1.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती कैसे लिखें और हल करें? (How to Write and to Solve Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से हल कीजिए (Use Duality to Solve Linear Programming Problem):

How to Write and to Solve Dual of LPP?

रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती कैसे लिखें और हल करें? (How to Write and to Solve Dual of LPP?) के इस आर्टिकल में द्वैतता के सिद्धान्त तथा सिम्पलैक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करेंगे।
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Also Read This Article:- How to Solve LPP by Simplex Method?

2.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती कैसे लिखें और हल करें? पर आधारित उदाहरण (Example Based on How to Write and to Solve Dual of LPP?):

Example:20.निम्न को सिम्पलैक्स विधि से हल कीजिए:
(Apply the simolex method to solve the following):
अधिकतम करो (max.): Z=30 x_1+23 x_2+29 x_3
प्रतिबन्ध (s.t.) 6 x_1+5 x_2+3 x_3 \leq 26 \\ 4 x_1+2 x_2+6 x_3 \leq 7 
तथा (and) x_1,x_2, x_3 \geq 0
साथ ही इस समस्या की द्वैती समस्या का इष्टतम हल अन्तिम सारणी से पढ़िए।
(Also read the solution to the dual of the above problem from the final table.)
नोट:सर्वप्रथम इसे द्वैतता के सिद्धान्त से हल करेंगे फिर प्रश्न में बताए अनुसार सिम्पलैक्स विधि से हल करेंगे ताकि दोनों विधियों का अन्तर समझ में आ जाए।
Solution:दी गई आद्य समस्या मानक रूप में है,अतः इसकी द्वैती समस्या निम्न प्रकार होगी:
निम्नतम करो: Z_D=26 w_1+7 w_2
प्रतिबन्ध 6 w_1+4 w_2 \geq 30 \\ 5 w_1+2 w_2 \geq 23 \\ 3 w_1+6 w_2 \geq 29
तथा w_1, w_2 \geq 0
प्रतिबन्ध निकाय को समीकरणों में बदलने हेतु तीन आधिक्यपूरक चरों w_3,w_4 एवं w_5 का समावेश करने तथा उद्देश्य फलन को अधिकतम रूप में लिखने पर उपर्युक्त द्वैत समस्या निम्न प्रकार है:
अधिकतम करो: Z^*=-26 w_1-7 w_2+0 w_3+0 w_4+0 w_5
प्रतिबन्ध 6 w_1+4 w_2-w_3+0 w_4+0 w_5=30 \\ 5 w_1+2 w_2+0 w_3-w_4+0 w_5=23 \\ 3 w_1+6 w_2+0 w_3+0 w_4-w_5=29
तथा w_1, w_2, w_3, w_4, w_5 \geq 0
अब प्रतिबन्ध निकाय में गुणांक मैट्रिक्स
(माना)
इसमें प्रारम्भिक आधारी मैट्रिक्स \left(e_1 e_2 e_3\right) विद्यमान नहीं हैं।उनको विद्यमान करने हेतु प्रथम,द्वितीय तथा तृतीय समीकरणों में w_6 ,w_7  तथा w_8 तीन कृत्रिम चर जोड़ेंगे तथा उद्देश्य फलन में इनका मान -M होंगे जहाँ M एक बहुत बड़ी धनात्मक संख्या है।अतः समस्या का मानक रूप निम्न होगा:
अधिकतम करो: Z^*=-26 w_1-7 w_2+0 w_3+0 w_4+0 w_5-M w_6-M w_7-M w_8
प्रतिबन्ध: 6 w_1+4 w_2-w_3+0 w_4+0 w_5+w_6+0 w_7+0 w_8=30 \\ 5 w_1+2 w_2+0 w_3-w_4+0 w_5+0 w_6+w_7+0 w_8=23 \\ 3 w_1+6 w_2+0 w_3+0 w_4-w_5+0 w_6+0 w_7+w_8=29 
तथा w_1 , w_2 , w_3, w_4, w_5, w_6, w_7, w_8 \geq 0
स्पष्टतः आधार B=\left(e_1 e_2 e_3\right)=\left(\alpha_6 \alpha_7 \alpha_8\right) और प्रारम्भिक सिम्पलेक्स सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम सिम्पलेक्स सारणी

चूँकि इस सारणी में Z^{*}_j-C_j के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है अतः प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है।Z^{*}_1-C_1=-14M+26 न्यूनतम राशि है तथा यह मान प्रथम स्तम्भ में है,इसलिए \alpha_1 प्रवेशी सदिश है एवं
पुनः \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{30}{6}, \frac{23}{5},\frac{29}{3} \right\} \\ =\frac{23}{5}=\frac{X_{B2}}{y_{21}}
अतः y_{21} अर्थात् 5 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_7 अपगामी सदिश (departing vector) होगा।\alpha_7 कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 5 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{23}{5}, \frac{5}{5}=1, \frac{2}{5}, \frac{0}{5}=0, \frac{-1}{5}, \frac{0}{5}=0, \frac{0}{5}=0, \frac{0}{5}=0
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 6 से गुणा करके घटा देंगे:
30-\frac{23}{5} \times 6=\frac{12}{5}, 6-1 \times 6=0 ,4-\frac{2}{5} \times 6=1\frac{8}{5},-1-0 \times 6=-1,0-\left(-\frac{1}{5}\right) \times 6=\frac{6}{5} ,0-(0) \times 6=0,1-0 \times 6=1,0-0 \times 6=0
तृतीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 3 से गुणा करके घटा देंगे:
29-\frac{23}{5} \times 3=\frac{76}{5}, 3-1 \times 3=0,6-\frac{2}{5} \times 3=\frac{24}{5}, 0-0 \times 3=0,0-\left(-\frac{1}{5}\right) \times 3=\frac{3}{5},-1-0 \times 3=-1, 0-0 \times 3=0,1-0 \times 3=1
द्वितीय सिम्पलैक्स सारणी

चूँकि इस सारणी में Z_j^*-C_j के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है अतः प्रारम्भिक आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_1^*-C_1=-\frac{32}{5}M-\frac{17}{5} न्यूनतम राशि है तथा यह मान द्वितीय स्तम्भ में है,इसलिए \alpha_2  प्रवेशी सदिश है एवं
पुनः \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{23}{5}}{\frac{2}{5}}, \frac{\frac{76}{5}}{\frac{24}{5}},\frac{\frac{12}{5}}{\frac{8}{5}} \right\} \\ =\frac{\frac{12}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac{X_{B1}}{y_{12}}
अतः y_{12} अर्थात् \frac{8}{5} मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_6 अपगामी सदिश (departing vector) होगा। \alpha_6 कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
प्रथम पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव \frac{8}{5} का भाग देने पर तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

\frac{\frac{12}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac{3}{2}, \frac{0}{\frac{8}{5}}=0, \frac{\frac{8}{5}}{\frac{8}{5}}=1, \frac{-1}{\frac{8}{5}}=\frac{-5}{8} , \frac{\frac{6}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac{3}{4}, \frac{0}{\frac{8}{5}}=0,\frac{0}{\frac{8}{5}}=0
द्वितीय पंक्ति:तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव \frac{2}{5} से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{23}{5}-\frac{3}{2} \times \frac{2}{5}=4, 1-0 \times \frac{2}{5}=1, \frac{2}{5}-1 \times \frac{2}{5}=0, 0- \frac{(-5)}{8} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{4} ,-\frac{1}{5}-\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=-\frac{1}{2} ,0-0 \times \frac{2}{5} =0 ,0- 0 \times \frac{2}{5}=0
तृतीय पंक्ति:तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव \frac{24}{5} से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{76}{5}-\frac{3}{2} \times \frac{24}{5}= 8, 0-0 \times \frac{24}{5}=0, \frac{24}{5}-1 \times \frac{24}{5}=0, 0-\left( -\frac{5}{8} \right) \times \frac{24}{5}=3, \frac{3}{5}-\frac{3}{4} \times \frac{24}{5}=-3,-1-(0) \times \frac{24}{5}=-1, 1-0 \times \frac{24}{5}=1
तृतीय सिम्पलेक्स सारणी

चूँकि इस सारणी में Z_j^*-C_j के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है अतः प्रारम्भिक आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।Z_3^*-C_3=-3M-\frac{17}{8}न्यूनतम राशि है तथा यह मान तृतीय स्तम्भ में है,इसलिए \alpha_3  प्रवेशी सदिश है एवं
पुनः \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{8}{3}\right\} \\ =\frac{8}{3}=\frac{x_{B3}}{y_{33}}
अतः y_{33} अर्थात् 3 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_8 अपगामी सदिश (departing vector) होगा। \alpha_8 कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:

तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
तृतीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 3 का भाग देने पर चतुर्थ सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{8}{3} ,\frac{0}{3}=0, \frac{0}{3}=0,\frac{3}{3}=1,\frac{-3}{3}=-1, \frac{-1}{3}
प्रथम पंक्ति:चतुर्थ सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव -\frac{5}{8} से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{3}{2}-\frac{8}{3} \times \left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{3}{2}+\frac{5}{3}=\frac{19}{6} ,0-0 \times \left(-\frac{5}{8}\right)=0 ,1- (0) \times \left(-\frac{5}{8}\right)=1 ,0-\frac{5}{8}-1 \times \left(-\frac{5}{8}\right)=0 ,\frac{3}{4}- (-1) \left(-\frac{5}{8}\right)=\frac{1}{8}, 0-\left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{8}\right)=-\frac{5}{24}
द्वितीय पंक्ति:चतुर्थ सारणी की द्वितीय पंक्ति को तैयार करने के लिए तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव \frac{1}{4} से गुणा करके घटा देंगे:

4-\frac{8}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{10}{3}, 7-0 \times \frac{1}{4}=1,0-0 \times \frac{1}{4}=0, \frac{1}{4}-1 \times \frac{1}{4}=0,-\frac{1}{2}+(-1) \times \frac{1}{4}= -\frac{1}{4}, 0-(-\frac{1}{3}) \times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}
चतुर्थ सिम्पलेक्स सारणी

चूँकि इस सारणी Z_j^*-C_j में के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है अतः प्रारम्भिक आधार इष्टतम हल नहीं है।Z_5^*-C_5=-\frac{17}{24} न्यूनतम राशि है तथा यह मान पंचम स्तम्भ में है,इसलिए \alpha_5 प्रवेशी सदिश है एवं
पुनः \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 5}}, y_{i 5}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{12}} \right\} \\ =\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{12}}=\frac{x_{B2}}{y_{25}}
अतः y_{25} अर्थात् \frac{1}{12} मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_1 अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु चतुर्थ सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव \frac{1}{12} का भाग देने पर पंचम सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{12}}=40, \frac{1}{\frac{1}{12}}=12, \frac{0}{\frac{1}{12}}=0, \frac{0}{\frac{1}{12}}=0, \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}}=-3 ,\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}}=1
प्रथम पंक्ति:पंचम सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए चतुर्थ सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव -\frac{5}{24} से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{19}{6}-40 \times\left(\frac{-5}{24}\right)=\frac{23}{2}, 0-12\left(-\frac{5}{24}\right)=\frac{5}{2}, 1-0 \times-\frac{5}{24}=1,0-0 \times\left(\frac{-5}{24}\right)=0, \frac{1}{8}-(-3) \times\left(\frac{-5}{24}\right)=-\frac{1}{2}, \frac{-5}{24}-1 \times\left(\frac{-5}{24}\right)=0
तृतीय पंक्ति:पंचम सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए चतुर्थ सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव -\frac{1}{3} से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{8}{3}-40 \times \left( -\frac{1}{3} \right)=16,0-12 \times \left( -\frac{1}{3} \right)=4, 0-0 \left( -\frac{1}{3} \right)=0,1-0 \times \left( -\frac{1}{3} \right)=1, -1-(-3) \times \left( -\frac{1}{3} \right)=-2,-\frac{1}{3}-1 \times \left( -\frac{1}{3} \right)=0
पंचम सिम्पलैक्स सारणी

इस सारणी में Z^{*}_{j}-C_{j} \geq 0  ,j के सभी मानों के लिए,अतः इस स्थिति में इष्टतम हल प्राप्त होता है,जो निम्न प्रकार है:
w_{1}=0 , w_{2}=\frac{23}{2} तथा min Z_{D}=26 w_{1}+7 w_{2}=26 \times 0 + 7 \times \frac{23}{2}=\frac{161}{2}
उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती कैसे लिखें और हल करें? (How to Write and to Solve Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से हल कीजिए (Use Duality to Solve Linear Programming Problem) को समझ सकते हैं।

How to Write and to Solve Dual of LPP?

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सिम्पलैक्स विधि से हल (Solve Linear Programming Problem with Simplex Method):

प्रतिबन्ध असमिकाओं में न्यूनतापूरक चरों तथा को सम्मिलित करने से समस्या का मानक रूप होगा:
अधिकतम Z=30 x_1+23 x_2+29 x_3+0 x_4+0 x_5
प्रतिबन्ध (s.t.) 6 x_1+5 x_2+3 x_3+x_4+0 x_5=26 \\ 4 x_1+2 x_2+6 x_3+0 x_4+x_5=7
तथा x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0
प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
(माना)
\therefore \quad \left(\alpha_4 \alpha_5\right)=I_2  ,अतः प्रारम्भिक आधार B=\left(\alpha_4 \alpha_5\right) एवं प्रारम्भिक सारणी निम्न होगी:
प्रथम सिम्पलेक्स सारणी

Z_j-C_j के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण प्रारम्भिक आधारी हल इष्टतम हल नहीं है। Z_1-C_1=-30 न्यूनतम राशि है तथा यह मान प्रथम स्तम्भ में है,इसलिए नवीन आधारी हल हेतु \alpha_1 प्रवेशी सदिश होगा एवं
पुनः \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i1}}, y_{i1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{ \frac{26}{6},\frac{7}{4}\right\} \\ =\frac{7}{4}=\frac{x_{B2}}{y_{21}} 
अतः y_{21} अर्थात् 4 मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_5 अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अतः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 4 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{7}{4}, \frac{4}{4}=1, \frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \frac{0}{4}=0, \frac{1}{4}
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 6 से गुणा करके घटा देंगे:
26-\frac{7}{4} \times 6=\frac{31}{2}, 6-1 \times 6=0,5-\frac{1}{2} \times 6=2, 3-\frac{3}{2} \times 6=-6,1-6 \times 6=1,0-\frac{1}{4} \times 6=\frac{-3}{2}
द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी

Z_j-C_j के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण प्रारम्भिक आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।Z_2-C_2=-8 न्यूनतम राशि है तथा यह मान द्वितीय स्तम्भ में है,इसलिए नवीन आधारी हल हेतु \alpha_2 प्रवेशी सदिश होगा एवं
पुनः \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i2}}, y_{i2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{31}{2}}{2}, \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{2}}\right\} \\ =\frac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{4}}=\frac{x_{B2}}{y_{22}}
अतः y_{22} अर्थात् \frac{1}{2} मुख्य अवयव (key element) तथा \alpha_1 अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अतः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव \frac{1}{2} का भाग देने पर तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

\frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{7}{2}, \frac{1}{\frac{1}{2}}=2, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1, \frac{\frac{3}{7}}{\frac{1}{2}}=3, \frac{0}{2}=0, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}
प्रथम पंक्ति:तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 2 से गुणा करके घटा देंगे:

\frac{31}{2}-\frac{7}{2} \times 2=\frac{15}{2}, 0-2 \times 2=-4,2-1 \times 2=0, -6-3 \times 2=-12,1-0 \times 2=1,-\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \times 2=-\frac{5}{2}
तृतीय सिम्पलेक्स सारणी

इस सारणी में Z_j-C_j के सभी मान ऋणेत्तर (\geq 0 ) हैं।अतः आधारी हल इष्टतम हल है जो निम्न प्रकार है:

x_1=x_3=0, x_2=\frac{7}{2}
तथा अधिकतम Z=30 x_1+23 x_2+29 x_3 \\ =30(0)+23 \times \frac{7}{2}+29 \times 0 \\ \Rightarrow \max. Z=\frac{161}{2}
इस समस्या की द्वैती समस्या का हल:

w_1=0, w_2=\frac{23}{2}
तथा निम्नतम Z_D=26 w_1+7 w_2 \\ =26 \times 0+7 \times \frac{23}{2} \\ \Rightarrow \min Z_D =\frac{161}{2}

How to Write and to Solve Dual of LPP?

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4.रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती कैसे लिखें और हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Write and to Solve Dual of LPP?),रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्वैत सिद्धान्त के प्रयोग से हल कीजिए (Use Duality to Solve Linear Programming Problem) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

रैखिक प्रोग्रामन समस्या की द्वैती कैसे लिखें और हल करें? (How to Write and to Solve Dual
of LPP?) के इस आर्टिकल में द्वैतता के सिद्धान्त तथा सिम्पलैक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन
समस्या को हल करेंगे।