1.अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median):

How to Find Missing Frequencies?

अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?)किसी आवृत्ति श्रेणी में यदि मध्यका और बहुलक के मान दिए हों और कुछ आवृत्तियाँ अज्ञात हों तो M और Z के सूत्रों का प्रयोग करके ज्ञात आवृत्तियों की सहायता से अज्ञात आवृत्तियाँ ज्ञात की जा सकती है।
(2.)अज्ञात मूल्य अथवा अज्ञात आवृत्तियों का निर्धारण (Location of Missing Size of Frequency):समान्तर माध्य का एक महत्त्वपूर्ण गुण यह है कि यदि \bar{X},N और \sum X में से कोई दो मान ज्ञात हैं तो बाकी तीसरा मान ज्ञात किया जा सकता है अर्थात्

\bar{X}=\frac{\sum X}{N} or \frac{\sum f X}{N}, \sum X or \sum f X=\bar{X} \times N, N=\frac{\sum X}{\bar{X}} or \frac{\sum f X}{\bar{X}}
इन सूत्रों के आधार पर किसी समूह में अज्ञात मूल्य या अज्ञात आवृत्ति का निर्धारण किया जा सकता है।अज्ञात मूल्य को ‘X’,अज्ञात आवृत्ति को ‘f’ मानकर तथा प्रत्यक्ष सूत्र का प्रयोग करके एक सरल समीकरण उपलब्ध कर लिया जाता है जिसके आधार पर ‘X’ या ‘f’ का मान निश्चित किया जाता है।
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2.अज्ञात आवृत्तियों का निर्धारण के उदाहरण (Determination of Missing Frequencies Examples):

Example:1.निम्न श्रेणी में अज्ञात मूल्य का मान ज्ञात कीजिए यदि औसत मजदूरी 68.25 रु. है।
(Find out the missing value in the following series if average wage is Rs. 68.25.)

Solution:

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f X}{\sum f} \\ \Rightarrow 68.25=\frac{6075+10 x}{100} \\ \Rightarrow 68.25 \times 100=6075+10 x \\ \Rightarrow 6825=6075+10 x \\ \Rightarrow 10 x=6825-6075 \\ \Rightarrow 10 x=750 \\ \Rightarrow x=\frac{750}{10} \\ \Rightarrow x=75
Example:2.निम्नलिखित आंकड़ों से अज्ञात आवृत्ति की परिगणना कीजिये यदि मध्यका 50 हो।
(From the following data find out the missing frequency if the median 50.):

Solution:

मध्यका (Median) M=50,मध्यका वर्ग (Median Class) 50-60

l=50, i=60-50=10, f=15, c=16+x \\ \frac{N}{2}=\frac{41+x}{2} \\ M=l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right) \\ 50=50+\frac{10}{15}\left[\frac{4+x}{2}-(16+x)\right] \\50-50=\frac{10}{15}\left(\frac{41+x-32-2 x}{2}\right) \\ 0 \times \frac{15}{10}=\frac{9-x}{2} \\ \Rightarrow 9-x=0 \Rightarrow x=9
Example:3.यदि निम्न समंकों का समान्तर माध्य \bar{X}=115.6 हो तो अज्ञात पद ज्ञात कीजिए:
(If the mean, \bar{X}=115.6 for this series then find out the value of the blank place):

Solution:

68+x+y=100 \\ \Rightarrow x+y=100-68\\ \Rightarrow x+y=32 \cdots(1)
समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum f X}{\sum f}\\ 115.6=\frac{7927+112 x+117 y}{100}\\ \Rightarrow 115.6 \times 100=7927+112x+117 y \\ \Rightarrow 11560-7927=112 x+117 y\\ \Rightarrow 112 x+117 y=3633 \cdots(2)
समीकरण (1) को 117 से गुणा करने पर:
117 x+117 y=3744 \cdots(3)\\ \begin{array}{cc}117 x+117 y=3744 \ldots(3) \\ 112 x+117 y=3633 \ldots(2) \\ -\quad- \quad- \text { घटाने पर } \\ \hline \Rightarrow 5 x=111 \end{array} \\ \Rightarrow x=\frac{111}{5} \\ \Rightarrow x=22.2 \Rightarrow x \approx 22
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:

22+y=32 \\ \Rightarrow y=32-22 \\ y=10
अज्ञात आवृत्ति (Missing Frequency) 22 तथा 10
Example:4.अज्ञात आवृत्तियाँ ज्ञात कीजिए यदि मध्यका 50रु. तथा परिवारों की संख्या (N)=100 है:
(Find out the missing frequencies, if median is Rs. 50 and total number of families are 100):

Solution:

मध्यका (M)=50,अतः मध्यका वर्ग 40-60,l=40, i=60-40=20,f=24 \\ \frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50, c=14+x \\ M=l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right) \\ 50=40+\frac{20}{24}(50-14-x) \\ 50-40=\frac{5}{6}(36-x) \\ 10 \times \frac{6}{5}=36-x \\ 12=36-x \Rightarrow x=36-12 \\ \Rightarrow x=24 \\ 54+x+y=100 \Rightarrow x+y=100-54\\ \Rightarrow 24+y=46 \\ \Rightarrow y=46-24\\ \Rightarrow y=22, x=24
अतः अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies) 24 तथा 22 है।

How to Find Missing Frequencies?

Example:5.एक अपूर्ण वितरण निम्न प्रकार दिया गया है:
(An incomplete distribution is given as follows)

(i)आपको यह ज्ञात करना है कि यदि मध्यका मूल्य 413.11 है तो अज्ञात आवृत्तियों की गणना कीजिए।
(If you are given that the median is 413.11 then find out missing frequencies.)
(ii)पूर्ण की गई सारणी से बहुलक ज्ञात कीजिए।
(Calculate Mode of the completed table.)
Solution:- Assume the missing frequencies of the class 375-400 be x and class 425-450 be y.

(i) 525+x+y=1000 \\ x+y=1000-525 \\ \Rightarrow x+y=475 \cdots(1)
मध्यका (M)=413.11,अतः मध्यका वर्ग 400-425

x=400, i=425-400=25, f=326\\ \frac{N}{2}=\frac{1000}{2}=500, c=102+x \\ M=l+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right)\\ 413.11=400+\frac{25}{326}(500-102-x)\\ 413.11-400=\frac{25}{326}(398-x)\\ 13.11 \times \frac{326}{25}=398-x\\ \Rightarrow 170.9544=398-x \\ \Rightarrow x=398-170.9544\\ \Rightarrow x=227.0456 \\ \Rightarrow x \approx 227
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
227+y=475
y=248
अतः x=227 (375-400) तथा y=248 (425-450)
(ii)सबसे अधिक बारम्बारता वर्ग 400-425 की 326 है।अतः बहुलक वर्ग 400-425, \quad f_{0}=227, \quad f_{1}=326, f_{2}=248, l=400, i=425-400=25
बहुलक Z=l+\frac{f_{1}-f o}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i \\ =400+\frac{326-227}{2 \times 326-227-248} \times 25 \\ =400+\frac{95}{652-475} \times 25 \\ =400+ \frac{2475}{177} \\ =400+13.98 \\ \Rightarrow Z=413.98
Example:6.निम्नलिखित अपूर्ण आवृत्ति बंटन में अज्ञात आवृत्तियों का मान ज्ञात कीजिए यदि मध्यका 27 तथा बहुलक 26 हो:
(Find out the missing frequencies in the following incomplete frequency distribution if median is 27 and mode 26):

Solution: Calculation of Missing Frequency

मध्यका (M) 27 है अतः मध्यका वर्ग 20-30 है।

l=20, i=30-20=10, f=20, c=3+x \\ \frac{N}{2} =\frac{35+x+y}{2} \\ M=\ell+\frac{i}{f}\left(\frac{N}{2}-c\right)\\ 27=20+\frac{10}{20}\left(\frac{35+x+y}{2}-3-x\right)\\ \Rightarrow 27-20=\frac{1}{2}\left(\frac{35+x+y-6-2 x}{2}\right)\\ \Rightarrow 7 \times 4=29+y-x\\ \Rightarrow 28=29+y-x\\ \Rightarrow x-y=29-28\\ \Rightarrow x-y=1 \quad \cdots(1)
बहुलक (Z) 26 है अतः बहुलक वर्ग 20-30 है।

l=20, i=30-20=10 ,f_{0}=x, f_{1}=20, f_{2}=12 \\ Z=l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}} \times i\\ 26=20+\frac{20-x}{2 \times 20-x-12} \times 10\\ \Rightarrow 26-20=\frac{(20-x) 10}{40-x-12}\\ \Rightarrow 6=\frac{(20-x) 10}{28-x}\\ \Rightarrow 168-6 x=200-10 x\\ \Rightarrow-6 x+10x=200-168\\ \Rightarrow 4 x=32\\ \Rightarrow x= \frac{32}{4} \\ \Rightarrow x=8
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
8-y=1\\ \Rightarrow -y=1-8\\ \Rightarrow-y=-7\\ \Rightarrow y=7\\ N=35+x+y\\ =35+8+7\\ \Rightarrow N=50
N=50,अज्ञात आवृत्तियाँ 8 (वर्ग 10-20) तथा 7 (वर्ग 40-50)
Example:7.निम्न बंटन से अज्ञात आवृत्ति ज्ञात कीजिए:
(Find the missing frequency in the following series):

समान्तर माध्य 27 है।
(The arithmetic mean is 27)
Solution:माना वर्ग 10-20 की अज्ञात आवृत्ति x है।
Calculation of Missing Frequency

समान्तर माध्य (\bar{X})=\frac{\sum fX}{\sum f} \\ 27=\frac{1230+15 x}{42+x} \\ \Rightarrow 27(42+x)=1230+15 x \\ \Rightarrow 1134+27 x=1230+15 x \\ \Rightarrow 27 x-15 x=1230-1134 \\ \Rightarrow 12 x=96 \\ \Rightarrow x=\frac{96}{12}=8
Example:8.एक थोड़े असममित बंटन में समान्तर माध्य 24.6 और भूयिष्ठक 26.1 है।मध्यका ज्ञात कीजिए।
(In a moderately distribution, arithmetic mean is 24.6 and mode is 26.1.Find the values of the median.)
Solution: \bar{X}=24.6, Z=26.1\\ M=?\\ 3 M=2 \bar{X}+Z\\ 3 M=2(24.6)+26 \cdot 1\\ M=\frac{49.2+26.1}{3}\\ M=\frac{753}{3}=25.1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median) को समझ सकते हैं।

3.अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें के सवाल (How to Find Missing Frequencies? Questions):

(1.)निम्न बंटन से अज्ञात आवृत्ति ज्ञात कीजिए यदि N=100 और मध्यका 30 है।
(Find the missing frequency in the following distribution,if N is 100 and median is 30.)

(2.)निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के बहुलक एवं मध्यका क्रमशः 25.55 तथा 25 है।अज्ञात आवृत्तियों को ज्ञात कीजिए:
(Mode and median of the frequency distribution are 25.55 and 25 respectively.Find out the missing frequencies):

उत्तर (Answers):(1.)34 (35-40 class),45 (50-60 class)
(2.)प्रथम अज्ञात आवृत्ति 10 तथा द्वितीय अज्ञात आवृत्ति 12 है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?),मध्यका में अज्ञात आवृत्तियाँ (Missing Frequencies in Median) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

How to Find Missing Frequencies?

(1.)समान्तर माध्य ज्ञात करने हेतु न तो श्रेणी के मूल्यों को एडजस्ट करने की आवश्यकता है और न ही वर्गान्तर समान करना होता है।समावेशी श्रेणी (Inclusive Series) को अपवर्जी श्रेणी (Exclusive Series) में परिवर्तन भी नहीं करना चाहिए।यदि संचयी आवृत्ति दी हो तो सर्वप्रथम साधारण आवृत्तियाँ ज्ञात कर लेना चाहिए।
(2.)मध्यका (Median) की गणना करना:(i)अवर्गीकृत या व्यक्तिगत अथवा सतत चर श्रेणी में मूल्यों को आरोही (अथवा अवरोही) क्रम में रखना आवश्यक होता है।खण्डित श्रेणी प्राय:आरोही या अवरोही क्रम में दी हुई होती है।यदि नहीं है तो उसे भी रख लेना चाहिए।
(ii)खण्डित चर में संचयी आवृत्तियाँ ‘से कम’ ज्ञात करना चाहिए।
(iii)मध्यका हेतु यह आवश्यक नहीं है कि विभिन्न वर्गों के वर्गान्तर समान हों।
(iv)समावेशी श्रेणी को अपवर्जी श्रेणी में परिवर्तन करना आवश्यक होता है।इसी प्रकार विभाजन मूल्यों (यथा चतुर्थक, दशमक,दशमक आदि) आदि का निर्धारण करेंगे।

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5.अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अज्ञात आवृत्तियों को कैसे ज्ञात करें? (How to Find Missing Frequencies?)किसी आवृत्ति श्रेणी में यदि मध्यका
और बहुलक के मान दिए हों और कुछ आवृत्तियाँ अज्ञात हों तो M और Z के सूत्रों का प्रयोग करके ज्ञात आवृत्तियों
की सहायता से अज्ञात आवृत्तियाँ ज्ञात की जा सकती है।