Illustrations of Congruent Triangles
1.सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण का परिचय (Introduction to Illustrations of Congruent Triangles),सर्वांगसम त्रिभुज कक्षा 9 (Congruent Triangles Class 9):
सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Illustrations of Congruent Triangles) के इस आर्टिकल में सर्वांगसम त्रिभुजों पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- Congruence of Triangles in Class 9th
2.सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Illustrations of Congruent Triangles):
Illustration:1.एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
Solution: \angle A+\angle B+\angle C=980^{\circ} \\ \angle A=\angle B=\angle C \\ \Rightarrow 3 \angle A=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A=\frac{180^{\circ}}{3} \\ \Rightarrow \angle A=60^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A=\angle D=\angle C=60^{\circ}
Illustration:2.P कोण ABC के समद्विभाजक पर स्थित कोई बिन्दु है।यदि P से होकर BA के समान्तर खींची गई रेखा BC को Q पर मिलती है,तो सिद्ध कीजिए कि BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Solution:दिया है (Given): \angle ABC का समद्विभाजक BP है तथा AB \| PQ
सिद्ध करना है (To Prove): \triangle BPQ समद्विबाहु त्रिभुज है अर्थात् BQ=PQ या \angle PBQ=\angle BPQ
उपपत्ति (Proof): \angle ABP=\angle PBQ (BP, \angle ABC का समद्विभाजक है) ….. (1)
AB \| PQ \\ \angle ABP=\angle BPQ (एकान्तर कोण)
(1) व (2) से:
\angle PBQ=\angle BPQ
अतः \triangle BPQ समद्विबाहु त्रिभुज है।
Illustration:3.ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB=AC है \angle A का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है।सिद्ध कीजिए कि BC=2AD है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC समकोण त्रिभुज है तथा \angle BAD=\angle CAD
सिद्ध करना है (To Prove):BC=2AD
उपपत्ति (Proof): \angle A=90^{\circ}
\angle BAD=\angle CAD=\frac{90}{2}=45^{\circ} (AD, \angle BAC का समद्विभाजक है) ….. (1)
AB=AC
अतः \angle B= \angle C (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं)
\angle B+\angle C=90^{\circ} \cdots(3)
(2) व (3) से:
\angle B=\angle C=45^{\circ} \cdots(4)
(1) व (4) से:
\angle BAD=\angle B=\angle C=45^{\circ} \\ AD=BD=CD \\ \Rightarrow 2AD=BC
Illustration:4.ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिन्दु A और D आधार BC के विपरीत और स्थित हैं,AB=AC और DB=DC है।दर्शाइए कि AD रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AB=AC और \triangle DBC में DB=DC
सिद्ध करना है (To Prove):BO=OC तथा \angle AOB=\angle AOC=90^{\circ}
उपपत्ति (Proof): \triangle ABD तथा \triangle ACD में
AB=AC (दिया है)
BD=DC (दिया है)
AD=AD (उभयनिष्ठ है)
भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता गुणधर्म से
\triangle ABD \cong \triangle ACD \\ \angle BAO=\angle CAO (CPCT से)
\triangle ABO तथा \triangle ACO में
AB=AC (दिया है)
\angle BAO=\angle CAO (सिद्ध किया है)
AO=AO (उभयनिष्ठ है)
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
\triangle ABO \cong \triangle ACO \\ \angle AOB=\angle AOC (CPCT) …. (1)
BO=OC (CPCT)
\angle AOB+\angle AOC=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म) ….. (2)
(1) व (2) से:
\angle AOB=\angle AOC=90^{\circ}
अतः AD,BC का लम्ब समद्विभाजक है।
Illustration:5.ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसमें AC=BC है।AD और BE क्रमशः BC और AC पर शीर्षलम्ब है।सिद्ध कीजिए कि AE=BD है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AC=BC तथा BE \perp AC, AD \perp BC
सिद्ध करना है (To Prove):AE=BD
उपपत्ति (Proof):AC=BC
अतः \angle CAB=\angle CBA (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं) …. (1)
\triangle ABE तथा \triangle BAD में
\angle CAB=\angle CBA [(1) से]
AB=AB (उभयनिष्ठ भुजा)
\angle AEB=\angle BDA=90^{\circ} (दिया है)
SAA सर्वांगसमता गुणधर्म से
\triangle ABE \cong \triangle BAD
AE=BD (CPCT से)
Illustration:6.एक त्रिभुज ABC में D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है ताकि BD=\frac{1}{2} AC है।दर्शाइए कि \angle ABC एक समकोण है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AD=DC तथा BD=\frac{1}{2} AC
सिद्ध करना है (To Prove): \angle ABC=90^{\circ}
उपपत्ति (Proof):AD=DC तथा BD=\frac{1}{2} AC
अतः BD=AD=DC …. (1)
\triangle ABD में AD=BD
\angle A=\angle ABD (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं) …. (1)
\triangle BCD में CD=BD
\angle DBC=\angle C (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं) … (2)
\triangle ABC में
\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} \\ \angle A+\angle ABD+\angle DBC+\angle C=180 [(1) व (2) से]
\angle ABD+\angle ABD+\angle DBC+\angle DBC=180^{\circ} \\ 2 \angle ABD+2 \angle DBC =180^{\circ} \\ 2 (\angle A B D+\angle D B C)=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A B D+\angle D B C=\frac{180^{\circ}}{2} \\ \Rightarrow \angle ABC=90^{\circ}
Illustration:7.एक समकोण त्रिभुज में,सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिन्दु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखण्ड कर्ण का आधा होता है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AD=DC
सिद्ध करना है (To Prove): BD=\frac{1}{2} AC
रचना (Construction): DE \| BC खींचा।
उपपत्ति (Proof): DE \| BC तथा D,AC का मध्य-बिन्दु है
अतः AE=BE …. (1)
तथा \angle AED=\angle ABC=90^{\circ} (संगत कोण)
\angle AED=\angle BED=90^{\circ} \cdots(2)
\triangle AED तथा \triangle BED में
AE=BE [(1) से]
\angle AED=\angle BED=90^{\circ} [(2) से]
DE=DE (उभयनिष्ठ भुजा)
SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से
\triangle AED \cong \triangle BED
AD=BD (CPCT से)
अतः BD=\frac{1}{2} AC
Illustration:8.AB=AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं।दर्शाइए कि \angle ABC के आसन्न एक बहिष्कोण \angle BOC के बराबर है।
Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AB=AC
सिद्ध करना है (To Prove): \angle ABD=\angle BOC
रचना (Construction):BC को D तक बढ़ाया।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में AB=AC
\angle ABC=\angle ACB (बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं) …. (1)
\angle ABO= \angle OBC=\angle OCB=\angle ACO ( \because BO व CO, \angle B व \angle C के समद्विभाजक है) ….. (2)
\triangle BOC में
\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle OBC+\angle OBC+\angle BOC=180^{\circ} [(2) से]
\Rightarrow 2 \angle OBC+\angle BOC=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ABC+\angle BOC=180^{\circ} [(2) से]
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BOC \cdots(3)\\ \angle ABD+\angle ABC=180^{\circ} (रैखिक कोण युग्म)
\Rightarrow \angle ABC=180^{\circ}-\angle ABD \cdots(4)
(3) व (4) से:
\Rightarrow 180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-\angle BOC \\ \Rightarrow \angle ABD=\angle BOC
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Illustrations of Congruent Triangles),सर्वांगसम त्रिभुज कक्षा 9 (Congruent Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।
3.सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण के सवाल (Illustrations of Congruent Triangles Questions):
(1.)आकृति में, \triangle ABC में AB=AC,BF और CF क्रमशः \angle B और \angle C के समद्विभाजक हैं सिद्ध कीजिए कि \triangle EBC \cong \triangle FCB
(2.)आकृति में BA \perp AC, DE \perp EF , BA=DE और BF=CD सिद्ध कीजिए कि AC=EF
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Illustrations of Congruent Triangles),सर्वांगसम त्रिभुज कक्षा 9 (Congruent Triangles Class 9) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also Read This Article:- Parallelogram in Class 9th
4.सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Illustrations of Congruent Triangles),सर्वांगसम त्रिभुज कक्षा 9 (Congruent Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अध्यारोपण को समझाइए। (Explain Superposition):
उत्तर:किसी रेखाखण्ड,कोण अथवा किसी भी आकृति को उसके आकार अथवा विस्तार में बिना कोई परिवर्तन किए दूसरे रेखाखण्ड,कोण अथवा आकृति पर रखें और यदि एक आकृति दूसरी आकृति को पूर्ण रूप से ठीक-ठीक ढक ले तो वे आकृतियाँ परस्पर बराबर होती है।एक आकृति को दूसरी आकृति से संपात करने की इस क्रिया को अध्यारोपण (superposition) कहते हैं।
प्रश्न:2.संपाती और सर्वांगसम में क्या सम्बन्ध है? (What is the Relation Between Coincident and Congruent?):
उत्तर:जो आकृतियाँ (अथवा क्षेत्र) एक-दूसरे को पूर्णतया ढक लेती है एक-दूसरे के संपाती हों सर्वांगसम (congruent) कहलाती है।
प्रश्न:3.सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत अवयव से क्या आशय है? (What Do You Mean by the Corresponding Parts of Congruent Triangles?):
उत्तर:सर्वांगसम त्रिभुजों में जब हम अध्यारोपण करते हैं तो एक की भुजाएँ तथा कोण,दूसरे की जिन भुजाओं तथा कोणों के संपाती हो जाते हैं,एक दूसरे के संगत (corresponding) कहलाते हैं।इन्हें क्रमशः संगत भुजाएँ तथा संगत कोण कहते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Illustrations of Congruent Triangles),सर्वांगसम त्रिभुज कक्षा 9 (Congruent Triangles Class 9) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here |
Illustrations of Congruent Triangles
सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण
(Illustrations of Congruent Triangles)
Illustrations of Congruent Triangles
सर्वांगसम त्रिभुजों के उदाहरण (Illustrations of Congruent Triangles) के इस आर्टिकल
में सर्वांगसम त्रिभुजों पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
