Homogeneous differential equation

समघात अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Homogeneous differential equation):

Homogeneous differential equation

• समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential equation):वह अवकल समीकरण जिसके प्रत्येक चर x,y,z,… को चर tx,ty,tz,… से प्रतिस्थापित कर दिए जाने पर फलन को \frac{dy}{dx}=\frac{t^{n}(x,y,...)}{(x,y,z..)} के रूप में निरूपित किया जा सकता है जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है उनको समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) कहते हैं।
  
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समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential equation):

Homogeneous differential equation

• एक अवकल समीकरण जिसका रूप
  \frac{dy}{dx}=\frac{f_{1}(x,y)}{f_{2}(x,y)} …(1)
  का हो जहाँ f_{1}(x,y)\text{ तथा }f_{2}(x,y) दोनों x और y के एक ही घात के समघात फलन (Homogeneous Functions of the Same Degree) हो,उनको समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) कहते हैं।
  इस प्रकार के समीकरणों का हल ज्ञात करने के लिए हम
  y=vx… (2)
• प्रतिस्थापित करते हैं जिससे y एक नये आश्रित चर (Dependent Variable) v में बदल जाता है।
  माना कि f_{1}\text{ तथा }f_{2} दोनों n घात के समघात फलन हैं,तब
  f_{1}(x,y)=x^{n}F_{1}\left(\frac{y}{x}\right) तथा f_{2}(x,y)=x^{n}F_{2}\left(\frac{y}{x}\right)….(3)
  और समीकरण (1) को हम लिखते हैं
  \frac{dy}{dx}=\frac{f_{1}(\frac{y}{x})}{f_{2}(\frac{y}{x})}… (4)
  अब चूँकि y=vx\Rightarrow{\frac{dy}{dx}}=v+x\frac{dv}{dx}….(5)
  इसलिए समीकरण (4) का नया रूप होगा:
  v+x\frac{dv}{dx}=\frac{F_{1}(v)}{F_{2}(v)}
  \Rightarrow{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}}=\frac{dx}{c}….(6)
  जिसमें चर पृथक किए जा सकते हैं और इसका हल चर पृथक्करण में दी गई विधि से ज्ञात किया जा सकता है अर्थात्
  \int{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}}=\int{\frac{dx}{c}+c}
  तत्पश्चात v के स्थान पर \frac{y}{x} विस्थापित करने पर समीकरण का अभीष्ट हल प्राप्त हो जाता है।
  (Equation of the first order and first degree)

Homogeneous differential equation

• उपर्युक्त आर्टिकल में समघात अवकल समीकरण (Homogeneous DE) के बारे में बताया गया है।