Homogeneous differential equation

समघात अवकल समीकरण का परिचय (Introduction to Homogeneous differential Equation):

Homogeneous differential Equation

• समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential Equation):के इस आर्टिकल में बताया गया है कि है f(x,y)dx+g(x,y)dy=0 को समघात अवकल समीकरण कहते हैं यदि इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सके:
  \frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)
  
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समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential Equation):

Homogeneous differential Equation

• एक अवकल समीकरण जिसका रूप
  \frac{dy}{dx}=\frac{f_{1}(x,y)}{f_{2}(x,y)}
  का हो जहाँ f_{1}(x,y)\text{ तथा }f_{2}(x,y) दोनों n घात के समघात फलन (Homogeneous equations of the same degree) हो,उनको समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equations) कहते हैं।
  इस प्रकार के समीकरणों का हल ज्ञात करने के लिए
  y=vx… (2)
  प्रतिस्थापित करते हैं जिससे y एक नये आश्रित चर (dependent variable) v में बदल जाता है।
  माना कि f_{1}\text{ तथा }f_{2} दोनों n घात के समघात फलन हैं,तब
  f_{1}(x,y)=F_{1}\left(\frac{y}{x}\right) तथा f_{2}(x,y)=F_{2}\left(\frac{y}{x}\right)… (3)
  और समीकरण (1) को हम लिखते हैं
  \frac{dy}{dx}=\frac{F_{1}(\frac{y}{x})}{F_{2}(\frac{y}{x})}… (4)
  अब चूँकि y=vx\Rightarrow{\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}…. (5)
  इसलिए समीकरण (4) का नया रूप होगा:
  v+x\frac{dv}{dx}=\frac{F_{1}(v)}{F_{2}(v)}
  \Rightarrow{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}=\frac{dx}{x}}
  इसमें चर पृथक किए जा सकते हैं और इसका हल चर पृथक्करण की विधि से कर सकते हैं:
  \int{\frac{F_{2}(v)dv}{[F_{1}(v)-vF_{2}(v)]}}=\int{\frac{dx}{x}+c}
  Equation of the first order and first degree

Homogeneous differential Equation

• उपर्युक्त आर्टिकल में समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential Equation) के बारे में बताया गया है।