1.गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद का परिचय (Introduction to General Term of Geometric Progression)-

General Term of Geometric Progression

गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Geometric Progression) ज्ञात करने का अर्थ है कि एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) का n वां पद ज्ञात करना जिसका प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r है।
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2.गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression)-

(1.)यदि किसी अशून्य संख्याओं की श्रेढ़ी का प्रत्येक पद उससे पूर्व पद को किसी निश्चित राशि से गुणा करने पर प्राप्त होता है तो श्रेढ़ी गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) कहलाती है।अर्थात् श्रेढ़ी के प्रत्येक पद का उससे पूर्व पद से अनुपात एक निश्चित राशि होती है तो श्रेढ़ी गुणोत्तर श्रेढ़ी कहलाती है।इस निश्चित राशि को सार्वअनुपात कहते हैं।गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) को संक्षेप में G.P. से व्यक्त करते हैं।
(2.)गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में प्रथम पद तथा सार्वअनुपात सदैव अशून्य होते हैं।
(3.)यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी के पद एकान्तर धन तथा ऋण चिन्ह के हों तो श्रेढ़ी का सार्वअनुपात ऋणात्मक होता है।

3.गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Geometric Progression)-

General Term of Geometric Progression

(1.)एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) का n वां पद ज्ञात करना जिसका प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r है:
माना कि { T }_{ 1 },{ T }_{ 2 },{ T }_{ 3 },........,{ T }_{ n } एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है,तब
{ T }_{ 1 }=प्रथम पद=a=a{ r }^{ 1-1 }
परिभाषा से \frac { { T }_{ 2 } }{ { T }_{ 1 } } =r\Rightarrow { T }_{ 2 }={ T }_{ 1 }r=ar=a{ r }^{ 2-1 }\\ \frac { { T }_{ 3 } }{ { T }_{ 2 } } =r\Rightarrow { T }_{ 3 }={ T }_{ 2 }r=ar.r=a{ r }^{ 2 }=a{ r }^{ 3-1 }
इसी प्रकार { T }_{ 4 }=a{ r }^{ 4-1 },.....,{ T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 }
(2.) अतः यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r हो तो उसका n वां पद { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 } होता है।
परिमित गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में n वां पद अन्तिम पद l कहलाता है तथा l=a{ r }^{ n-1 }
(3.)यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में पदो की संख्या n हो तो श्रेढ़ी के अन्त से p वां पद प्रारम्भ से (n-p+1) वां पद होता है।अब यदि इस गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r हो तो अन्त से p वां पद=a{ r }^{ n-p } होता।
(4.)यदि अन्तिम पद l हो तो अन्तिम पद से प्रारम्भिक पद की ओर एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) होगी जिसका सार्वअनुपात होगा तथा अन्त से n वां पद=l{ (\frac { 1 }{ r } ) }^{ n-1 } होगा।
(5.)यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) के पदों का गुणनफल नहीं दिया गया हो तो श्रेढ़ी के क्रमागत पद a,ar,a{ r }^{ 2 },....... के रूप में माने जाते हैं।
(6.)यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) के पदों का गुणनफल दिया गया हो तो श्रेढ़ी के पदों का चयन निम्नलिखित प्रकार से करना चाहिए:
विषम पद-
3 पद:\frac { a }{ r } ,a,ar
5 पद:\frac { a }{ { r }^{ 2 } } ,\frac { a }{ r } ,a,ar,a{ r }^{ 2 }
सम पद-
4 पद:\frac { a }{ { r }^{ 3 } } ,\frac { a }{ r } ,ar,a{ r }^{ 3 }
6 पद:\frac { a }{ { r }^{ 5 } } ,\frac { a }{ { r }^{ 3 } } ,\frac { a }{ r } ,a,ar,a{ r }^{ 3 },a{ r }^{ 5 }

4.गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean)-

(1.)यदि तीन या तीन से अधिक राशियां गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में है,तो प्रथम तथा अन्तिम राशि के बीच शेष सभी राशियां गुणोत्तर माध्य कहलाती है।गुणोत्तर माध्य को संक्षेप में गुणोत्तर माध्य (G.M.) द्वारा व्यक्त करते हैं। अर्थात् यदि a,{ G }_{ 1 },{ G }_{ 2 },{ G }_{ 3 },......,{ G }_{ n },b एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है तो { G }_{ 1 },{ G }_{ 2 },{ G }_{ 3 },......,{ G }_{ n } को a तथा b के मध्य गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) कहते हैं।
(2.)दो राशियों के बीच एक गुणोत्तर माध्य ज्ञात करना
माना कि a तथा b दो दी हुई राशियां हैं तथा G इनके बीच एक गुणोत्तर माध्य है।तब a,G,b गुणोत्तर श्रेढ़ी में होंगे एवं परिभाषा से \frac { G }{ a } =\frac { G }{ b } \Rightarrow { G }^{ 2 }=ab
या G=\pm \sqrt { ab }
जो कि a तथा b का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) कहलाता है।
(3.)दो राशियों के मध्य n गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) ज्ञात करना
माना कि a तथा b दो दी हुई राशियां हैं तथा { G }_{ 1 },{ G }_{ 2 },{ G }_{ 3 },......,{ G }_{ n } इनके बीच n गुणोत्तर माध्य हैं तो
a,{ G }_{ 1 },{ G }_{ 2 },{ G }_{ 3 },......,{ G }_{ n },b एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) होगी।
माना कि इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्वअनुपात r है।इस श्रेढ़ी में कुल (n+2) पद हैं अतः b श्रेढ़ी का (n+2) वां पद हैं।

\therefore b=a{ r }^{ n+2-1 }\Rightarrow { r }^{ n+1 }=\frac { b }{ a } \\ \Rightarrow r={ (\frac { b }{ a } ) }^{ \frac { 1 }{ n+1 } }
अतः अभीष्ट गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) होंगे-

{ G }_{ 1 }=ar=a{ (\frac { b }{ a } ) }^{ \frac { 1 }{ n+1 } }\\ { G }_{ 2 }=a{ r }^{ 2 }=a{ (\frac { b }{ a } ) }^{ \frac { 2 }{ n+1 } }\\ { G }_{ n }=a{ r }^{ n }=a{ (\frac { b }{ a } ) }^{ \frac { n }{ n+1 } }
यदि दो संख्याएं a तथा b विपरीत चिन्ह की हों तो उनके मध्य कोई गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) नहीं होगा।

5.दो राशियों के मध्य समान्तर तथा गुणोत्तर माध्य के महत्त्वपूर्ण गुणधर्म (Important Properties Arithmetic Mean and Geometric Mean)-

General Term of Geometric Progression

गुणधर्म I :यदि दो धनात्मक राशियों a तथा b के मध्य समान्तर तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशःA तथा G है तब A>G
प्रमाण (Proof):A=\frac { a+b }{ 2 } तथा G=\sqrt { ab }
अब A-G=\frac { a+b }{ 2 } -\sqrt { ab } \\ =\frac { a+b-2\sqrt { ab } }{ 2 } \\ =\frac { { (\sqrt { a } -\sqrt { b } ) }^{ 2 } }{ 2 } >0\\ \Rightarrow A>G
गुणधर्म 2 : यदि दो धनात्मक राशियों a तथा b के मध्य समान्तर तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः A एवं G है तब a,b मूलो वाला द्विघात समीकरण { x }^{ 2 }-2Ax+{ G }^{ 2 }=0 है।
प्रमाण (Proof): यहां A=\frac { a+b }{ 2 } तथा G=\sqrt { ab }
एक द्विघात समीकरण जिसके मूल a तथा b हैं,होता है
{ x }^{ 2 }-(a+b)+ab=0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }-2Ax+{ G }^{ 2 }=0[(1) के प्रयोग से]
गुणधर्म 3:यदि दो धनात्मक राशियों के मध्य समान्तर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः A तथा G हैं,तब ये राशियां A\pm \sqrt { ({ A }^{ 2 }-{ G }^{ 2 }) } हैं।
हल (Solution)-द्विघात समीकरण जिसके मूल दी गई राशियां हैं
{ x }^{ 2 }-2Ax+{ G }^{ 2 }=0 [गुणधर्म (2) से]
\Rightarrow x=\frac { 2A\pm \sqrt { (4{ A }^{ 2 }-4{ G }^{ 2 }) } }{ 2 } \\ \Rightarrow x=A\pm \sqrt { { A }^{ 2 }-{ G }^{ 2 } } [श्रीधराचार्य सूत्र से]

6.गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद के उदाहरण (General Term of Geometric Progression Examples)-

Example-1.श्रेढ़ी 1+3+9+27+………का 7 वां पद ज्ञात कीजिए।
Solution-{ T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 }\\ a=1,r=3,n=7\\ \Rightarrow { T }_{ 7 }=(1){ (3) }^{ 6 }\\ \Rightarrow { T }_{ 7 }={ (3) }^{ 6 }\\ \Rightarrow { T }_{ 7 }=729
Example-2.\sqrt { 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } +..... का 10 वां पद ज्ञात कीजिए।
Solution-a=\sqrt { 2 } ,r=\frac { 1 }{ 2 } ,n=10\\ { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 }\\ \Rightarrow { T }_{ 10 }=(\sqrt { 2 } ){ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 10-1 }\\ \Rightarrow { T }_{ 10 }=(\sqrt { 2 } ){ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 9 }\\ \Rightarrow { T }_{ 10 }=\frac { \sqrt { 2 } }{ 512 }
Example-3.श्रेढ़ी 64+32+16+8+……. \frac { 1 }{ 64 }का कौनसा पद है?
Solution-64+32+16+8...\\ a=64,r=\frac { 1 }{ 2 } ,{ T }_{ n }=\frac { 1 }{ 64 } \\ { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 }\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 64 } =(64){ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n-1 }\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { 2 }^{ 6 } } =({ 2 }^{ 6 }){ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n-1 }\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { 2 }^{ 12 } } ={ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n-1 }\\ \Rightarrow { (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ 12 }={ (\frac { 1 }{ 2 } ) }^{ n-1 }\\ \Rightarrow n-1=12\\ \Rightarrow n=13
Example-4.गुणोत्तर श्रेढ़ी 2,6,18,54,…..,118098 का अन्त से 5वां पद ज्ञात कीजिए।
Solution– 2,6,18,54,.......118098\\ a=118098,r=\frac { 1 }{ 3 } ,n=5\\ { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 }\\ \Rightarrow { T }_{ 5 }=(118098){ (\frac { 1 }{ 3 } ) }^{ 4 }\\ \Rightarrow { T }_{ 5 }=\frac { 118098 }{ 81 } \\ \Rightarrow { T }_{ 5 }=1458
Example-5. 3 तथा 48 के मध्य 3 गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

Solution-a,{ G }_{ 1 },{ G }_{ 2 },{ G }_{ 3 },b\\ a=3,b=48,n=3\\ r={ (\frac { b }{ a } ) }^{ \frac { 1 }{ n+1 } }\\ \Rightarrow r={ (\frac { 48 }{ 3 } ) }^{ \frac { 1 }{ 3+1 } }\\ \Rightarrow r={ (16) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\\ \Rightarrow r={ ({ 2 }^{ 4 }) }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\\ \Rightarrow r=2\\ { G }_{ 1 }=ar=3\times 2=6\\ { G }_{ 2 }=a{ r }^{ 2 }=3\times { 2 }^{ 2 }=12\\ { G }_{ 3 }=a{ r }^{ 3 }=3\times { 2 }^{ 3 }=24
Example-6. x के किस मान के लिए संख्याएं x,x+3,x+9 गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में है।
Solution-x,x+3,x+9 गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में होगी यदिx,x+3,x+9\\ { G }^{ 2 }=ab\\ { (x+3) }^{ 2 }=(x)(x+9)\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }+6x+9={ x }^{ 2 }+9x\\ \Rightarrow 9x-6x=9\\ \Rightarrow 3x=9\\ \Rightarrow x=3
Example-7.यदि a,b,c गुणोत्तर श्रेढ़ी में तथा { a }^{ x }={ b }^{ y }={ c }^{ z } है तो सिद्ध कीजिए कि \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ z } =\frac { 2 }{ y }
Solution–{ a }^{ x }={ b }^{ y }={ c }^{ z }=k(माना)

\Rightarrow { a }^{ x }=k\Rightarrow a={ k }^{ \frac { 1 }{ x } }....(1)\\ \Rightarrow { b }^{ y }=k\Rightarrow a={ k }^{ \frac { 1 }{ y } }.....(2)\\ \Rightarrow { c }^{ z }=k\Rightarrow a={ k }^{ \frac { 1 }{ z } }.....(3)
a,b,c गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में है अतः

{ b }^{ 2 }=ac
(1),(2),(3) से मान रखने पर-

{ ({ k }^{ \frac { 1 }{ y } }) }^{ 2 }=({ k }^{ \frac { 1 }{ x } })({ k }^{ \frac { 1 }{ z } })\\ \Rightarrow { k }^{ \frac { 2 }{ y } }={ k }^{ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ z } }
तुलना करने पर-

\Rightarrow \frac { 2 }{ y } =\frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ z }

Example-8. x,y,z गुणोत्तर श्रेढ़ी (Geometric Progression) में है।x,y का समान्तर माध्य { A }_{ 1 } तथा y,z का समान्तर माध्य { A }_{ 2 } है तो सिद्ध कीजिए

(1)\frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ y } \quad (2)\frac { x }{ { A }_{ 1 } } +\frac { z }{ { A }_{ 2 } } =2
Solution– x,y,z गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं अतः

{ y }^{ 2 }=xz....(1)

x,y का समान्तर माध्य है अतः

{ A }_{ 1 }=\frac { x+y }{ 2 } ....(2)

y,z का समान्तर माध्य है अतः

{ A }_{ 2 }=\frac { y+z }{ 2 } ....(3)
(1) व (2) से-

(1)\frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ x+y } +\frac { 2 }{ y+z } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =2[\frac { y+z+x+y }{ (x+y)(y+z) } ]\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =2[\frac { 2y+z+x }{ xy+xz+{ y }^{ 2 }+yz } ]...(4)\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =2[\frac { 2y+z+x }{ xy+{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+yz } ]\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =2[\frac { 2y+z+x }{ { 2y }^{ 2 }+xy+yz } ]\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ y } [\frac { 2y+z+x }{ { 2y }+x+z } ]\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { A }_{ 1 } } +\frac { 1 }{ { A }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ y }

(2)\frac { x }{ { A }_{ 1 } } +\frac { z }{ { A }_{ 2 } } =\frac { 2x }{ x+y } +\frac { 2z }{ y+z } \\ \Rightarrow \frac { x }{ { A }_{ 1 } } +\frac { z }{ { A }_{ 2 } } =2[\frac { x(y+z)+z(x+y) }{ xy+xz+{ y }^{ 2 }+yz } ]\\ \Rightarrow \frac { x }{ { A }_{ 1 } } +\frac { z }{ { A }_{ 2 } } =2[\frac { xy+xz+zx+zy }{ xy+xz+zx+yz } ]\\ \Rightarrow \frac { x }{ { A }_{ 1 } } +\frac { z }{ { A }_{ 2 } } =2

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Geometric Progression) को समझा जा सकता है।

7.गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद की समस्याएं (General Term of Geometric Progression Problems)-

(1.)श्रेढ़ी 6+3+\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 4 } +...... का कौनसा पद \frac { 3 }{ 256 } है?
(2.)गुणोत्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 1 तथा सातवां पद 16 है।
(3.)गुणोत्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 32 तथा 7 वां पद 8192 है तो श्रेढ़ी का 10 वां पद ज्ञात कीजिए।
(4.) 2 व 256 के मध्य 6 गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
(5.)किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का चौथा पद p, सातवां पद q तथा दसवां पद r है तो सिद्ध कीजिए{ q }^{ 2 }=pr
(6.)यदि गुणोत्तर श्रेढ़ी में (p+q) वां पद x तथा (p-q) वां पद y है तो p वां पद ज्ञात कीजिए।
(7.)यदि a तथा b के बीच n गुणोत्तर माध्य प्रविष्ट किए जाएं तो सिद्ध कीजिए कि सभी गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल { \sqrt { ab } }^{ n } होगा।
उत्तर-(1.) 10 (2) \frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 2 } ,1,2...... (3.) 524288 (4.) 4,8,16,32,64,128 (6)\sqrt { xy }
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गुणोत्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Geometric Progression) ठीक से समझ में आ जाएगा।

8.एक गुणोत्तर अनुक्रम का व्यापक पद क्या है? (What is the general term of a geometric sequence?)-

General Term of Geometric Progression

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी एक ऐसा अनुक्रम है जहां क्रमिक शब्दों के बीच अनुपात r स्थिर है।एक गुणोत्तर अनुक्रम के व्यापक पद को इसके प्रथम पद a, सामान्य अनुपात r, और सूचकांक n के रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है: { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 }।एक गुणोत्तर श्रृंखला एक गुणोत्तर अनुक्रम के पदों का योग है।

9.GP का व्यापक पद क्या है? (What is general term of GP?),जी.पी. सूत्र का व्यापक पद (General Term of G.P. formula),nth पदों के लिए गुणोत्तर श्रेढ़ी सूत्र (Geometric progression formula for nth term)-

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद को एक निश्चित संख्या द्वारा पूर्ववर्ती पद को गुणा या विभाजित करके सार्व अनुपात कहा जाता है।एक GP का सामान्य रूप a,ar,a{ r }^{ 2 },a{ r }^{ 3 } वगैरह है।GP श्रृंखला का n वां पद { T }_{ n }=a{ r }^{ n-1 } है, जहां a = पहला पद और r = सार्व अनुपात = \frac { { T }_{ n } }{ { T }_{ n-1 } } है।

10.गुणोत्तर श्रेढ़ी का क्या अर्थ है? (What does geometric progression mean?)-

संख्‍याओं की शृंखला जिसमें प्रत्‍येक को एक निश्चित संख्‍या से गुणा या भाग किया जाता है और फलतः अगली संख्‍या आती है जैसे 1, 3, 9, 27, 81; गुणोत्तर वृद्धि।

11.एक गुणोत्तर अनुक्रम में कितने पद हैं? (How many terms are there in a geometric sequence?)-

General Term of Geometric Progression

परिमित गुणोत्तर श्रेढ़ी में पदो की संख्या निश्चित होती है जबकि अपरिमित गुणोत्तर श्रेढ़ी में पदों की संख्या अनन्त होती है।

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