1.व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 (General and Middle Term Class 11),व्यापक पद एवं मध्य पद (General and Middle Term):

General and Middle Term Class 11

व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 (General and Middle Term Class 11) के इस आर्टिकल में किसी पद का गुणांक,व्यापक पद एवं मध्य पद को ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझेंगे।
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2.व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 के उदाहरण (General and Middle Term Class 11 Examples):

गुणांक ज्ञात कीजिए:
Example:1. (x+3)^3 में x^5 का
Solution: (x+3)^3 में x^5 का
मान लीजिए के प्रसार में, (r+1)वें पद में आता है।

T_{r+1}={}^8 C_r x^{8-r}(3)^r
तथा में x के घातांकों की तुलना करने पर:
8-r=5 \Rightarrow r=3
अतः x^5 का गुणांक={}^8 C_3(3)^3 \\ =\frac{8 !}{(8-3) ! 3 !} \times 27 \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times 27 \\ =1512
Example:2. (a-2 b)^{12} में a^5 b^7 का
Solution: (a-2 b)^{12} में a^5 b^7 का
मान लीजिए (a-2 b)^{12} के प्रसार में a^5 b^7 ,(r+1)वें पद में आता है।
T_{r+1} ={}^12 C_r a^{12-r}(-2 b)^r \\ \Rightarrow T_{r+1}={}^12 C_r(-2)^r a^{12-r} b^r \\ T_{r+1} तथा a^5 b^7 में a व b के घातांकों की तुलना करने पर:
12-r=5 \Rightarrow r=7
इसलिए a^5 b^7 का गुणांक={}^{12} C_7(-2)^7 \\ =\frac{-12 !}{(12-7) ! 7 !} \times(-128) \\ =\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 7 !} \times (-128) \\ =-101376
निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए:
Example:3. \left(x^2-y\right)^6
Solution: \left(x^2-y\right)^6
व्यापक पद T_{r+1}={}^n C_r a^{a-r} b^r
यहाँ n=6, a=x^2, b=-y \\ T_{r+1}={}^6 C_r \left(x^2\right)^{6-r}(-y)^r \\ ={}^6 C_r x^{12-2 r}(-1)^r y^r \\ \Rightarrow T_{r+1}=(-1)^r {}^6 C_r x^{12-2r} y^r
Example:4. \left(x^2-y x\right)^{12}, x \neq 0
Solution: \left(x^2-y x\right)^{12}, x \neq 0
व्यापक पद T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r}b^r
यहाँ n=12, a=x^2, b=-y x \\ T_{r+1}={}^{12} C_r \left(x^2\right)^{12-r}(-y x)^r \\ ={}^{12} C_r x^{24-2r}(-1)^r y^r x^r \\ =(-1)^r {}^{12} C_r x^{24-8} y^r
Example:5. (x-2 y)^{12} के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
Solution: (x-2 y)^{12}
द्विपद प्रसार में (r+1)वाँ पद:

T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
चौथा पद के लिए r+1=4 \Rightarrow r=3 \\ n=12, a=x, b=-2 y \\ T_4={}^{12} C_3 (x)^{12-3}(-2 y)^3 \\ =\frac{12 !}{(9-3) ! 3 !} x^9(-2)^3 y^3 \\ =\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 !}{9 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times\left(-2^3\right) x^9 y^3 \\ \Rightarrow T_4 =-1760 x^9 y^3
Example:6. \left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18} के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Solution: \left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}
द्विपद प्रसार में (r+1)वाँ पद है:

T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
13वाँ पद के लिए: r+1=13 \Rightarrow r=12  \\  \\ n=18, a=9 x, b=-\frac{1}{3 \sqrt{x}} \\ T_{13}={}^{18} C_{12}(9 x)^{18-12}\left(-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{12} \\ =\frac{18 !}{(18-12) ! 12 !} \times 9^6 x^6 \times \frac{1}{3^{12}(\sqrt{x})^{12}} \\ =\frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 !}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{3^{12} x^6}{3^{12} x^6} \\ =\frac{13366080}{720} \\ \Rightarrow T_{13}=18564

General and Middle Term Class 11

निम्नलिखित प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए:
Example:7. \left(3-\frac{x^3}{6}\right)^7
Solution: \left(3-\frac{x^3}{6}\right)^7
n=7 विषम है अतः प्रसार में दो मध्य पद होंगे \frac{n+1}{2} तथा \left(\frac{n+1}{2}+1\right) वाँ पद
\Rightarrow \frac{7+1}{2}=4  व (4+1)=5वाँ पद

T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r
जब r+1=4 \Rightarrow r=3, n=7, a=3, b=\left(\frac{-x^3}{6}\right) \\ T_4 ={}^7 C_3(3)^{7-3}\left(-\frac{x^3}{6}\right)^3 \\ =\frac{7 !}{(7-3) ! 3 !} \times 3^4 \times-\frac{x^9}{6^3} \\ =-\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times 3^4 \times \frac{x^9}{2^3 \times 3^3} \\ =-\frac{105}{3} x^9 \\ \Rightarrow T_{4}=-\frac{105}{8} x^9
जब r+1=5 \Rightarrow r=4 \\ T_5={ }^7 C_4 (3)^{7-4} \times\left(-\frac{x^3}{6}\right)^4 \\ =\frac{7 !}{(7-4) ! 4 !} \times 3^3 \times \frac{x^{12}}{6^4} \\ =\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 \times 2 \times 1 \times 4 !} \times \frac{3^3 \times x^{12}}{2^4 \times 3^4} \\ \Rightarrow T_5=\frac{35}{48} x^{12}
अतः मध्य पद: -\frac{105}{8} x^9, \frac{35}{48} x^{12} हैं।
Example:8. \left(\frac{x}{3}+9 y\right)^10
Solution: \left(\frac{x}{3}+9 y\right)^10
n=10 सम है अत मध्य पद=\left(\frac{n}{2}+1\right) वाँ पद
=\left(\frac{10}{2}+1\right)=6 वाँ पद
जब r+1=6 \Rightarrow r=5 \\ n =10, a=\frac{x}{3}, b=9 y \\ T_{r+1}={}^n C_r a^{n-r} b^r \\ T_6 ={}^{10} C_5\left(\frac{x}{3}\right)^{10-5} \times(9 y)^5 \\ =\frac{10 !}{(10-5) ! 5 !} \times\left(\frac{x}{3}\right)^5 \times 9^5 y^5 \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !} \times \frac{x^5}{3^5} \times 3^{10} y^5 \\ =\frac{30240}{120} \times 3^5 \times x^5 y^5 \\ =61236 x^5 y^5 \\ \Rightarrow T_6 =61236 x^5 y^5
Example:9. (1+a)^{m+n} के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि a^m तथा a^n के गुणांक बराबर हैं।
Solution: (1+a)^{m+n}
मान लीजिए a^m तथा a^n का गुणांक (r+1)वें में आता है।
T_{r+1} तथा a^m में a व b के घातांकों की तुलना करने पर:
जब r=m,a=1,b=a
इसलिए a^m का गुणांक= {}^{m+n} C_m \\ =\frac{(m+n) !}{(m+n-m) ! m !} \\ =\frac{(m+n) !}{n ! m !} \cdots(1) \\ T_{r+1} तथा a^n में a व b के घातांकों की तुलना करने पर:
r=n,a=1,b=a
इसलिए a^n  का गुणांक={}^{m+n} C_n \\ =\frac{(m+n) !}{(m+n-n) ! n !} \\ =\frac{(m+n) !}{m ! n !}
अतः (1) व (2) से a^m व a^n के गुणांक समान हैं।
Example:10.यदि (x+1)^n के प्रसार में (r-1)वाँ,rवाँ और (r+1)वाँ पदों के गुणांकों में 1:3:5 का अनुपात हो,तो n तथा r का मान ज्ञात कीजिए।
Solution: (x+1)^n का व्यापक पद T_{r+1}={}^n C_r x^{n-r} 
\therefore (r+1)वें पद का गुणांक={}^n C_r
(r-1)वें पद का गुणांक={}^n C_{r-2}
तथा rवें पद का गुणांक={}^n C_{r-1}
प्रश्नानुसार

{}^n C_{r-2} : {}^n C_{r-1} : {}^n C_r=1: 3 : 5
अन्तिम दो अनुपात से:

\frac{{}^n C_{r-1}}{{}^n C_r}=\frac{3}{5} \\ \Rightarrow \frac{\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !}}{\frac{n !}{(n-r) ! r !}}=\frac{3}{5} \\ \Rightarrow \frac{r !(n-r) !}{(r-1) !(n-r+1) !}=\frac{3}{5} \\ \Rightarrow \frac{r(r-1) !(n-r) !}{(r-1) !(n-r+1)(n-r) !}=\frac{3}{5} \\ \Rightarrow \frac{r}{n-r+1}=\frac{3}{5} \cdots(1)\\ \Rightarrow 5 r=3 n-3 r+3 \\ \Rightarrow 3 n-8 r=-3 \cdots(2)
प्रथम दो अनुपात से:

{}^n C_{r-2}: {}^n C_{r-1}=1 : 3 \\ \Rightarrow \frac{\frac{n !}{(r-2) !(n-r+2) !}}{\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !}}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{(r-1) !(n-r+1) !}{(r-2) !(n-r+2) !}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{(r-1)(r-2) !(n-r+1) !}{(r-2) !(n-r+2)(n-r+1) !}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{r-1}{n-r+2}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow 3 r-3=n-r+2 \\ \Rightarrow n-4r=-5 \cdots(3) \\ 3 n-8 r=-3 \ldots(2)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर:
r=3,n=7
Example:11.सिद्ध कीजिए कि (1+x)^{2 n} , (1+x)^{2 n-1} के प्रसार में x^n का गुणांक के प्रसार में के गुणांक का दुगुना होता है।
Solution: x^n का गुणांक अर्थात् r=n होगा।
अतः (1+x)^{2 n} में nवाँ पद का गुणांक: ={}^{2n} C_n \\ =\frac{2 n !}{(2 n-n) ! n !} \\ =\frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) \ldots 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{n ! n!} \\ =\frac{[(2 n)(2 n-2) \ldots 6 \cdot 4 \cdot 2][(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{n ! n !} \\ =\frac{2^n[n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1][(2 n-1)(2 n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{n ! n !} \\ =\frac{2^n \cdot n ![(2 n-1)(2 n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{n ! n !} \\ =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots(2 n-1) 2^n}{n !} \cdots(1) \\ (1+x)^{2 n} में nवाँ पद का गुणांक:

{ }^{2 n-1} C_n \\ =\frac{(2 n-1) !}{(2 n-1-n) !(n !)} \\ =\frac{(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) \ldots 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{(n-1) !(n !)} \\ =\frac{[(2 n-2)(2 n-4) \ldots 6 \cdot 4 \cdot 2][(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{(n-1) !(n !)} \\ =\frac{2^{n-1}[(n-1)(n-2)(n-3) \ldots 3 \cdot 2 \cdot 1][(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{(n-1) ! n !} \\ =\frac{\left(2^{n-1}\right) 2 }{2} \times \frac{(n-1) ![(2 n-1)(2 n-3) \ldots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{(n-1) ! n !} \\ =\frac{2^n[(2 n-1)(2 n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1]}{2 \times n !} \\ =\frac{1}{2} \times \frac{2^n[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{n !} \cdots(2)
(1) व (2) से (1+x)^{2 n} में का गुणांक दुगुना है।
Example:12.m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1+x)^m के प्रसार में का गुणांक 6 हो।
Solution:हम जानते हैं कि
(1+x)^m=1+m x+\frac{m(m-1)}{1 \cdot 2} x^2+ \ldots \\ x^2 का गुणांक=\frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}=6 (दिया है)

\Rightarrow m(m-1)=12 \\ \Rightarrow m^2-m-12=0 \\ \Rightarrow m^2-4 m+3 m-12=0 \\ \Rightarrow m(m-4)+3(m-4)=0 \\ \Rightarrow(m-4)(m+3)=0 \\ \therefore m=4,-3 \\ \because m \neq-3 \therefore m=4
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 (General and Middle Term Class 11),व्यापक पद एवं मध्य पद (General and Middle Term) को समझ सकते हैं।

3.व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 की समस्याएँ (General and Middle Term Class 11 Problems):

General and Middle Term Class 11

(1.) \left(\frac{a}{2}-\frac{b}{3}\right)^{8} के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
(2.) \left(2 x^2+\frac{1}{2 x}\right)^9 के प्रसार में x रहित पद का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:- (1.) \frac{35 a^4 b^4}{648} (2.) \frac{21}{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 (General and Middle Term Class 11),व्यापक पद एवं मध्य पद (General and Middle Term) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to General and Middle Term Class 11),व्यापक पद एवं मध्य पद (General and Middle Term) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

व्यापक पद एवं मध्य पद कक्षा 11 (General and Middle Term Class 11) के इस आर्टिकल में किसी
पद का गुणांक,व्यापक पद एवं मध्य पद को ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझेंगे।