1.सांख्यिकी में हरात्मक माध्य (Harmonic Mean in Statistics),हरात्मक माध्य (Harmonic Mean):

Harmonic Mean in Statistics

सांख्यिकी में हरात्मक माध्य (Harmonic Mean in Statistics):किसी समूह के मदों की संख्या को उन पद-मूल्यों के व्युत्क्रमों के योग से भाग देने पर जो भजनफल प्राप्त होता है,वही उस समूह का हरात्मक माध्य कहलाता है।अर्थात् किसी समूह के पदों के हरात्मक माध्य उनके व्युत्क्रमों (Reciprocals) के समान्तर माध्य का व्युत्क्रम होता है।
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2.सांख्यिकी में हरात्मक माध्य पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Harmonic Mean in Statistics):

Example:82.निम्नलिखित संख्याओं के समूहों का हरात्मक माध्य ज्ञात कीजिए:
(Find out Harmonic Mean of the following set of numbers):
Example:82(i).1,1.5,5,15,250,.5,.55,.095,1245,.009
Solution:Calculation Table of Harmonic Mean

\begin{array}{|cc|} \hline \text{Measurements} & \text{Reciprocal} X \\ \hline 1. & 1 \\ 1.5 & 0.6667 \\ 5 & 0.2 \\ 15 & 0.0667 \\ 250 & 0.004 \\ .5 & 2 \\ .55 & 1.8182 \\ .055 & 10.5263 \\ 1245 & 0.0008 \\ .009 & 111.1111 \\ \hline N=10 & \Sigma \text{Reciprocals}= 127.3938 \\ \hline \end{array}
हरात्मक माध्य (h)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{ \Sigma \text { Reciprocal } X}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left(\frac{127.3938}{10}\right) \\ =\text { Reciprocal of }(12.73938) \\ =\frac{1}{12.73938} \\ h=0.078496 \\ h \approx 0.0785
Example:82(ii).85,70,10,75,500,8,42,250,40,36
Solution:Calculation Table of Harmonic Mean

\begin{array}{|ll|} \hline \text{Measurements} X & \text { Reciprocal } X \\ \hline 85 & 0.0118 \\ 70 & 0.0143 \\ 10 & 0.1\\ 75 & 0.0133 \\ 500 & 0.002 \\ 8 & 0.125 \\ 42 & 0.0238 \\ 250 & 0.004 \\ 40 & 0.025 \\ \ 36 & 0.0278 \\ \hline N=10 & 0.347 \\ \hline \end{array}
हरात्मक माध्य (h)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{ \Sigma \text { Reciprocal } X}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left(\frac{0.347}{10}\right) \\ =\text { Reciprocal of }(0.0347) \\ =\frac{1}{0.0347} \\ =28.818443 \\ h \approx 28.82
Example:83.निम्नलिखित समंकों से हरात्मक माध्य ज्ञात कीजिए:
(Calculate Harmonic Mean from the following data):

Solution:Calculation Table of Harmonic Mean
\begin{array}{|lllll|} \hline \text{Marks} & \text{No. of } & M.V. & \text{Reciprocal } X & \text{Reciprocal} X \times f \\ & \text{students} & (X) & & \\ \hline 8-10 & 5 & 5 & 0.2 & 1 \\ 10-20 & 10 & 15 & 0.0667 & 0.667 \\ 20-30 & 7 & 25 & 0.04 & 0.28 \\ 30-40 & 3 & 35 & 0.0286 & 0.0858 \\ 40-50 & 2 & 45 & 0.0222 & 0.0444 \\ \hline \text { Total }& N=27 & & & 2.0772 \\ \hline \end{array}
हरात्मक माध्य (h)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{ \Sigma \text { Reciprocal } fX}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal }\left(\frac{2.0772}{27}\right) \\ =\text { Reiprocal of } (0.07693 ) \\ =\frac{1}{0.07693} \\ =12.998 \\ h \approx 13 \text { marks }
Example:84(a).एक प्रोफेसर ने कार द्वारा तीन दिन यात्रा की।उन्होंने प्रत्येक दिन 960 कि. मी. दूरी तय की।उन्होंने प्रथम दिन 10 घण्टे में 96 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से,दूसरे दिन 12 घण्टे 80 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से तथा तीसरे दिन 15 घण्टे 64 कि. मी. प्रति घण्टे की गति से कार चलाई।कार की औसत गति क्या थी?
(A professor travelling by a car for 3 days.He drive the car first day 10 hours at 96 kms. per hour, second 12 hours at 80 kms. per hour and third day 15 hours at 64 kms. per hour. What was the average speed of the car?)
Solution:Calculation Table of Harmonic Mean

\begin{array}{|cc|} \hline \text { KM per Hour } & \text { Reciprocals } \\ \hline 96 & 0.0104 \\ 80 & 0.0125 \\ 64 & 0.015625 \\ \hline N=3 & \Sigma \text { Reciprocal } =0.038525 \\ \hline \end{array}
हरात्मक माध्य (h)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{ \Sigma \text { Reciprocal } X}{N}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left(\frac{0.038525}{3}\right) \\ =\text { Reciprocal of }(0.01284) \\ =\frac{1}{0.01284}\\ =77.8816 \\ \Rightarrow h \approx 77.88 \mathrm{~km} / \mathrm{hour}
Example:84 (b).रमेश एक ऑटो द्वारा यात्रा करता है।वह 20 किमी दूरी 40 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से,10 कि. मी. दूरी 30 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से तथा 30 कि. मी. दूरी 60 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से तय करता है।उसकी औसत गति क्या थी?
(Ramesh travels by an Auto.He covers 20 kms. per hour and 40 kms. per hour, 10 kms. at 30 kms. per hour and 30 kms. at 60 kms. per hour.What was his average speed?)
Solution:दर में दूरी ‘चल’ (variable) तथा समय ‘अचल’ (constant) है।प्रश्न में दूरी ‘चल’ है क्योंकि रमेश ऑटो द्वारा अलग-अलग दूरी तय करता है।अतः भारित हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा।
ऑटो द्वारा 20 किमी में लिया गया समय=\frac{20}{40}=\frac{1}{2} घण्टे
ऑटो द्वारा 10 किमी में लिया गया समय=\frac{10}{30}=\frac{1}{3} घण्टे
ऑटो द्वारा 30 किमी में लिया गया समय=\frac{30}{60}=\frac{1}{2} घण्टे
कुल समय=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{3} घण्टे
कुल तय की गई दूरी=20+10+30=60 किमी
औसत चाल=\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} \\ =\frac{60}{\frac{4}{3}}=45 Kms. per hour
Example:84(c).नरेश जयपुर से सांगानेर की यात्रा करता है।दोनों शहरों की दूरी 12 किमी है।वह अपनी कार 40 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से चलाता है।3 कि. मी. की यात्रा करने के पश्चात कार खराब हो जाती है उसके पश्चात वह रिक्शे द्वारा 10 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से यात्रा करता है।4.5 कि. मी. दूरी तय करने के पश्चात वह रिक्शा छोड़ देता है और शेष दूरी पैदल 4 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से चलकर पूरी करता है।सम्पूर्ण यात्रा की औसत गति प्रति घण्टा ज्ञात कीजिए।
(Naresh travels from Jaipur to Sanganer.The distance between these two cities is 12 kms. He drives his car at 40 kms. per hour. After traveling 3 kms. the car stops running.He then travels by a Richshaw at 10 kms. per hour.After travelling a distance of 4.5 kms, he leaves Rickshaw and covers the remaining distance on foot at 4 kms. per hour.Find the average speed per hour for the whole journey.)
Solution:दर में दूरी ‘चल’ (variable) तथा समय ‘अचल’ (constant) है।प्रश्न में दूरी ‘चल’ है क्योंकि नरेश 3 किमी कार द्वारा,4.5 किमी रिक्शा द्वारा तथा 4.5 किमी पैदल तय करता है।अतः भारित हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा।
कार द्वारा तय की गई दूरी में लगा समय= \frac{3}{40} घण्टे
रिक्शा द्वारा तय की गई दूरी में लगा समय=\frac{4.5}{10}=\frac{9}{20} घण्टे
पैदल तय की गई दूरी में लगा समय=\frac{4.5}{4} =\frac{9}{8}  घण्टे

कुल समय =\frac{3}{40}+\frac{9}{20}+\frac{9}{8} \\ =\frac{3+18+45}{40}=\frac{66}{40} \\ =\frac{33}{20}
अतः औसत चाल=\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} \\ =\frac{12}{\frac{33}{20}}=12 \times \frac{20}{33} \\ =7.272 \\ \approx 7.27 kms. per hour  

Harmonic Mean in Statistics

Example:85(i).तीन व्यक्ति X,Y तथा Z एक कार्य को क्रमशः 20,40 तथा 25 घण्टों में पूरा कर सकते हैं।उनकी औसत गति क्या है?
(Three persons X,Y and Z can finish a job in 20,40 and 25 hours respectively.What is their average speed?)
Solution:दर में कार्य ‘अचल’ (constant) व समय ‘चल’ (variable) है।प्रश्न में समय को अचल रखने को कहा गया है क्योंकि तीनों बराबर घण्टे कार्य करेंगे,अतः हरात्मक माध्य ज्ञात करेंगे।

h =\text { Reciprocal of }\left(\frac{0.115}{3}\right) \\ =\frac{3}{0.115} \\ =26.86 \\ \Rightarrow h \approx 26.1 hours
Example:85(ii).एक माॅडल A 5 दिनों में,B 10 दिनों में तथा C 16 दिनों में पूरा कर सकते हैं।यदि तीनों बराबर दिन काम करें तो कितना औसत समय लगेगा?
(A can prepare a model in 5 days, B in 10 days and C in 16 days.If all the three worked for equal number of days,what will be the average time taken by them?)
Solution:”दर में कार्य (माॅडल की संख्या) को ‘अचल’ (constant) व समय ‘चल’ (variable) है।प्रश्न में समय को अचल रखने को कहा गया है क्योंकि तीनों बराबर घण्टे कार्य करेंगे।अतः हरात्मक माध्य ज्ञात करेंगे।

h=\text { Reciprocal of }\left(\frac{0.3625}{3}\right) \\ =\frac{3}{0.3625} \\ =8.2758 \\ h \approx 8.28 \text { days }
Example:85(iii).नारायण एक दुकान से 0.50 रु. प्रति किलो की दर से तथा दूसरी दुकान से 1.00 रु. प्रति किलो की दर से केला खरीदता है।औसत मूल्य ज्ञात कीजिए, (i)यदि वह प्रत्येक दुकान से 2 किलो केले क्रय करे, (ii)यदि वह प्रत्येक दुकान से 2 रु. के केले क्रय करे।
(Narain buys banana from one shop @ Re. 0.50 per kg. and from another shop @ Re. 1.00 per kg. Find the average price if (i)he buys 2 kg. banana from each shop, (ii)he buys bananas of Rs. 2 from each shop?)
Solution:(i).दरों में मात्रा किलो ‘अचल’ (constant) है तथा रुपए ‘चल’ (variable) है।प्रश्न में मात्रा ‘अचल’ है क्योंकि 2 किलो केले प्रत्येक दुकान से क्रय करना है अर्थात् मात्रा दरों में व प्रश्न में ‘अचल’ है।अतः समान्तर माध्य ज्ञात किया जाएगा।

\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{0.50+1.00}{2}=\frac{1.50}{2} \\ \Rightarrow \overline{X}=0.75 per kg
(ii)प्रश्न में रुपए ‘अचल’ (constant) रखने को कहा गया है जबकि दर में रुपए ‘चल’ (variable) है।अतः हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा।

h=\text { Reciprocal of }\left(\frac{3}{2}\right) \\ =\frac{2}{3} \\ =0.666 \\ \Rightarrow h \approx \text{Re. } 0.67 per Kg
Example:93.आप 900 कि. मी. की यात्रा रेलगाड़ी द्वारा 60 कि. मी. प्रति घण्टा औसत गति से;3000 कि. मी. जहाज द्वारा 25 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से;400 कि. मी. हवाई जहाज द्वारा 350 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से तथा 15 कि. मी. कार द्वारा 25 कि. मी. प्रति घण्टा की गति से पूरी करते हैं।आपकी सम्पूर्ण दूरी की औसत गति ज्ञात कीजिए।
(You take a trip travelling 900 kms. by train at an average speed of 60 kms. per hour, 3000 kms. by ship at an average speed of 25 kms. per hour.Find out the average speed for the whole distance.)
Solution:औसत गति की गणना करने के लिए समान्तर माध्य के स्थान पर हरात्मक माध्य ज्ञात करना चाहिए अतः हरात्मक माध्य ज्ञात करेंगे।
Calculation Table of Weighted Harmonic Mean

I Formula:
h(w)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\Sigma \operatorname{Rec.} WX}{\Sigma W}\right] \\ =\text { Reciprocal of }\left(\frac{36.67}{4315}\right) \\ =\frac{4315}{136.67}=31.572 \\ \Rightarrow h(w) \approx 31.57 Kms. per hour
II Formula:
h(w)=\frac{\Sigma W}{\frac{W_1}{a}+\frac{W_2}{b}+\frac{W_3}{c}+\frac{W_4}{d}} \\ =\frac{4315}{\frac{900}{60}+\frac{3000}{25}+\frac{400}{350}+\frac{15}{25}} \\ =\frac{4315}{\frac{15}{1}+\frac{120}{1}+\frac{8}{7}+\frac{3}{5}} \\ =\frac{4315}{\frac{525+4200+40+21}{35}} \\ =\frac{4315 \times 35}{4786}=\frac{151025}{4786} \\ =31.555 \\ \Rightarrow h(w) \approx 31.56 Kms per hour
Example:94(a).A द्वारा एक माॅडल 4 मिनिट में,B द्वारा 5 मिनिट में,C द्वारा 6 मिनिट में,D द्वारा 10 मिनिट में तथा E द्वारा 12 मिनिट में पूरा किया जाता है।आपको ज्ञात करना है:(i)प्रति घण्टा माॅडलों की औसत संख्या (ii)प्रत्येक माॅडल का औसत समय (मिनिटों) (iii)उन सभी द्वारा 8 घण्टों में पूरे किए जाने वाले माॅडलों की संख्या।
(A model can be completed by A in 4 minutes,by B in 5 minutes,by C in 6 minutes,by D in 10 minutes and by E in 12 minutes.Find out:(i)the average number of models per hour, (ii)the average number of minutes per model, (iii)the total number of models they will complete in 8 hours)
Solution:(ii)प्रश्न में कार्य (माॅडलों की संख्या) ‘अचल’ (constant) तथा समय ‘चल’ (variable) तथा प्रश्न में समय चल अर्थात् माॅडल का औसत समय (मिनिटों) ‘अचल’ है।अतः हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा

h= \text { Reciprocal of } \left(\frac{0.25+0.2+\frac{1}{6}+0.1+\frac{1}{12}}{5}\right) \\=\text { Reciprocal of } \left(\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}}{5}\right) \\ =\text { Reciprocal of } \left(\frac{\frac{15+12+10+6+5}{60}}{5}\right) \\ \Rightarrow h =\frac{60 \times 5}{48}=6.25 Minutes per model
(i)प्रति घण्टा माॅडलों की संख्या=\frac{60}{6.25}
=9.6 model per hour
(iii)उन सभी द्वारा 8 घण्टों में माॅडलों की संख्या=8 \times\left(\frac{60}{4}+\frac{60}{5}+\frac{60}{6}+\frac{60}{10}+\frac{60}{12}\right) \\ =8 \times(15+12+10+6+5)=8 \times 48
=384 models in 8 hours
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में हरात्मक माध्य (Harmonic Mean in Statistics),हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में हरात्मक माध्य के सवाल (Harmonic Mean in Statistics Questions):

Harmonic Mean in Statistics

(1.)एक रेलगाड़ी एक स्थान से रवाना होती है और मील के क्रमिक चतुर्थांशों को क्रमशः 12,16,24 और 48 मील प्रति घण्टा की गति से तय करती है।पूरे मील की यात्रा पर उसकी औसत रफ्तार 19.2 मील प्रति घण्टा है,25 मील प्रति घण्टा नहीं है।
इस तथ्य को इस प्रकार समझाइए जैसे आप किसी सामान्य व्यक्ति को समझायेंगे और इसकी गणन-क्रिया की शुद्धि की जाँच कीजिए।
(A train starts from rest and travels successive quarters of miles at average speeds of 12,16,24 and 48 miles per hour.The average speed over the whole mile is 19.2 m.p.h. and not 25 m.p.h.
Explain this statement as you would to a lay man and verify the arithmetic.
(2.)एक साइकिल सवार अपनी यात्रा के पहले तीन मील, 8 मील प्रति घण्टा की गति से अगले दो मील,3 मील प्रति घण्टा और अन्तिम दो मील, 2 मील प्रति घण्टा की रफ्तार से तय करता है।उसकी पूरी यात्रा के लिए औसत रफ्तार ज्ञात कीजिए।
(A cyclist covers his first three miles at an average speed of 8 m.p.h.;another two miles at 3 m.p.h. and the last two miles at 2 m.p.h.Find his average speed for the entire journey.)
उत्तर (Answers):(2.)3.43 m.p.h.
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में हरात्मक माध्य (Harmonic Mean in Statistics),हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में हरात्मक माध्य (Frequently Asked Questions Related to Harmonic Mean in Statistics),हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में हरात्मक माध्य (Harmonic Mean in Statistics):किसी समूह के मदों की संख्या को
उन पद-मूल्यों के व्युत्क्रमों के योग से भाग देने पर जो भजनफल प्राप्त होता है,वही उस समूह का
हरात्मक माध्य कहलाता है।