1.गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11),गणित में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Maths):

Geometric Progression Class 11

गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11) में गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद को छोड़कर हर अगला पद अपने पिछले पद से अचर अनुपात में बढ़ता है।यह अचर अनुपात सार्व अनुपात कहलाता है।
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2.गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Geometric Progression Class 11 Solved Examples):

Example:1.गुणोत्तर श्रेणी \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8} , \ldots का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \ldots \\ a=\frac{5}{2}, r=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ n=20 \\ T_{n}=a r^{n-1} \\ T_{20}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{20-1} \\ =\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{19} \\ T_{20}=\left(\frac{5}{2^{20}}\right) \\ T_{n}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ \Rightarrow T_{n}=\frac{5}{2^{n}}
Example:2.उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
Solution: T_{n}=a r^{n-1} \\ n=8, \quad T_{n}=192, r=2 \\ T_{8}=a(2)^{8-1}=192 \\ \Rightarrow a \times 2^{7}=192 \\ \Rightarrow a \times 128=192 \\ \Rightarrow a=\frac{192}{128} \\ \Rightarrow a=\frac{3}{2} \\ T_{12}=\frac{3}{2}(2)^{12-1} \\ T_{12} =\frac{3}{2} \times 2^{11} \\ \Rightarrow T_{12} =3 \times 2^{10} \\ \Rightarrow T_{12} =3072
Example:3.किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ,8वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः p,q तथा s हैं तो दिखाइए कि q^{2}=p s
Solution: T_{n}=a r^{n-1} \\ T_{5}=a r^{5-1}=p \\ a r^{4}=p \cdots(1) \\ a r^{7}=q \cdots(2) \\ a r^{10}=s \ldots(3)
समीकरण (2) का वर्ग करने पर:

a^{2} r^{14}=q^{2} \cdots (4)
समीकरण (1) व (3) को गुणा करने पर:

\left(a r^{4}\right)\left(a r^{10}\right)=p s \\ \Rightarrow a^{2} r^{14}=p s \cdots(5)
समीकरण (4) व (5) से:

q^{2}=p s
Example:4.किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद – 3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: T_{n}=a r^{n-1} \\ \Rightarrow a r^{3}=(a r)^{2} \\ \Rightarrow a r^{3}=a^{2} r^{2} \\ \Rightarrow a=r \cdots(1) \\ a=-3 \\ \Rightarrow r=-3 \\ a_{7}=a r^{6} \\ \Rightarrow a_{7} =(-3)(-3)^{6} \\ =(-3)^{7} \\ \Rightarrow a_{7}=-2187
Example:5.अनुक्रम का कौनसा पद
5(a): 2,2 \sqrt{2}, 4, \cdots, 128 है?
Solution: 2,2 \sqrt{2}, 4, \cdots, 128 \\ a=2, \quad r=\frac{2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, T_{n}=128\\ T_{n}=a r^{n-1}\\ 128=2(\sqrt{2})^{n-1}\\ \Rightarrow 128=(\sqrt{2})^{2}(\sqrt{2})^{n-1}\\ \Rightarrow 2^{7}=(\sqrt{2})^{n+1}\\ \Rightarrow 2^{7}=(2)^{\frac{n+1}{2}}\\ \Rightarrow \frac{n+1}{2}=7\\ \Rightarrow n+1=14\\ \Rightarrow n=13^{\text {th }}
5(b): \sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \cdots , 729 है?
Solution: \sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \cdots ; 729 \\ a=\sqrt{3}, r=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, T_{n}=729 \\ T_{n}=ar^{n-1} \\ \Rightarrow 729=\sqrt{3}(\sqrt{3})^{n-1} \\ \Rightarrow 3^{6}=(\sqrt{3})^{n} \\ \Rightarrow 3^{6}=(3)^{\frac{n}{2}} \\ \Rightarrow \frac{n}{2}=6 \\ \Rightarrow n=12^{\text {th }}
5(c): \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \cdots, \frac{1}{19683} है?
Solution: \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \cdots ; \frac{1}{19683} \\ a=\frac{1}{31}, r=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}, T_{n}=\frac{1}{19683} \\ T_{n}=a r^{n-1} \\ \Rightarrow \frac{1}{19683}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^{9}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \\ \Rightarrow n=9
Example:6.x के किस मान के लिए संख्याएँ -\frac{2}{7}, x, \frac{-7}{2} गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
Solution: -\frac{2}{7}, x, \frac{-7}{2} \\ \Rightarrow x=\sqrt{\left(-\frac{2}{7}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)} \\ \Rightarrow x=\sqrt{1} \\ \Rightarrow x=\pm 1
प्रश्न 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
Example:7. 0.15,0.015,0.0015,…,20 पदों तक
Solution: 0.0.15,0.015,0.0015,…,20 पदों तक

a =0.15, r=\frac{0.015}{0.15}=\frac{1}{10}, n=20 \\ S_{n} =\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} \\ \Rightarrow S_{20} =\frac{0.15\left[\left(\frac{1}{10}\right)^{20}-1\right]}{\frac{1}{10}-1} \\ =\frac{15}{100} \times \frac{\left[(0.1)^{20}-1\right]}{0.1-1} \\ =\frac{15}{100} \times \frac{\left[(0.1)^{20}-1\right]}{-0.9} \\ =\frac{15}{100} \times \frac{10}{9}\left[1-(0.1)^{20}\right] \\ \Rightarrow S_{20} =\frac{1}{6}\left[1-(0.1)^{20}\right]
Example:8. \sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots ,n पदों तक (n \neq-1)
Solution: \sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots,n पदों तक (n \neq-1) \\ a =\sqrt{7}, r=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\sqrt{3} \\ T =\frac{a\left[r^{n}-1\right]}{r-1} \\ =\frac{\sqrt{7}\left[(\sqrt{3})^{n}-1\right]}{\sqrt{3}-1} \\ =\frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1) }{(\sqrt{3-1})(\sqrt{3}+1)} \left[(\sqrt{3})^{n}-1\right] \\=\frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)}{3-1}\left[3^{\frac{n}{2}}-1\right] \\ \Rightarrow T_{n}=\frac{\sqrt{7}}{2}(\sqrt{3}+1)\left[3^{\left(\frac{n}{2}\right)}-1\right]
Example:9. 1,-a, a^{2},-a^{3}, \ldots ,n पदों तक (यदि a \neq-1)
Solution: 1,-a, a^{2},-a^{3}, \ldots ,n पदों तक (यदि a \neq-1)

Geometric Progression Class 11

Example:10. x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots ,n पदों तक (यदि x \neq \pm 1 )
Solution: x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots ,n पदों तक (यदि x \neq \pm 1 ) 

a=x^{3}, r=\frac{x^{5}}{x^{3}}=x^{2} \\ T_{n} =\frac{a\left[r^{n}-1\right]}{r-1} \\ =\frac{x^{3} \left[\left(x^{2}\right)^{n}-1\right]}{x^{2}-1} \\ \Rightarrow T_{n} =\frac{x^{3}\left(1-x^{2 n}\right)}{1-x^{2}}
Example:11.मान ज्ञात कीजिए \sum_{k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)
Solution: \sum_{k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right) \\ =(2+3)+\left(2+3^{2}\right) +\left(2+3^{3} \right)+ \cdots+ \left(2+3^{11}\right) \\ =11 \times 2+\frac{3\left[3^{11}-1\right]}{3-1} \\ =22+\frac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)
Example:12.एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल \frac{39}{10} है तथा उनका गुणनफल 1 है।सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
Solution: a+a r+a r^{2}=\frac{39}{10} \cdots(1) \\ a \times a r \times a r^{2}=1 \\ \Rightarrow a^{3} r^{3}=1 \\ \Rightarrow a r=1 \\ \Rightarrow a=\frac{1}{r}
समीकरण (1) में r का मान रखने पर:

\frac{1}{r}+\frac{1}{r} \times r+\frac{1}{r} \times r^{2}=\frac{39}{10} \\ \Rightarrow \frac{1}{r}+r=\frac{39}{10}-1 \\ \Rightarrow \frac{r^{2}+1}{r}=\frac{29}{10} \\ \Rightarrow 10 r^{2}+10=29r \\ \Rightarrow 10 r^{2}-29r+10=0 \\ \Rightarrow 10 r^{2}-25r-4 r+10=0 \\ \Rightarrow 5 r(2r-5)-2(2r-5)=0 \\ \Rightarrow (2r-5)(5r-2)=0 \\ \Rightarrow 2r-5=0,5r-2=0 \\ \Rightarrow r= \frac{5}{2}, r=\frac{2}{5} \\ \Rightarrow r=\frac{5}{2},\frac{2}{5}
जब r=\frac{5}{2} तो a=\frac{2}{5}, a r=\frac{2}{5} \times \frac{5}{2}=1 \\ a r^{2}=\frac{2}{5} \times\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2}{5} \times \frac{25}{4}=\frac{5}{2} \\ r=\frac{5}{2} तो तीन पद \frac{2}{5}, 1, \frac{5}{2}
जब r=\frac{2}{5}, a=\frac{5}{2}, a r=\frac{2}{5} \times \frac{5}{2}=1 \\ a r^{2}=\frac{5}{2} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{2}{5}
जब r=\frac{2}{5} तो तीन पद \frac{5}{2}, 1, \frac{2}{5}
Example:13.गुणोत्तर श्रेणी 3,3^{2}, 3^{3}, \cdots  के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।
Solution: 3,3^{2}, 3^{3}, \cdots  \\ a=3, r=\frac{3^{2}}{3}=3, S_{n}=120 \\ S_{n}= \frac{a \left[r^{n}-1\right]}{r-1} \\ 120=\frac{3\left[3^{n}-1\right]}{3-1} \\ \Rightarrow 240=3^{n+1}-3 \\ \Rightarrow 243=3^{n+1} \\ \Rightarrow 3^{5}=3^{n+1} \\ \Rightarrow n+1=5 \\ \Rightarrow n=4
Example:14.किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योग 128 है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद,सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए
Solution: a+a r+a r^{2}=16 \cdots(1) \\ a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}=128 \\ r^{3}\left(a+a r+a r^{2}\right)=128 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

r^{3} \times 16=128 \\ \Rightarrow r^{3}=\frac{128}{16} \Rightarrow r^{3}=8 \\ \Rightarrow r=2
r का मान समीकरण (1) में रखने पर:

a+a \times 2+a \times 2^{2}=16\\ \Rightarrow a+2 a+4 a=16\\ \Rightarrow 7 a=16 \Rightarrow a=\frac{16}{7}\\ S_{n}=\frac{a\left[r^{n}-1\right]}{r-1}\\ =\frac{16}{7} \frac{\left[2^{n}-1\right]}{2-1}\\ \Rightarrow S_{n}=\frac{16}{7}\left(2^{n}-1\right), a=\frac{16}{7}, r=2
Example:15.एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a=729 तथा 7वाँ पद 64 है तो ज्ञात कीजिए।
Solution: a=729, T_{7}=64, n=7 \\ T_{n}=a r^{n-1} \\ 64=729 \cdot\left(r^{7-1}\right) \\ \frac{64}{729}=r^{6} \\ \Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{6}=r^{6} \\ \Rightarrow r=\frac{2}{3} \\ S_{n} =\frac{a\left[r^{n}-1\right]}{r-1} \\ S_{7} =\frac{729\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{7}-1\right]}{\frac{2}{3}-1} \\ =\frac{729\left[\frac{128}{2187}-1\right]}{\frac{2-3}{3}} \\ =\frac{729 \times 3}{-1} \left[\frac{128-2187}{2187}\right] \\ S_{7}=2059
Example:16.एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए जिसके प्रथम दो पदों का योगफल – 4 है तथा 5वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।
Solution: S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} \\ S_{2} =\frac{a\left(r^{2}-1\right)}{r-1} \\ \Rightarrow S_{2} =a(r+1)=-4 \ldots(1) \\ a r^{4}=4 a r^{2} \\ \Rightarrow r^{2} =4 \\ \Rightarrow r =\pm 2
जब r=2 तो a(2+1)=-4

a=-\frac{4}{3}
गुणोत्तर श्रेणी: -\frac{4}{3},-\frac{8}{3},-\frac{16}{3},\ldots
जब r=-2 तो a(-2+1)=-4
a=4
गुणोत्तर श्रेणी: 4,-8,16……..
Example:17.यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x,y तथा z हैं तो सिद्ध कीजिए कि x,y,z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Solution: T_{n}=a r^{n-1}
जब n=4,10,16 तो:

T_{4}=a r^{4-1}=a r^{3}=x \cdots(1) \\ T_{10}=a r^{10-1}=a r^{9}=y \cdots(2) \\ T_{16}=a r^{16-1}=a r^{15}=z \cdots(3)
समीकरण (1) व (3) को गुणा करने पर:

a r^{3} \times a r^{15}=x z \\ \Rightarrow a^{2} r^{18}=x z \cdots(4)
समीकरण (2) व (4) से:

y^{2}=x z
अतः x,y,z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Example:18.अनुक्रम 8,88,888,8888,…के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Solution:8,88,888,8888,…
S_{n}=8+88+888+8888+……. n पदों तक
=8(1+11+111+1111+……. n पदों तक)
=\frac{8}{9}(9+99+999+9999+….. n पदों तक)
=\frac{8}{9}[10-1+100-1+1000-1+10000-1+……n पदों तक)
=\frac{8}{9}[(10+100+1000+10000+…….n पदों तक)-(1+1+1+1+……..n पदों तक)
= \frac{8}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+10^{4}+………n पदों तक)-(1+1+1+1+……..n पदों तक)
= \frac{8}{9}\left[\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\right] \\ = \frac{8}{9}\left[\frac{10}{9}\left(10^{n}-1\right)-n\right] \\ \Rightarrow S_{n} =\frac{80}{81}\left(10^{n}-1\right)-\frac{8 n}{9}
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11),गणित में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Maths) को समझ सकते हैं।

3.गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 की समस्याएँ (Geometric Progression Class 11 Problems):

Geometric Progression Class 11

(1.)x,y,z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।x,y का समान्तर माध्य A_{1} तथा y,z का समान्तर माध्य A_{2} है तो सिद्ध कीजिए:

(i) \frac{1}{A_{1}}+\frac{1}{A_{2}}=\frac{2}{y}
(ii) \frac{x}{A_{1}}+\frac{z}{A_{2}}=2
(2.)किसी त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाईयाँ गुणोत्तर श्रेणी में है।यदि त्रिभुज का परिमाप 37 सेमी तथा सबसे छोटी भुजा 9 सेमी हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answer):(2.) 12 सेमी,16 सेमी
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11),गणित में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Maths) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11),गणित में गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression in Maths) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गुणोत्तर श्रेणी कक्षा 11 (Geometric Progression Class 11) में गुणोत्तर श्रेणी के
प्रथम पद को छोड़कर हर अगला पद अपने पिछले पद से अचर अनुपात में बढ़ता है।