसलिए f(z), z=\infty पर द्वितीय कोटि का शून्यक है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विचित्रता की जाति के उदाहरण (Illustrations of Kind of Singularities),फलनों की विचित्रता की जाति के उदाहरण (Examples of Kind of Singularities of Functions) को समझ सकते हैं।

Illustrations of Kind of Singularities

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3.विचित्रता की जाति के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Illustrations of Kind of Singularities),फलनों की विचित्रता की जाति के उदाहरण (Examples of Kind of Singularities of Functions) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विचित्रता की जाति के उदाहरण (Illustrations of Kind of Singularities) के इस आर्टिकल में
विश्लेषिक फलनों की विचित्रताओं पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।