1.गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Rule),गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Formulae):

Gauss Quadrature Rule

गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Rule) के इस आर्टिकल में एकबिन्दु,दो बिन्दु,तीन बिन्दु,पंचम बिन्दु वाले गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र का उपयोग करके समाकलन ज्ञात करने से सम्बन्धित सवालों को हल करेंगे।
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2.गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Gauss Quadrature Rule):

Example:20.तीन बिन्दुओं वाले गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र का उपयोग करके निम्न समाकलन का अभिकलन कीजिए:
(Using Gauss’s three points quadrature formula compute the integral):
\int_{-12}^{12} \frac{d x}{24+x}
Solution: \int_a^b f(x) d x=\int_{-1}^1 F(u) du
यदि x=\frac{1}{2}(b-a) u+\frac{1}{2}(a+b) \\ x=\frac{1}{2} u(12+12)+\frac{1}{2}(12-12) \\ \Rightarrow x=12 u \Rightarrow u=\frac{x}{12} \\ dx=12 du
प्रतिस्थापित कर परास [-12,12] का रूपान्तर [-1,1] में करते हैं।
अतः I=\int_{-12}^{12} \frac{d x}{24+x}=\int_{-1}^1 \frac{1}{24+12 u} \cdot 12 d u \\ =\int_{-1}^1 \frac{1}{u+2} du \cdots(1)
गाॅस त्रि-बिन्दु क्षेत्रकलन सूत्र का उपयोग करने पर:
I=\underset{i=0}{\overset{2}{\sum}} w_i F\left(u_i\right) =w_0 F\left(u_0\right)+w_1 F\left(u_1\right) +w_2 F\left(u_2\right) \cdots(2)
[n=2 के लिए w_0=w_2=\frac{5}{9}, w_1=\frac{8}{9} तथा u_0=-\sqrt{\frac{3}{5}}, u_1=0, u_2=\sqrt{\frac{3}{5}} ]
F(u)=\frac{1}{u+2} \Rightarrow F\left(u_0\right)=\frac{1}{-\sqrt{\frac{3}{5}}+2} \\ F\left(u_1\right) =\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2} \\ F\left(u_2\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{5}}+2} \\ I=w_0 F\left(u_0\right)+w_1 F\left(u_1\right)+w_2 F\left(u_2\right) \\ =\frac{5}{9} \times \frac{1}{-\sqrt{\frac{3}{5}}+2}+\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{2}+\frac{5}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{5}}+2} \\ =\frac{5}{9}\left[\frac{1}{-\sqrt{\frac{3}{5}+2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{5}}+2}\right]+\frac{4}{9} \\ =\frac{5}{9}\left[\frac{\sqrt{\frac{3}{5}}+2-\sqrt{\frac{3}{5}}+2}{4-\frac{3}{5}}\right]+\frac{4}{9} \\ =\frac{5}{9}\left[\frac{4}{20-3} \times 5\right]+ \frac{4}{9} \\ =\frac{5}{9} \times \frac{20}{17}+\frac{4}{9} =\frac{5}{9} \times \frac{20}{17}+\frac{4}{9} \\ =\frac{100}{153}+\frac{4}{9} \\ =\frac{100+68}{153} \\ =\frac{168}{153} \\ \Rightarrow I \approx 1.098039
समाकलन का शुद्ध मान :
[\log (24+x)]_{-12}^{12} \\ =\log 36-\log 12 \\ \approx 3.5835189-2.4849066 \\ \approx 1.098612
Example:21.त्रिबिन्दु गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र द्वारा निम्न समाकलन का मान प्राप्त कीजिए:
(Evaluate the following integral using Gauss quadrature formula for three points):
\int_{0}^{1 }\frac{d x}{1+x^2}
Solution: \int_a^b f(x) d x=\int_{-1}^{1} F(u) d u
यदि x=\frac{1}{2}(b-a) u+\frac{1}{2}(a+b) \\ \therefore x=\frac{1}{2}(1-0) u+\frac{1}{2}(1+0) \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2} u+\frac{1}{2} \Rightarrow u=2 x-1 \\ d x=\frac{1}{2} d u
प्रतिस्थापित कर परास [0,1] का रूपान्तर [-1,1] में करते हैं।
अतः I=\int_0^1 \frac{d x}{1+x^2}=\int_{-1}^1 \frac{\frac{1}{2} d u}{1+\left(\frac{u+1}{2}\right)^2} \\ \Rightarrow I=2 \int_{-1}^1 \frac{d u}{4+(u+1)^2} \cdots(1)
गाॅस त्रिबिन्दु क्षेत्रकलन सूत्र का उपयोग करने पर:
I=\underset{i=0}{\overset{2}{\sum}}  w_i F\left(u_i\right)= w_0 F\left(u_0\right)+w_1 F\left(u_1\right)+w_2 F\left(u_2\right) \cdots(2)
[n=2 के लिए w_0=w_2=\frac{5}{9}, w_1=\frac{8}{9} तथा u_0=-\sqrt{\frac{3}{5}}, u_1=0, u_2=\sqrt{\frac{3}{5}} ]
F(u)=\frac{2}{4+(u+1)^2} \Rightarrow F\left(u_0\right)=\frac{2}{4+\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}+1\right)^2} \\ =\frac{2 \times 25}{100+3+25-10 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow F\left(u_0\right)=\frac{50}{128-10 \sqrt{3}} \\ F\left(u_1\right)=\frac{2}{4+(0+1)^2}=\frac{2}{5} \\ F\left(u_2\right)=\frac{2}{4+\left(\frac{\sqrt{3}}{5}+1\right)^2} \\ =\frac{50}{100+3+25+10 \sqrt{3}} \\ \Rightarrow F\left(u_2\right)=\frac{50}{128+10 \sqrt{3}} \\ I=w_0 F\left(u_0\right)+w_1 F\left(u_1\right)+w_2 F\left(u_2\right) \\ =\frac{5}{9} \times \frac{50}{128-10 \sqrt{3}}+\frac{8}{9} \times \frac{2}{5}+\frac{5}{9} \times \frac{50}{128+10 \sqrt{3}} \\ =\frac{5}{9} \times 50\left[\frac{1}{128-10 \sqrt{3}}+\frac{1}{128+10 \sqrt{3}}\right]+\frac{16}{45} \\ =\frac{250}{9}\left(\frac{128+10 \sqrt{3}+128-10 \sqrt{3}}{16384-300}\right)+\frac{16}{45} \\ =\frac{250}{9} \times \frac{256}{16484}+\frac{16}{45}\\ =\frac{16000}{36189}+\frac{16}{45} \\ =\frac{80060+64336}{180945} \\ =\frac{144336}{180945} \\ \Rightarrow I \approx 0.797679

Gauss Quadrature Rule

Example:22.गाॅस सूत्र में I=\int_0^1 x dx, (n=4 के लिए), का मान पाँच दशमलव स्थान तक ज्ञात कीजिए।
(Find I=\int_0^1 x dx by Gauss’s formula with n=4,upto five decimals.)
Solution: \int_a^b f(x) d x=\int_{-1}^1 F(u) d u
यदि x =\frac{1}{2}(b-a) u+\frac{1}{2}(a+b) \\ =\frac{1}{2} u(1-0)+\frac{1}{2}(1+0) \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2} u+\frac{1}{2} \\ dx =\frac{1}{2} d u
प्रतिस्थापित कर परास [0,1] का रूपान्तर [-1,1] में करते हैं।
अतः I=\int_0^1 x d x=\int_{-1}^1\left(\frac{1}{2} u+\frac{1}{2}\right) \frac{1}{2} d u \\ =\frac{1}{4} \int_{-1}^1(u+1) d u \cdots(1)
गाॅस पंचम बिन्दु क्षेत्रकलन सूत्र का प्रयोग करने पर:
I=\underset{i=0}{\overset{4}{\sum}}  w_i F\left(u_i\right)=w_0 u_0+w_1 u_1+w_2 u_2 +w_3 u_3+w_4 u_4 \cdots(2)
[n=4 के लिए  , w_2=0.5688889, w_1=w_3=0.4786287, w_0=w_4=0.2369269 तथा  u_0=-0.9061798, u_1= -0.5384693, u_2=0, u_3=0.5384693 ,u_4=0.9061798]
F(u)=\frac{1}{4}(u+1) \\ F\left(u_0\right)=\frac{1}{4}(-0.9061798+1)=\frac{0.0938202}{4} \\ F\left(u_1\right)=\frac{1}{4}(-0.5384693+1)=\frac{0.4615307}{4} \\ F\left(u_2\right)=\frac{1}{4}(0+1)=\frac{1}{4} \\ F\left(u_3\right)=\frac{1}{4}(0.5384693+1)=\frac{1.5384693}{4} \\ F\left(u_4\right)=\frac{1}{4}(0.9061798+1)=\frac{1.9061798}{4} \\ I=w_0 F\left(u_0\right)+w_1 F\left(u_1\right)+w_2 F\left(u_2\right) +w_3 F\left(u_3\right)+w_4 F\left(u_4\right) \\ =(0.2369269) \frac{(0.0938202)}{4}+(0.4786287) \frac{(0.4615307)}{4}+(0.5688889)\left(\frac{1}{4}\right)+ (0.4786287)\left(\frac{1.5384693}{4}\right)+(0.2369269) \frac{(1.9061798)}{4} \\ \approx \frac{1}{4} (0.022229+0.220902+0.5688889+0.736356+0.451625) \\ \approx \frac{1}{4} \times 2.0000009 \\ \approx 0.50
समाकलन का शुद्ध मानः
\int_0^1 x d x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=0.50
Example:23.निम्न समाकल का मान गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र से ज्ञात कीजिए तथा त्रुटि ज्ञात कीजिए:
(Compute the following integral by applying Gauss's quadrature formula.Also find the error.)
\int_5^{12} \frac{d x}{x}
Solution: \int_a^b f(x) d x=\int_{-1}^1 F(u) d u
यदि x=\frac{1}{2}(b-a) u+\frac{1}{2}(a+b) \\ =\frac{1}{2}(12-5) u+\frac{1}{2}(12+5) \\ \Rightarrow x =\frac{7}{2} u+\frac{17}{2} \\ dx=\frac{7}{2} d u
प्रतिस्थापित कर परास [0,1] का रूपान्तर [-1,1] में करते हैं।
अतः I=\int_5^{12} \frac{d x}{x}=\int_{-1}^1\left(\frac{\frac{7}{2} d u}{\frac{7}{2} u+\frac{17}{2}}\right) \\ \Rightarrow I=7 \int_{-1}^1 \frac{d u}{7 u+17} \cdots(1)
गाॅस पंचम बिन्दु क्षेत्रकलन सूत्र का प्रयोग करने परः
I =\underset{i=0}{\overset{4}{\sum}}  \quad w_i f\left(u_i\right)=w_0 u_0+w_1 u_1+w_2 u_2+w_3 u_3+w_4 u_4 \cdots(2)
[n=4 के लिए w_2=0.5688889, w_1=w_3=0.4786287, w_0=w_4=0.2369269 तथा u_0=-0.9061798, u_1=-0.5384693 ,u_2=0, u_3=0.5384693, u_4=0.9061798 ]
F(u) =\frac{7}{7u+17} \\ F\left(u_0\right) =\frac{7}{7(-0.9061798)+17}=\frac{7}{-6.3432586+17} \\ \Rightarrow F\left(u_0\right) =\frac{7}{10.6567414} \\ F\left(u_1\right) =\frac{7}{7(-0.5384693)+17} \\ =\frac{7}{-3.7692851+17} \\ \Rightarrow F\left(u_1\right) =\frac{7}{13.2307149} \\ F\left(u_2\right) =\frac{7}{7(0)+17}=\frac{7}{17} \\ F\left(u_3\right) =\frac{7}{7(0.5384693)+17}=\frac{7}{3.7692851+17} \\ \Rightarrow F\left(u_3\right)=\frac{7}{20.7692851} \\ F\left(u_4\right)=\frac{7}{7(0.9061798)+17}=\frac{7}{6.3432586+17} \\ \Rightarrow F\left(u_4\right)=\frac{7}{23.3432586} \\ I=w_0 F\left(u_0\right)+w_1 F\left(u_1\right)+w_2 F\left(u_2\right)+w_3 F\left(w_3\right) +w_4 F\left(u_4\right) \\ =\frac{7 \times 0.2369269}{10.6567414}+\frac{7 \times 0.4786287}{13.2307149}+\frac{7(0.56888889)}{17}+\frac{7 \times 0.4786287}{20.7692851}+\frac{7 \times 0.2369269}{23.3432586} \\=7\left[\frac{9.2369269}{10.6567414}+\frac{0.4786287}{13.2307149}+\frac{0.5688989}{17}+\frac{0.4786287}{20.7692851}+\frac{1}{23.34325586}\right] \\ \approx 7[0.0222326+0.0361756+0.034641 +0 .023045+0.01014977] \\ \approx 7 \times 0.125067 \\ \approx 0.875469
समाकलन का शुद्ध मानः
\int_5^{12} \frac{d x}{x}=[\log x]_5^{12} \\ \log \frac{12}{5} \approx 0.8754687
त्रुटि=0.8754687-0.875469=-0.0000003
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Rule),गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Formulae) को समझ सकते हैं।

3.गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र के सवाल (Gauss Quadrature Rule Questions):

Gauss Quadrature Rule

(1.)गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र से निम्न समाकल की गणना कीजिए:
(Compute following by Gauss's rule,taking n=5)
\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x^4+1}}
(2.)गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र से निम्न समाकल की गणना कीजिए:
(Compute the following integral by Gauss's formula)
I=\int_3^{10} \frac{d x}{x}
उत्तर (Answers):(1.)0.9215972 (2.)1.2039629 Exact value=1.20398
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Rule),गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Formulae) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Frequently Asked Questions Related to Gauss Quadrature Rule),गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Formulae) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र (Gauss Quadrature Rule) के इस आर्टिकल में एकबिन्दु,दो बिन्दु,
तीन बिन्दु,पंचम बिन्दु वाले गाॅस क्षेत्रकलन सूत्र का उपयोग करके समाकलन ज्ञात
करने से सम्बन्धित सवालों को हल करेंगे।