1.आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Cosets Of A Group?),सहसमुच्चय (सहकुलक) (Cosets):

How Do You Find Cosets Of A Group

आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Cosets Of A Group?) इसके लिए आपको सहसमुच्चय की परिभाषा जानना आवश्यक है।
सहसमुच्चय (सहकुलक) (Cosets):परिभाषा (Definition):यदि H किसी ग्रुप (समूह) G का उपग्रुप (उपसमूह) हो तथा a \in G तो समुच्चय a H=\{a h \mid h \in H\}
G में H का वाम सहसमुच्चय (Left Coset) कहलाता है।
उपर्युक्त प्रकार ही सहसमुच्चय H a=\{h a: h \in H\}
G में H का दक्षिण सहसमुच्चय (Right Coset) कहलाता है।
यदि e,ग्रुप G का तत्समक अवयव है तो
H e=\{h e: h \in H\}=\{h : h \in H\}=H [चूँकि h e=h \forall h \in G ]
तथा
e H=\{e h: h \in H\}=\left\{h: h \in H\right\}=H [चूँकि e h=h \forall h \in G ]
अर्थात् तत्समक अवयव e के संगत H के वाम एवं दक्षिण सहसमुच्चय स्वयं H होता है।
टिप्पणी:यदि G एक क्रमविनिमेय समूह हो तो ha=ah , \forall a \in G,h \in H
इसलिए aH=Ha
सहकुलक से सम्बन्धित प्रमेय:
प्रमेय (Theorem):1.यदि H,ग्रुप G का कोई उपग्रुप है तथा h \in H तब
Hh=H=hH
(If H is any subgroup of G and then Hh=H=hH)
उपपत्ति (Proof):माना कि तब हमें सिद्ध करना है कि Hh=H.
माना h_{1} कोई स्वेच्छ अवयव H का है तब h_{1}h सहसमुच्चय Hh का स्वेच्छ अवयव है।
परन्तु H एक उपग्रुप है इसलिए
h_{1} \in H , h \in H \Rightarrow h, h \in H (संवृत्तता से)
इससे यह सिद्ध हो गया कि Hh का प्रत्येक अवयव H का अवयव है

H h \subseteq H \cdots(1)

पुनः h_{1}=h_{1} e \\ =h_{1}\left(h^{-1} h\right) \\ =\left(h_{1} h^{-1}\right) h \in H h
[चूँकि h \in H \Rightarrow h^{-1} \in H तथा h_{1} \in H ,h^{-1} \in H \Rightarrow h_{1} h^{-1} \in H]
इसलिए H का प्रत्येक अवयव Hh का अवयव है।

H \subseteq H h \cdots(2)
(1) व (2) से:
H=Hh
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि:
H=hH
अतः Hh=H=hH
प्रमेय (Theorem):2.यदि समूह G का एक उपसमूह H है और a \in G, b \in G हो तो सिद्ध कीजिए कि
(If H be a subgroup of a group G and a \in G, b \in G then prove that)

(1) H a=H b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H \quad (2) a H=b H \Leftrightarrow b^{-1} a=H
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Conditions): 
माना कि Ha=Hb
अब a \in H a \Rightarrow a \in H b \Rightarrow a b^{-1} \in (H b) b^{-1} \\ \Rightarrow ab^{-1} \in H b b^{-1} \\ \Rightarrow a b^{-1} \in He \\ \Rightarrow a b^{-1} \in H
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Conditions):
माना ab^{-1} \in H कि तब हमें सिद्ध करना है Ha=Hb
ab^{-1} \in H \Rightarrow( H a b^{-1}) b=H [चूँकि h \in H \Rightarrow Hh=H ]

\Rightarrow( Hab^{-1} ) b = Hb \\ \Rightarrow Hae = Hb \\ \Rightarrow Ha = Hb
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि

a H=b H \Leftrightarrow b^{-1} a \in H
टिप्पणी:हम यह जानते हैं कि यदि H एक उपग्रुप है तो

x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H \\ \therefore ab^{-1} \in H=(ab^{-1})^{-1}=b a^{-1} \in H
प्रमेय (Theorem):3.किसी समूह के उपसमूह के कोई दो दक्षिण (वाम) सहकुलक या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे।
(Any two right (left) cosets of a subgroup of a group are either identical or disjoint.)
उपपत्ति (Proof):माना कि H किसी समूह G का उपसमूह है।साथ में यह माना कि Ha तथा Hb,समूह G में H के दो दक्षिण सहकुलक हैं।
माना कि Ha \cap Hb \neq \phi इसलिए इन दोनों सहकुलक में कम से कम एक अवयव उभयनिष्ठ है।
माना कि h_{1} a \in Ha तथा h_{2} b \in Hb  समान अवयव हैं।
\therefore h_{1} a=h_{2} b, \quad h_{1}, h_{2} \in H \\ \Rightarrow b=h_{2}^{-1} (h_{1} a) \\ \Rightarrow b=h_{2}^{-1} \left(h_{1}a\right) \\ \Rightarrow H b=H h_{2}^{-1}(h_{1} a) \\ \Rightarrow H b=H\left(h_{2}^{-1} h_{1}\right) a \\ \Rightarrow H b=H a [चूँकि h_{2} \in H, h_{1} \in H \Rightarrow h_{2}^{-1} \in H, h_{1}^{-1} \in H \\ \Rightarrow h_{2}^{-1} h_{1} \in H\\ \Rightarrow H h_{2}^{-1} h_{1}=H ]
अतः यदि Ha \cap Hb \neq \phi तो Hb=Ha
अर्थात् H में कोई दो दक्षिण सहकुलक यदि असंयुक्त नहीं है तो वह दोनों सर्वसम होंगे।
दो वाम सहकुलकों के लिए उपर्युक्त परिणाम इसी प्रकार से सिद्ध कर सकते हैं।
प्रमेय (Theorem):4.यदि H किसी ग्रुप G का एक उपग्रुप हो तो G,H के सभी वाम (दक्षिण) सहसमुच्चयों के संघ के बराबर है।
(If H is a subgroup of a group G,then G is equal to the union of all left (right) cosets of H in G.)
उपपत्ति (Proof): a \in G \Rightarrow a \in a H \\ \Rightarrow a \in \underset {a \in G }{U } a H \\ G \subseteq \underset {a \in G }{U } a H \cdots(1)
पुनः चूँकि a H \subseteq G \quad \forall a \in G \\ \underset {a \in G }{U } a H \subseteq G \cdots(2)
अतः (1) तथा (2) से:

G=\underset {a \in G }{U } a H
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं:

G=\underset {a \in G }{U }  H a
प्रमेय (Theorem):5.लैंग्रेज-प्रमेय (Lagrange's Theorem):एक परिमित ग्रुप के प्रत्येक उपग्रुप का ग्रुपांक,उस ग्रुप के ग्रुपांक का भाजक होता है।
(The order of each subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group):
उपपति (Proof):मान लो कि G एक परिमित ग्रुप है जिसका ग्रुपांक n है और H,G का एक उपग्रुप है तथा H का ग्रुपांक m है अर्थात् o(G)=n,o(H)=m
तथा किसी a \in G के लिए एक प्रतिचित्रण f: H \rightarrow a H से इस प्रकार परिभाषित है कि
f(h)=ah
यह प्रतिचित्रण आच्छादक (onto) है क्योंकि aH का प्रत्येक अवयव का स्वरूप ah,h \in H का है,साथ ही किन्हीं दो अवयवों
h_{1}, h_{2} \in H \\ f\left(h_{1}\right)=f\left(h_{2}\right) \Rightarrow a h_{1}=a h_{2} \Rightarrow h_{1}=h_{2} [वाम निरसन से]
अतः f एकैकी तथा आच्छादक (one-time onto) प्रतिचित्रण H का aH पर है।अर्थात्
O(H)=O(aH)
इसी प्रकार O(H)=O(Ha)
इसलिए O(H)=O(aH)=O(Ha)
हम जानते हैं कि G=\underset {a \in G }{U } a H
परन्तु H के सभी वाम सहसमुच्चय असंयुक्त नहीं होते अतः माना कि

a_{1} H,a_{2} H,a_{3} H,\cdots, a_{k} H
H के k असंयुक्त वाम सहसमुच्चय हैं।

\therefore G=a_{1} H \cup a _{2} H \cup a _{3} H \cup \cdots \cup a _{ k } H
क्योंकि दाहिने पक्ष (R.H.S.) में सभी सहसमुच्चय असंयुक्त हैं अतः

O(G)=O\left(a_{1} H\right)+O\left(a_{2} H\right)+\cdots O(a_{k}, H)
परन्तु O(a H)=O(H) \forall a \in G\\ \therefore O(G)=0\left(H \right)+O(H)+O(H) \text {k बार }\\ \Rightarrow O(G)=k \quad O(H) \\ \Rightarrow n=k m
\frac{m}{n} या O(H);O(G) का भाजक है।
अर्थात् उपग्रुप का ग्रुपांक ग्रुप के ग्रुपांक का भाजक है।
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2.आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं के उदाहरण (How Do You Find Cosets Of A Group Examples):

Example:1.यदि C=\left\{a, a^{2}, a^{3}, a^{4}=1\right\}, O(G)=4, H=\left\{1, a^{2}\right\} का उपग्रुप है।H के सभी सहसमुच्चय ज्ञात कीजिए।साथ ही यह भी दर्शित कीजिए कि दो सहसमुच्चय या तो समान है या असंयुक्त हैं।
(If C=\left\{a, a^{2}, a^{3}, a^{4}=1\right\}, O(G)=4, H=\left\{1, a^{2}\right\} is a subgroup of G.Find all the cosets and also establish that any two cosets are either disjoint or identical.)
Solution: C=\left\{a, a^{2}, a^{3}, a^{4}=1\right\}, \quad O(G)=4, H=\left\{1,a^{2}\right\}\\ a \in G \text { तथा } H=H \cdot a=\left\{a, a^{3} \right\} \\ a^{2} \in G \text { तथा } H=H \cdot a^{2}=\left\{a^{2}, a^{4}\right\} =\left\{a^{2}, 1 \right\}=H \\ a^{3} \in G \text { तथा } H=H \cdot a^{3}=\left\{a^{3},a^{5}\right\}=\left\{a^{3}, a\right\}\\ a^{4} \in G \text { तथा } H=H \cdot a^{4}=\left\{a^{4}, a^{6}\right\}=\left\{1, a^{2}\right\}=H
अतः H, \left\{a,a^{3}\right\} केवल दो असंयुक्त सहकुलक है।
Example:2.सममित ग्रुप S_{3} में H=\{(1),(1 \quad 2)\} के सभी वाम एवं दक्षिण सहसमुच्चयों को ज्ञात कीजिए।
(Find all the left and right cosets of H=\{(1),(1 \quad 2)\} in the symmetric group S_{3})
Solution:H=\{(1) ;(1 \quad 2) \} \\ S_{3}=\{(1),(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 3 \quad 2),(1 \quad 3),(1 \quad 2),(2 \quad 3)\} \\ (1) \in S_{3} \text { तथा } H=H(1)=(1)(1),(1)(1 \quad 2) \\ =(1),(1 \quad 2)=H \\ (1 \quad 2) \in S_{3} \text { तया } H =(1)(1 \quad 2),(1 \quad 2)(1 \quad 2) \\ =(1 \quad 2),\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \\ =(1 \quad 2),\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \\ =(1 \quad 2),\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \\ =(1 \quad 2)(1)=H \\ (2 \quad 3) \in S_{3} \text { तथा } H=(1)(2 \quad 3),(1 \quad 2)(2 \quad 3) \\ =\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)\\ =(2 \quad 3),(1 \quad 2 \quad 3) \\ (1 \quad 2 \quad 3) \in S_{3} \text { तथा } H =(1)(1 \quad 2 \quad 3),(1 \quad 2)(1 \quad 2 \quad 3) \\ = H(1 \quad 2 \quad 3) \\ (1 \quad 3 \quad 2) \in S_{3} \text { तथा } H =(1)(1 \quad 3 \quad 2),(1 \quad 2)(1 \quad 3 \quad 2) \\ =H(1 \quad 3 \quad 2)\\ (1 \quad 2 \quad 3) \in S_{3} \text { तथा } H =(1 \quad 2 \quad 3)(1) ,(1\quad 2 \quad 3)(1 \quad 2) \\ =(1 \quad 2 \quad 3) H \\ (1 \quad 3 \quad 2) \in S_{3} \text { तथा } H =(1 \quad 3 \quad 2)(1),(1 \quad 3 \quad 2)(1 \quad 2) \\ =H(1 \quad 3 \quad 2)

अतः सममित ग्रुप S_{3} में H के सभी वाम तथा दक्षिण सहसमुच्चय

=H,(1 \quad 2 \quad 3) H ,(1 \quad 3 \quad 2) H ; H , H (1 \quad 2 \quad 3), H (1 \quad 3 \quad 2)

How Do You Find Cosets Of A Group

Example:3.एक ग्रुप G का उदाहरण दीजिए जिसका एक ऐसा उपग्रुप H विद्यमान है कि G के दो अवयव a,b के लिए Ha=Hb परन्तु a H \neq b H
(Given an example of a group G having a subgroup H and two elements a,b such that Ha=Hb but  a H \neq b H.)
Solution:माना a^{-1} H=b^{-1} H तथा a \neq b \\ \Rightarrow \exists h_{i}, h_{j}  \in H इस प्रकार है कि
a^{-1} h_{i}=b^{-1} h j \\ \Rightarrow(aa^{-1}) h_{i}=(ab^{-1}) h_{j} \\ \Rightarrow h_{i}=ab^{-1} h_{ j} \\ \Rightarrow h_{i} h_{j}^{-1}=a b^{-1} \\ \Rightarrow H\left(h_{i} h_{j}^{-1}\right)=H(ab^{-1}) \\ \Rightarrow H=H(ab^{-1}) [चूँकि h_{i}h_{j} \in H]

\Rightarrow H b=(H a) b^{-1} b \\ \Rightarrow H b=H a \left [ a b^{-1} \in H \right ] \\ \Rightarrow H a=H b
पुनः a^{-1} H=b^{-1} H \\ \Rightarrow a a^{-1} H=ab^{-1} H \\ \Rightarrow H=ab^{-1} H \\ \Rightarrow a H=a^{2} b^{-1} H \cdots(1) \\ a^{-1} H=b^{-1} H \\ \Rightarrow b a^{-1} H=bb^{-1} H \\ \Rightarrow ba^{-1} H=H \\ \Rightarrow b^{2} a^{-1} H=b H \cdots(2)

अतः (1) तथा (2) से: 

a H \neq b H
Example:4.माना कि ग्रुप G का H एक उपग्रुप है तथा T उन सब अवयवों का समुच्चय है जिनके लिए xH=Hx तो सिद्ध करो कि T,G का उपग्रुप है।
(Let H be a subgroup of a group G,T set of all those elements for which xH=Hx;then show that T is a subgroup of G.)
Solution: x_{1}, x_{2} \in T \\ x_{1} H=H x_{1} तथा x_{2} H=H x_{2} \cdots(1) \\ \Rightarrow x_{2} H=H x_{2} \\ \Rightarrow \left(x_{2} H\right) x_{2}^{-1}=\left(H x_{2}\right) x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} \left(x_{2} H \right)x_{2}^{-1}=x_{2}^{-1}\left(H x_{2}\right) x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow \left(x_{2}^{-1} x_{2}\right)\left(H x_{2}^{-1} \right)=\left(x_{2}^{-1} H\right)\left(x_{2} x_{2}^{-1}\right)\\ \Rightarrow H x_{2}^{-1} =x_{2}^{-1} H \cdots(2)\\ \Rightarrow x_{2}^{-1} \in T \\ \left(x_{1} x_{2}^{-1} H\right) =x_{1}\left(x_{2}^{-1} H\right) \\ =x_{1}\left(H x_{2}^{-1}\right) [(2) से]

=\left(x_{1} H\right) x_{2}^{-1} \\ =\left(H x_{1}\right) x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} H=H x_{1} x_{2}^{-1} \\ \Rightarrow x_{1}, x_{2} \in T \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in T
अतः T उपग्रुप है।

3.आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं की समस्याएं (How Do You Find Cosets Of A Group Problems):

(1.)समूह (Z,+) में 3z के सभी सहकुलक ज्ञात कीजिए।
(Find all the cosets of 3z in the additive group (Z,+) of integers.)
(2.)ग्रुप G=\left(z_{8},+_{8}\right) में H={0,4} के सभी सहसमुच्चय ज्ञात कीजिए।
(Find all the cosets of H={0,4} in the group G=\left(z_{8},+_{8}\right) .)
उत्तर (Answers): (1.)H,H+1,H+2
(2.)H,1+H,2+H,3+H

4.मुख्य बिंदु (HIGHLIGHTS):

How Do You Find Cosets Of A Group

(1.)तत्समक अवयव e के संगत H के वाम एवं दक्षिण सहसमुच्चय स्वयं H होता है।
(2.)यदि ग्रुप (समूह) G एक क्रमविनिमेय समूह हो तो h a=a h \quad \forall a \in G, h \in H इसलिए aH=Ha.
(3.)किसी समूह के उपसमूह के कोई दो दक्षिण (वाम) सहकुलक या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे।
(4.)लैग्रेंज प्रमेय (Lagrange's Theorem) के अनुसार एक परिमित ग्रुप के प्रत्येक उपग्रुप का ग्रुपांक उस ग्रुप के ग्रुपांक का भाजक होता है।
(5.)लेग्रेंज प्रमेय का विलोम सदैव सत्य नहीं होता है।अर्थात् यदि ग्रुप का ग्रुपांक n हो और m _{1}, m _{2} \ldots m_{n} के भाजक हों तो यह आवश्यक नहीं है कि इस ग्रुप के उपसमुच्चय जिस की कोटि m _{1}, m _{2} \ldots है वह सब उपग्रुप होंगे।

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5.आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Cosets Of A Group?) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आप समूह का सहसमुच्चय कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do You Find Cosets Of A Group?)
इसके लिए आपको सहसमुच्चय की परिभाषा जानना आवश्यक है।