1.हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution)-

हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution),चार्पी की विधि क्या है? (What is method of Charpit?)-
आंशिक अवकल समीकरण में दो चरों वाले प्रथम कोटि के रैखिक या अरैखिक आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की व्यापक विधि को कहते हैं।
इस विधि में कठिन गणनाएं करनी पड़ सकती है, अतः इस विधि को काम में लेने से पहले यह देख लेना चाहिए कि क्या दिया हुआ समीकरण अन्य मानक रूपों में से किसी में है या नहीं अथवा इनमें से किसी एक में परिवर्तित किया जा सकता है या नहीं अर्थात् समीकरण किसी मानक रूप में न होने पर ही हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) का उपयोग करना चाहिए।
मानलो दिया हुआ समीकरण है-
f(x,y,z,p,q)=0 ………(1)
जहां z दो स्वतन्त्र चरों x,y का फलन है।
हम जानते हैं कि
dz=pdx+qdy ……….(2)
हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) का मुख्य उद्देश्य x,y,z,p,q में (1) के अलावा एक ओर सम्बन्ध को ज्ञात करना है जिससे इन दोनों सम्बन्धों से p तथा q का मान ज्ञात कर (2) में रखने पर इसका समाकलन किया जा सके।(2) के समाकलन से हमें (1) का पूर्ण समाकल प्राप्त होगा।
अब मानलो x,y,z,p,q में दूसरा सम्बन्ध निम्न है:
F(x,y,z,p,q)=0 ………(3)
(1) और (3) का आंशिक अवकलन करने पर-

\left( \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } \right) +\frac { \partial f }{ \partial p } .\frac { \partial p }{ \partial x } +\frac { \partial f }{ \partial q } .\frac { \partial q }{ \partial x } =0...............(4)
तथा \left( \frac { \partial F }{ \partial x } +p\frac { \partial F }{ \partial z } \right) +\frac { \partial F }{ \partial p } .\frac { \partial p }{ \partial x } +\frac { \partial F }{ \partial q } .\frac { \partial q }{ \partial x } =0.............(5)
अब (4) तथा (5) से \frac { \partial p }{ \partial x } का विलोपन करने पर,जो कि (4) को \frac { \partial F }{ \partial p } तथा (5) को \frac { \partial f }{ \partial p } से गुणा कर इनको घटाने पर किया जा सकता है अर्थात्

\left( \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \frac { \partial F }{ \partial p } -\left( \frac { \partial F }{ \partial x } +p\frac { \partial F }{ \partial z } \right) \frac { \partial F }{ \partial p } +\left( \frac { \partial f }{ \partial q } .\frac { \partial F }{ \partial p } -\frac { \partial f }{ \partial p } .\frac { \partial F }{ \partial q } \right) \frac { \partial q }{ \partial x } =0........(6)
इसी प्रकार (1) तथा (3) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\left( \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } \right) +\frac { \partial f }{ \partial p } .\frac { \partial p }{ \partial y } +\frac { \partial f }{ \partial q } .\frac { \partial q }{ \partial y } =0..............(7)
तथा \left( \frac { \partial F }{ \partial y } +p\frac { \partial F }{ \partial z } \right) +\frac { \partial F }{ \partial p } .\frac { \partial p }{ \partial y } +\frac { \partial F }{ \partial q } .\frac { \partial q }{ \partial y } =0.................(8)
अब (7) तथा (8) से \frac { \partial q }{ \partial y } का विलोपन करने पर जो कि (7) को \frac { \partial F }{ \partial q } तथा (8) को \frac { \partial f }{ \partial q } से गुणा कर इनको घटाने पर किया जा सकता है अर्थात्

\left( \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \frac { \partial F }{ \partial q } -\left( \frac { \partial F }{ \partial y } +q\frac { \partial F }{ \partial z } \right) \frac { \partial F }{ \partial q } +\left( \frac { \partial f }{ \partial p } .\frac { \partial F }{ \partial q } -\frac { \partial f }{ \partial q } .\frac { \partial F }{ \partial p } \right) \frac { \partial p }{ \partial y } =0.................(9)

अब हम जानते हैं कि

\frac { \partial q }{ \partial x } =\frac { { \partial }^{ 2 }z }{ \partial x\partial y } =\frac { \partial p }{ \partial y } ..................(10)

अतः (10) के प्रयोग से (6) तथा (9) को जोड़ने पर इनके अन्तिम पद कट जाते हैं अर्थात्

\left( \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \frac { \partial F }{ \partial p } +\left( \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } \right) \frac { \partial F }{ \partial q } +\left( -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } \right) \frac { \partial F }{ \partial z } +(-\frac { \partial f }{ \partial p } )\frac { \partial F }{ \partial x } +(-\frac { \partial f }{ \partial q } )\frac { \partial F }{ \partial y } =0.............(11)
जो कि फलन F को ज्ञात करने के लिए प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है। यहां F आश्रित चर तथा x,y,z,p,q स्वतन्त्र चर हैं। अतः (11) के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dp }{ \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dq }{ \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dz }{ -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { dx }{ -\frac { \partial f }{ \partial p } } =\frac { dy }{ -\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { \partial F }{ 0 } ....(12)

इन समीकरणों को समीकरण (3) के अभिलाक्षणिक समीकरण (Charateristic equations) कहते हैं।
चूंकि (12) के हल (11) को सन्तुष्ट करेंगे। अतः (12) का एक सरलतम हल जिसमें p तथा q (या दोनों) विद्यमान हों,लेकर (1) की सहायता से p तथा q का मान ज्ञात करेंगे।p तथा q के इन मानों को (2) में रखकर (1) का अभीष्ट पूर्ण समाकल प्राप्त किया जा सकता है।
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2.हल की चार्पी की व्यापक विधि के उदाहरण (General method of Charpit of Solution examples)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को चार्पी की विधि से हल कीजिए-
(Solve the following differential equation by charpit’s method)-
Example-1.p={ \left( qy+z \right) }^{ 2 }

Solution:-f\left( x,y,z,p,q \right) =p-{ \left( qy+z \right) }^{ 2 }=0................(1)
चार्पी के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dp }{ \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dq }{ \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dz }{ -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { dx }{ -\frac { \partial f }{ \partial p } } =\frac { dy }{ -\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ 0+p\left\{ -2\left( qy+z \right) \right\} } =\frac { dq }{ -2\left( qy+z \right) q+q\left( -2\left( qy+z \right) \right) } =\frac { dz }{ -p-q\left\{ -2\left( qy+z \right) y \right\} } =\frac { dx }{ 1 } =\frac { dy }{ 2\left( qy+z \right) y } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ -2pqy-2pz } =\frac { dq }{ -2{ q }^{ 2 }y-2qz-2{ q }^{ 2 }y-2qz } =\frac { dz }{ -p+2{ q }^{ 2 }y^{ 2 }+2qyz } =\frac { dx }{ 1 } =\frac { dy }{ 2q{ y }^{ 2 }+2yz } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ -2pqy-2pz } =\frac { dq }{ -4{ q }^{ 2 }y-4qz } =\frac { dz }{ -p+2{ q }^{ 2 }y^{ 2 }+2qyz } =\frac { dx }{ 1 } =\frac { dy }{ 2q{ y }^{ 2 }+2yz } ....................(2)\\ \Rightarrow \frac { dp }{ -2pqy-2pz } =\frac { dq }{ -4{ q }^{ 2 }y-4qz } =\frac { dy }{ 2q{ y }^{ 2 }+2yz } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ -2p } =\frac { dy }{ 2y } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ -p } =\frac { dy }{ y }
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { 1 }{ p } dp } =-\int { \frac { 1 }{ y } dy } \\ \Rightarrow \log { a } +\log { p } =-\log { y } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ y } =pa\Rightarrow p=\frac { 1 }{ ay } …………..(3)

समीकरण (1) व (3) से-

\frac { 1 }{ ay } -{ (qy+z) }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow qy+z=\frac { 1 }{ \sqrt { ay } } \\ \Rightarrow q=\frac { 1 }{ y } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { ay } } -z \right)
p,q का मान समीकरण dz=pdx+qdy में रखने पर-

\Rightarrow dz=\frac { dx }{ ay } +\frac { 1 }{ y } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { ay } } -z \right) dy\\ \Rightarrow ydz+zdy=\frac { dx }{ a } +\frac { 1 }{ \sqrt { ay } } dy
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { (ydz+zdy) } =\int { \frac { dx }{ a } } +\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \int { \frac { 1 }{ \sqrt { y } } dy } \\ \Rightarrow yz=\frac { x }{ a } +\frac { 2 }{ \sqrt { a } } \sqrt { y } +c\\ \Rightarrow yz=bx+2\sqrt { by } +c

Example-2.\left( p^{ 2 }+{ q }^{ 2 } \right) x=pz
Solution:-f\left( x,y,z,p,q \right) =\left( p^{ 2 }+{ q }^{ 2 } \right) x-pz=0.................(1)

चार्पी के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dp }{ \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dq }{ \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dz }{ -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { dx }{ -\frac { \partial f }{ \partial p } } =\frac { dy }{ -\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ \left( p^{ 2 }+{ q }^{ 2 } \right) +p(-p) } =\frac { dq }{ 0+q(-p) } =\frac { dz }{ -p(2px)-q(2qx) } =\frac { dx }{ -2px+z } =\frac { dy }{ -2qx } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ { q }^{ 2 } } =\frac { dq }{ -pq } =\frac { dz }{ -2{ p }^{ 2 }x-2{ q }^{ 2 }x } =\frac { dx }{ -2px+z } =\frac { dy }{ -2qx } =\frac { \partial f }{ 0 } ....................(2)
प्रथम दो से

\frac { dp }{ { q }^{ 2 } } =\frac { dq }{ -pq } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ { q } } =\frac { dq }{ -p } \\ \Rightarrow pdp=-qdq
समाकलन करने पर-

\int { pdp } =-\int { qdq } \\ \Rightarrow { p }^{ 2 }=-{ q }^{ 2 }+a\\ \Rightarrow { p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }=a...............(3)
समीकरण (1) व (3) से-

\Rightarrow ax-pz=0\\ \Rightarrow p=\frac { ax }{ z }
p का मान समीकरण (3) में रखने पर-

\frac { a^{ 2 }x^{ 2 } }{ { z }^{ 2 } } +{ q }^{ 2 }=a\\ \Rightarrow q=\sqrt { a-\frac { a^{ 2 }x^{ 2 } }{ { z }^{ 2 } } }

अब p,q के इन मानों को  dz=pdx+qdyसमीकरण में रखने पर-

\Rightarrow dz=\frac { ax }{ z } dx+\sqrt { a-\frac { a^{ 2 }x^{ 2 } }{ { z }^{ 2 } } } dy\\ \Rightarrow \frac { dz-\frac { ax }{ z } dx }{ \sqrt { a-\frac { a^{ 2 }x^{ 2 } }{ { z }^{ 2 } } } } =dy\\ \Rightarrow \frac { zdz-axdx }{ \sqrt { a } \sqrt { z^{ 2 }-ax^{ 2 } } } =dy\\ \Rightarrow \frac { 2zdz-2axdx }{ \sqrt { z^{ 2 }-ax^{ 2 } } } =2\sqrt { a } dy
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { 2zdz-2axdx }{ \sqrt { z^{ 2 }-ax^{ 2 } } } } =\int { 2\sqrt { a } dy } \\ put\quad z^{ 2 }-ax^{ 2 }=t\\ 2zdz-2axdx=dt\\ \Rightarrow \int { \frac { dt }{ \sqrt { t } } } =2\sqrt { a } \int { dy } \\ \Rightarrow 2\sqrt { t } =2\sqrt { a } y+c\\ \Rightarrow 2\sqrt { z^{ 2 }-ax^{ 2 } } =2\sqrt { a } y+c\\ \Rightarrow \sqrt { z^{ 2 }-ax^{ 2 } } =\sqrt { a } y+{ c }_{ 1 }\\ \Rightarrow z^{ 2 }-ax^{ 2 }={ \left( \sqrt { a } y+{ c }_{ 1 } \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow z^{ 2 }=ax^{ 2 }+{ \left( \sqrt { a } y+{ c }_{ 1 } \right) }^{ 2 }

उपर्युक्त उदाहरण के हल द्वारा हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) को समझा जा सकता है।

Example-3.p^{ 2 }x+{ q }^{ 2 }y-z=0

Solution:-f\left( x,y,z,p,q \right) =p^{ 2 }x+{ q }^{ 2 }y-z=0.........................(1)
चार्पी के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dp }{ \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dq }{ \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dz }{ -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { dx }{ -\frac { \partial f }{ \partial p } } =\frac { dy }{ -\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ { p }^{ 2 }+p(-1) } =\frac { dq }{ { q }^{ 2 }+q(-1) } =\frac { dz }{ -p(2px)-q(2qy) } =\frac { dx }{ -2px } =\frac { dy }{ -2qy } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ { p }^{ 2 }-p } =\frac { dq }{ { q }^{ 2 }-q } =\frac { dz }{ -2{ p }^{ 2 }x-2{ q }^{ 2 }y } =\frac { dx }{ -2px } =\frac { dy }{ -2qy } =\frac { \partial f }{ 0 } .................(2)\\ \Rightarrow \frac { dp }{ { p }^{ 2 }-p } =\frac { dx }{ -2px } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ { p }-1 } =\frac { dx }{ -2x }
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { \frac { dp }{ { p }-1 } } =\frac { -1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ x } } \\ \Rightarrow \log { ({ p }-1) } =\frac { -1 }{ 2 } \log { x } +\log { a } \\ \Rightarrow \log { ({ p }-1) } =\log { \frac { a }{ \sqrt { x } } } \\ \Rightarrow p-1=\frac { a }{ \sqrt { x } } \\ \Rightarrow p=1+\frac { a }{ \sqrt { x } }
p का मान (1) में रखने पर-

{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }^{ 2 }x+{ q }^{ 2 }y-z=0\\ \Rightarrow { q }^{ 2 }y=z-{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }^{ 2 }x\\ \Rightarrow q=\frac { 1 }{ \sqrt { y } } \sqrt { z-{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }^{ 2 }x }
p,q के इन मानों को समीकरण dz=pdx+qdy में रखने पर-

\Rightarrow dz={ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }dx+\frac { 1 }{ \sqrt { y } } \left( \sqrt { z-{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }^{ 2 }x } \right) dy\\ \Rightarrow dz={ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }dx+\frac { 1 }{ \sqrt { y } } \left( \sqrt { z-{ (\sqrt { x } +a) }^{ 2 } } \right) dy\\ \Rightarrow \frac { dz-{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }dx }{ \sqrt { z-{ (\sqrt { x } +a) }^{ 2 } } } =\frac { dy }{ \sqrt { y } }
समाकलन करने पर-

\int { \frac { dz-{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }dx }{ \sqrt { z-{ (\sqrt { x } +a) }^{ 2 } } } } =\int { \frac { dy }{ \sqrt { y } } } \\ put\quad z-{ (\sqrt { x } +a) }^{ 2 }=t\\ \Rightarrow dz-2\sqrt { x } +a).\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } dx=dt\\ \Rightarrow dz-{ (1+\frac { a }{ \sqrt { x } } ) }dx=dt\\ \Rightarrow \int { \frac { dt }{ \sqrt { t } } } =\int { \frac { dy }{ \sqrt { y } } } \\ \Rightarrow 2\sqrt { t } =2\sqrt { y } +c\\ \Rightarrow \sqrt { z-{ (\sqrt { x } +a) }^{ 2 } } =\sqrt { y } +{ c }_{ 1 }

उपर्युक्त उदाहरण के हल द्वारा हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) को समझा जा सकता है।
Example-4.2(pq+py+qx)+{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=0

Solution:-f\left( x,y,z,p,q \right) =2(pq+py+qx)+{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=0........................(1)
चार्पी के सहायक समीकरण होंगे-

\frac { dp }{ \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dq }{ \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dz }{ -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { dx }{ -\frac { \partial f }{ \partial p } } =\frac { dy }{ -\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ (2q+2x)+p(0) } =\frac { dq }{ 2p+2y+q(0) } =\frac { dz }{ -p(2q+2y)-q(2p+2x) } =\frac { dx }{ -(2q+2y) } =\frac { dy }{ -(2p+2x) } =\frac { \partial f }{ 0 } \\ \Rightarrow \frac { dp }{ 2q+2x } =\frac { dq }{ 2p+2y } =\frac { dz }{ -4pq-2py-2qx } =\frac { dx }{ -(2q+2y) } =\frac { dy }{ -(2p+2x) } ..............(2)\\ \Rightarrow \frac { dp+dq }{ 2q+2x+2p+2y } =\frac { dx+dy }{ -(2q+2y+2x+2y) } \\ \Rightarrow dp+dq=-(dx+dy)
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { dp } +\int { dq } =-\int { dx } -\int { dy } \\ \Rightarrow p+q=-x-y+a\\ \Rightarrow p=-q-x-y+a..............(3)
समीकरण (3) का मान समीकरण (1) में रखने पर-

q(2p+2x)=-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }-2py\\ \Rightarrow q[2(-x-y-q+a)+2x]=-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }-2y[-x-y-q+a]\\ \Rightarrow 2{ q }^{ 2 }+q(2x+2y-2a-2x+2y)-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+2xy+2{ y }^{ 2 }-2ay=0\\ \Rightarrow 2{ q }^{ 2 }+q(4y-2a)-{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2xy-2ay=0\\ \Rightarrow q=\frac { -(4y-2a)\pm \sqrt { { (4y-2a) }^{ 2 }-4\times 2(-{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2xy-2ay) } }{ 4 } \\ \Rightarrow q=\frac { 2a-4y\pm 2\sqrt { { (2y-a) }^{ 2 }-2(-{ x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 }+2xy-2ay) } }{ 4 } \\ \Rightarrow q=\frac { a-2y\pm \sqrt { { (2y-a) }^{ 2 }-2(-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }+2xy-2ay) } }{ 2 } \\ \Rightarrow q=\frac { a-2y\pm \sqrt { 4{ y }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }-4ay+2{ x }^{ 2 }{ -2y }^{ 2 }-4xy+4ay } }{ 2 } \\ \Rightarrow q=\frac { a-2y\pm \sqrt { 2{ x }^{ 2 }-4xy+{ a }^{ 2 }+2{ y }^{ 2 } } }{ 2 } \\ \Rightarrow q=\frac { a-2y\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } }{ 2 }

q का मान समीकरण (3) में रखने पर-

p=-x-y-\frac { a-2y\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } }{ 2 } +a
p,q का मान समीकरण dz=pdx+qdy  में रखने पर-

dz=\left\{ -x-y-\frac { a-2y\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } }{ 2 } +a \right\} dx+\left\{ \frac { a-2y\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } }{ 2 } \right\} dy\\ \Rightarrow 2dz=\left\{ -2x-2y-(a-2y\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } +2a) \right\} dx+\left\{ a-2y\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } \right\} dy\\ \Rightarrow 2dz=(a-2x)dx\mp \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } dx+(a-2y)dy\pm \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } dy\\ \Rightarrow 2dz=(a-2x)dx\mp \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } (dx-dy)+(a-2y)dy
समाकलन करने पर-

\Rightarrow \int { 2dz } =a\int { dx } -2\int { xdx } \pm \int { \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } (dx-dy) } +\int { (a-2y)dy } \\ \Rightarrow 2z=ax-{ x }^{ 2 }\pm \int { \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } (dx-dy) } +ay-{ y }^{ 2 }+C\\ \Rightarrow 2z=ax-{ x }^{ 2 }\pm { I }_{ 1 }+ay-{ y }^{ 2 }+C....(4)\\ { I }_{ 1 }=\int { \sqrt { { a }^{ 2 }+2{ (x }-y)^{ 2 } } (dx-dy) } \\ put\quad \sqrt { 2 } (x-y)=t\\ \Rightarrow \sqrt { 2 } (dx-dy)=dt\\ { I }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \int { \sqrt { { t }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } } dt\\ { I }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } [\frac { t }{ 2 } \sqrt { { t }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \{ t+\sqrt { { t }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \} } ]\\ { I }_{ 1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } [\frac { \sqrt { 2 } (x-y) }{ 2 } \sqrt { { 2(x-y) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2 } \log { \{ \sqrt { 2 } (x-y)+\sqrt { { 2(x-y) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \} } ]\\ { I }_{ 1 }=\frac { (x-y) }{ 2 } \sqrt { { 2(x-y) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \log { \{ \sqrt { 2 } (x-y)+\sqrt { { 2(x-y) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \} }

{ I }_{ 1 } का मान समीकरण (4) में रखने पर –

2z=ax-{ x }^{ 2 }+\frac { (x-y) }{ 2 } \sqrt { { 2(x-y) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } +\frac { { a }^{ 2 } }{ 2\sqrt { 2 } } \log { \{ \sqrt { 2 } (x-y)+\sqrt { { 2(x-y) }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \} } +ay-{ y }^{ 2 }+c
उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) को समझा जा सकता है।

3.हल की चार्पी की व्यापक विधि की समस्याएं (General method of Charpit of Solution problems)-

(1)pxy+pq+qy=yz\\ (2)p(1+{ q }^{ 2 })=q(z-a)\\ (3)(p+q)(px+qy)-1=0\\ (4){ p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }-2px-2qy+1=0\\ (5)2x({ z }^{ 2 }{ q }^{ 2 }+1)=pz\\ (6)z=pq\\ (7)z-px-qy={ p }^{ 2 }+{ q }^{ 2 }\\ (8){ p }^{ 2 }=q-px\\ (9)p-3{ x }^{ 2 }={ q }^{ 2 }-y

Ans:-(1)(z-ax)(y+a)=c{ e }^{ y }\\ (2)2\sqrt { [b(z-a)-1] } =x+by+c\\ (3)z=\frac { 2 }{ \sqrt { (1+a) } } \sqrt { (ax+y) } +c\\ (4)({ a }^{ 2 }+1)z=\frac { 1 }{ 2 } { v }^{ 2 }\pm [\frac { 1 }{ 2 } v\sqrt { { v }^{ 2 }-({ a }^{ 2 }+1) } -\frac { 1 }{ 2 } ({ a }^{ 2 }+1)\log { [v+\sqrt { { v }^{ 2 }-({ a }^{ 2 }+1) } ] } जहाँ v=ax+y

(5){ z }^{ 2 }=2({ a }^{ 2 }+1){ x }^{ 2 }+2ay+c\\ (6)2\sqrt { az } =ax+y+c\\ (7)z=ax+by+{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ (8)z=ay+b+\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 2 }\pm \frac { 1 }{ 2 } [x\sqrt { ({ x }^{ 2 }+4a) } +4a\log { \{ x+\sqrt { ({ x }^{ 2 }+4a) } \} } ]\\ (9)z={ x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 3 } { (a-x) }^{ 3 }-xy+ay+b

उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) को समझा जा सकता है।

4.व्यापक हल क्या हैं? (What are general solutions?)-

(1.)ऑर्डर एन के एक साधारण अवकल समीकरण का एक समाधान जिसमें बिल्कुल n आवश्यक स्वेच्छ स्थिरांक शामिल है।पूर्ण समाधान भी कहा जाता है, व्यापक समाकल।
(2.)आंशिक अवकल समीकरण का एक समाधान जिसमें स्वेच्छ फलन शामिल हैं।

5.आंशिक अवकल समीकरण का व्यापक हल क्या है? (What is general solution of partial differential equation?)-

चूंकि स्थिरांक अन्य चर y पर निर्भर हो सकते हैं, PDE का सामान्य समाधान u (x, y) = f (y) cosx + g (y) sinx होगा, जहां f और g स्वेच्छ फलन हैं।यह x चर में u के लिए एक ODE है, जिसे समाधान U(x, y) = F (x) + G (y) पर पहुंचकर x के संबंध में समाकलन करके हल किया जा सकता है।

6.व्यापक हल और विशिष्ट हल क्या है? (What is general solution and particular solution?)-

डिफरेंशियल इक्वेशन एक ऐसा फंक्शन होता है जिसमें फंक्शन और उसके अवकलज शामिल होते हैं।
व्यापक हल-रेखीय ODE का एक व्यापक हल समाकलन के स्थिरांक के अनुरूप स्वेच्छ ढंग से चर की संख्या (ODE का क्रम) वाला एक समाधान है।

7.charpit समीकरण सूत्र (charpit equation formula)-

\frac { dp }{ \frac { \partial f }{ \partial x } +p\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dq }{ \frac { \partial f }{ \partial y } +q\frac { \partial f }{ \partial z } } =\frac { dz }{ -p\frac { \partial f }{ \partial p } -q\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { dx }{ -\frac { \partial f }{ \partial p } } =\frac { dy }{ -\frac { \partial f }{ \partial q } } =\frac { \partial F }{ 0 }

8.चार्पी की विधि का उपयोग आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है (Method of charpit is used to solve the partial differential equations which are)-

इस पद्धति का उपयोग एक क्रम के गैर-रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें दो स्वतंत्र चर शामिल होते हैं।

9.charpit विधि हिंदी में (charpit method in hindi)-

Working Rules of Charpit’s Method for Solving Non-Linear
Partial Differential Equations of Order One with Two Independent Variables
The following steps are required while using Charpit’s method for solving non-linear partial differential equation of order one:
Step 1.दी गए  PDE के  सभी पदों  को L.H.S. और L.H.S में संपूर्ण अभिव्यक्ति को f (x, y, z, p, q) द्वारा निरूपित करें।

Step 2.चारपिट के सहायक समीकरणों को लिखिए

Step 3. चारपिट के सहायक समीकरणों मे \frac { \partial f }{ \partial x } ,\frac { \partial f }{ \partial y } आदि के मूल्यों का पता लगाएं। चारपिट के सहायक समीकरण रखे और सरल करें।

Step 4. चारपिट के सहायक से दो उचित भिन्न  चुनें समीकरण जो कि परिणामी समाकल मे  सबसे सरल संबंध के रूप में  हो ,कम से कम एक p या q या दोनों में शामिल हो सकते हैं

Step 5.  चरण 4 का सबसे सरल संबंध p और q को खोजने के लिए दिए गए आंशिक अवकल  समीकरण के साथ हल किया गया है। p और q के इन मानों को dz = pdx + qdy में रखे , जो समाकलन  पर दिए गए आंशिक अवकल  समीकरण का पूरा समाकल  देता है। विचित्र  और व्यापक समाकल अंग सामान्य तरीके से प्राप्त किए जा सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा हल की चार्पी की व्यापक विधि (General method of Charpit of Solution) ओर स्पष्ट रूप से समझ सकते हैं।

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