1.विश्लेषिक  फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Function?),सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic Function in Complex Analysis):

How to Find Analytic Function?

विश्लेषिक  फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Function?) के इस आर्टिकल में विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग देने पर अथवा काल्पनिक भाग देने पर विश्लेषिक फलन ज्ञात करना और प्रसंवादी फलनों पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.विश्लेषिक  फलन कैसे ज्ञात करें? पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on How to Find Analytic Function?):

Illustration:1.यदि,विश्लेषिक फलन u+iv ज्ञात करें।
(If u=e^x(x \cos y-y \sin y) , find the analytic function u+iv.)
Solution: u(x, y)=e^x(x \cos y-y \sin y)
अब \phi_1(x, y)=u_x=e^x(x \cos y-y \sin y) +e^x \cos y
तथा \phi_2(x, y)=u_y=e^x(-x \sin y-\sin y-y \cos y)
अब मिल्ने-थामसन विधि से:

f(z)=\int \phi_1(z, 0) \cdot d z-i \int \phi_2(z, 0) d z+c \\ =\int\left(e^z \cdot z+e^z\right) d z-i \int e^z \cdot 0 d z+c \\ =\int e^z(z+1) d z+c \\ =z e^z+c \\ \Rightarrow f(z)=z e^z+c
Illustration:2.विश्लेषिक फलन ज्ञात करें जिसका वास्तविक भाग दिया गया है और इसलिए काल्पनिक भाग ज्ञात करें:
(Find the analytic function whose real part is given and hence find the imaginary part):
Illustration:2(i). e^x \sin y
Solution: e^x \sin y
माना f(z)=u+iv विश्लेषिक है।
यहाँ u=e^x \sin y \\ \therefore \frac{\partial u}{\partial x}=e^x \sin y, \frac{\partial u}{\partial y}=e^x \cos y
मिल्ने-थामसन विधि से:
f(z)=u+iv विश्लेषिक है,अतः

f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y}
[कोशी-रीमान समीकरण \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} से]

=e^x \sin y-i e^x \cos y
x=z तथा y=0 रखने पर:

f^{\prime}(z)=e^z \sin 0-i e^z \cos 0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(z)=-i e^z
z के सापेक्ष समाकलन करने पर:

f(z)=-i e^z+c_1 \\ =-i e^{x+i y}+c_1 \\ =-i e^x \cdot e^{i y}+c_1 \\ =-i e^x(\cos y+i \sin y)+c_1 \\ =-i e^x \cos y+e^x \sin y+i c \\ =e^x \sin y+i\left(c-e^x \cos y\right) \\ \therefore v=c-e^x \cos y
अतः अभीष्ट विश्लेषिक फलन है

f(z)=u+i v=e^x \sin y+i\left(c-e^x \cos y\right)
तथा काल्पनिक भाग v=c-e^x \cos y
Illustration:2(ii). \sin x \cosh y
Solution: \sin x \cosh y
माना f(z)=u+iv विश्लेषिक है।
यहाँ u=\sin x \cosh y \\ \therefore \frac{\partial u}{\partial x}=\cos x \cosh y, \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x \sinh y
मिल्ने-थामसन विधि से:
f(z)=u+iv विश्लेषिक है,अतः

f^{\prime}(z) =\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y}
[कोशी-रीमान समीकरण से]
\Rightarrow f^{\prime}(z)=\cos x \cosh y-i \sin x \sinh y
x=z तथा y=0 रखने पर:

f^{\prime}(z)=\cos z \cosh -i \sin z \sinh 0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(z)=\cos z
z के सापेक्ष समाकलन करने पर:

f(z)=\sin z+c_1 \\ =\sin (x+i y)+c_1 \\ =\sin x \cos i y+\cos x \sin i y+c_1 \\ =\sin x \cosh y+i \cos x \sinh y+i c \\ =\sin x \cosh y+i(\cos x \sinh y+c) \\ =u+i v
अतः अभीष्ट विश्लेषिक फलन

f(z)=u+i v=\sin x \cosh y+i(\cos x \sinh y+c)
काल्पनिक भाग v=\cos x \sinh y+c
Illustration:2(iii). x^2-y^2
Solution: x^2-y^2
माना f(z)=u+iv विश्लेषिक है।
यहाँ u=x^2-y^2 \\ \therefore \frac{\partial u}{\partial x}=2 x, \frac{z u}{\partial y}=-2 y
f(z) ज्ञात करने के लिए मिल्ने-थामसन विधि से:
f(z)=u+iv विश्लेषिक है अतः

f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y}=2 x+2 i y
[ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} ; कोशी-रीमान समीकरण से]
x=z तथा y=0 रखने पर:

f'(z)=2z
z के सापेक्ष समाकलन करने पर:

f(z)=z^2+c_1 \\ =(x+i y)^2+c_1 \\ =x^2-y^2+2 i xy+i c \\ \Rightarrow f(z) =\left(x^2-y^2 \right)+i(2 x y+c)
अतः अभीष्ट विश्लेषिक फलन है:

f(z)=\left(x^2-y^2\right)+i(2 x y+c)
तथा काल्पनिक भाग v=2xy+c
Illustration:3.विश्लेषिक फलन ज्ञात करें जिसका काल्पनिक भाग दिया गया है और इसलिए वास्तविक भाग ज्ञात करें।
(find the analytic function whose imaginary part is given and hence find the real part.)
Illustration:3(i). \frac{x-y}{x^2+y^2}
Solution: \frac{x-y}{x^2+y^2}
माना f(z)=u+iv विश्लेषिक है।
यहाँ v=\frac{x-y}{x^2+y^2} \\ \therefore \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot 1-(x-y) \cdot 2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{y^2-x^2+2 x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}
तथा \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\left(x^2+y^2\right)(-1)-(x-y) \cdot 2 y}{\left(x^2+y^2\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{-x^2+y^2-2 x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}
f(z) ज्ञात करने के लिए मिल्ने-थामसन विधि से:
f(z)=u+iv विश्लेषिक है,अतः
f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial v}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial x} (कोशी-रीमान समीकरण से)

=\frac{y^2-x^2-2 x y}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{i\left(y^2-x^2+2 x y\right)}{\left(x^2+y^2\right) 2}
x=z तथा y=0 रखने पर:

f^{\prime}(z)=\frac{-z^2}{\left(z^2\right)^2}+\frac{i\left(-z^2\right)}{\left(z^2\right)^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(z)=-\frac{1}{z^2}-i \frac{1}{z^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(z)=-(1+i) \frac{1}{z^2}
z के सापेक्ष समाकलन करने पर:

\Rightarrow f(z) =(1+i) \cdot \frac{1}{2}+c_1 \\=\frac{(1+i)}{x+i y}+c_1 \\ =\frac{(1+i)(x-i y)}{(x+i y)(x-i y)} +c_1 \\ =\frac{(1+i)(x-i y)}{x^2+y^2} \\ =\frac{x+y}{x^2+y^2}+c_1+\frac{i(x-y)}{x^2+y^2}
अतः अभीष्ट विश्लेषिक फलन

f(z)=\frac{x+y}{x^2+y^2}+c_1+i \frac{(x-y)}{x^2+y^2}
तथा वास्तविक भाग=\frac{x+y}{x^2+y^2}+c_1
Illustration:3(ii). \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
Solution: \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
माना f(z)=u+iv विश्लेषिक है।
यहाँ v=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \therefore \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}
तथा \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}
f(z) ज्ञात करने के लिए मिल्ने-थामसन विधि से:

f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial v}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial x}
[ \therefore कोशी-रीमान समीकरण \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} से]

f^{\prime}(z)=\frac{x}{x^2+y^2}+i\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)
x=z तथा y=0 रखने पर:

f^{\prime}(z)=\frac{z}{z^2}+\frac{(-0)}{z^2+0} \\ \Rightarrow f^{\prime}(z)=\frac{1}{z}
z के सापेक्ष समाकलन करने पर:

f(z)=\log z+c \\ =\log (x+i y)+c \\ =\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)+i \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) +c \\ \Rightarrow f(z) =\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)+c+i \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow f(z) =u+i v
अतः अभीष्ट विश्लेषिक फलन

f(z)=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)+c+i \tan \left(\frac{y}{x}\right)
तथा वास्तविक भाग=\frac{1}{2} \log \left(x^2+y^2\right)+c
Illustration:4.विश्लेषिक फलन का निर्माण करो
f(z)=u+iv जहाँ u=x^3-3 x y^2+3 x+1
(construct the analytic function f(z)=u+iv where u=x^3-3 x y^2+3 x+1 )
Solution: u(x, y)=x^3-3 x y^2+3 x+1 \\ u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)=\left(\frac{z}{2}\right)^3-3\left(\frac{z}{2}\right)\left(\frac{z}{2 i}\right)^2+3\left(\frac{z}{2}\right)+1 \\ =\frac{1}{8} z^3+\frac{3}{8} z^3+\frac{3}{2} z+1 \\ =\frac{1}{2} z^3+\frac{3}{2} z+1 \\ u(0,0)=1
अतः f(z)=2 u\left(\frac{z}{2}, \frac{z}{2 i}\right)-u(0,0)+c i \\ =z^3+3 z+2-1+c i \\ \Rightarrow f(z)=z^3+3 z+1+c i

How to Find Analytic Function?

 Illustration:5.वक्रों के परिवार का ऑर्थोगोनल प्रक्षेप पथ ज्ञात करें

x^2-y^2+x=c
(find the orthogonal trajectory of the family of curves)

x^2-y^2+x=c
Solution:माना u=x^2-y^2+x
तब \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+1, \frac{\partial u}{\partial y}=-2 y
माना f(z)=u+iv विश्लेषिक है।
तब f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} \\ =\frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y}
[कोशी-रीमान समीकरण से, \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} ]
मिल्ने-थामसन विधि से:
=2x+1-i(-2y)
x=z तथा y=0 रखने पर:
f'(z)=2z+1
z के सापेक्ष समाकलन करने पर:

f(z)=z^2+z+c_1 \\ =(x+i y)^2+(x+i y)+i c \\ =\left(x^2-y^2+x\right)+2 i xy+i y+i c \\ =\left(x^2-y^2+x\right)+i(2 x y+y+c) \\=u+i v
जहाँ v=2 x y+y+c
हम जानते हैं कि f(z)=u+iv विश्लेषिक है,तब वक्रों के परिवार x^2-y^2+x=c का ऑर्थोगोनल प्रक्षेप
u=अचर
अतः 2xy+y=C जहाँ C स्वेच्छ अचर है,वक्र परिवार का ऑर्थोगोनल प्रक्षेप है।
Illustration:6.सिद्ध करो कि एक प्रसंवादी फलन  औपचारिक अवकल समीकरण \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial \bar{z}}=0 को संतुष्ट करता है।
(show that a harmonic function satisfies the formal differential equation \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial \bar{z}}=0 .)
Solution:z=x+iy तब x=\frac{1}{2}(z+\bar{z}), y=\frac{1}{2 i}(z-\bar{z})
माना u प्रसंवादी फलन है,तब u लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करेगा

\therefore \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0 \ldots(1) \\ \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \bar{z}}+\frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \bar{z}} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2} \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{2 i} \frac{\partial u}{\partial y} \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial \bar{z}}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}\right) \\=\frac{1}{2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}+\frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial z}-\frac{1}{2 i} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \cdot \frac{\partial x}{\partial z}-\frac{1}{2 i} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \\ = \frac{1}{4} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{1}{4 i} \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}-\frac{1}{4 i} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} +\frac{1}{4} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\ =\frac{1}{4} \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \\ =\frac{1}{4}(0)[(1) से] \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial z \partial \bar{z}}=0
Illustration:7.यदि u=(x-1)^3-3 x y^2+3 y^2 , v निर्धारित करें ताकि u+iv,x+iy का एक नियमित फ़ंक्शन हो।
(if u=(x-1)^3-3 x y^2+3 y^2 , determine v so that u+iv is a regular function of x+iy.)
Solution: u=(x-1)^3-3 x y^2+3 y^2 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=3(x-1)^2-3 y^2
तथा \frac{\partial y}{\partial y}=-6 x y+6 y
यहाँ v; x और y का फलन है तथा v,u का प्रसंवादी संयुग्मी है।
\therefore dv=\frac{\partial v}{\partial x} dx+\frac{\partial v}{\partial y} dy \\ =\frac{\partial u}{\partial y} dx+\frac{\partial u}{\partial x} dy (कोशी-रीमान समीकरण से)

=(6 x y-6 y) d x+\left(3(x-1)^2-3 y^2\right) d y \\ =6 x y d x+3 x^2 d y-(6 y d x+6 x d y) +\left(3-3 y^2\right) d y
समाकलन करने पर:

r=3 x^2 y-6 x y+3 y-y^3+c
जहाँ C वास्तविक अचर है।
Illustration:8.फलन \sinh (e^z) का वास्तविक घटक क्या है और सिद्ध करो कि यह हर जगह प्रसंवादी है?
(what is the real component of the function \sinh (e^z) and show that it is harmonic everywhere?)
Solution: f(z)=\sinh (e^z) \\ =\sinh \left(e^{x+i y}\right) \\ =\sinh \left[e^x \cdot e^{i y}\right] \\=\sinh \left[e^x(\cos y+i \sin y)\right] \\ =\sinh \left[e^x \cos y+i e^x \sin y\right] \\ =-i \sinh \left(i e^x \cdot \cos y-e^x \sin y\right) \\ =-i\left[i \sinh \left(e^x \cos y\right) \cos \left(e^x \cos y\right)\right] \\ =-i\left[i \sinh \left(e^x \cos y\right) \cos \left(e^x \cos y\right)-\cosh \left(e^x \cos y\right) \sin \left(e^x \sin y\right)\right]
f(z) वास्तविक भाग=\sinh \left(e^x \cos y\right) \cdot \cos \left(e^x \sin y\right)
Illustration:9.सिद्ध करो कि फलन u(x, y)=e^x \cos y प्रसंवादी है। इसका प्रसंवादी संयुग्मी v(x, y) और विश्लेषिक फलन f(z)=u+iv निर्धारित करें।
(show that the function u(x, y)=e^x \cos y is harmonic.Determine its harmonic conjugate v(x, y) and the analytic function f(z)=u+iv):
Solution: u=e^x \cos y \\ \frac{\partial u}{\partial x}=e^x \cos y, \frac{\partial u}{\partial y}=-e^x \sin y \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=e^x \cos y, \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-e^x \cos y \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
अतः u लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करता है।
u का प्रथम व द्वितीय कोटि का आंशिक अवकल समीकरण संतत है अतः u विश्लेषिक फलन है।
अतः v,u का प्रसंवादी संयुग्मी है।

dv=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} dy (v, x, y का फलन है)
=-\frac{\partial u}{\partial y} d x+\frac{\partial u}{\partial x} d y
(कोशी-रीमान समीकरण से)

\Rightarrow d v=e^x \sin y d x+e^x \cos y d y
समाकलन करने पर:
z=e^x \sin y+c \\ \therefore f(z)=u+i v=e^x \cos y+i\left(e^x \sin y+c\right) \\ =e^x ( \cos y+i \sin y)+i c \\ =e^{x+i y}+d (जहाँ d+ic)

\Rightarrow f(z)=e^z+d
Illustration:10.सिद्ध करो कि फलन u=\sin x \cosh y+2 \cos x \sinh y+x^2-y^2+4 x y
लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करता है और संबंधित विश्लेषिक फलन u+iv ज्ञात करें।
(show that the function u=\sin x \cosh y+2 \cos x \sinh y+x^2-y^2+4 x y
Satisfies Laplace’s equation and find the corresponding analytic function u+iv.)
Solution: u=\sin x \cosh y+2 \cos x \sinh y+x^2-y^2+4 x y \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\cos x \cosh y-2 \sin x \sinh y+2 x+4 y \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x \sinh y+2 \cos x \cosh y-2 y+4 x \\ \therefore \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\sin x \cosh y-2 \cos x \sinh y+2 
तथा \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\sin x \cdot \cosh y+2 \cos x \sinh y-2 \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
अतः u लाप्लास समीकरण को सन्तुष्ट करता है।
अब f^{\prime}(x)=u_x-i u_y \\ =\cos x \cosh y-2 \sin x \sinh y+2 x+4 y-i(\sin x \sinh y+2 \cos x \cosh y-2 y+4 x) \\ =\cos x \cosh y-i \sin x \sinh y-2 i(\cos x \cosh y-i \sin x \sinh y)+2(x+i y)-4 i (x+i y) \\ =\cos z-2 i \cos z+2 z-4 i z \\ \Rightarrow f'(z)=\cos z+2 z-2 i(\cos z+2 z)
समाकलन करने पर:

f(z)=\sin z+z^2-2 i \cdot\left(\sin z+z^2\right)+c
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा विश्लेषिक  फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Function?),सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic Function in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

How to Find Analytic Function?

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3.विश्लेषिक  फलन कैसे ज्ञात करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Find Analytic Function?),सम्मिश्र विश्लेषण में प्रसंवादी फलन (Harmonic Function in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विश्लेषिक  फलन कैसे ज्ञात करें? (How to Find Analytic Function?) के इस आर्टिकल
में विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग देने पर अथवा काल्पनिक भाग देने पर विश्लेषिक
फलन ज्ञात करना