How to Solve LPP by Simplex Method?

Q: प्रश्न:1.अपगामी सदिश की परिभाषा दीजिए। (Define Departing Vector):

उत्तर:सूत्र \underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i k}}, y_{ik}>0\right\} द्वारा मान ज्ञात किया जाता है,जो सदिश b तथा y_k (प्रवेशी सदिश) सदिश के संगत धनात्मक घटकों का निम्नतम अनुपात है।यदि यह अनुपात i=r के लिए निम्नतम हो तो rवीं पंक्ति में स्थित B का सदिश B_{r} अपगामी सदिश होगा।सारणी में y_{r} के नीचे \downarrow चिन्ह लगा देते हैं जो अपगामी सदिश को इंगित करता है।

Q: प्रश्न:2.मुख्य अवयव की परिभाषा दीजिए। (Define Key Element):

उत्तर:उपर्युक्त प्रश्न में पता लगाने के बाद y_{rk} को * द्वारा चिन्हित कर देते हैं या \fbox{ } में बन्द कर देते हैं क्योंकि यह अगले आधारी हल के निर्धारण हेतु मुख्य अवयव (key element) होता है।

Mathematics Satyam July 27, 2024 Linear Programming No Comments

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1 1.सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method):

1.1 2.सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on How to Solve LPP by Simplex Method?):

1.2 3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Solve LPP by Two Phase Method):

1.2.1 4.सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.अपगामी सदिश की परिभाषा दीजिए। (Define Departing Vector):

1.2.3 प्रश्न:2.मुख्य अवयव की परिभाषा दीजिए। (Define Key Element):

1.2.4 प्रश्न:3.मुख्य अवयव वाली पंक्ति कैसे तैयार करते हैं? (How to Prepare a Row with Key Element?):

1.2.4.1 How to Solve LPP by Simplex Method?

2 सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?)

2.1 How to Solve LPP by Simplex Method?

1.सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method):

How to Solve LPP by Simplex Method?

सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?) के इस आर्टिकल में सिम्पलैक्स विधि एवं द्विप्रावस्था विधि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on How to Solve LPP by Simplex Method?):

Illustration:15.अधिकतम (Max.) $Z=x_1+1.5 x_2+5 x_3+2 x_4$
प्रतिबन्ध (s.t.) $3 x_1+2 x_2+x_3+4 x_4 \leq 6 \\ 2 x_1+x_2+5 x_3+x_4 \leq 4 \\ 2 x_1+6 x_2-4 x_3+8 x_4=0 \\ x_1+3 x_2-2 x_3+4 x_4=0$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं में न्यूनतापूरक चरों $x_5$ तथा $x_6$ को सम्मिलित करने पर समस्या का मानक रूप होगा:
अधिकतम $Z=x_1+1.5 x_2+5 x_3+2 x_4+0 x_5+0 x_6$
प्रतिबन्ध $3 x_1+2 x_2+x_3+4 x_4+x_5+0 x_6=6 \\ 2 x_1+x_2+5 x_3+x_4+x_5+0 x_6=4 \\ 2 x_1+6 x_2-4 x_3+8 x_4+0 x_5+0 x_6=0 \\ x_1+3 x_2-2 x_3+4 x_4+0 x_5+0 x_6=0$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0$
परन्तु गुणांक मैट्रिक्स में एकिक उपमैट्रिक्स $I_4$ विद्यमान नहीं है,अतः समीकरणों में कृत्रिम चर $x_7$ तथा $x_8$ सम्मिलित करेंगे तथा उद्देश्य फलन में इनके मूल्य -M रखेंगे,जहाँ M एक बहुत बड़ी धनात्मक संख्या है।अतः समस्या का मानक रूप होगा:
अधिकतम $Z=x_1+1.5 x_2+5 x_3+2 x_4+0 x_5+0 x_6-M x_7-M x_8$
प्रतिबन्ध $3 x_1+2 x_2+x_3+4 x_4+x_5+0 x_6+0 x_7+0 x_8=6 \\ 2 x_1+x_2+5 x_3+x_4+0 x_5+x_6+0 x_7+0 x_8=4 \\ 2 x_1+6 x_2+4 x_3+8 x_4+0 x_5+0 x_6+x_7+0 x_8=0 \\ x_1+3 x_2-2 x_3+4 x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7+x_8=0$
तथा $x_1,x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8 \geq 0$
प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
$A=\left[\begin{array}{cccccccc} 3 & 2 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & -4 & 8 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]= \left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \alpha_8\right)$ (माना)

$\left(\alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \alpha_8\right)=I_4$ अतः
प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \alpha_8\right)$ एवं प्रारम्भिक सिम्पलेक्स सारणी निम्न प्रकार है:
प्रथम सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|cccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 1 & 1.5 & 5 & 2 & 0 & 0 & -M & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_8 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 6 & 3 & 2 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_6 & x_6 & 4 & 2 & 1 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -M & \alpha_7 & x_7 & 0 & 2 & 6 & -4 & \fbox{8} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -M & \alpha_8 & x_8 & 0 & 1 & 3 & -2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline & & & Z_{j}-C_{j}\rightarrow & -3M-1 & -9M-1.5 & 6M-5 & -12M-2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline & & & & & & & \uparrow & & & \downarrow &\end{array}$
$Z_j-C_j$ के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।चूँकि $Z_4-C_4=-12M-2$ निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु $\alpha_4$ प्रवेशी सदिश होगा एवं
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 4}}, y_{i 4}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{6}{4}, \frac{4}{1},\frac{0}{8},\frac{0}{4}\right\} \\ =\left(\frac{0}{8},\frac{0}{4}\right)$
चूँकि निम्नतम मान 0 है,अतः $\alpha_7, \alpha_8$ दोनों ही अपगामी सदिश (departing vector) होगें।यह अपभ्रष्टता होने का संकेत है।चूंँकि $\alpha_7, \alpha_8$ दोनों कृत्रिम चर है,इनमें से किसी को भी अपगामी सदिश (departing vector) ले सकते हैं।माना $\alpha_7$ अपगामी सदिश है।अतः मुख्य अवयव (key element) है। $\alpha_7$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों द्वारा नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:

$\frac{0}{8}=0, \frac{2}{8}=\frac{1}{4}, \frac{6}{8}=\frac{3}{4},-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}, \frac{8}{8}=1, \frac{0}{8}=0, \frac{0}{8}=0$
तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
तृतीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 8 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार होगी:
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 4 से गुणा करके घटा देंगे:
$6-0 \times 4=6,3-\frac{1}{4} \times 4=2,2-\frac{3}{4} \times 4=-1, 1-\left(-\frac{1}{2}\right) \times 4=3,4-1 \times 4=0,1-0 \times 4=1, 0-0 \times 4=0,0-0 \times 4=0$

How to Solve LPP by Simplex Method?

द्वितीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 1 से गुणा करके घटा देंगे:
$4-0 \times 1=4,2-\frac{1}{4} \times 1=\frac{7}{4}, 1-\frac{3}{4} \times 1=\frac{1}{4}, 5-(-\frac{1}{2}) \times 1 ,=\frac{11}{2}, 1-1 \times 1=0, 0-0 \times 1=0,1-0 \times 1=1,0-0 \times 1=0$
चतुर्थ पंक्ति:द्वितीय सारणी की चतुर्थ पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की चतुर्थ पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 4 से गुणा करके घटा देंगे:
$0-0 \times 4=0,1-\frac{1}{4} \times 4=0,3-\frac{3}{4} \times 4=0,-2-(-\frac{1}{2}) \times 4=0 ,4-1 \times 4=0,0-0 \times 4=0,0-0 \times 4=0,1-0 \times 4=1$
द्वितीय सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 1 & 1.5 & 5 & 2 & 0 & 0 & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_8 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & 6 & 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_6 & x_6 & 4 & \frac{7}{4} & \frac{1}{4} & \frac{\fbox{11}}{\fbox{2}} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & \alpha_4 & x_4 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -M & \alpha_8 & x_8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j}\rightarrow & -\frac{1}{2} & 0 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline & & & & & & \uparrow & & & \downarrow & \end{array}$
$Z_j-C_j$ के कुछ मान ऋणात्मक होने के कारण आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।चूँकि $Z_3-C_3=-6$ निम्नतम है अतः नवीन आधारी हल हेतु $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश होगा एवं
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{6}{3},\frac{4}{\frac{11}{2}} \right\} \\ =\frac{4}{\frac{11}{2}} =\frac{W_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore y_{23}$ अतः अर्थात् $\frac{11}{2}$ मुख्य अवयव (key element) तथा $\alpha_6$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अतः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव $\frac{11}{2}$ का भाग देने पर तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{4}{\frac{11}{2}}=\frac{8}{11}, \frac{\frac{7}{4}}{\frac{11}{2}}=\frac{7}{22}, \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{2}}=\frac{1}{22}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1 ,\frac{0}{\frac{11}{2}}=0, \frac{0}{\frac{11}{2}}=0, \frac{1}{\frac{11}{2}}=\frac{2}{11}, \frac{0}{\frac{11}{2}}=0$
प्रथम पंक्ति:तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 3 से गुणा करके घटा देंगे:
$6-\frac{8}{11} \times 3=\frac{42}{11}, 2-\frac{7}{22} \times 3=\frac{23}{22},-1-\frac{1}{22} \times 3 =-\frac{25}{22}, 3-1 \times 3=0,0-0 \times 3=0,1-0 \times 3=1 ,0-\frac{2}{11} \times 3=-\frac{6}{11}, 0-0 \times 3=0$
तृतीय पंक्ति:तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{1}{2}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$0-\frac{8}{11} \times-\frac{1}{2}=\frac{4}{11}, \frac{1}{4}-\frac{7}{22} \times-\frac{1}{2}=\frac{9}{22},\frac{3}{4}-\frac{1}{22} \times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{22},-\frac{1}{2}-1 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=0, 1-0 \times-\frac{1}{2}=1,0-0 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=0,0-\frac{2}{11} \times-\frac{1}{2}=\frac{1}{11} ,0-0 \times -\frac{1}{2}=0$
चतुर्थ पंक्ति:तृतीय सारणी की चतुर्थ पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की चतुर्थ पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 0 से गुणा करके घटा देंगे:
$0-\frac{8}{11} \times 0=0,0-\frac{7}{12} \times 0=0,0-\frac{1}{22} \times 0=0, 0-1 \times 0=0,0-0 \times 0=0,0-0 \times 0=0,0, \frac{2}{11} \times 0=0 ,1-0 \times 0=1$
तृतीय सिम्पलेक्स सारणी

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 1 & 1.5 & 5 & 2 & 0 & 0 & -M \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_8 \\ \hline 0 & \alpha_5 & x_5 & \frac{42}{11} & \frac{23}{22} & -\frac{25}{22} & 0 & 0 & 1 & -\frac{6}{11} & 0 \\ 5 & \alpha_3 & x_3 & \frac{8}{11} & \frac{7}{22} & \frac{1}{22} & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{11} & 0 \\ 2 & \alpha_4 & x_4 & \frac{4}{11} & \frac{9}{22} & \frac{17}{22} & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{11} & 0 \\ -M & \alpha_8 & x_8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j}\rightarrow & \frac{31}{22} & \frac{3}{11} & 0 & 0 & 0 & \frac{12}{11} & 0 \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_j-C_j$ के सभी मान धनात्मक है तथा आधार में कृत्रिम चर $\alpha_8$ विद्यमान है जिसके संगत चर $\alpha_8$ का मान शून्य है।अतः आधारी हल इष्टतम हल है,जो निम्न प्रकार है:

$x_1=0, x_2=0, x_3=\frac{8}{11}, x_4=\frac{4}{11}$
तथा अधिकतम Z का मान= $x_1+1.5 x_2+5 x_3+2 x_4 \\ =0+1.5 \times 0+5 \times \frac{8}{11}+2 \times \frac{4}{11} \\ =\frac{40}{11}+\frac{8}{11} \\ \Rightarrow \max z=\frac{48}{11}$
उपर्युक्त उदाहरण द्वारा सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method) को समझ सकते हैं।

3.रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Solve LPP by Two Phase Method):

Illustration:8.अधिकतम (max.): $Z=2 x_1-x_2+x_3$
प्रतिबन्ध (s.t.) $x_1+x_2-3 x_3 \leq 8 \\ 4 x_1-x_2+x_3 \geq 2 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3 \geq 4$
तथा (and) $x_1 , x_2, x_3 \geq 0$
Solution:प्रतिबन्ध असमिकाओं को न्यूनतापूरक चर $x_4$ तथा आधिक्यपूरक चर $x_5$ व $x_6$ की सहायता से समीकरणों में परिवर्तन करने पर:
अधिकतम $Z=2 x_1-x_2+x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6$
प्रतिबन्ध $x_1+x_2-3 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6=8 \\ 4 x_1-x_2+x_3+0 x_4-x_5+0 x_6=2 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3+0 x_4+0 x_5-x_6=4$
तथा $x_1 , x_2, x_3, x_4,x_5,x_6 \geq 0$
परन्तु उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश $e_3$ विद्यमान नहीं है अतः दूसरी व तीसरी समीकरण में कृत्रिम चर $x_7$ व $x_8$ जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में $x_7$ व $x_8$ का मान -1 लेने पर तथा $x_7$ व $x_8$ के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी गई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

$Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6-x_7-x_8$
प्रतिबन्ध $x_1+x_2-3 x_3+x_4+0 x_5+0 x_6+0 x_7+0 x_8=8 \\ 4 x_1-x_2+x_3+0 x_4-x_5+0 x_6+x_7+0 x_8=2 \\ 2 x_1+3 x_2-x_3+0 x_4+0 x_5-x_6+0 x_7+x_8=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स
$\left[\begin{array}{cccccccc} 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]= \left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \alpha_8\right)$ (माना)
$\left(\alpha_4 \alpha_7 \alpha_8\right)=I_3$ अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_4 \alpha_7 \alpha_8\right)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

$\begin{array}{|ccc|c|cccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_7 & y_8 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & 8 & 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & \alpha_7 & x_7 & 2 & \fbox{4} & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & \alpha_8 & x_8 & 4 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}-C_{j}\rightarrow & -6 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline & & & & \uparrow & & & & & & \downarrow & \end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।पुनः $Z_1^*-C_1=-6$ निम्नतम है,अतः $\alpha_1$ नये आधार के लिए प्रवेशी सदिश होगा तथा
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{w_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{8}{1}, \frac{2}{4}, \frac{4}{2}\right\} \\ =\frac{4}{2}=\frac{x_{B 2}}{y_{21}}$
अतः $y_{21}$ अर्थात् 4 मुख्य अवयव (key element) है तथा $\alpha_7$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा। $\alpha_7$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:

द्वितीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव 4 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{4}{4}=1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{0}{4}=0, \frac{-1}{4}, \frac{0}{4}=0,\frac{0}{4}=0$
प्रथम पंक्ति:द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 1 से गुणा करके घटा देंगे:
$8-\frac{1}{2} \times 1=\frac{15}{2}, 1-1 \times 1=0,1-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 1=\frac{5}{4}, -3-\frac{1}{4} \times 1=-\frac{13}{4}, 1-0 \times 1=1,0-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 1=\frac{1}{4}, 0-0 \times 1=0,0-0 \times 1=0$
तृतीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव 2 से गुणा करके घटा देंगे:
$4-\frac{1}{2} \times 2=3,2-1 \times 2=0,3-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 2=\frac{7}{2},-1 - \left(\frac{1}{4}\right) \times 2=-\frac{3}{2}, 0-0 \times 2=0,0-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 2=\frac{1}{2} ,-1- 0 \times 2=-1,1-0 \times 2=1$
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

$\begin{array}{|ccc|c|ccccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 & y_8 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & \frac{15}{2} & 0 & \frac{5}{4} & -\frac{13}{4} & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_1 & x_1 & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ -1 & \alpha_8 & x_8 & 3 & 0 & \fbox{7/2} & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} & -1 & 1 \\ \hline & & & Z_{j}^*-C_{j}\rightarrow & 0 & - \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 1 & 0\\ \hline & & & & & \uparrow & & & & & \downarrow \end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।पुनः $Z_2^*-C_2=-\frac{7}{2}$ निम्नतम है,अतः $\alpha_2$ नये आधार के लिए प्रवेशी सदिश होगा तथा
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{15}{2}}{\frac{5}{4}}, \frac{3}{\frac{7}{2}}\right\} \\ =\frac{3}{\frac{7}{2}}=\frac{x_{B3}}{y_{32}}$
अतः $y_{32}$ अर्थात् $\frac{7}{2}$ मुख्य अवयव (key element) है तथा $\alpha_8$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा। $\alpha_8$ कृत्रिम चर है अतः इसे नवीन सारणी में शामिल नहीं करेंगे।अब नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव $\frac{7}{2}$ का भाग देने पर तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{3}{\frac{7}{2}}=\frac{6}{7}, \frac{0}{\frac{7}{2}}=0, \frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}=1, \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}=-\frac{3}{7}, \frac{0}{\frac{7}{2}}=0, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{1}{7},-\frac{1}{\frac{7}{2}}=\frac{-2}{7}$
प्रथम पंक्ति:तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{1}{4}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{15}{2}-\frac{6}{7} \times \frac{5}{4}=\frac{45}{7}, 0-0 \times \frac{5}{4}=0, \frac{5}{4}-1 \times \frac{5}{4}=0,-\frac{13}{4}-\left(-\frac{3}{7}\right) \times \frac{5}{4}=-\frac{19}{7}, 1-0 \times \frac{5}{4}=1, \frac{1}{4}-\left(\frac{1}{7}\right) \times \frac{5}{4}=\frac{1}{14} ,0-\left(-\frac{2}{7}\right) \times \frac{5}{4}=\frac{5}{14}$
द्वितीय पंक्ति:तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{1}{4}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{1}{2}-\frac{6}{7} \times \left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{7}, 1-0 \times\left(-\frac{1}{4}\right)=1,-\frac{1}{4}-1 \times \left(-\frac{1}{4}\right)=0 , \frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{7}\right) \times\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{7}, 0-0 \times \left(-\frac{1}{4}\right)=0, -\frac{1}{4}-\frac{1}{7} \times \left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{14}, 0-\left(-\frac{2}{7}\right) \times\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{14}$
प्रथम प्रावस्था:सारणी III

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & \frac{45}{7} & 0 & 0 & -\frac{19}{7} & 1 & \frac{1}{14} & \frac{5}{14} \\ 0 & \alpha_1 & x_1 & \frac{5}{7} & 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 & -\frac{3}{14} & -\frac{1}{14} \\ 0 & \alpha_2 & x_2 & \frac{6}{7} & 0 & 1 & -\frac{3}{7} & 0 & \frac{1}{7} & -\frac{2}{7} \\ \hline & & & Z^{*}_{j}-C_{j}\rightarrow & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$
चूँकि प्रत्येक $Z_j^*-C_j \geq 0$ तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (phase II) में प्रवेश करते हैं।
उद्देश्य फलन $Z=2 x_1-x_2+x_3+0 x_4+0 x_5+0 x_6$
द्वितीय चरण:सारणी I

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & \frac{45}{7} & 0 & 0 & -\frac{19}{7} & 1 & \frac{1}{14} & \frac{5}{14} \\ 2 & \alpha_1 & x_1 & \frac{5}{7} & 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 & -\frac{3}{14} & -\frac{1}{14} \\ -1 & \alpha_2 & x_2 & \frac{6}{7} & 0 & 1 & -\frac{3}{7} & 0 & \frac{\fbox{1}}{\fbox{7}} & -\frac{2}{7} \\ \hline & & & Z^{*}_{j}-C_{j}\rightarrow & 0 & 0 & -\frac{2}{7} & 0 & -\frac{4}{7} & \frac{1}{7} \\ \hline & & & & & \downarrow & & & \uparrow & \end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_j-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।पुनः $Z_5-C_5=-\frac{4}{7}$ निम्नतम है जो पाँचवें स्तम्भ में है,अतः $\alpha_5$ नये आधार के लिए प्रवेशी सदिश होगा तथा
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i5}}, y_{i5}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{48}{7}}{\frac{1}{14}}, \frac{\frac{6}{7}}{\frac{1}{7}}\right\} \\ =\frac{\frac{6}{7}}{\frac{1}{7}}=\frac{x_{B3}}{y_{35}} \\ \therefore y_{35}$ अर्थात् $\frac{1}{7}$ मुख्य अवयव (key element) है तथा $\alpha_2$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
तृतीय पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय चरण की प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु प्रथम सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव $\frac{1}{7}$ का भाग देने पर तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{\frac{6}{7}}{\frac{1}{7}}=6, \frac{0}{\frac{1}{7}}=0, \frac{1}{\frac{1}{7}}=7, \frac{-\frac{3}{7}}{\frac{1}{7}}=-3, \frac{0}{\frac{1}{7}}=0 , \frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}}=1, \frac{-\frac{2}{7}}{\frac{1}{7}}=-2$
प्रथम पंक्ति:द्वितीय चरण की द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $\frac{1}{14}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{45}{7}-6 \times \frac{1}{14}=6,0-0 \times \frac{1}{14}=0,0-7 \times \frac{1}{14}=-\frac{1}{2}, \frac{19}{7}-(-3) \times \frac{1}{14}=\frac{5}{2}, 1-0 \times \frac{1}{14}=1, \frac{1}{14}-1 \times \frac{1}{14}=0 , \frac{5}{14}-(-2) \times \frac{1}{14}=\frac{1}{2}$
द्वितीय पंक्ति:द्वितीय चरण की द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति को तैयार करने के लिए प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{3}{14}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{5}{7}-6 \times\left(-\frac{3}{14}\right)=2,1-0\left(-\frac{3}{14}\right)=1,0-7 \left(-\frac{3}{14}\right)=-\frac{3}{2}, \frac{1}{7}-(-3)\left(-\frac{3}{14}\right)=-\frac{1}{2}, 0-0 \times\left(-\frac{3}{14}\right)=0, -\frac{3}{14}-1 \times\left(-\frac{3}{14}\right)=0,-\frac{1}{14}-(-2)\left(-\frac{3}{14}\right)=-\frac{1}{2}$
द्वितीय चरण:सारणी II

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_4 & x_4 & 6 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 1 & 0 & \frac{\fbox{1}}{\fbox{2}} \\ 2 & \alpha_1 & x_1 & 2 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \alpha_5 & x_5 & 6 & 0 & 7 & -3 & 0 & 1 & -2 \\ \hline & & & Z^{*}_{j}-C_{j}\rightarrow & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \hline & & & & & & & \downarrow & & \uparrow\end{array}$
उपर्युक्त सारणी में $Z_j-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।पुनः $Z_6-C_6=-1$ निम्नतम है जो षष्ठम स्तम्भ में है,अतः नये आधार के लिए $\alpha_6$ प्रवेशी सदिश होगा तथा
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i6}}, y_{i6}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{6}{\frac{1}{2}}\right\} =\frac{x_{B1}}{y_{16}}$
$\therefore y_{16}$ अतः अर्थात् $\frac{1}{2}$ मुख्य अवयव (key element) है तथा $\alpha_4$ अपगामी सदिश (departing vector) होगा।अब नवीन सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम पंक्ति (मुख्य अवयव वाली पंक्ति) (working rule):
द्वितीय चरण की द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः इसे तैयार करने हेतु द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के प्रत्येक अवयव में मुख्य अवयव $\frac{1}{2}$ का भाग देने पर तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{6}{\frac{1}{2}}=12, \frac{0}{2}=0, \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1,\frac{-\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=-5,\frac{1}{\frac{1}{2}}=2, \frac{0}{\frac{1}{2}}=0, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$
द्वितीय पंक्ति:द्वितीय चरण की तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत अवयव $-\frac{1}{2}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$2-12 \times \left(-\frac{1}{2}\right) =8,1-0 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=1 , \frac{3}{2}-(-1)\left(-\frac{1}{2}\right)=1,-\frac{1}{2}-(-5) \left(-\frac{1}{2}\right)=-3 , 0-2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=1,0-0 \times \left(-\frac{1}{2}\right) =0,-\frac{1}{2}-1 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=0$
तृतीय पंक्ति:द्वितीय चरण की तृतीय सारणी की तृतीय पंक्ति को तैयार करने के लिए द्वितीय सारणी की तृतीय पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयव को मुख्य अवयव के संगत अवयव -2 से गुणा करके घटा देंगे:
$6-12\times-2=30,0-0\times-2=0,7-(-1)\times(-2)=5,3-(-5)\times(-2)=-13,0-2\times-2=4,1-0\times-2=1,-2-1\times-2=0$
द्वितीय चरण:सारणी III

$\begin{array}{|ccc|c|cccccc|} \hline & & & C_{i} \rightarrow & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline C_{B} & B & X_B & b & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5 & y_6 \\ \hline 0 & \alpha_6 & x_6 & 12 & 0 & -1 & -5 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & \alpha_1 & x_1 & 8 & 1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_5 & x_5 & 30 & 0 & 5 & -13 & 4 & 1 & 0 \\ \hline & & & Z^{*}_{j}-C_{j} \rightarrow & 0 & 3 & -7 & 2 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$
इस सारणी में $\alpha_3$ ऐसा सदिश है जो आधार में नहीं है तथा $Z_3-C_3 <0$ है एवं $y_3$ के सभी अवयव ऋणात्मक हैं,अतः समस्या का हल अपरिबद्ध (unbounded) है।
उपर्युक्त उदाहरण द्वारा सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method) को समझ सकते हैं।

How to Solve LPP by Simplex Method?

Also Read This Article:- Write Dual of LPP and Solve It

4.सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अपगामी सदिश की परिभाषा दीजिए। (Define Departing Vector):

उत्तर:सूत्र $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i k}}, y_{ik}>0\right\}$
द्वारा मान ज्ञात किया जाता है,जो सदिश b तथा $y_k$ (प्रवेशी सदिश) सदिश के संगत धनात्मक घटकों का निम्नतम अनुपात है।यदि यह अनुपात i=r के लिए निम्नतम हो तो rवीं पंक्ति में स्थित B का सदिश $B_{r}$ अपगामी सदिश होगा।सारणी में $y_{r}$ के नीचे $\downarrow$ चिन्ह लगा देते हैं जो अपगामी सदिश को इंगित करता है।

प्रश्न:2.मुख्य अवयव की परिभाषा दीजिए। (Define Key Element):

उत्तर:उपर्युक्त प्रश्न में पता लगाने के बाद $y_{rk}$ को $*$ द्वारा चिन्हित कर देते हैं या $\fbox{ }$ में बन्द कर देते हैं क्योंकि यह अगले आधारी हल के निर्धारण हेतु मुख्य अवयव (key element) होता है।

प्रश्न:3.मुख्य अवयव वाली पंक्ति कैसे तैयार करते हैं? (How to Prepare a Row with Key Element?):

उत्तर:मुख्य अवयव वाली पंक्ति:नवीन सारणी के लिए मुख्य पंक्ति अर्थात् rवीं पंक्ति का मान पूर्व सारणी की rवीं पंक्ति के प्रत्येक अवयव को मुख्य अवयव $y_{rk}$ का भाग देकर प्राप्त किया जाता है।[इस पंक्ति में $C_{B}$ ,B तथा $X_{B}$ स्तम्भों को सम्मिलित नहीं करते ;क्योंकि उसका निर्धारण पहले कर लिया गया है]
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Simplex Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल कीजिए (Solve LPP by Two Phase Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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How to Solve LPP by Simplex Method?

सिम्पलेक्स विधि द्वारा रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं
को कैसे हल करें? (How to Solve LPP by
Simplex Method?)

How to Solve LPP by Simplex Method?

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.