1.समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Arithmetic Progression),समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद कक्षा 10 (General Term of Arithmetic Progression Class 10):

General Term of Arithmetic Progression

समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Arithmetic Progression) को l से व्यक्त किया जाता है।इसका प्रथम पद a और सार्वअन्तर d होता है।समान्तर श्रेढ़ी के व्यापक पद को निम्नलिखित उदाहरणों से समझ सकते हैं।
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2.समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद के साधित उदाहरण (General Term of Arithmetic Progression Solved Examples):

Example:1.निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्वअन्तर d और n वाँ पद है:

Example:1(i).a=7,d=3,n=8,$a_{n}$=? 
Solution: $a=7,d=3,n=8,a_{n}=? \\ a_n =a+(n-1) d \\ =7+(8-1) \times 3 \\=7+7 \times 3 \\ =7+21 \\ \Rightarrow a_n =28$
Example:1(ii).a=-18,d=?,n=10, $a_{n}$=0 

Solution:$a=-18,d=?,n=10, a_{n}=0 \\ a_n=a+(n-1) d \\ 0=-18+(10-1) \times d \\ \Rightarrow-0+18=9 \times d \\ \Rightarrow d=\frac{18}{9}=2$
Example:1(iii).a=?,d=-3,n=18,$a_{n}$=-5
Solution:$a=?,d=-3,n=18,a_{n}=-5 \\ a_n=a+(n-1) d \\ -5=a+(18-1)(-3) \\ \Rightarrow-5=a+17 \times -3\\ \Rightarrow-5=a-51\\ \Rightarrow a=51-5\\ \Rightarrow a=46$
Example:1(iv).a=-18.9,d=2.5,n=?,$a_n$=3.6
Solution:$a=-18.9,d=2.5,n=?,a_n=3.6 \\ a_n=a+(n-1) d \\ 3.6=-18.9+(n-1)(2.5) \\ \Rightarrow 3.6+18.9=(n-1)(2.5) \\ \Rightarrow 22.5=(n-1)(2.5) \\ \Rightarrow n-1=\frac{22.5}{2.5} \\ \Rightarrow n-1=9 \\ \Rightarrow n=9+1 \\ \Rightarrow n=10$
Example:1(v).a=3.5,d=0,n=105, $a_{n}$=? 
Solution:$a=3.5,d=0,n=105, a_{n}=? \\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow a_{105}=3.5+(105-1) \times 0\\ \Rightarrow a_{105}=3.5$
Example:2.निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
Example:2(i).A.P.:10,7,4,….,का 30वाँ पद है:

(A)97    (B) 77   (C)-77   (D)-87
Solution:A.P.:10,7,4,….,का 30वाँ पद है:
$a=10,d=7-10=-3,n=30,a_{n}=? \\ a_n=a+(n-1) d \\ a_{30}=10+(30-1)(-3) \\ a_{30}=10+29 \times -3 \\ \Rightarrow a_{30}=10-87 \\ \Rightarrow a_{30}=-77$
Example:2(ii).A.P.: -3,-$\frac{1}{2}$,2 ……का 11वाँ पद है:

(A)28    (B) 22   (C)-38   (D)-$48\frac{1}{2}$
Solution:A.P.: -3,-$\frac{1}{2}$,2 …… का 11वाँ पद है:
$a=-3,d=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2},n=11 \\ a_{n}=a+(n-1)d \\ a_{11}=-3(11-1)\left (\frac{5}{2}\right ) \\=-3+10 \times \frac{5}{2} \\ =-3+25 \\ \Rightarrow a_{11}=22$
Example:3.निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:
Example:3(i). 2, ,26
Solution: 2, ,26 

$a_1=2, \quad a_2= ?,\quad a_3=26 \\ a_3=a_1+2 d \\ \Rightarrow 26=2+2 d \\ \Rightarrow 2 d=26-2 \\ \Rightarrow 2 d=24 \\ \Rightarrow d=12 \\ a_2=a+d \\ a_2=2+12 \\ \Rightarrow a_2=14$
Example:3(ii).,13,,3
Solution:,13,,3

$a_1=?,a_2=13, a_3= ?,a_4=3 \\ a_2=a_1+d=13 \cdots(1) \\ a_4=a_1+3 d=3 \cdots(2)$
घटाने पर:

$-2 d=-10 \\ \Rightarrow d=5$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$\Rightarrow a_1+5=13\\ \Rightarrow a_1=13-5\\ \Rightarrow a_{1}=8, d=5\\ a_3=a+2 d\\ =8+2 \times 5\\ =8+10\\ \Rightarrow a_3=18, a_1=8$
Example:3(iii).5,,,$\frac{1}{2}$
Solution: $a_1=a=5, \quad a_2=?, a_3=?, a_4=9\frac{1}{2} \\ a_4=a+3 d=\frac{19}{2}\\ \Rightarrow 5+3 d=\frac{19}{2}\\ \Rightarrow 3 d=\frac{19}{2}-5\\ \Rightarrow d=\frac{9}{2} \times \frac{1}{3}\\ \Rightarrow d=\frac{3}{2}\\ a_2=a+d=5+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}=6 \frac{1}{2}\\ a_3=a+2 d=5+2 \times \frac{3}{2}=5+\frac{6}{2}\\ \Rightarrow a_3=8\\ a_2=6 \frac{1}{2}, a_3=8$
Example:3(iv).-4,,,,,6
Solution:-4,,,,,6

$a_1=a=-4, a_2=?, a_3=?, a_4=?, a_5=?, a_1=6\\ a_6=a+5 d=6\\ \Rightarrow-4+5 d=6\\\Rightarrow 5 d=6+4\\ \Rightarrow d=\frac{10}{5}\\ \Rightarrow d=2\\ a_2=a+d=-4+2=-2\\ a_3=a+2 d=-4+2 \times 2=0\\ a_4=a+3 d=-4+3 \times 2=2\\ a_5=a+4 d=-4+4 \times 2=4\\ a_2=-2, a_3=0, a_4=2, a_5=4$
Example:3(v). ,38,,,,-22
Solution: ,38,,,,-22

$a_1=a=? ,\quad a_2=38, a_3=?, a_4=?, a_5=? ,a_6=-22 \\a_2=a+d=38 \cdots (1) \\ a_6=a+5 d=-22 \cdots(2)$
घटाने पर:

$-4 d=60 \\ \Rightarrow d=-\frac{60}{4} \\ \Rightarrow d=-15$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$a-15=38 \\ \Rightarrow a=38+15 \\ \Rightarrow a=53 \\ a_3=a+2 d=53+2 \times-15 \\ \Rightarrow a_3=23 \\ a_4=a+3 d=53+3 \times -15 \\ \Rightarrow a_{4}=8 \\ a_{5}=a+4 d=53+4 \times -15 \\ \Rightarrow a_5=-7 \\ a_1=53, a_3=23, a_4=8, a_5=-7$
Example:4.A.P.:3,8,13,18,…का कौनसा पद 78 है?
Solution:A.P.:3,8,13,18,…का कौनसा पद 78 है?

$a_1=a=3, d=8-3=5, a_{n}=78, n=? \\ a_n =a+(n-1) d \\ \Rightarrow 78 =3+(n-1) 5 \\ \Rightarrow 78-3=(n-1) 5 \\ \Rightarrow n-1=\frac{75}{5} \\ \Rightarrow n-1=15 \\ \Rightarrow n=15+1=16$
Example:5.निम्नलिखित श्रेढ़ियों में कितने पद हैं?
Example:5(i).5(i).7,13,19,….,205
Solution:5(i).7,13,19,….,205

$a=7, d=13-7=6, a_{n}=205, n=? \\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow 205=7+(n-1) \times 6\\ \Rightarrow 205-7=(n-1) \times 6\\ \Rightarrow 198=(n-1) \times 6\\ \Rightarrow n-1=\frac{198}{6}\\ \Rightarrow n-1=33\\ \Rightarrow n=33+1\\ \Rightarrow n=34$
Example:5(ii). 18, $15\frac{1}{2}$, 13,…….,-47
Solution:18, $15\frac{1}{2}$, 13,…….,-47

$a=18, d=\frac{31}{2}-18=-\frac{5}{2}, a_n=-47, n=? \\ a_n=a+(n-1) d\\ \Rightarrow-47=18+(n-1)\left(-\frac{5}{2}\right)\\ \Rightarrow-47-18=(n-1)\left(-\frac{5}{2}\right)\\ \Rightarrow-65 \times-\frac{2}{5}=n-1\\ \Rightarrow n-1=26\\ \Rightarrow n=26+1=27$
Example:6.क्या A.P. 11,8,5,2,….का एक पद -150 है? क्यों?
Solution:11,8,5,2,….
a=11,d=8-11=-3

$a_n=a+(n-1) d\\ -150=11+(n-1)(-3) \\\Rightarrow-150-11=(n-1)(-3)\\ \Rightarrow \frac{-161}{-3}=n-1 \\ \Rightarrow n-1=53 \frac{2}{3}\\ \Rightarrow n=53 \frac{2}{3}+1\\ \Rightarrow n=54 \frac{2}{3}$
n का मान पूर्ण संख्या नहीं है अतः दी गई A.P. का कोई पद -150 नहीं है।
Example:7.उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
Solution: $a_n=a+(n-1) d \\ a_{11}=a+10 d=38 \ldots (1) \\ a_{16}=a+15 d=73 \cdots (2)$
घटाने पर

$-5 d=-35 \Rightarrow d=\frac{35}{5} = 7$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$a+10 \times 7=38 \\ \Rightarrow a=38-70 \\ \Rightarrow a=-32, d=7,n=31,a_{n}=? \\ a_{31}=a+30 d \\ =-32+30 \times 7 \\ =-32+210 \\ \Rightarrow a_{31}=178$
Example:8.एक A.P. में 50 पद हैं जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है।इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: $a_{50}=a+ 49d =106 \cdots(1) \\ a_{3}=a+2d =12 \cdots(2)$
घटाने पर:

$47d=94 \\ \Rightarrow d=\frac{94}{47}=2$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$a+49 \times 2=106 \\ \Rightarrow a+98=106 \\ \Rightarrow a=106-98=8 \\ \Rightarrow a=8, d=2, n=29, a_{29}=? \\ a_{29}=a+28 d \\ =8+28 \times 2 \\ =8+56 \\ \Rightarrow a_{29}=64$
Example:9.यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं तो इसका कौनसा पद शून्य होगा?
Solution:$a_3=a+2 d=4 \cdots(1) \\ a_9=a+8 d=-8 \cdots(2)$

घटाने पर:

$-6 d=12\\ \Rightarrow d=\frac{12}{-6}=-2$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

General Term of Arithmetic Progression

Example:10.किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Solution: $a_n=a+(n-1) d\\ a_{17}=a+16 d\\ a_{10}=a+9 d$
प्रश्नानुसार: $a_{17}-a_{10}=(a+16 d)-(a+9 d)=7\\ \Rightarrow a+16 d-a-9 d=7\\ \Rightarrow 7 d=7\\ \Rightarrow d=1$
सार्वअन्तर=1
Example:11.A.P.:3,15,27,39,…का कौनसा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
Solution:A.P.:3,15,27,39,….
a=3,d=15-3=12,n=54,$a_{54}$=?

$a_n=a+(n-1) d \\ a_{54}=3+(54-1) \times 12 \\ =3+53 \times 12 \\ =3+636 \\ \Rightarrow a_{54}=639 \\ a_n=639+132=771 \\ \Rightarrow 771=3+(n-1) 12 \\ \Rightarrow 771-3=(n-1) \times 12 \\ \Rightarrow \frac{768}{12}=n-1 \\ \Rightarrow 64=n-1 \\ \Rightarrow n=64+1 \\ \Rightarrow n=65$
Example:12.दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वअन्तर समान है।यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है तो इनके 1000वें पदों का अन्तर क्या होगा?
Solution:माना प्रथम A.P. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।और दूसरी A.P. का प्रथम पद A तथा सार्वअन्तर d है।सार्वअन्तर समान है।
प्रथम श्रेणी का 100वाँ पद $a_{100}=a+99 d$
दूसरी श्रेणी का 100वाँ पद $A_{100}=A+99 d$
प्रश्नानुसार: $A_{100}-a_{100}=(A+99d)-(a+99 d) \\ \Rightarrow A_{100}-a_{100}=A-a=100 \cdots(1)$[(1) से ]
प्रथम श्रेणी का 1000वाँ पद $a_{1000}=a+999 d$
दूसरी श्रेणी का 1000वाँ पद $A_{1000}=A+999 d$
दोनों श्रेणियों के 1000वें पद का अन्तर

$A_{1000}-a_{1000}=A+999 d-(a+999 d) \\ =A-a \\ A_{1000}-a_{1000}=100$
Example:13.तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
Solution: $d=7, a=105, a_n=994 \\ a_n =a+(n-1) d \\ \Rightarrow 994=105+(n-1) \times 7 \\ \Rightarrow 994-105=(n-1) 7\\ \Rightarrow n-1=\frac{889}{7}\\ \Rightarrow n-1=127\\ \Rightarrow n=127+1\\ \Rightarrow n=128$
Example:14.10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
Solution:12,16,…..,248
$a=12, d=4, \quad a_n=248\\ a_n=a+(n-1) d\\ 248=12+(n-1) 4\\ \Rightarrow(n-1) 4=248-12\\ \Rightarrow(n-1) 4=236 \\ \Rightarrow n-1=\frac{236}{4}\\ \Rightarrow n-1=59\\ \Rightarrow n=59+1=60$
Example:15.n के किस मान के लिए दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63,65,67,….और 3,10,17,…के nवें पद बराबर होंगे?
Solution:63,65,67,….
a=63,d=65-63=2 

$a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow a_n=63+(n-1) 2$
3,10,17,…..
A=3,D=10-3=7

$A_n=A+(n-1) D\\ \Rightarrow A_n=3+(n-1) \times 7$
प्रश्नानुसार: $a_n=A_n\\ \Rightarrow 63+(n-1) \times 2=3+(n-1) \times 7\\ \Rightarrow 2 n-2-7(n-1)=3-63\\ \Rightarrow 2 n-2-7 n+7=-60\\ \Rightarrow-5 n=-60+2-7\\ \Rightarrow-5 n=-65 \\ \Rightarrow n=\frac{65}{5} \Rightarrow n=13$
Example:16.वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
Solution: $a_n=a+(n-1) d \\ a_3=a+2 d=16 \cdots(1) \\ a_7=a+6 d \\ a_5=a+4 d \\ a_7-a_5=(a+6 d)-(a+4 d)=12 \\ \Rightarrow a+6 d-a-4d=12 \\ \Rightarrow 2 d=12 \Rightarrow d=6$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

A.P. : 4,10,16,22,……..
Example:17.A.P.:3,8,13,…..,253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution:3,8,13,…..,253
a=3,d=8-3=5 ,$a_n$=253

$a_n=a+(n-1) d \\ 253=3+(n-1) 5 \\ 253-3=(n-1) \times 5 \\ (n-1)=\frac{250}{5} \Rightarrow n-1=50 \Rightarrow n=51$
अंतिम पद से:
a=253,d=8-13=-5,n=20

$a_{20}=a+(n-1) d \\ =253+(20-1)(-5) \\ =253+19 \times-5 =253-95 \\ \Rightarrow a_{20}=158$
Example:18.किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है।इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
Solution: $a_n=a+(n-1) d \\ a_{4}+a_{8}=a+3 d+a+7 d=24 \\ 2 a+10 d=24 \cdots(1)\\ a_6+a_{10} =a+5 d+a+9 d=44 \\ 2 a+14 d=44 \cdots(2)$
(1) में से (2) घटाने पर:

$-4 d=-20 \\ \Rightarrow d=\frac{20}{4}=5$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर:

$2 a+10 \times 5=24 \Rightarrow 2 a+50=24 \\ 2a=24-50 \\ \Rightarrow 2 a=-26 \Rightarrow a=-13, d=5$
प्रथम तीन पद:-13,-8,-3
Example:19.सुब्बाराव ने 1995 में 5000 रुपए के मासिक वेतन पद पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रुपए की वेतनवृद्धि प्राप्त की।किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रुपए हो गया?
Solution:a=5000,$a_n$=7000,d=200,n=?

$a_n=a+(n-1) d \\ \Rightarrow 7000=5000+(n-1) \times 200 \\ \Rightarrow 7000-5000=(n-1) \times 200 \\ \Rightarrow \frac{2000}{200}=n-1 \Rightarrow n-1=10 \\ \Rightarrow n=11$ वाँ वर्ष
Example:20.रामकली किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रुपए की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 रुपए बढ़ाती गई।यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 हो जाती है तो n ज्ञात कीजिए।
Solution:a=5,d=1.75,$a_{n}=20.75$,n=?

$a_n =a+(n-1) d \\ \Rightarrow 20.75=5+(n-1) \times 1.75 \\ \Rightarrow \frac{15.75}{1.75}=(n-1)\\ \Rightarrow n-1=9 \Rightarrow n=9+1 \\ \Rightarrow n=10$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Arithmetic Progression),समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद कक्षा 10 (General Term of Arithmetic Progression Class 10) को समझ सकते हैं।

3.समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद के सवाल (General Term of Arithmetic Progression Questions):

General Term of Arithmetic Progression

(1.)क्या 184 अनुक्रम 3,7,11,…का एक पद है?
(2.)अनुक्रम $20,19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}, \cdots$ का कौन-सा पद प्रथम ऋणात्मक है?
उत्तर (Answers):(1.)184 अनुक्रम का पद नहीं है। (2.)n=28

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4.समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Arithmetic Progression),समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद कक्षा 10 (General Term of Arithmetic Progression Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक पद (General Term of Arithmetic Progression) को l से व्यक्त किया जाता है।