Forward Difference Interpolation

Q: प्रश्न:1.समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन का सूत्र लिखो। (Write the Formula for the Forward Interpolation with Equal Intervals):

उत्तर: P_n(x)=f(x)=f(a)+\frac{\Delta f(a)}{h} (x-a)+\frac{\Delta^2 f(a)}{2!h^2}(x-a)(x-a-h) +\frac{\Delta^3 f(a)}{3!h^2}(x-a)(x-a-h)(x-a-2 h) +\ldots \ldots+\frac{\Delta^n f(a)}{x! h^n}(x-a)(x-a-h) \ldots \ldots (x-a-\overline{n-1} h)

Q: प्रश्न:2.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र लिखिए। (Write the Newton-Gregory Forward Interpolation Formula):

उत्तर:न्यूटन-ग्रैगोरी का अन्य रूप निम्न है: u=\frac{x-a}{h} या x=a+hu प्रतिस्थापित करें तो सूत्र का सरल नया रूप होगा: P_n(a+h u)=f(a)+u \Delta f(a)+\frac{u(u-1)}{2!} \cdot \Delta^2 f(a)+\frac{u(u-1)(u-2)}{3!} \Delta^3 f(a)+\cdots+\frac{u(u-1)(u-2) \cdots(u-n+1)}{n!} \Delta^n f(a) या f(a+h u)=P_n(a+hu)=f(a)+u^{(1)} \Delta(a)+\frac{1}{2!} u^{(2)} \Delta^2 f(a)+\frac{1}{3!} u^{(3)} \cdot \Delta^3 f(a)+ \ldots \ldots+\frac{1}{n!} u^{(n)} \cdot \Delta^n f(a) जहाँ u^{(n)}=u(u-1) (u-2) \ldots \ldots (u-n+1)

Mathematics Satyam July 11, 2024 Numerical Analysis No Comments

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1 1.अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Forward Difference Interpolation),समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन विधि (Method for Forward Interpolation with Equal Intervals):

1.1 2.अग्रान्तर अन्तर्वेशन के साधित उदाहरण (Forward Difference Interpolation Solved Examples):

1.1.1 3.अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Frequently Asked Questions Related to Forward Difference Interpolation),समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन विधि (Method for Forward Interpolation with Equal Intervals) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन का सूत्र लिखो। (Write the Formula for the Forward Interpolation with Equal Intervals):

1.1.3 प्रश्न:2.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र लिखिए। (Write the Newton-Gregory Forward Interpolation Formula):

1.1.4 प्रश्न:3.अन्तर्वेशी बहुपद से क्या आशय है? (What Do You Mean by Interpolating Polynomial?):

1.1.4.1 Forward Difference Interpolation

2 अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Forward Difference Interpolation)

2.1 Forward Difference Interpolation

1.अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Forward Difference Interpolation),समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन विधि (Method for Forward Interpolation with Equal Intervals):

Forward Difference Interpolation

अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Forward Difference Interpolation) के इस आर्टिकल में समान अन्तराल पर आधारित सवालों को न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र की सहायता से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अग्रान्तर अन्तर्वेशन के साधित उदाहरण (Forward Difference Interpolation Solved Examples):

Example:11(a).का आकलन करिए (Calculate) जब (When)
Solution:Calculation Table of Forward Difference

$\begin{array}{|lllll|} \hline x & u_x & \Delta u_x & \Delta^2 u_x & \Delta^3 u_x \\ \hline 75 & 2459 & & & \\ & & -441 & & \\ 80 & 2018 & & -397 & \\ & & -838 & & 457 \\ 85 & 1180 & & 60 & \\ & & -778 & & \\ 90 & 402 & & &\\ \hline \end{array}$
यहाँ a=75,h=5 तथा a+hy=82
$\Rightarrow 75+5 y=82 \Rightarrow 5 y=82-75 \\ \Rightarrow y=\frac{7}{5}=1.4$
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र से:

$u_x=u_a+\frac{y}{1!} \Delta u_a+\frac{y(y-1)}{2!} \Delta^2 u_a +\frac{y(y-1)(y-2)}{3}\Delta^3 u_x+\cdots\\ u_{82}=2459+1.4(-441)+\frac{1.4(1.4-1)}{2} (-397)+\frac{1.4(1.4-1)(1.4-2)}{6} (457)\\ =2459-617.4+0.7 \times 0.4 \times(-397) +\frac{0.7 \times 0.4 \times(-0.6)}{3}(457) \\ =2459-617.4-111.18-25.592 \\ \Rightarrow u_{82}=1704.848$
Example:11(b). $u_{53}$ तथा $u_{54}$ ज्ञात करो,जबकि
(Find $u_{53}$ and $u_{54}$ when)

$u_{50}=92345, u_{51}=91556,u_{52}=90748, u_{55}=88204$
Solution: $u_x$ के चार मूल्य दिए गए हैं अतः

$\Delta^4 u_x=0 \\ \Rightarrow (E-1)^4 u_x=0 \\ \Rightarrow \left(E^4-4 E^3+6 E^2-4 E+1\right) u_x=0$
x=50 रखने पर:

$\Rightarrow E^4 u_{50}-4 E^3 u_{50}+6 E^2 u_{50}-4 E u_{50}+u_{50}=0 \\ \Rightarrow u_{54}-4 u_{53}+6 u_{52}-4 u_{51}+u_{50}=0$
मान रखने पर:

$u_{54}-4 u_{53}+6 \times 90748-4 \times 91556+92345=0 \\ \Rightarrow u_{54}-u_{53}+544488-366224+92345=0 \\ \Rightarrow u_{54}-4 u_{53}+270609=0 \ldots(1)$
x=51 रखने पर:

$\Rightarrow \left(E^4-4 E^3+6 E^2-4 E+1\right) u_{51} =0\\ \Rightarrow E^4 u_{51}-4 E^3 u_{51}+6 E^2 u_{51}-4 E u_{51}+u_{51}=0 \\ \Rightarrow u_{55}-4 u_{54}+6 u_{53}-4 u_{52}+u_{51}=0$
मान रखने पर:

$88204-4 u_{54}+6 u_{53}-4 \times 90748+91556=0 \\ \Rightarrow 88204-4 u_{54}+6 u_{53}-362992 +91556=0 \\ \Rightarrow -4 u_{54}+6 u_{53}-163232=0 \cdots(2)$
समीकरण (1) को 4 से गुणा करके (2) में जोड़ने पर:

$4 u_{54}-16 u_{53}+1082436=0 \cdots(3)\\ \Rightarrow -10 u_{53}+899204=0 \\ \Rightarrow u_{53}= \frac{899204}{10} \\ \Rightarrow u_{53}=89920.4 \\ \Rightarrow u_{53} \approx 89920 \\ u_{53}$ का मान (1) में रखने पर:

u_{54}-4 \times 89920.4+270609=0 \\ \Rightarrow u_{54}-359681.6+270609=0 \\ \Rightarrow u_{54}-89072.6=0 \\ \Rightarrow u_{54}=89072.6 \approx 89073 \\ \Rightarrow u_{53} \approx 89920, u_{54} \approx 89073

Forward Difference Interpolation

Example:13.वह बहुपद ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित सारणी में आँकड़ों को आसजित करे:
(Find the polynomial which fits the data in the following table):

$\begin{array}{|llllll|} \hline x & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ f(x): & 6 & 24 & 58 & 108 & 174 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Forward Difference

$\begin{array}{|cccc|} \hline x & f(x) & \Delta f(x) & \Delta^2 f(x) \\\hline 3 & 6 & & \\ & & 18 & \\ 5 & 24 & & 16 \\ & & 34 & \\ 7 & 58 & & 16 \\ & & 50 & \\ 9 & 108 & & 16 \\ & & 66 & \\ 11 & 174 & & \\ \hline \end{array}$
हम जानते हैं कि यदि a=3,h=2 तो न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र के अनुसार:

$P_n(x)=f(3)+{}^x C_{1} \Delta f(3)+{}^x C_{2} \Delta^2 f(3) +\ldots \ldots +{}^x C_{n} \Delta^n f(3)$
सारणी से वांछित मान रखने पर:

$P_2(x)=6+x(18)+\frac{x(x-1)}{1.2} \times 16 \\ \Rightarrow P_2(x) =6+18 x+8 x^2-8 x \\ \Rightarrow P_2(x)=8 x^2+10 x+6$
Example:15.न्यूटन अग्र अन्तर सूत्र का प्रयोग कर बहुपद f(x) प्राप्त कीजिए जो निम्न आँकड़ों को सन्तुष्ट करते हैं
(Use Newton’s forward difference formula to obtain the polynomial f(x) satisfying the following data):

$\begin{array}{|lllll|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f(x) & 26 & 18 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$
यदि अन्य आँकड़ा x=5,f(x)=26 उपर्युक्त आँकड़ों में जोड़ा तो क्या बहुपद पूर्व के समान या भिन्न होगा?
(If another datum x=5,f(x)=26 is added to the above data,will the polynomial be the same as before or different? Explain why?)
Solution:Calculation Table of Forward Difference

$\begin{array}{|ccccc|} \hline x & f(x) & \Delta f(x) & \Delta^2 f(x) & \Delta^3 f(x) \\ \hline 1 & 26 & & & \\ & & -8 & & \\ 2 & 18 & & -6 & \\ & & -14 & & 17 \\ 3 & 4 & & 11 & \\ & & -3 & & 17 \\ 4 & 1 & & 28 & \\ & & 25 & & \\ 5 & 26 & & & \\ \hline \end{array}$
हम जानते हैं कि यदि a=1,h=1 तो न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र के अनुसार:

$P_n(x)=f(1)+{}^x C_{1} \Delta f(1)+{}^x C_{2} \Delta^2 f(1) +{}^x C_{3} \Delta^3 f(1)+\ldots \ldots+{}^x C_{n} \Delta f(1)$
सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर:

$P_3(x)=26+x \times-8+\frac{x(x-1)}{1 \cdot 2}(-6)+ \frac{x(x-1)(x-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \times 17 \\ =26-8 x-3 x^2+3 x+\frac{17}{6} x^3 -\frac{17}{2} x^2+\frac{17 x}{3} \\ P_3(x)=\frac{17}{6} x^3-\frac{23}{2} x^2+\frac{2}{3} x+26$
x=5,f(x)=26 आँकड़ा जोड़ने पर भी बहुपद यही रहेगा क्योंकि इसे शामिल करने पर भी तीसरा अन्तर अचर (17) रहता है।
Example:16.एक देश की दस-वर्षीय जनगणना में जनसंख्या निम्न प्रकार से थी।वर्ष 1975 के लिए जनसंख्या का अनुमान कीजिए।
(The population of a country in the decimal census were as under.Estimate the population for the year 1975.)
$\begin{array}{|llllll|} \hline \text { Year (वर्ष) } & 1941 & 1951 & 1961 & 1971 & 1981 \\ \text { population in lacs } & 46 & 67 & 83 & 95 & 102 \\ \hline \end{array}$
(जनसंख्या लाखों में)
Solution: Calculation Table of Forward Difference

$\begin{array}{|llllll|} \hline \text{ year } & \text { population } & & & & \\ x & y=f(x) & \Delta y & \Delta^2 y & \Delta^3 y & \Delta^4 y \\ \hline 1941 & 46 & & & & \\ & & 21 & & & \\ 1951 & 67 & & -5 & & \\ & & 16 & & 1 & \\ 1961 & 83 & & -4 & & -2 \\ & & 12 & & -1 & \\ 1971 & 95 & & -5 & & \\ & & 7 & & & \\ 1981 & 102 & & & & \\ \hline \end{array}$
यहाँ a=1941,h=10 तथा a+hu=1975
$\Rightarrow 1941+10 u=1975 \Rightarrow 10 u=1975-1941 \\ \Rightarrow u=\frac{34}{10}=3.4$
न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र है:

$f(x)=f(a)+u^{(1)} \Delta f(a)+\frac{u^{(2)}}{2!} \Delta^2 f(a)+\frac{u^{(3)}}{3!} \Delta^3 f(a) +\frac{u^{(4)}}{4!} \Delta^4 f(a)+\ldots \ldots \\ f(1975)=f(1941)+u \Delta f(1941)+\frac{u(u-1)}{2} \Delta^2 f(1941) +\frac{u(u-1)(u-2)}{6} \Delta^3 f(1941) +\frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{24} \Delta^4 f(1941) +\cdots \\=46+3.4 \times 21+\frac{3.4(3.4-1)}{2}(-5) +\frac{3.4(3.4-1)(3.4-2)}{6} \times 1+ \frac{3.4(3.4-1)(3.4-2)(3.4-3)}{24} \times(-2) \\ = 46+71.4+1.7 \times 2.4 \times-5+1.7 \times 0.8 \times 1.4+\frac{3.4 \times 2.4 \times 1.4 \times 0.4 \times-2}{24} \\ =46+71.4-20.4+1.904-0.3808 \\ =98.5232 \\ \Rightarrow f(1975)=98.5232$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Forward Difference Interpolation),समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन विधि (Method for Forward Interpolation with Equal Intervals) को समझ सकते हैं।

Forward Difference Interpolation

Also Read This Article:- Calculus of Finite Difference

3.अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Frequently Asked Questions Related to Forward Difference Interpolation),समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन विधि (Method for Forward Interpolation with Equal Intervals) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन का सूत्र लिखो। (Write the Formula for the Forward Interpolation with Equal Intervals):

उत्तर: $P_n(x)=f(x)=f(a)+\frac{\Delta f(a)}{h} (x-a)+\frac{\Delta^2 f(a)}{2!h^2}(x-a)(x-a-h) +\frac{\Delta^3 f(a)}{3!h^2}(x-a)(x-a-h)(x-a-2 h) +\ldots \ldots+\frac{\Delta^n f(a)}{x! h^n}(x-a)(x-a-h) \ldots \ldots (x-a-\overline{n-1} h)$

प्रश्न:2.न्यूटन-ग्रैगोरी अग्र अन्तर्वेशन सूत्र लिखिए। (Write the Newton-Gregory Forward Interpolation Formula):

उत्तर:न्यूटन-ग्रैगोरी का अन्य रूप निम्न है:
$u=\frac{x-a}{h}$ या x=a+hu प्रतिस्थापित करें तो सूत्र का सरल नया रूप होगा:
$P_n(a+h u)=f(a)+u \Delta f(a)+\frac{u(u-1)}{2!} \cdot \Delta^2 f(a)+\frac{u(u-1)(u-2)}{3!} \Delta^3 f(a)+\cdots+\frac{u(u-1)(u-2) \cdots(u-n+1)}{n!} \Delta^n f(a)$ या
$f(a+h u)=P_n(a+hu)=f(a)+u^{(1)} \Delta(a)+\frac{1}{2!} u^{(2)} \Delta^2 f(a)+\frac{1}{3!} u^{(3)} \cdot \Delta^3 f(a)+ \ldots \ldots+\frac{1}{n!} u^{(n)} \cdot \Delta^n f(a)$
जहाँ $u^{(n)}=u(u-1) (u-2) \ldots \ldots (u-n+1)$

प्रश्न:3.अन्तर्वेशी बहुपद से क्या आशय है? (What Do You Mean by Interpolating Polynomial?):

उत्तर:एक बहुपद P(x) अन्तर्वेशी बहुपद कहलाता है यदि P(x) का मान या इसके किसी कोटि के अवकलज स्वतन्त्र चर के एक या ज्यादा मानों पर फलन f(x) या इसके उसी कोटि के अवकलजों के सम्पाती हो।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अग्रान्तर अन्तर्वेशन (Forward Difference Interpolation),समान अन्तराल के लिए अग्रान्तर अन्तर्वेशन विधि (Method for Forward Interpolation with Equal Intervals) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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