1.नियतन समस्याएँ कैसे हल करें? (How to Solve Assignment Problems?),नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems):

How to Solve Assignment Problems?

नियतन समस्याएँ कैसे हल करें? (How to Solve Assignment Problems?) के इस आर्टिकल में कुछ विशेष प्रकार की समस्याओं पर आधारित सवालों को हल करेंगे जिन्हें नियतन या अधिन्यासन समस्यायें कहते हैं।
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2.नियतन समस्याएँ कैसे हल करें,पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on How to Solve Assignment Problems?):

Illustration:9.चार मशीनों को 5 कार्य निर्दिष्ट करने हैं जिनकी लागत मैट्रिक्स निम्न है,न्यूनतम लागत नियतन कीजिए:
(Five jobs are to be assigned 4 jobs to 4 machines,subject to the cost matrix as shown below.Make a minimum cost assignment.)

Solution:पद (step):I.समस्या को सन्तुलित करने पर:
सारणी 1

पद (step):II.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर उपर्युक्त मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
पद (step):III.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):IV.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ दूसरी व चौथी पंक्तियाँ ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला और चौथा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भों की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्तियों की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{l|lllll|} & A & B & C & D & \text{Dummy} \\ \hline I & 7 & 5 & 3 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ II & 4 & 4 & 4 & 4 & \fbox{0} \\ III & 3 & 1 & 1 & 2 & \xcancel{0} \\ IV & 2 & \fbox{0} & 2 & 7 & \xcancel{0} \\ V & \fbox{0} & 6 & \xcancel{0} & 7 & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):V.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या  में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|ccccc|c} & & & & & (2)\\ & A & B & C & D & \text{Dummy} & \\ \hline I & 7 \cdots & 5 \cdots & 3 \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} & \\ & & & & & \vdots & \\ II & 4 & 4 & 4 & 4 & \fbox{0} & (3)\\ & & & & & \vdots & \\ III & 3 & 1 & 1 & 2 & \xcancel{0} & (1) \\ & & & & & \vdots & \\ IV & 2 \cdots & \fbox{0} \cdots & 2 \cdots & 7 \cdots & \xcancel{0} \\ & & & & & \vdots & \\ V & \fbox{0} \cdots & 6 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 7 \cdots & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 3 को चिन्हित (\checkmark) कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 3 के 5वें स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 5 को चिन्हित (\checkmark) कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ (\checkmark) स्तम्भ 5 की पंक्ति 2 में वर्ग (\square)  अंकित है,को चिन्हित (\checkmark) कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ 5 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 1,4,5 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 5×5 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप IV के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{c|ccccc|} & A & B & C & D & \text{Dummy} \\ \hline I & 7 & 5 & 3 & \fbox{0} & 1 \\ II & 3 & 3 & 3 & 3 & \fbox{0} \\ III & 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 1 & \xcancel{0} \\ IV & 2 & \fbox{0} & 2 & 7 & 1 \\ V & \fbox{0} & 6 & \xcancel{0} & 7 & 1 \\ \hline \end{array}
सारणी 5 में प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:

I \rightarrow D, II \rightarrow Dummy , III \rightarrow C,IV \rightarrow B, V \rightarrow A
न्यूनतम लागत (Min. Cost):2+0+4+2+2=10

How to Solve Assignment Problems?

Illustration:10.छ: विभिन्न कार्यों को सम्पन्न करने हेतु 6 व्यक्ति उपलब्ध है।विगत रिकार्ड द्वारा विभिन्न व्यक्तियों द्वारा कार्यों हेतु लिया गया समय (घण्टों में) निम्नानुसार है।विभिन्न व्यक्तियों को विभिन्न कार्य किस प्रकार निर्दिष्ट किये जाये कि कुल समय न्यूनतम हो।
(Six men are available for six different persons for different jobs are given below. Find out an allocation of men to different jobs which will lead to minimum operating time.)
व्यक्ति (Man) कार्य (Jobs)
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ दूसरी पंक्ति ऐसी है।इस पंक्ति के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा पहला,दूसरा और चौथा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भों की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्यों को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & \fbox{0} & 7 & \xcancel{0} & 4 & 1 & \xcancel{0} \\ 2 & 4 & 6 & 5 & 3 & 6 & \fbox{0} \\ 3 & 2 & 4 & 3 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \xcancel{0} \\ 4 & 2 & \fbox{0} & 5 & \xcancel{0} & 2 & \xcancel{0} \\ 5 & 3 & 1 & 7 & 2 & 4 & \xcancel{0} \\ 6 & 7 & 6 & 10 & 10 & 1 & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccccc|c} & & & & & & (3)\\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline 1 & \fbox{0} \cdots & 7 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 4 \cdots & 1 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & & & & & \vdots & \\ 2 & 4 & 6 & 5 & 3 & 6 & \fbox{0} & (4) \\ & & & & & & \vdots & \\ 3 & 2 \cdots & 4 \cdots & 3 \cdots & \fbox{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & & & & & \vdots & \\ 4 & 2 \cdots & \fbox{0} \cdots & 5 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 2 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & & & & & \vdots & \\ 5 & 3 & 1 & 7 & 2 & 4 & \xcancel{0} & (1) \\ & & & & & & \vdots & \\ 6 &7 & 6 & 10 & 10 & 1 & \xcancel{0} & (2)\\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 5,6 को चिन्हित (\checkmark) कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 5 के 6ठे स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 6 को चिन्हित कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ (\checkmark) 6 की पंक्ति 2 में वर्ग (\square)अंकित है,को चिन्हित (\checkmark) कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ 6 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 1,3,4 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है परन्तु रेखाओं की संख्या 4 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VI.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & \fbox{0} & 7 & \xcancel{0} & 4 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 2 & 5 & \fbox{0} \\ 3 & 2 & 4 & 3 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 1 \\ 4 & 2 & \xcancel{0} & 5 & \xcancel{0} & 2 & 1 \\ 5 & 2 & \fbox{0} & 6 & 1 & 3 & \xcancel{0} \\ 6 & 6 & 5 & 9 & 9 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):VII.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं।
सारणी 6

\begin{array}{c|cccccc|c} & & & & (3) & (6) & (7)\\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline 1 & \fbox{0} \cdots & 7 \cdots & \xcancel{0} \cdots & 4 \cdots & 1 \cdots & \xcancel{0} \cdots & \\ & & & & & & \vdots & \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 2 & 5 & \fbox{0} & (9) \\ & & & & & & \vdots & \\ 3 & 2 & 4 & 3 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 1 \cdots & (5) \\ & & & & & & \vdots & \\ 4 & 2 & \xcancel{0} & 5 & \xcancel{0} & 2 & 1 & (1) \\ & & & & & & \vdots & \\ 5 & 2 & \fbox{0} & 6 & 1 & 3 & \xcancel{0} & (4) \\ & & & & & & \vdots & \\ 6 & 6 & 5 & 9 & 9 & \fbox{0} & \xcancel{0} & (8)\\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है परन्तु रेखाओं की संख्या 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता
पद (step):VIII.अब उन सभी अवयवों को जो रेखाओं से ढके नहीं हैं,का न्यूनतम अवयव 2 है।इस अवयव (अर्थात् 2) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 7 प्राप्त होती है।
अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए:
सारणी 7

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & \xcancel{0} & 9 & \fbox{0} & 6 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 2 & 5 & \fbox{0} \\ 3 & 0 & 4 & 1 & 0 & \xcancel{0} & 1 \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & 4 & 1 & 3 & \xcancel{0} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 9 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):IX.अब पुनः समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए स्टेप IV के अनुसार हंगेरियन विधि से रेखाएँ खींचते हैं:
सारणी 8

\begin{array}{c|cccccc|c} & (4) & (6) & & (5) & & (7)\\ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \\ \hline 1 & \xcancel{0} \cdots & 9 \cdots & \fbox{0} \cdots & 6 \cdots & 2 \cdots & 2 \cdots & \\ & & & & & & \vdots & \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 2 & 5 & \fbox{0} & (8) \\ & & & & & & \vdots & \\ 3 & 0 & 4 & 1 & 0 & \xcancel{0} & 1 & (1) \\ & & & & & & \vdots & \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 1 & (2) \\ & & & & & & \vdots & \\ 5 & 0 & 0 & 4 & 1 & 3 & \xcancel{0} & (3) \\ & & & & & & \vdots & \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 9 & \fbox{0} & \xcancel{0} & \\ \hline \end{array}
अब कोई भी ऐसा शून्य नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है तथा रेखाओं की संख्या भी 6 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त होता है।फलतः सारणी 8 का शून्य निर्दिष्टीकरण trial and error विधि से निम्न दो प्रकार से कर सकते हैं:
सारणी 9

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & \xcancel{0} & 9 & \fbox{0} & 6 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 2 & 5 & \fbox{0} \\ 3 & \xcancel{0} & 4 & 1 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 1 \\ 4 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 3 & \xcancel{0} & 2 & 1 \\ 5 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 4 & 1 & 3 & \xcancel{0} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 9 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
सारणी 10

\begin{array}{c|cccccc|} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & \xcancel{0} & 9 & \fbox{0} & 6 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 2 & 2 & 5 & \fbox{0} \\ 3 & \xcancel{0} & 4 & 1 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 1 \\ 4 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 0 & \xcancel{0} & 2 & 1 \\ 5 & \fbox{0} & \xcancel{0} & 4 & 1 & 3 & \xcancel{0} \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 9 & \fbox{0} & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
अतः सारणी 9 व 10 से निम्न इष्टतम हल प्राप्त होता है:
(i) 1 \rightarrow 3 , 2 \rightarrow 6,3 \rightarrow 4,4 \rightarrow 1,5 \rightarrow 2,6 \rightarrow 5
तथा (ii) 1 \rightarrow 3,2 \rightarrow 6,3 \rightarrow 4,4 \rightarrow 2,5 \rightarrow 1,6 \rightarrow 5
न्यूनतम समय (Min. Time)=(i).2+1+3+4+3+9=22
(ii)2+1+3+2+5+9=22
Illustration:11.एक राष्ट्रीय ट्रक किराया सर्विस के पास शहर 1,2,3,4,5,6 में एक-एक ट्रक अधिक है जबकि 7,8,9,10,11 तथा 12 में एक-एक ट्रक की कमी है।ट्रकों के अधिक तथा कमी वाले शहरों के मध्य दूरियाँ (किमी में) निम्न सारणी में दर्शाई गई हैं।ट्रकों को किस प्रकार मार्ग आवंटित किए जाए कि कुल चलित दूरी न्यूनतम होः
(A national truck-rental service has a surplus of one truck in each of the cities 1,2,3,4,5 and 6 and a deficit of one truck in each of the cities 7,8,9,10,11 and 12.The distances (in kms.) between the cities with a surplus and the cities with a deficit are displayed below. How should the trucks be displayed so as to minimise the total distance traveled?)

Solution:पद (step):I.प्रत्येक पंक्ति के न्यूनतम अवयव को उसी पंक्ति के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर पंक्ति समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 1

\begin{array}{c|cccccc|} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 1 & 16 & 47 & 14 & 27 & 0 & 26 \\ 2 & 0 & 7 & 27 & 43 & 59 & 28 \\ 3 & 0 & 12 & 33 & 24 & 5 & 5 \\ 4 & 8 & 13 & 11 & 15 & 0 & 6 \\ 5 & 3 & 14 & 13 & 0 & 4 & 7 \\ 6 & 52 & 10 & 10 & 30 & 21 & 0 \\ \hline \end{array}
पद (step):II.सारणी के प्रत्येक स्तम्भ के न्यूनतम अवयव को उसी स्तम्भ के प्रत्येक अवयव में से घटाने पर स्तम्भ समानयन निम्न मैट्रिक्स प्राप्त होती है:
सारणी 2

\begin{array}{c|cccccc|} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 1 & 16 & 40 & 4 & 27 & 0 & 26 \\ 2 & 0 & 0 & 17 & 43 & 59 & 28 \\ 3 & 0 & 5 & 23 & 24 & 5 & 5 \\ 4 & 8 & 6 & 1 & 15 & 0 & 6 \\ 5 & 3 & 7 & 3 & 0 & 4 & 7 \\ 6 & 52 & 3 & 0 & 30 & 21 & 0 \\ \hline \end{array}
पद (step):III.शून्य नियतन (निर्दिष्टीकरण) प्रथम पंक्ति से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन पंक्तियों को चुनते हैं जिनमें एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ पहली,तीसरी व पाँचवीं पंक्तियाँ ऐसी है।इन पंक्तियों के शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं तथा इस शून्य से होकर जाने वाले स्तम्भ की अन्य सभी शून्यों को काट (×) देते हैं।पुनः प्रथम स्तम्भ से अवलोकन प्रारम्भ करते हुए उन स्तम्भों को चुनते हैं जिनमें अचिन्हित एक और केवल एक शून्य हो।यहाँ ऐसा दूसरा और तीसरा स्तम्भ हैं।इन स्तम्भों की शून्य को वर्ग (\square) से अंकित करते हैं और इस शून्य से होकर जानेवाली पंक्ति की अन्य शून्य को काट (×) देते हैं।इस प्रकार सारणी 3 में यह नियतन निम्नानुसार है:
सारणी 3

\begin{array}{c|cccccc|} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 1 &16 & 40 & 4 & 27 & \fbox{0} & 26 \\ 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 17 & 43 & 59 & 28 \\ 3 & \fbox{0} & 5 & 23 & 24 & 5 & 5 \\ 4 & 8 & 6 & 1 & 15 & \xcancel{0} & 6 \\ 5 & 3 & 7 & 3 & \fbox{0} & 4 & 7 \\ 6 & 52 & 3 & \fbox{0} & 30 & 21 & \xcancel{0} \\ \hline \end{array}
पद (step):IV.अब समस्त शून्यों को कम से कम एक बार रेखाओं से ढकने के लिए न्यूनतम संख्या में रेखाएँ खींचते हैं जिसकी विधि निम्न प्रकार है:
सारणी 4

\begin{array}{c|cccccc|c} & & & & & (2) & \\ & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \\ \hline 1 &16 & 40 & 4 & 27 & \fbox{0} & 26 & (3)\\ & & & & & \vdots & & \\ 2 & \xcancel{0} \cdots & \fbox{0} \cdots & 17 \cdots & 43 \cdots & 59 \cdots & 28 \cdots & \\ & & & & & \vdots & & \\ 3 & \fbox{0} \cdots & 5 \cdots & 23 \cdots & 24 \cdots & 5 \cdots & 5 & \\ & & & & & \vdots & & \\ 4 & 8 & 6 & 1 & 15 & \xcancel{0} & 6 & (1) \\ & & & & & \vdots & & \\ 5 & 3 \cdots & 7 \cdots & 3 \cdots & \fbox{0} \cdots & 4 \cdots & 7 & \\ & & & & & \vdots & & \\ 6 & 52 \cdots & 3 \cdots & \fbox{0} \cdots & 30 \cdots & 21 \cdots & \xcancel{0} & \\ \hline \end{array}
(i)सारणी 3 को पुनः बनाइये।
(ii)पंक्ति 4 को चिन्हित (\checkmark) कीजिए क्योंकि इसमें नियतन नहीं है।
(iii)पंक्ति 4 के 5वें स्तम्भ में शून्य हैं इसलिए स्तम्भ 5 को चिन्हित (\checkmark) कीजिए।
(iv)चिन्हित स्तम्भ 5 की पंक्ति 1 में वर्ग (\square) अंकित है,को चिन्हित (\checkmark) कीजिए।
पद (step):V.अब हम सभी चिन्हित स्तम्भ 5 से रेखा खींचते हैं।फिर अचिन्हित पंक्ति 2,3,5,6 जिनमें शून्य है परन्तु उनसे कोई रेखा नहीं गुजरती पर रेखा खींचते हैं।अब क्योंकि कोई ऐसी शून्य शेष नहीं है जिस पर रेखा नहीं गुजरती।
मैट्रिक्स का क्रम 6×6 है परन्तु रेखाओं की संख्या 5 है इसलिए इससे इष्टतम हल प्राप्त नहीं हो सकता।
पद (step):VII.अब उन सभी अवयवों जो रेखाओं से ढके नहीं है का न्यूनतम अवयव 1 है।इस अवयव (अर्थात् 1) को उन सभी बिना ढके अवयवों में से घटाने तथा रेखाओं के प्रतिच्छेदन वाले अवयव में जोड़ने पर सारणी 5 प्राप्त होती है।अब स्टेप III के अनुसार शून्य निर्दिष्टीकरण कीजिए।
सारणी 5

\begin{array}{c|cccccc|} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 1 & 15 & 39 & 3 & 26 & \fbox{0} & 25 \\ 2 & \xcancel{0} & \fbox{0} & 17 & 43 & 60 & 28 \\ 3 & \fbox{0} & 5 & 23 & 24 & 6 & 5 \\ 4 & 7 & 5 & \fbox{0} & 14 & 8 & 6 \\ 5 & 3 & 7 & 3 & \fbox{0} & 5 & 7 \\ 6 &52 & 3 & \xcancel{0} & 30 & 22 & \fbox{0} \\ \hline \end{array}
सारणी 5 में प्रत्येक पंक्ति तथा प्रत्येक स्तम्भ में नियतन है।अर्थात् पूर्ण शून्य निर्दिष्टीकरण निम्न अनुसार प्राप्त होता है:

1 \rightarrow 11 , 2 \rightarrow 8,3 \rightarrow 7,4 \rightarrow 9,5 \rightarrow 10,6 \rightarrow 12
प्रमेय के अनुसार यह नियतन मूल मैट्रिक्स का इष्टतम हल होगा।अतः समस्या का इष्टतम हल निम्न प्रकार है:
\begin{array}{ll} \text{ इष्टतम नियतन } & \text{ न्यूनतम दूरी } \\ 1 \rightarrow 11 & 15 \\ 2 \rightarrow 8 & 19 \\ 3 \rightarrow 7 & 17 \\ 4 \rightarrow 9 & 38 \\ 5 \rightarrow 10 & 16 \\ 6 \rightarrow 12 & 20 \\ \hline \text { Total } & 125 \text{km} \end{array}
न्यूनतम चलित दूरी=125  km
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा नियतन समस्याएँ कैसे हल करें? (How to Solve Assignment Problems?),नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems) को समझ सकते हैं।

How to Solve Assignment Problems?

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3.नियतन समस्याएँ कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Solve Assignment Problems?),नियतन (अधिन्यासन) समस्याएँ (Assignment Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

नियतन समस्याएँ कैसे हल करें? (How to Solve Assignment Problems?) के इस
आर्टिकल में कुछ विशेष प्रकार की समस्याओं पर आधारित सवालों को हल करेंगे जिन्हें
नियतन या अधिन्यासन समस्यायें कहते हैं।