1.लघुगणक के मूल नियम (Fundamental Law of Logarithms),लघुगणक के मौलिक नियम की व्याख्या करें (Explain Fundamental Laws of Logarithms):

Fundamental Law of Logarithms

लघुगणक के मूल नियम (Fundamental Law of Logarithms) निम्नलिखित हैं:
नियम (Rule):1.दो संख्याओं के गुणनफल उनके अलग-अलग लघुगणक के बराबर होता है अर्थात्

\log _{a} M N=\log _{a} M+\log _{a} N
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए M=a^{x} \\ \log _{a} M=x \quad \cdots(1)
तथा N=a^{y} \\ \log _{a} N=y \cdots(2)

अब MN=a^{x} \times a^{y}
या M N=a^{(x+y)} \cdots(3)
(3) में लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर;

\log _{a} M N=x+y \\ \Rightarrow \log _{a} M N=\log _{a} M+\log _{a} N
नियम (Rule) 1 को व्यापक रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\log _{a}(A \times B \times C \times D \times \ldots \times Z)=\log_{a} A+\log _{a} B+\log _{C} C+\cdots+\log_{a} Z
टिप्पणी:व्यापक रूप में \log _{a}(M+N+P) \neq \log _{a} M+\log _{a} N+\log _{a} P
परन्तु यदि M+N+P=MNP हो तो

\log _{a}(M+N+P)=\log _{a} M+\log _{a} N+\log _{a} P
नियम (Rule):2.किसी भिन्न का लघुगणक उस भिन्न के अंश के लघुगणक में से हर का लघुगणक घटाने पर प्राप्त होता है अर्थात्

\log _{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log _{a} M-\log _{a} N
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए

M=a^{x} \Rightarrow \log _{a} M=x \cdots(1)
तथा N=a^{y} \Rightarrow \log _{a} N=y \cdots(2)
अब \frac{M}{N}=\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{(x-y)} \cdots(3)
(3) में लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर:

\log _{a}\left(\frac{M}{N}\right)=(x-y) \\ \Rightarrow \log _{a}\left(\frac{M}{N}\right)=\log _{a} M-\log _{a} N
टिप्पणी: \log _{a}(M-N) \neq \log _{a} M-\log _{a} N
नियम (Rule):3.किसी भी पूर्णांक घातांक (पूर्णांक अथवा भिन्नात्मक) वाली संख्या का लघुगणक, घातांक और उस संख्या के लघुगणक के गुणनफल के बराबर होता है,
अर्थात् \log _{a} M^{N}=N \log _{a} M
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए M=a^{x} \Rightarrow \log _{a} M=x \cdots(1)
अब M^{N}=\left(a^{x}\right)^{N} \\ \Rightarrow M^{N}=a^{Nx} \cdots(2)
(2) में लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर:

\log _{a} M^{N}=N x \\ \Rightarrow \log _{a} M^{N}=N \log _{a} M
N के भिन्न होने पर माना

M=\frac{p}{q}
तब \log _{a} M^{\frac{p}{q}}=\frac{p}{q} \log _{a} M
नियम (Rule):4.आधार a>1 पर शून्य का लघुगणक -∞ और आधार 0<a<1 पर यह +∞ होता है अर्थात्
\log _{a} 0=-\infty यदि a>1 तथा
\log _{a} 0=+\infty यदि 0<a<1
उपपत्ति (Proof):हम जानते हैं कि

3^{-\infty}=\frac{1}{3^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
अतः यदि a^{x}=0 और a>1 तो x=-∞ 
अर्थात् a>1 हो तो a^{- \infty}=0
अतः लघुगणक की परिभाषा से:
\log _{a} 0=-\infty (जहाँ a>1)
इसी प्रकार हम जानते हैं कि

\left(\frac{1}{3}\right)^{\infty}=\frac{1}{3^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
अतः यदि a^{x}=0 और a<1 तो x=+∞
अर्थात् a<1 हो तो a^{+ \infty}=0
अतः लघुगणक की परिभाषा से:

\log _{a} 0=+\infty (जहाँ a<1)
नियम (Rule):5.सिद्ध करना M=a^{\log_{a} M}
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए आधार a पर M का लघुगणक x है तब लघुगणक की परिभाषा से:

\log _{a} M=x \Rightarrow a^{x}=M
अब M=a^{x} में x का मान रखने पर:

M=a^{\log _{a}M}
विशेष स्थिति में a के स्थान पर e लेने पर:

M=e^{\log_{e}M}
आधार परिवर्तन सूत्र (Base changing Formula):
सिद्ध करना है (To Prove): \log _{b} M=\frac{\log _{a} M}{\log _{a} b}
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए \log_{b} M=x \\ M=b^{x} \quad \cdots(1)
तथा \log _{a} b=y \Rightarrow b=a^{y} \cdots(2)
अब (1) से:
M=b^{x}=\left(a^{y}\right)^{x} [(2) से]

\Rightarrow M=\left(a^{y}\right)^{x} \\ \Rightarrow M=x^{x y} \\ \Rightarrow \log _{a} M=x y \\ \Rightarrow \log _{a} M=x y \\ \Rightarrow \log _{a} M=\log _{b} M \times \log _{a} b
अतः \log _{b} M=\frac{\log _{a} M}{\log _{a} b} [(1) व (2) से]
सिद्ध करना है (To Prove):\log _{b} a \times \log _{a} b=1
उपपत्ति (Proof):मान लीजिए \log_{b} a=x \cdots(1) \\ \Rightarrow b^{x}=a \\ \Rightarrow b=a^{\frac{1}{x}} \\ \Rightarrow \log _{a} b=\frac{1}{x} [परिभाषा से]…..(2)
अब (1) व (2) से:

\log _{b} a \times \log _{a} b=x \times \frac{1}{x} \\ \Rightarrow \log _{b} a \times \log _{a} b=1
टिप्पणी:जिनमें आधार नहीं दर्शाया जाता है वहाँ लघुगणक का आधार 10 मानकर हल किया जाता है।
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2.लघुगणक के मूल नियम के उदाहरण (Fundamental Law of Logarithms Examples):

(इन उदाहरणों के प्रश्नों में जिनमें आधार नहीं दर्शाया गया है उनमें लघुगणक का आधार 10 मानकर हल करना है।)
Example:1.सिद्ध कीजिए: \log 630=\log 2+2 \log 3 +\log 5+\log 7
Solution: \log 630=\log 2+2 \log 3 +\log 5+\log 7

L.H.S \log 630=\log (2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7) \\ \Rightarrow \log \left(2 \times 3^{2} \times 5 \times 7\right) \\ \Rightarrow \log 2+\log 3^{2}+\log 5+\log 7

(\log a b=\log a+\log b से)

\Rightarrow \log 2+2 \log 3+\log 5+\log 7=L.H.S
Example:2.सिद्ध कीजिए: \log \frac{9}{14}+\log \frac{35}{24}-\log \frac{15}{16}=0
Solution:\log \frac{9}{14}+\log \frac{35}{24}-\log \frac{15}{16}=0

L.H.S. \log \left(\frac{9}{14}\right)+\log \left(\frac{35}{24}\right)-\log \left(\frac{15}{16}\right) \\ \Rightarrow \log 9-\log 14+\log 35- \log 24+\log 15-\log 16

(\log a b=\log a-\log b से)

\Rightarrow \log (3 \times 3)-\log (2 \times 7)+\log (5 \times 7)-\log (2 \times 2 \times 2 \times 3)+\log (3 \times 5)+\log (2 \times 2 \times 2 \times 2) \\ \Rightarrow \log 3^{2}-\log 2-\log 7+\log 5+\log 7-\log \left(2^{3} \times 3\right)-\log 3-\log 5+\log 2^{3}

 [\log a b=\log a+\log b से]

\Rightarrow 2 \log 3-\log 2-\log 7+\log 5+\log 7-\log 2^{3}-\log 3-\log 3-\log 5+3 \log 2 \\ \Rightarrow 2 \log 3-\log 2+3 \log 2-\log 7+\log 7+\log 5-2 \log 3-\log 5-3 \log 2 \\ \Rightarrow 3 \log 2-3 \log 2+2 \log 3-2 \log 3+\log 5-\log 5+\log 7-\log 7=0=R.H.S
Example:3.सिद्ध कीजिए: \log 10+ \log 100+\log 1000+\log 10000=10
Solution: \log 10+ \log 100+\log 1000+\log 10000=10

L.H.S \log 10+ \log 100+\log 1000+\log 10000 \\ \Rightarrow \log 10+\log 10^{2}+ \log 10^{3}+\log 10^{4}\\ \Rightarrow  \log 10 +2 \log 10 +3 \log 10 +4 \log 10
[ \log _{a} M^{N}=N \log _{a} M से]

10 \log 10 \\ \Rightarrow 10 \times 1 \quad\left[\log _{10} 10=1\right]

\Rightarrow 10= R.H.S

Fundamental Law of Logarithms

Example:4.यदि \log 2=0.3010 ,\log 3=0.4771, \log 7=0.8451 तथा \log11=1.0414 तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
Solution:\text{(i)} \log 36 \\ \log \left(2^{2} \times 3^{2}\right) \\ \Rightarrow \log 2^{2}+\log 3^{2} \\ \Rightarrow 2 \log 2+2 \log 3 \\= 2(0.3010)+2(0.4771) \\= 0.602+0.9542 \\= 1.5562 \\ \text { (ii) } \log \left(\frac{42}{11}\right) \\ = \log 42-\log 11 \\ = \log (2 \times 3 \times 7)-\log 11 \\ = \log 2+\log 3+\log 7-\log 11 \\ =0.3010+0.4771+0.8451-1.0414 \\ =1.6232-1.0414 \\=0.5818 \\ \text { (iii) } \log 76 \\ =\log (2 \times 5 \times 7) \\ =\log 2+\log 5+\log 7 \\ =0.3010+ \log \left(\frac{5 \times 2}{2}\right)+0.8451 \\ =0.3010+\log 10-\log 2+0.8451 \\ =0.3010+1-0.3010+0.8451 \\ =1.8451 \\ \text{(iv)} \log \left(\frac{11}{7}\right)^{5} \\ =5 \log \left(\frac{11}{7}\right) \\ =5[\log 11-\log 7] \\ =5[1.0414-0.8451] \\ =5[0.1963] \\ =0.9815  \\ \text{(v)} \log \left(\frac{121}{120}\right) \\=\log 121-\log 120 \\=\log 11^{2}-\log \left(2^{3} \times 3 \times 5\right) \\=2 \log 11-\log 2^{3}-\log 3-\log 5 \\ =2 \log 11-3 \log 2-\log 3-\log 5 \\ =2 \times 1.0414-3 \times 0.3010-0.4771-\log (\frac{5 \times 2}{2}) \\=2.0828-0.9030-0.4771-\log 10+\log 2 \\=2.0828-1.3801-1+0.3010 \\ =2.3838-2.3801 \\=0.0037 \\ \text { (vi) } \log 5^{\frac{1}{3}} \\ =\frac{1}{3} \log 5 \\ =\frac{1}{3} \log \left(\frac{5 \times 2}{2}\right) \\ =\frac{1}{3} \log \left(\frac{10}{2}\right) \\=\frac{1}{3}[\log 10-\log 2] \\ =\frac{1}{3}[1-0.3010] \quad[\because \log 10=1] \\ =\frac{1}{3} \times 0.6990 \\ =0.2330
Example:5.निम्नलिखित समीकरण से x का मान ज्ञात कीजिए:

\log_{x} 4 +\log _{x} 16+\log _{x} 64=12
Solution: \log _{x} 4+\log _{x} 16+\log _{x} 64=12 \\ \Rightarrow \log _{x}\left(2^{2}\right)+\log _{x}\left(2^{4}\right) +\log _{x}\left(2^{6}\right)=12 \\ \Rightarrow 2 \log _{x} 2+4 \log_{x} 2+6 \log _{x} 2=12 \\ \Rightarrow 12 \log _{x} 2=12 \\ \Rightarrow \log _{x} 2=1 \\ \Rightarrow x^{1}=2 \Rightarrow x=2
Example:6.समीकरण \log (x+1)-\log (x-1)=1 का हल ज्ञात कीजिए।
Solution:\log (x+1)-\log (x-1)=1 \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)=1 \\ \Rightarrow 10=\frac{x+1}{x-1} \\ \Rightarrow 10 x-10=x+1 \\ \Rightarrow 10 x-x=10+1 \\ \Rightarrow 9 x=11 \\ \Rightarrow x=\frac{11}{9} 
Example:7 मान ज्ञात कीजिए: 3^{2-\log _{3} 4}
Solution:3^{2-\log _{3} 4} \\ = 3^{2} \times 3^{-\log _{3} 4}=3^{2} \times 3^{\log _{3}\left(\frac{1}{4}\right)} \\ = 9 \times \frac{1}{4} 
[e^{\log _{e} M}=M सूत्र से]

= 2 \frac{1}{4}
Example:8.निम्नलिखित प्रश्नों का हल एक पद के रूप में लिखिए:
(i)\log 2+1
Solution:\log 2+1=\log 2+\log 10=\log 20
(ii)\log 2 x+2 \log x
Solution: \log 2 x+2 \log x \\ = \log 2 x+\log x^{2} \\ = \log \left(2 x \times x^{2}\right) \\= \log \left(2 x^{3}\right)
Example:9.सिद्ध कीजिए: \log_{5} 3 \cdot \log _{3} 4 \cdot \log_{2} 5=2
Solution: \log _{5} 3 \cdot \log _{3} 4 \cdot \log _{2} 5=2
सभी लघुगणकों को समान आधार e में बदलने पर:

\frac{\log _{e} 3}{\log _{e} 5} \times \frac{\log _{e} 4}{\log _{e} 3} \times \frac{ \log _{e} 5}{\log _{e} 2} \\ \Rightarrow \frac{\log _{e}(2)^2}{\log _{e} 2} \\ \Rightarrow \frac{2 \log_{e} 2}{\log _{e} 2} \\ \Rightarrow 2=R.H.S
Example:10.सिद्ध कीजिए: \log_{a} x \times \log_{b} y=\log_{b} x \times \log_{a} y
Solution: \log_{a} x \times \log_{b} y=\log_{b} x \times \log_{a} y 

L.H.S.=\log_{a} x \times \log_{b} y
सभी लघुगणकों को समान आधार e में बदलने पर:

\frac{\log e^{x}}{ \log e^{a}} \times \frac{\log e^{y}}{ \log e^{b}} \\ \Rightarrow \frac{\log e^{x}}{ \log e^{b}} \times \frac{\log e^{y}}{ \log e^{a}} \\ \log_{b} x \times \log_{a} y=R.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुगणक के मूल नियम (Fundamental Law of Logarithms),लघुगणक के मौलिक नियम की व्याख्या करें (Explain Fundamental Laws of Logarithms) को समझ सकते हैं।

3.लघुगणक के मूल नियम के सवाल (Fundamental Law of Logarithms Questions):

Fundamental Law of Logarithms

(1.)सिद्ध कीजिए: \log 540=2 \log 2+3 \log 3+\log 5
(2.)सिद्ध कीजिए: \log (1+2+3)=\log 1+\log 2+\log 3
(3.)यदि \log _{10} 2=0.3010 और \log _{10} 3=0.4771 हो तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

\text { (i) } \log _{10} 5 \text { (ii) } \log_{10} 24  \text { (iii) } \log _{10}\left(\frac{8}{9}\right)
(4.)सिद्ध कीजिए: 4 \log \left(\frac{24}{25}\right)-16 \log \left(\frac{9}{10}\right)+7 \log \left(\frac{81}{80}\right)=\log 5
उत्तर (Answer):(5.)(i)0.6990 (ii)1.3801 (iii)-0.0512
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुगणक के मूल नियम (Fundamental Law of Logarithms),लघुगणक के मौलिक नियम की व्याख्या करें (Explain Fundamental Laws of Logarithms) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लघुगणक के मूल नियम (Fundamental Law of Logarithms),लघुगणक के मौलिक नियम की व्याख्या करें (Explain Fundamental Laws of Logarithms) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

लघुगणक के मूल नियम (Fundamental Law of Logarithms) निम्नलिखित हैं:
नियम (Rule):1.दो संख्याओं के गुणनफल उनके अलग-अलग लघुगणक के बराबर होता है अर्थात्