1.ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism):

Group Homomorphism

ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism) के बारे में अध्ययन करेंगे।
समाकारिता (Homomorphism or Morphism):परिभाषा:
मान लो कि (G,*) तथा (G’,o) ग्रुप हैं, इन ग्रुपों में द्विचर संक्रिया क्रमशः *,o है।यदि एक प्रतिचित्रण f: G \rightarrow G^{\prime} निम्न प्रकार हों

f(a * b)=f(a) o f(b) \forall a, b \in G
संयोजन का प्रतिबिम्ब=प्रतिबिम्बों का संयोजन
तो f को समाकारिता (Homomorphism) कहते हैं।
(i)अन्तरकारिता (Endomorphism):
ग्रुप (G,*) से ग्रुप (G,*) पर परिभाषित समाकारिता अन्तरकारिता कहलाती है।
(ii)एकैकी समाकारिता (Monomorphism):
यदि ग्रुप (G,*) से ग्रुप (G’,o) पर परिभाषित कोई समाकारिता f एकैकी (one-one) प्रतिचित्रण हो तो ऐसी समाकारिता f एकैकी समाकारिता कहलाती है।
(iii)आच्छादक समाकारिता (Epimorphism):
यदि ग्रुप (G,*) से (G’,o) पर परिभाषित कोई समाकारिता f आच्छादक (onto) प्रतिचित्रण हो तो ऐसी समाकारिता f आच्छादक समाकारिता कहलाती है।
(iv)तुल्यकारिता (Isomorphism):परिभाषा:
यदि ग्रुप (G,*) से ग्रुप (G’,o) पर परिभाषित समाकारिता f एकैकी तथा आच्छादक (one-one onto) प्रतिचित्रण हो तो ऐसी समाकारिता तुल्यकारिता कहलाती है।
अथवा
यदि ग्रुप (G,*) से ग्रुप (G’,*) पर परिभाषित प्रतिचित्रण f निम्न प्रकार हो:
(i)f एकैकी अर्थात् f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=b \quad \forall a, b \in G
(ii)f आच्छादक अर्थात् f(G)=G’
(iii)f एक समाकारिता हो अर्थात् f(a * b)=f(a) o f(b) \forall a, b \in G
(iv)तुल्यकारी ग्रुप (Isomorphic Group):परिभाषा:
यदि ग्रुप (G,*) से ग्रुप (G’,o) पर परिभाषित प्रतिचित्रण तुल्यकारी हो तो ग्रुप G,G’ का तुल्यकारी ग्रुप (Isomorphic Group) कहलाता है जिसका संकेत निम्न है: G \cong G^{\prime}
(v)स्वाकारिता (Automorphism):
ग्रुप (G,*) से (G,*) ग्रुप पर परिभाषित तुल्यकारिता (Isomorphism) स्वाकारिता (Automorphism) कहलाती है।
(vi)समाकारिता की अष्टि (Kernel of Homomorphism):परिभाषा:
माना कि (G,*) तथा (G’,o) दो ग्रुप हैं।यदि G से G’ पर प्रतिचित्रण f:G \rightarrow G^{\prime} एक समाकारिता हो तो G का निम्न उपसमुच्चय, K=\left\{x \mid x \in G, f(x)=e^{\prime} \text { जहाँ } e^{\prime} \text { ग्रुप }  G^{\prime} \text { का तत्समक अवयव है } \right\}
समाकारिता की अष्टि (Kernel) कहलाती है।

Group Homomorphism

समाकारिता के गुणधर्म (Properties of Homomorphism):
प्रमेय (Theorem):1.यदि e तथा e’ ग्रुप G व G’ के क्रमशः तत्समक अवयव हैं।तथा f,G से G’ में समाकारिता हो तो सिद्ध कीजिए कि:
(If e and e’ be the identities of groups G and G’ respectively and f be homomorphism from G to G’.Show that
\text{(i)}f(e)=e^{\prime} \\ \text{(ii)} f(a^{-1})=[f(a)]^{-1}, \forall a \in G
उपपत्ति (Proof):(i)दिया हुआ है कि e,G का तत्समक अवयव है।
माना कि G तथा G’ की द्विआधारी संक्रिया क्रमशः*,o है।साथ ही माना कि a \in G तब

a * e=a=e * a \\ \Rightarrow f(a * e)=f(a)=f(e * a) \\ \Rightarrow f(a) o f(e)=f(a)=f(e) o f(a)
[क्योंकि f,G से G’ में समाकारिता है]
\Rightarrow f(e), G^{\prime} में तत्समक है
\Rightarrow f(e)=e^{\prime}
अतः ग्रुप समाकारिता f के अन्तर्गत G के तत्समक अवयव का प्रतिबिंब G’ का तत्समक अवयव है।
(ii)माना कि G का a स्वेच्छित अवयव है तथा G का तत्समक अवयव e है तब

a * a^{-1}=e=a^{-1} * a \\ \Rightarrow f(a * a^{-1})=f(e)=f\left(a^{-1} * a\right)\\ \Rightarrow f(a) o f\left(a^{-1}\right)=e^{\prime}=f\left(a^{-1}\right) o f(a)
[क्योंकि f एक समाकारिता G सेG’ में है।तथा (i) से f(e)’=e’]

f\left(a^{-1}\right)=[f(a)]^{-1}
अतः ग्रुप समाकारिता f के अन्तर्गत ग्रुप G के किसी अवयव a के प्रतिलोम का f-प्रतिबिम्ब का प्रतिलोम है।
प्रमेय (Theorem):2.यदि f ग्रुप G से G’ में समाकारिता हो तो सिद्ध कीजिए कि
(i)ग्रुप G का उपग्रुप H है \Rightarrow f(H), G^{\prime} का उपग्रुप है।
(ii)ग्रुप G’ का उपग्रुप H’ है \Rightarrow f^{-1}\left(H^{\prime}\right)=\left\{x \in G: f(x) \in H^{\prime}\right\} ग्रुप G का उपग्रुप है।
(If f is a homomorphism of a Group G into a group G’,then prove that
(i)H is a sub group of G \Rightarrow f(H) is a sub group of G’
(ii)H is a sub group of G’ \Rightarrow f^{-1}\left(H^{\prime}\right)=\left\{x \in G: f(x) \in H^{\prime}\right\} is a subgroup of group G.
उपपत्ति (Proof):(i)स्पष्टतः f(H) \subset G^{\prime} और f(H) \neq \phi
क्योंकि e \in H \Rightarrow f(e)=e^{\prime} \in f(H) जहाँ e’,G’ का तत्समक अवयव है माना a^{\prime}, b^{\prime} \in f(H) तब

a^{\prime}, b^{\prime} \in f(H) \Rightarrow \exists a, b \in H

ऐसे अवयव होंगे कि f(a)=a’,f(b)=b’

\Rightarrow a^{\prime}\left(b^{\prime}\right)^{-1} =f(a) o \left ( f(b) \right )^{-1} \\ =f(a) o f(b^{-1}) \\=f\left(a * b^{-1}\right)
परन्तु H एक उपग्रुप है इसलिए

a \in H, b \in H \Rightarrow a * b^{-1} \in H \\ \Rightarrow f(a * b^{-1}) \in f(H) \\ \therefore a^{\prime}, b^{\prime} \in f(H) \Rightarrow a^{\prime} o\left(b^{\prime}\right)^{-1} \in f(H) \\ \therefore f(H), G^{\prime} का उपग्रुप है।
(ii)स्पष्टतः f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \neq \phi \\ \therefore e^{\prime} \in H^{\prime} \Rightarrow f(e) \in H^{\prime} \\ \Rightarrow e \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right)
जहाँ e,G का तत्समक अवयव है।
माना कि a, b \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \Rightarrow f(a) \in H^{\prime}, f(b) \in H^{\prime}
साथ ही f(a * b^{-1})=f(a) o f(b^{-1}) [f एक समाकारिता है]
=f(a) o [f(b)]^{-1} \in H^{\prime}[ \because H^{\prime} ,G’ का उपग्रुप है]
इस प्रकार a \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right), b \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right) \Rightarrow a * b^{-1} \in f^{-1}\left(H^{\prime}\right)
अतः f^{-1}\left(H^{\prime}\right),G का एक उपग्रुप है।
उपप्रमेय (Corollary):यदि f ग्रुप G से ग्रुप G’ में समाकारिता हो तो f(G),G’ का उपग्रुप है।
(If f is a homomorphism from G to G’ then f(G) is a subgroup of G.)
उपपत्ति (Proof):माना G तथा G’ में द्विआधारी संक्रिया क्रमशः * तथा o है।
यहाँ f(G)=\{f(x): x \in G\} स्पष्टतः f(G) \subseteq G^{\prime} माना कि a^{\prime}, b^{\prime} \in f(G)
तथा f(a)=a’,f(b)=b’ किसी a, b \in G के लिए
अब a\left(b^{\prime}\right)^{-1}=f(a) o (f(b))^{-1}=f(a)o f(b^{-1})\\ =f(a * b^{-1}) \in f(G) चूँकि a b^{-1} \in G
इस प्रकार a^{\prime}, b^{\prime} \in f(G) \Rightarrow a^{\prime}\left(b^{\prime}\right)^{-1} \in f(G) \\ \therefore f(G), G^{\prime}  का उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):3.यदि f ग्रुप G से G’ पर एक समाकारिता हो तो f की अष्टि K ग्रुप G का उपग्रुप होता है।
(If f is a homomorphism of a group G to a group G’ with kernel K,then K is a subgroup of G.)
उपपत्ति (Proof):माना कि ग्रुप G तथा ग्रुप G’ के क्रमशः तत्समक अवयव e तथा e’ हैं।साथ ही यह भी माना कि *,o G तथा G’ का द्विआधारी संक्रिया है।अष्टि (kernel) की परिभाषा से

K=\left\{x \in G \mid f(x)=e^{\prime}\right\}
क्योंकि f(e)=e^{\prime}, \therefore e \in K \Rightarrow k \neq \phi
माना a, b \in K \\ \Rightarrow f(a)=f(b)=e^{\prime} \in G^{\prime}
पुनः f(a * b)=f(a) o \left [ f(b) \right ]^{-1} [f एक समाकारिता है]

= e^{\prime} o \left[e^{\prime}\right]^{-1} \\ =e^{\prime} o e^{\prime}=e^{\prime} \\ \therefore a * b^{-1} \in k
इस प्रकार यह स्पष्ट है कि

a \in K, b \in K \Rightarrow a * b^{-1} \in k
अष्टि K,ग्रुप G का एक उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):4.(i)प्रत्येक क्रमविनिमेय ग्रुप का समाकारी प्रतिबिम्ब भी क्रमविनिमेय होता है।
(ii)प्रत्येक चक्रीय ग्रुप का समाकारी प्रतिबिम्ब भी चक्रीय होता है।
(Every homomorphic image of
(i)an abelian group is abelian.
(ii)a cyclic group is cyclic
उपपत्ति (Proof):(i)माना कि (G,*) एक क्रमविनिमेय ग्रुप है तथा (G’,*) एक दूसरा ग्रुप है।यह भी माना कि f ग्रुप G से G’ पर समाकारिता है।
सिद्ध करना है f(G) भी एक क्रमविनिमेय ग्रुप है।
f(G),ग्रुप G’ का उपग्रुप है।
यदि a^{\prime}, b^{\prime} \in f(G) इस प्रकार हो कि f(a)=a’,f(b)=b’,जहाँ a,b \in G
अब a’ob’=f(a)o f(b)
=f(a * b) [f एक समाकारिता है]

=f(b * a) \\ =f(b)of(a) \\ =b'oa'
इस प्रकार a^{\prime}, b^{\prime} \in f(G) \Rightarrow a^{\prime} o b^{\prime}=b^{\prime} o a^{\prime}
\therefore  f(G) भी क्रमविनिमेय है।
(ii)माना कि चक्रीय ग्रुप (G,*)=[a] से ग्रुप (G’,o) पर समाकारिता है।
हम जानते हैं कि f(G),G’ का उपग्रुप है।
x \in f(G) \Rightarrow \exists n \in z इस प्रकार है कि x=f\left(a^{\prime \prime}\right) \in f(G)
साथ ही f\left(a^{n}\right) =f(a * a * a * a \cdots n) \\ =f(a) o f(a) o f(a) \cdots n \text { बार } [चूँकि f समाकारिता है]

f\left(a^{n}\right)=[f(a)]^{n}
जिससे यह पता चलता है कि f(G) का प्रत्येक अवयव f(a) की एक पूर्णांक घात है अर्थात्
f(G)=[f(a)]
अतः f(G) एक चक्रीय ग्रुप है।
टिप्पणी:उपर्युक्त प्रमेय का विलोम सदैव सत्य नहीं है।
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2.ग्रुप समाकारिता के उदाहरण (Group Homomorphism Examples),समाकारिता और तुल्यकारिता के उदाहरण (Homomorphism and Isomorphism Examples):

निम्न प्रतिचित्रणों में से कौन-कौन-सी समूह समाकारिता है?
(Which of the following mappings are group homomorphism?):
Example:1.f:(z, +) \rightarrow(z, +), f(a)=a+1 \quad \forall a \in z
Solution:f:(z, +) \rightarrow(z, +), f(a)=a+1 \quad \forall a \in z

माना x, y \in z तथा (z, +) ग्रुप है तो
f(x+y)=x+y+1
=x+1+y+1-1
=f(x)+f(y)-1
\therefore  f ग्रुप (Z,+) से (Z,+) ग्रुप समाकारिता नहीं है।
Example:2. f:\left(R_{0}, \cdot \right) \rightarrow \left(R_{0}, \cdot\right) , f(x)=x^{2} \forall x \in R
Solution:f:\left(R_{0}, \cdot \right) \rightarrow \left(R_{0}, \cdot\right) , f(x)=x^{2} \forall x \in R
माना x, y \in R_{0} तथा \left(R_{0}, \cdot \right) ग्रुप है तो

f(x \cdot y)=(x y)^{2} \\ f(x \cdot y) =x^{2} \cdot y^{2} \\ = f(x) \cdot f(y) \\ \Rightarrow f(x \cdot y) =f(x) \cdot f(y)
\therefore  f ,ग्रुप \left(R_{0}, \cdot \right) से ग्रुप पर ग्रुप समाकारिता है।
Example:3. f:(z, +) \rightarrow(a, +), f(x)=\frac{x}{q} \quad \forall x \in Z
जहाँ q कोई अशून्य निश्चित पूर्णांक है।(Where q is a fixed non-zero integer.)
Solution: f:(z, +) \rightarrow(a, +), f(x)=\frac{x}{q} \quad \forall x \in Z
माना x, y \in Z \\ f(x+y) =\frac{x+y}{q} \\ =\frac{x}{q}+\frac{y}{q} \\ \Rightarrow f(x+y) =f(x)+f(y)
f ग्रुप (Z,+) से ग्रुप (Q,+) पर ग्रुप समाकारिता है।
Example:4. f:\left(c_{0},\cdot \right) \rightarrow\left(c_{0},\cdot \right), f(x)=x^{n}
जहाँ n एक निश्चित प्राकृत संख्या है।
(Where n is a fixed natural number.)
Solution:f:\left(c_{0},\cdot \right) \rightarrow\left(c_{0},\cdot \right), f(x)=x^{n}
माना कि x, y \in C_{0} तथा ग्रुप \left(c_{0},\cdot \right) है तो

f(x \cdot y) =(x \cdot y)^{n} \\ =x^{n} \cdot y^{n} \\ \Rightarrow f(x \cdot y) =f(x) \cdot f(y)
f ग्रुप \left(c_{0},\cdot \right) से \left(c_{0},\cdot \right) ग्रुप पर ग्रुप समाकारिता है।

Group Homomorphism

सिद्ध कीजिए कि निम्न में प्रत्येक ग्रुप समाकारिता है।प्रत्येक की अष्टि भी ज्ञात कीजिए:
(Show that each of the following mappings is a homomorphism.Also find the kernel in each case):
Example:5.f:(c, +) \rightarrow(c,+), f(x+i y)=i y
Solution:f:(c, +) \rightarrow(c,+), f(x+i y)=i y
माना कि x_{1}+i y_{1}, x_{2}+i y_{2} \in c तथा (C,+) ग्रुप है
अतः f\left\{\left(x_{1}+i y_{1}\right)+\left(x_{2}+i y_{2}\right)\right\}=f\left\{\left(x_{1}+x_{2}\right)+ i\left(y_{1}+y_{2}\right)\right\} \\ =i\left(y_{1}+y_{2}\right) \\ =i y_{1}+i y_{2} \\=f\left(x_{1}+i y_{1}\right)+f\left(x_{2}+i y_{2}\right)
अतः ग्रुप (C,+) से ग्रुप (C,+) पर ग्रुप समाकारिता है।
(C,+) का तत्समक अवयव 0 है साथ ही
f(x+i.0)=0.i= 0
f की अष्टि=\{z \mid f(z)=0\}
={सम्मिश्र संख्याएँ जिनका काल्पनिक भाग शून्य है}
={वास्तविक संख्याएँ}
=R
Example:6.f:(z, +) \rightarrow(z,+), f(x)=-3 x \forall x \in z
Solution:f:(z, +) \rightarrow(z,+), f(x)=-3 x \forall x \in z
माना कि x_{1}, y_{1} \in z तथा (Z,+) ग्रुप है तो

f\left(x_{1}+y_{1}\right)=-3\left(x_{1}+y_{1}\right) \\ =-3 x_{1}-3 y_{1}\\ \Rightarrow f\left(x_{1}+ y_{1}\right) =f\left(x_{1}\right)+f\left(y_{1}\right)
अतः ग्रुप (Z,+) से ग्रुप (Z,+) पर ग्रुप समाकारिता है।
(Z,+) का तत्समक अवयव 0 है।
f की अष्टि=\{x \in z \mid f(x)=0\}[अष्टि की परिभाषा से]

=\{x \in z \mid-3 x=0\} \\ =\{0\}
\Rightarrow f की अष्टि=\{0\}
Example:7.f:\left(c_{0}, \cdot \right) \rightarrow \left(c_{0},\cdot\right) f(x)=x^{n} ,n \in Z
Solution:f:\left(c_{0}, \cdot \right) \rightarrow \left(c_{0},\cdot\right) f(x)=x^{n} ,n \in Z
माना कि x,y \in c_{0} तथा \left(c_{0}, \cdot \right) ग्रुप हैं अतः

f(x y) =(x y)^{n} \\ =x^{n} y^{n} \\ \Rightarrow f(x y) =f(x) f(y)
अतः ग्रुप \left(c_{0}, \cdot \right) से  \left(c_{0}, \cdot \right) पर ग्रुप समाकारिता है।
\left(c_{0}, \cdot \right) का तत्समक अवयव 1 है।
f की अष्टि=\left\{x \mid x^{n}=1, x \in z \right\}
={1 के n,n वें मूल हैं}

=\left\{e^{(\frac{2 r \pi i }{n})^{n}}\right\}, r=0,1,2,3,4, \cdots n-1\\ f\left(e^{(\frac{2 r \pi i }{n})}\right)\\ =e^{(\frac{2 r \pi i }{n})^{n}} \\ =e^{2 r \pi i} \\ =\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi=1 \\ \Rightarrow f(x)=1 \Rightarrow x^{n}=1 \Rightarrow x=1^{\frac{1}{n}}
\Rightarrow  x,1 का n वाँ मूल है।
Example:8.यदि (R,+) वास्तविक संख्याओं का योज्य ग्रुप हो तथा \left(R_{0}, \cdot \right)  अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणनात्मक ग्रुप हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिचित्रण f:\left(R,+\right) \rightarrow\left(R_{0}, \cdot \right) ; f(x)=2^{x} \forall x \in R ग्रुप R से R_{0} समाकारिता है।
(If (R,+) is a additive group of real numbers and \left(R_{0}, \cdot \right) is a multiplicative group of non-zero real numbers,then prove that the mapping f:\left(R,+\right) \rightarrow\left(R_{0}, \cdot \right) ; f(x)=2^{x} \forall x \in R is a homomorphism from R to R_{0}.)
Solution:f:\left(R,+\right) \rightarrow \left(R_{0}, \cdot \right) ; f(x)=2^{x} \forall x \in R
माना कि x, y \in (R, +) तथा \left(R,+\right),\left(R_{0}, \cdot \right) ग्रुप है।
अतः f(x+y) =2^{x+y} \\ =2^{x} 2^{y} \\ \Rightarrow f(x+y) =f(x) f(y)
अतः ग्रुप (R,+) से \left(R_{0}, \cdot \right) पर समाकारिता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism) को समझ सकते हैं।

3.ग्रुप समाकारिता की समस्याएं (Group Homomorphism Problems):

Group Homomorphism

(1.)सिद्ध कीजिए कि ग्रुप G=<\{0,1,2,3\},+_{4} >,ग्रुप G^{\prime}=<\{1,2,3,4\}, x_{5}> के तुल्यकारी है।
(Show that the group G=<\{0,1,2,3\},+_{4} > is isomorphic to the group G^{\prime}=<\{1,2,3,4\}, x_{5}> )
(2.)माना कि फलन f: R_{0} \rightarrow R_{0}, \forall x \in R_{0}, f(x)=x^{4} गुणनात्मक शून्य रहित सभी वास्तविक संख्याओं का ग्रुप R_{0} पर परिभाषित है।प्रदर्शित कीजिए कि f समाकारिता है तथा इसकी अष्टि भी ज्ञात कीजिए।
(Let f(x)=x^{4} be a function defined on a group of all non-zero real numbers for multiplication.Show that f is a homomorphism.Find it’s kernel): f: R_{0} \rightarrow R_{0}, \forall x \in R_{0}
उत्तर (Answer):(2.)f की अष्टि={1,-1}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.ग्रुप समाकारिता की समस्याएं (Group Homomorphism Problems) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

ग्रुप समाकारिता (Group Homomorphism) के बारे में अध्ययन करेंगे।समाकारिता
(Homomorphism or Morphism):परिभाषा:मान लो कि (G,*) तथा (G’,o) ग्रुप हैं, इन ग्रुपों में द्विचर संक्रिया