1.घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cube and Cube Root?),घन और घनमूल (Cube and Cube Root):

घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cube and Cube Root?) के इस आर्टिकल में अंकगणित की विभिन्न संख्याओं का घन और घनमूल ज्ञात करने पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on How to Find Cube and Cube Root?):

घनमूल (cube root) यदि किसी संख्या को उसी संख्या से तीन बार गुणा किया जाए तो वह संख्या गुणनफल का घन कहलाती है।
यथा 7×7×7=343
घनमूल का चिन्ह है जो संख्या के बाईं ओर लगाया जाता है और हम को घनमूल पाँच सौ बारह (Cube root of 512) पढ़ते हैं चूँकि हम जानते हैं कि
8 \times 8 \times 8=512 \\=  \sqrt[3]{512}=8

(1.)घनमूल ज्ञात करने की विधि (Method to Find Cube Root):

यदि संख्या छोटी रहे तो उसके सभी गुणनखण्डों का पता लगाना आसान है जिससे हम उसका घनमूल गुणनखण्ड विधि से ज्ञात कर सकते हैं।यदि संख्या बड़ी हो तो यह कार्य बहुत कठिन है।यदि संख्या किसी अभाज्य (prime) संख्या का घन हो तो गुणनखण्ड ज्ञात करना और भी कठिन है।ऐसी स्थिति में निम्नलिखित नियम को अपनाना चाहिए:
(i)सर्वप्रथम अभ्यास पुस्तिका पर तीन काॅलम बना लें।जिस संख्या का घनमूल ज्ञात करना हो उस संख्या को तृतीय काॅलम में लिखें।संख्या की दाईं ओर से तीन-तीन के जोड़े बना लें,जब तक कि अन्त में तीन या तीन से कम अंक न बच जाएं।इस प्रकार से संख्या कई खण्डों में बँट गई।
(ii)पहले काॅलम में उस महत्तम अंक को लिखें जिसका घन (Cube) संख्या के प्रथम खण्ड से घट सके।उस महत्तम अंक का वर्ग द्वितीय काॅलम में तथा उसका घन तृतीय काॅलम के प्रथम खण्ड में से घटाएँ।घटाकर जो शेष बचे उस पर संख्या का दूसरा खण्ड उतारें।सुविधा हेतु उस महत्तम अंक को सबसे ऊपर के पंक्ति के ऊपर लिख दें।
(iii)जिस महत्तम अंक को प्रथम काॅलम में रखा गया है।उसे फिर से प्रथम काॅलम में लिख कर जोड़े।योगफल में उस महत्तम अंक से गुणा करके द्वितीय काॅलम में लिखकर जोड़ दें तथा योगफल पर दो शून्य लिख दें।उस महत्तम अंक को फिर से प्रथम काॅलम की संख्या के साथ जोड़ दें।
(iv)अब प्रथम काॅलम में प्राप्त योगफल के दाईं ओर वैसा महत्तम अंक रखें ताकि उससे प्राप्त संख्या में उसी अंक से गुणा करके दूसरे काॅलम में प्राप्त संख्या में जोड़ने के बाद फिर उसी महत्तम अंक से गुणा करने पर गुणनफल काॅलम तीन में प्राप्त संख्या में से घट सके।घटाकर जो शेष बचे उस पर संख्या का तीसरा खण्ड उतारें।काॅलम एक में रखे गए महत्तम अंक को पंक्ति के ऊपर ही ऊपर पूर्वलिखित अंक के बाद में लिख दें।
(v)उस महत्तम अंक को काॅलम एक में प्राप्त संख्या में जोड़ दें।योगफल में उस महत्तम अंक से गुणा करके काॅलम दो में लिखकर जोड़ें तथा उस पर दो शून्य लिख दें।उस महत्तम अंक को फिर से प्रथम काॅलम की संख्या के साथ जोड़ें।
(vi)यह क्रिया क्रमिक रूप से तब तक करते जाएं जब तक अन्त में दी हुई संख्या के सभी खण्ड न उतर जाएं।ऊपर ही ऊपर जो संख्या होगी वही अभीष्ट घनमूल होगा।

घनमूल अंकों की संख्या (Number of Cube Root Digits):

उपर्युक्त विधि से दी हुई संख्या के जितने खण्ड होंगे,घनमूल में अंकों की संख्या भी उतनी ही होगी।
नीचे कुछ उदाहरण दिए जा रहे हैं,जिनसे क्रिया का स्पष्टीकरण होता है:
Illustration:1.693154125 का घनमूल निकालें।
Solution:घनमूल

अभीष्ट घनमूल=885
क्रियाविधि (Working Rule):
प्रथम तीन-तीन अंकों के बाद दाईं ओर से खण्ड किया।अब बाईं ओर से प्रथम खण्ड 693 में महत्तम अंक 8 ही है जिसका घन 512 घट सके।अतः 8 का घन 512 घटाकर 181 आया।इसके साथ दूसरा खण्ड 154 उतार कर 181154 बनाया।
8 को काॅलम एक में लिखकर 8 में जोड़ा तो 16 हुआ।अब 16 को 8 से गुणा करके 64 में जोड़ा तो 192 हुआ।इस पर दो शून्य रखकर 19200 बना लिया।फिर से 8 को प्रथम काॅलम में रखकर 16 में जोड़ने पर 24 प्राप्त हुआ।
अब महत्तम अंक 24 पर 8 लिखा जिससे 248×8=1984 दूसरे काॅलम में लिखकर जोड़ा।फिर 21184×8=169472 तीसरे काॅलम से घटाया।फिर 8 पहले काॅलम में जोड़ा तथा 256×8=2048 को दूसरे काॅलम में जोड़कर दो शून्य लिख लिया,फिर ऊपर की क्रिया दोहराते गए,अन्त में अभीष्ट घनमूल 885 मिल गया।
Illustration:2.1462135375 का घनमूल निकालें।
Solution: 

  
अभीष्ट घनमूल=1135

दशमलव राशि का घनमूल (Cube Root of Decimal Quantity):

चूँकि किसी दशमलव राशि में दशमलव वाले अंकों के दाईं ओर कितना भी शून्य बढ़ा देने पर उसके मान में कोई अन्तर नहीं पड़ता है इसलिए जिसका घनमूल ज्ञात करना हो,देखें कि उसमें दशमलव के बाद कितने अंक हैं।
(i)यदि अंकों की संख्या तीन से कम हो तो शून्य बढ़ाकर दशमलव के बाद अंकों की संख्या तीन के अपवर्त्य (गुणज) के बराबर बना लें।फिर दाईं ओर से पूर्व की भाँति तीन-तीन अंकों के बाद एक-एक लगाते चलें।
(ii)खण्डीकरण हो जाने के बाद दी गई विधि से घनमूल ज्ञात करे।केवल ध्यान रखें कि ज्यों ही दशमलव चिन्ह के बाद वाला खण्ड उतारें त्योंही घनमूल में भी दशमलव का चिन्ह लगा दें।नीचे एक उदाहरण दिया गया है जिसका घनमूल पूर्ण है।
Illustration:3. 485587.656 का घनमूल निकालें।
Solution:

 
अभीष्ट घनमूल=78.6
यों तो पूर्ण घन संख्या भी असंख्य हैं,किन्तु अपूर्ण घन संख्या की तुलना में इनकी गणना थोड़ी ही है।उदाहरण के लिए 9264 आदि अपूर्ण घन संख्याएँ हैं।ऊपर के नियमानुसार यदि इनके घनमूल निकालें तो यें कटेंगे ही नहीं।हमेशा कुछ न कुछ शेष बचता ही रहेगा फिर भी आवश्यकता पड़ने पर इनका भी घनफल ज्ञात करना पड़ता है।
जब कभी ऐसी संख्या कटती ही नहीं,तब उसका घनमूल ज्ञात कुछ खास दशमलवांकों तक ही ज्ञात किया जा सकता है और इसके लिए:
(i)यदि संख्या दशमलवांक है यथा 289.7439 आदि तो इनके आगे आवश्यकतानुसार शून्य बढ़ा देते हैं और उनमें से तब तक उतार कर काम चलाते हैं जब तक कि अभीष्ट दशमलवांक न आ जाए।
(ii)यदि संख्या कोई पूर्ण राशि हो तो इसके आवश्यक रूप से दशमलव रखकर शून्य बढ़ा देते हैं।
(iii)यदि संख्या कोई आवर्त दशमलव हो तो आवर्त को फैलाकर लिखते हैं।तब आवश्यकतानुसार अंक उतारते हैं।
शुद्ध दशमलवांक तक घनमूल (Cube Root Up to Pure Decimal Digits):
किसी खास शुद्ध दशमलवांक तक घनमूल निकालना हो तो उससे एक अंक अधिक तक निकालना चाहिए और निकट मान के सिद्धान्त से शुद्ध कर लेना चाहिए।
यदि घनमूल दशमलव के अधिक अंकों तक ज्ञात करना हो तो एक संकुचित विधि (Contracted Method) का भी प्रयोग किया जा सकता है,जो निम्नलिखित उदाहरण द्वारा स्पष्ट होता है।
Illustration:4.5 का घनमूल शुद्ध 9 दशमलवांकों तक ज्ञात करो।
Solution:

अतः 9 अंकों तक शुद्ध मान=1.709975947
व्याख्या:(a)461=51×9+(.27×9) (लगभग)
(b)613988=87712×7+(.6×7)(लगभग)
(c)43856=8771×5=+(.2×5)(लगभग)
(d)7893=877×9+(.1×9)(लगभग)
(e)350=87×4+(.7×4)(लगभग)
(f)60=8×7+(.7×7)(लगभग)
नोट:इसी प्रकार से चतुर्थघात मूल इत्यादि ज्ञात कर सकते हैं।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cube and Cube Root?),घन और घनमूल (Cube and Cube Root) को समझ सकते हैं।

3.घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? पर आधारित विशिष्ट उदाहरण (Specific Illustrations Based on How to Find Cube and Cube Root?):

Illustration:5. \sqrt[3]{\frac{7}{875}} का मान बराबर है।

(a) \frac{1}{3} (b) \frac{1}{15} (c) \frac{1}{4} (d) \frac{1}{5}
Solution: \sqrt[3]{\frac{7}{875}} \\ =\sqrt[3]{\frac{7}{7 \times 5 \times 5 \times 5}}=\sqrt[3]{\frac{1}{5 \times 5 \times 5}} \\ =\frac{1}{5}
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:6.वह न्यूनतम संख्या,जिससे 1800 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन संख्या प्राप्त हो,के अंकों का योग होगा

(a) 2 (b) 3 (c) 6 (d) 8
Solution:1800=2×2×2×3×3×5×5
अतः पूर्ण घन संख्या के लिए 15 से गुणा करना होगा:
1800×15=27000
अंकों का योग=1+5=6
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:7.175616 का घनमूल 56 है,तो \sqrt[3]{175.616}+\sqrt[3]{0.175616}+\sqrt[3]{0.000175616} का मान बराबर है

(a) 0.168 (b) 62.16 (c) 6.216 (d) 6.116
Solution: \sqrt[3]{175.616}+\sqrt[3]{0.175616}+\sqrt[3]{0.0000175616} \\ =\sqrt[3]{\frac{175616}{1000}}+\sqrt[3]{\frac{175616}{1000000}}+\sqrt[3]{\frac{175616}{1000000000}} \\ =\frac{56}{10}+\frac{56}{100}+\frac{56}{1000}=5 \cdot 6+0.56+0.056 \\ =6.216
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:8. \sqrt[3]{4 \frac{12}{125}} का मान है

(a) 1.4 (b) 1.6 (c) 1.8 (d) 2.4
Solution: \sqrt[3]{4 \frac{12}{125}} \\ =\sqrt[3]{\frac{512}{125}}=\frac{8}{5}=1.6
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:9. \sqrt[3]{1372} \times \sqrt[3]{1458} \div \sqrt[3]{343} का मान है:

(a) 18 (b) 15 (c) 13 (d) 12
Solution: \sqrt[3]{1372} \times \sqrt[3]{1458} \div \sqrt[3]{343}\\ =\frac{\sqrt[3]{2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7} \times \sqrt[3]{2 \times 9 \times 9 \times 9}}{\sqrt[3]{7 \times 7 \times 7}} \\=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 9 \times 9 \times 9} \\ =2 \times 9=18
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:10. \left[(50)^3+(-30)^3+(-20)^3\right] बराबर है:

(a) 17000 (b)15000 (c)90000 (d)900000
Solution: \left[(50)^3+(-30)^3+(-20)^3\right]
a+b+c=50-30-20=0
अतः a^3+b^3+3^3=3 abc सूत्र से:
3×50×-30×-20=90,000
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:11. 2 \frac{10}{27} का घनमूल है:

(a) 1 \frac{1}{3} (b) \frac{64}{27} (c) \frac{8}{9} (d) 1 \frac{4}{9} 
Solution: \sqrt[3]{2 \frac{10}{27}} \\ = \sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\sqrt[3]{\frac{4 \times 4 \times 4}{3 \times 3 \times 3}}=\frac{4}{3} \\ =1 \frac{1}{3} 
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:12.यदि 1^3+2^3+3^3+4^3+ 5^3=225   दिया हो,तो \left(2^3+4^3+ 6^3+8^3 +10^3\right) का मान होगा:

(a) 450 (b)900 (c)1800 (d)(225)^3
Solution: 2^3+4^3+6^3+8^3+10^3 \\ =\left(2\times 1\right)^3+(2 \times 2)^3+(2 \times 3)^3+(2 \times 4)^3+(2 \times 5)^3 \\ =2^3\left(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3\right) \\ =8 \times 225= 1800 
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:13. \sqrt{324}+\sqrt[3]{1728} का मान होगा:

(a) 35 (b) 50 (c) 30 (d) 45
Solution: \sqrt{324}+\sqrt[3]{1728}=\sqrt{18 \times 18}+\sqrt[3]{12 \times 12 \times 12} =18+12=30
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:14. \sqrt[3]{333+\sqrt[3]{387+ \sqrt[3]{2197}}} बराबर है:

(a)21 (b)18 (c) 7 (d)3
Solution: \sqrt[3]{333+\sqrt[3]{987+\sqrt[3]{2157}}} \\=\sqrt[3]{333+\sqrt[3]{987+\sqrt[3]{13 \times 13 \times 13}}} \\=\sqrt[3]{333+\sqrt[3]{987+13}} \\=\sqrt[3]{333+\sqrt[3]{1000}}=\sqrt[3]{333+10} =\sqrt[3]{343} \\=\sqrt[3]{7 \times 7 \times 7}=7
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:15.(-5832) का घनमूल है:

(a) -18 (b) -28 (c) -24 (d) -22
Solution: \sqrt[3]{(-5832)} \\ =\sqrt[3]{-(2 \times 2 \times 2 \times 9 \times 9 \times 9)} \\ =\sqrt[3]{-(2 \times 2 \times 2 \times 9 \times 9 \times 9)} \\ =-(2 \times 9)=-18
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:16. \left[1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\right] बराबर है:

(a) 3575 (b) 2525 (c) 5075 (d) 3025
Solution: 2^3+2^3+3^3+\cdots+10^3 \\ \left[\frac{n(n+1)]}{2}\right]^2=\left[\frac{10(10+1)}{2}\right]^2 \\=(5 \times 11)^2 \\ =3025
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:17. \sqrt[3]{\frac{72.9}{0.4096}} का मान क्या होगा:

(a) 0.5626 (b) 5.625 (c) 182 (d) 13.6
Solution: \sqrt[3]{\frac{72.9}{0.4096}} \\ =\sqrt[3]{\frac{729}{4096} \times \frac{1000}{10}}=\frac{9}{16} \times 10=5.625
अतः विकल्प (b) सही है।

Illustration:18.(-216000) का घनमूल होगा?

(a) -60 (b) 60 (c)-70 (d) 80
Solution: \sqrt[3]{-216000}=\sqrt[3]{-(6 \times 6 \times 6 \times 10 \times 10 \times 10)} \\ =-6 \times 10=-60
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:19. \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt{16}} \div \sqrt{\frac{100}{49}} \times \sqrt[3]{125} बराबर है:

(a) 7 (b) 1 \frac{3}{4} (c) \frac{7}{100} (d) \frac{4}{7}
Solution: \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt{16}} \div \sqrt{\frac{100}{49}} \times \sqrt[3]{125} \\ =\frac{2}{4} \times \frac{7}{10} \times 5=\frac{7}{4}=1 \frac{3}{4}
अतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:20. \sqrt[3]{\frac{0.2 \times 0.2 \times 0.2+0.04 \times 0.04 \times 0.04}{0.4 \times 0.4 \times 0.4+0.08 \times 0.08 \times 0.08}}  का मान है:

(a) 0.5 (b)0.25 (c)0.75 (d) 0.125
Solution: \sqrt[3]{\frac{0.2 \times 0.2 \times 0.2+0.04 \times 0.04 \times 0.04}{0.4 \times 0.4 \times 0.4+0.08 \times 0.08 \times 0.08}} \\ =\sqrt[3]{\frac{\frac{2}{10} \times \frac{2}{10} \times \frac{2}{10}+\frac{4}{100} \times \frac{4}{100} \times \frac{4}{100}}{\frac{4}{10} \times \frac{4}{10} \times \frac{4}{10}+\frac{8}{100} \times \frac{8}{100} \times \frac{8}{100}}} \\ =\sqrt[3]{\frac{\left(\frac{2}{10}\right)^3 +\left(\frac{4}{100}\right)^3}{2^3\left[\left(\frac{2}{10}\right)^3+\left(\frac{4}{100}\right)^3 \right]}} =\frac{1}{2}=0.5
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:21. \sqrt[3]{(4.032)^2-(3.968)^2} बराबर है:

(a) 1 (b)0.08 (c)\frac{4}{5} (d)1.6
Solution: \sqrt[3]{(4.032)^2-(3.968)^2} \\ =\sqrt[3]{(4.032-3.968)(4.032+3968)} \\ =\sqrt[3]{3.064 \times 8}=0.4 \times 2=0.8
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:22.1323 को किस छोटी से छोटी संख्या से गुणा किया जाए कि यह पूर्ण घन बन जाए?

(a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 7
Solution:1323=3×3×3×7×7
7 से गुणा किया जाएगा।
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:23. 5^3+6^3+\cdots+10^3 का मान बराबर है:

(a) 2425 (b)2495 (c)2925 (d)2295
Solution: 5^3+6^3+\cdots+10^3 \\ =\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 \\ \Rightarrow \left[\frac{10(10+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{4(4+1)}{2}\right]^2 \\ =(55)^2-(10)^2=3025-100=2925
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:24.710 में सबसे छोटी कौन-सी संख्या जोड़ी जाए,ताकि योगफल एक पूर्ण घन संख्या प्राप्त हो?

(a) 29 (b) 19 (c) 11 (d) 21
Solution:729 पूर्ण घन संख्या है।अतः 710 में 19 जोड़ेंगे।
फलतः विकल्प (b) सही है।
Illustration:25.  27^{2 x-1}=(243)^3 ,तब x का मान है:

(a) 3 (b) 7 (c)6 (d) 9
Solution: 27^{2 x-1}=(243)^3 \\ \left(3^3\right)^{2 x-1}=\left(3^5\right)^3 \\ \Rightarrow 3^{6 x-3}=3^{15} \\ 6 x-3=15 \Rightarrow 6 x=18 \\ \Rightarrow x=3
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:26.यदि किसी संख्या का घन किया जाए,तो निम्न में से कौनसा/ से अंक इकाई स्थान पर हो सकते हैं?

(a) 1 (b) 8 (c) 0 से 9 कोई भी (d) 9
Solution: 0 से 9 कोई भी
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:27.एक पूर्ण घन संख्या प्राप्त करने के लिए 4320 को किस छोटी से छोटी संख्या से गुणा किया जाए?

(a) 10 (b) 20 (c) 30 (d) 50
Solution:4320=2×2×2×2×2×3×3×3×5
अतः 2×5×5=50 से गुणा किया जाएगा
फलतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:28. (121)^3 \times 11 \div(1331)^2=(11)^? में प्रश्नचिन्ह का मान है?

(a) 2 (b) 2 (c) 1 (d) 0
Solution: (121)^3 \times 11 \div (1331)^2=(11)^?
माना ?=x \\ \frac{\left(11^2\right)^3 \times 11}{\left(11^3\right)^2}=(1)^x \\ \Rightarrow \frac{11^6 \times 11}{11^6}=11^x \\ \Rightarrow 11=11^x \\ \Rightarrow x=1
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:29.यदि \sqrt[3]{185193}=57 तो \sqrt[3]{185193}+\sqrt[3]{185.193}+\sqrt[3]{0.006185193} का मान है:

(a) 6.327 (b) 63.275 (c) 632.75 (d) 62.757
Solution: \sqrt[3]{185193}+\sqrt[3]{185.193}+\sqrt[3]{0.000185193} \\ =57+\sqrt[3]{\frac{185193}{1000}}+\sqrt[3]{\frac{185193}{1000000000}} \\ =57+\frac{57}{10}+\frac{57}{1000}=57+57+0.057 \\ =62.757
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:30. (125)^3 \times(25)^3 \div 5^3=(\sqrt{5})^{?+15} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a)9 (b) 5 (c) 7 (d) 8
Solution: (125)^3 \times(25)^3 \div 5^3=(\sqrt{5})^{?+15}
माना ?=x \frac{\left(5^3\right)^3 \times\left(5^2\right)^3}{5^3}=5^{\left(\frac{x+15}{2}\right)} \\ \Rightarrow \frac{5^{15}}{5^3}=5^{\left(\frac{x+15}{2}\right)} \\ \Rightarrow 5^{12}=5^{\frac{x+15}{2}} \\ \Rightarrow \frac{x+15}{2}=12 \\ \Rightarrow x+15=12 \times 2 \\ \Rightarrow x=24-15 \\ \Rightarrow x=9
अतः विकल्प (a) सही है।
Illustration:31. (52)^2-(7)^3 \times 12=? \times 4  में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) -435 (b) 524 (c) -353 (d) 353
Solution: (52)^2-(7)^3 \times 12=? \times 4
माना ?=x \\ (52)^2-(7)^3 \times 12=x \times 4 \\ \Rightarrow(52)^2-343 \times 12=4 x \\ \Rightarrow 2704-4116=4 x \\ \Rightarrow x=\frac{-1412}{4}=-353
अतः विकल्प (c) सही है।
Illustration:32. (64)^3 \times(8)^9 \div(512)^2=(8)^{?} में प्रश्नचिन्ह का मान है:

(a) 8 (b) 6 (c) 4 (d) 9
Solution: (64)^3 \times(8)^9 \div(512)^2=(8)^{?}
माना ?=x \\ \left(8^2\right)^3 \times(8)^9 \div\left(8^3\right)^2=8^x \\ \Rightarrow \frac{8^6 \times 8^9}{8^6}=8^x \\ \Rightarrow 8^x=8^9 \\ x=9
अतः विकल्प (d) सही है।
Illustration:33. (10.999)^3 बराबर है:

(a)1000 (b)1330 (c) 900 (d)1550
Solution: (10.999)^3 \\ =1330.637033 \approx 1330
अतः विकल्प (b) सही है।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cube and Cube Root?),घन और घनमूल (Cube and Cube Root) को समझ सकते हैं।

4.घनफल ज्ञात करने की वैदिक विधियाँ (Vedic Methods of Finding Cube Root):

(1.)सूत्र निखिलम-आधार
जिसका विचलन आधार दस या दस की घात के सापेक्ष प्राप्त हो।गुणन संक्रिया को तीन खण्डों में विभाजित किया जाता है:
(1.)प्रथम खण्ड=संख्या+विचलन×2
(2.)द्वितीय खण्ड=3×\text{(विचलन)}^2
(3.)तृतीय खण्ड=\text{(विचलन)}^3
धातव्य:(1.)आधार में जितने शून्य,उतने ही अंक क्रमशः तृतीय एवं मध्य खण्ड में रखे जाते हैं।आधार=10 तो मध्य एवं तृतीय खण्ड में एक-एक अंक और आधार=100 तो दो-दो अंक।
(2.)तृतीय खण्ड में प्राप्त,ऋणात्मक गुणनफल का धनात्मक संख्या में समायोजन आवश्यक।मध्य खण्ड से अंक लीजिए।मध्य से लिए गए अंक 1 का मान तृतीय खण्ड में ले जाने पर आधार के बराबर हो जाता है।
उदाहरण:103 का घनफल ज्ञात कीजिए।
आधार=100,विचलन=+03
103^3=103+2 \times 3/ 3 \times(3)^2 / 3^3 \\ =109/ 27 / 27 \\ =1092727
(2.)घनफल सूत्र निखिलम-उपाधार
किसी भी संख्या का घनफल सूत्र-उपाधार द्वारा बड़ी सरलता से ज्ञात किया जा सकता है।
(1.)प्रथम खण्ड=\text{(उपाधार अंक)}^2 ×(संख्या+विचलन×2)
(2.)मध्य खण्ड=उपाधार अंक×{3 \times \text{(विचलन)}^2 }
(3.)तृतीय खण्ड=\text{(विचलन)}^3
(4.)आधार में जितने शून्य हों,उतने ही अंक क्रमशः तृतीय एवं मध्य खण्ड में रखे जाते हैं:
उदाहरण: 305^3=3^2(305+2 \times 5) / 3 \times 3 \times (5)^2 /5^3 \\ =9 \times 315 / 225 / 125 \\ =2835 / 2^{25} / 1^{25} \\ =28372625
(3.)घनफल उपसूत्र-आनुरूप्येण विस्तार
यदि संख्या के अंक 5 से बड़े हों तो घनफल ज्ञात करने की गणना थोड़ी सी कठिन हो जाती है।इस कठिनाई से बचने के लिए उपसूत्र आधारित विधि में संशोधन किया गया है।यह संशोधित विधि उपसूत्र आनुरूप्येण विस्तार विधि कहलाती है।
संशोधित विधि:
(1.)उत्तर के चार खण्ड बनाइए।बायीं ओर से खण्ड प्रथम।
(2.)संख्या के इकाई अंक के विस्तार से चारों खण्ड भरिये।पहले खण्ड में 1 तथा दूसरे खण्ड में इकाई अंक लिखिए।तीसरे खण्ड में इकाई अंक का वर्ग तथा चौथे खण्ड में इकाई अंक का घन लिखिए।
(3.)इसी विस्तार के ठीक नीचे दूसरी पंक्ति में दहाई अंक का विस्तार लिखा जाता है।चतुर्थ खण्ड में 1 तथा तृतीय खण्ड में दहाई अंक लिखिए।दूसरे खण्ड में दहाई अंक का वर्ग तथा प्रथम खण्ड में दहाई अंक का घन लिखिए।
(4.)दोनों पंक्तियों का खण्ड सः ऊर्ध्व गुणन कर गुणनफल तीसरी पंक्ति में लिखा जाता है।यह पूरी संख्या चार खण्ड वाला विस्तार है।
(5.)द्वितीय एवं तृतीय खण्डों में लिखी संख्याओं का दुगुना उन्हीं खण्डों में संख्याओं के नीचे लिख दिया जाता है।
(6.)अंत में वर्ग संक्रिया के समान खण्डों में लिखी खण्ड सः योग करने पर संख्या का घनफल प्राप्त होता है।स्मरण रहे कि एक खण्ड में एक ही अंक लिखा जाता है।
उदाहरण:45 का घनफल ज्ञात कीजिए।
\begin{array}{cccc} \text{खण्ड} & I & II & III & IV \\ & 1 & 5 & 25 & 125\\ & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ & 64 & 16 & 4 & 1 \\ \hline 45^3 =& 64 & 50 & 100 & 125 \\ & & +160 & 200 & \\ \hline =& 64 & 240 & 300 & 125 \end{array} \\ 45^3=91125
संकेत:
(i)इकाई का विस्तार
(ii) दहाई अंक का विस्तार
(iii) गुणनफल
(iv) मध्य खण्डों का दुगुना
(v)योगफल
(4.)घनफल-एकाधिकेन पूर्वेण:
सूत्र द्वारा दो अंकों की किसी भी संख्या का घनफल ज्ञात किया जा सकता है।
विधि:गुणन संक्रिया को चार खण्डों में लिखिए
बायें से प्रथम खण्ड=दहाई का वर्ग×उसका एकाधिक
द्वितीय खण्ड=दहाई अंक का वर्ग×विचलन
तृतीय खण्ड=3×दहाई का अंक×\text{(इकाई का अंक)}^2
चतुर्थ खण्ड=\text{(इकाई का अंक)}^3
विचलन=इकाई का अंक×3-10
उदाहरण: 73^3=7^2 \times 8 / 7^2 \times(-1) / 3 \times 7 \times 3^2 / 3^3 \\ =392 /-49 / 189 / 27 \\ =392 / -49 / 189 / 27 \\ =392 / -49 / 191 / 7 \\ =392 / -30 / 1 / 7 \\ =389017
विचलन=3×3-10=-1

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cube and Cube Root?),घन और घनमूल (Cube and Cube Root) को समझ सकते हैं।

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5.पूर्णघन संख्याओं का घनमूल (Cube Root of Complete Cubic Numbers):

घनमूल संख्या में अंक:किसी पूर्ण घन संख्या के दाहिनी ओर से अर्थात् इकाई अंक से तीन-तीन अंकों के जितने समूह बनते हैं उतने ही अंक उस संख्या के घनमूल में होते हैं।भले ही अन्तिम समूह में एक या दो अंक ही शेष हों।उदाहरणार्थ 85184 के घनमूल में दो अंक होते हैं।
पूर्णघन संख्या की पहचान:
(1.)घन संख्या के बीजांक 1,8 व 9 (अथवा 0) ही हो सकते हैं।अतः इन बीजांकों के अतिरिक्त किसी अन्य बीजांक वाली संख्या हो तो वह पूर्णघन हो ही नहीं सकती।
(2.)जिन संख्याओं के दाहिनी ओर शून्य संख्या तीन या तीन का गुणज न हो तो वे संख्याएँ भी पूर्णघन संख्याएँ नहीं हो सकती।
उदाहरणार्थ:195112 एक पूर्णघन संख्या हो सकती है।
क्योंकि इसका बीजांक 1+9+5+1+1+2=19,1+9=10,1+0=1 है।
विलोकनम विधि से छह अंकों की पूर्णघन संख्या का घनमूल ज्ञात किया जा सकता है:
विधि:(1.)छह अंकों की पूर्णघन संख्या का घनमूल दो अंकों का होगा।
(2.)जिस पूर्णघन संख्या का चरमं (इकाई) अंक 1,4,5,6,9 अथवा 0 होता है तो उसके घनमूल का इकाई अंक भी वही होता है।
(3.)जिस पूर्णघन संख्या का चरमं (इकाई) अंक 2,8,3 अथवा 7 होता है तो उसके घनमूल का इकाई अंक इस दिए हुए अंक का परम मित्र अंक होता है।
(4.)घनमूल का दहाई अंक निम्न सारणी से ज्ञात हो सकता है
\begin{array}{cccc} \text{क्रम संख्या} & \text{ संख्या का अन्तिम समूह}  & \text{घनमूल का दहाई अंक}   \\ 1 & 1-7 & 1\\ 2 & 8-26 & 2 \\ 3 & 27-63 & 3 \\ 4 & 64-124 & 4 \\ 5 & 125-215 & 5 \\ 6 & 216-342 & 6 \\ 7 & 343-511 & 7 \\ 8 & 512-728 & 8 \\ 8 & 729-999 & 9 \end{array}
धातव्य:संख्या समूह 1-7 का अर्थ है कि इस समूह में 1,2,3,4,5,6,7 संख्याएँ हैं और इनमें से किसी का भी सम्भावित घनमूल एक माना जा सकता है।
उदाहरण:विलोकनम विधि द्वारा 250047 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
(1.)प्रथम समूह=047 इकाई का अंक=7(7 का परममित्र अंक 10-7=3 अतः घनमूल का इकाई अंक=3)
(2.)द्वितीय समूह=250,अतः (सम्भावित सबसे बड़ा) दहाई अंक=6
(3.)सम्भावित घनमूल=63
(4.)सत्यापन
\begin{array}{rr} 250047 & \\ -216 \quad  & \\ \hline 034047 \\ -027  \\ \hline 3402 \\ 3402 \\ \hline \times \end{array}
संकेत:
(1.)-6^3=-216 (बायीं ओर से)
(2.)-3^3=-27 (दाहिनी ओर से)
(3.)मध्यखण्ड=3×(6)(3)×(63)
=18×189=3402
अतः घनफल=63
तीन अंकों का घनमूल (संशोधित विलोकनम विधि)
यदि किसी पूर्णघन संख्या के तीन समूह बनते हैं तो विलोकनम विधि में अल्प संशोधन करके उस संख्या का घनमूल ज्ञात किया जा सकता है।
उदाहरण:387420489 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
संकेत:(i)दाहिनी अथवा इकाई अंक की ओर से तीन-तीन अंकों के समूह बनाइए।
(ii)प्रथम समूह=489,मध्य समूह=420 तथा अन्तिम समूह=387
(iii)प्रथम समूह में इकाई अंक=9 अतः घनमूल का भी इकाई अंक=9
(iv)अन्तिम समूह 387 में सबसे बड़े अंक 7 का घन समाहित है अतः घनमूल में सैकड़े का अंक=7
(v)माना कि घनमूल का मध्य अंक=y अतः घनमूल= 7y9 (y का मान ज्ञात करना है)
(vi)पूर्णघन संख्या में से 9^3=729 दाहिनी ओर से घटाइए।इकाई स्थान के शून्य को निरस्त कीजिए।
(vii)अब शेषफल में इकाई अंक=6 तथा 3 \cdot 9^2 \cdot y=243 y में इकाई अंक=3y,तुलना करने पर
3y=6 \Rightarrow  y=2
अतः घनमूल=729
घनमूल (भाग विधि):
 \begin{array}{l|l} \text{क्रियापद} & 7081 \\ \hline -7^3 & 355045312441 \\ & -343 \\ \hline 3 \times 7^2=147 & 120 \\ -3 \times 7^2 \times 0=0 & 0\\ \text{(भाग 0 बार गया)} & \text{(147×0 घटाया)} \\ \hline 3 \times 7 \times 0 ^2=0 & 1204\\ & 0 \\ \hline -0^3 & 12045 \\ & 0\\ \hline 3 \times 70^2=14700 & 120453 \\ -3 \times 70^2 \times 8 & -117600 \\ \text{(8 बार भाग गया)} &  \text{(14700×8 घटाया) } \\ \hline-3 \times 70 \times 8^2=13440 & 28531 \\ & -13440 \\ \hline -8^3 & 150912 \\ & -512\\ \hline 3 \times 708^2=1503792 & 1504004 \\ -3 \times 708^2 \times 1 & -1503792 \\ \hline -3 \times 708 \times 1^2= & 2124 \\ -2124 & -2124 \\ \hline -1^3 & 01\\ & -1 \\ \hline & \times \end{array}
संकेत:(1.)अन्तिम समूह 355-9^3=120
(2.)घनमूल अंक 7 ऊपर लिखा।नया भाज्य=120
(3.)नये भाज्य 3 \times 7^2=147 में का भाग दिया
(4.)भागफल अंक=0,ऊपर लिखा। 3 \times 7^2 \times 0 घटाया
शेषफल=120,नया भाज्य=1204
(5.) 1204-3 \times 7^2 \times 0 =शेषफल
(6.)नया भाज्य 12045- 0^3 =12045
(7.)नया भाज्य=12045
(8.)12045 \div 3 \times 70^2 अर्थात् 14700 का भाग 8 बार गया।
(9.)भागफल अंक=8 ऊपर लिखा
(10.)नये भाज्य 28531 में 3 \times 70 \times 8^2 घटाया।शेषफल=150912
(11.)पुनः नया भाज्य 150912-8^3=1504004
(12.)1504004 \div 3 \times 708^2 अर्थात् 1503792 का भाग 1 बार गया
(13.)भागफल=1 ऊपर लिखा
(14.)नये भाज्य 2124 में 3 \times 708 \times 1^2 घटाया।शेषफल=1
(15.)पुनः नया भाज्य 1-1^3 में घटाया।
धातव्य:(1.)क्रिया पद संख्या=घनमूल अंक संख्या×3-2
(2.)पूर्णघन संख्या के घनमूल ज्ञात करने में अन्तिम तीन क्रिया पद नहीं निकाले।संख्या का इकाई अंक देखते ही घनमूल का इकाई अंक भी प्राप्त हो जायेगा।
(3.)द्वन्द्वयोग विधि से अनेक अंकों की संख्या का वर्ग ज्ञात किया जा सकता है।
(4.)घनमूल में चार अंक हों तो भाग विधि से दूसरा व तीसरा अंक ज्ञात कीजिए।इकाई अंक और अन्तिम अंक तो मौखिक ही ज्ञात हो जाते हैं।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (How to Find Cube and Cube Root?),घन और घनमूल (Cube and Cube Root) को समझ सकते हैं।

6.घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Cube and Cube Root?),घन और घनमूल (Cube and Cube Root) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

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How to Find Cube and Cube Root?

घन और घनमूल कैसे ज्ञात करें?
(How to Find Cube and Cube Root?)

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