1.हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero):

Formula of Heron

हीरोन का सूत्र (Formula of Heron) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में प्रयोग किया जाता है।यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।
हीरोन का जन्म संभवतः मिस्र में अलेक्जेंड्रिया नामक स्थान पर हुआ।उन्होंने अनुप्रायोगिक गणित (Applied Mathematics) पर कार्य किया।
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
जहाँ a,b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं तथा
s=त्रिभुज का अर्ध परिमाप (semi-perimeter)=\frac{a+b+c}{2}
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2.हीरोन का सूत्र के उदाहरण (Formula of Heron Examples):

Example:1.एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है।हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 सेमी है तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
Solution:समबाहु त्रिभुज का परिमाप 2s=180 \Rightarrow s=\frac{180}{2}=90
समबाहु त्रिभुज की भुजा a=b=c=\frac{180}{3}=60
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{90(90-60)(90-60)(90-60)} \\ =\sqrt{90 \times 30 \times 30 \times 30} \\ =\sqrt{3 \times 30 \times 30 \times 30 \times 30} \\ =30 \times 30 \sqrt{3} {cm}^{2} \\ =900 \sqrt{3} {cm}^{2}

a=b=c \\ 3 a=2 s \Rightarrow s=\frac{3a}{2}

त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{\frac{3 a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)} \\ =\sqrt{\frac{3 a}{2} \times\left(\frac{3 a-2a}{2}\right)\left(\frac{3 a-2a}{2}\right)\left(\frac{3a-2a}{2}\right)} \\ =\sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}} \\ =\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
Example:2.किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार की विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है।दीवार की भुजाओं की लम्बाईयाँ 122m,22m और 120m है (देखिए आकृति)।इस विज्ञापन से प्रतिवर्ष 5000 रु. प्रति वर्गमीटर की प्राप्ति होती है।एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया।उसने कुल कितना किराया दिया?

Formula of Heron

Solution: a=122m,b=22m,c=120m

s=\frac{a+b+c}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{122+22+120}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{264}{2} \\ \Rightarrow s=132
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{132(132-122)(132-22)(132-120)} \\ =\sqrt{132 \times 10 \times 110 \times 12} \\ =\sqrt{11 \times 12 \times 10 \times 11 \times 10  \times 12} \\ =10 \times 11 \times 12=1320 {m}^{2}
कम्पनी द्वारा तीन महीने का किराया दिया=5000 \times 1320 \times \frac{3}{12} \\ =\frac{6600000}{4} \\ =16,50000 Rs
प्रश्न:3.किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (Slide) बनी हुई है।इसकी पार्श्वीय दीवारों (Side Walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है (देखिए आकृति)।यदि इस दीवार की विमाएँ 15m,11m और 6m है तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Formula of Heron

Solution:माना a=15m,b=11m,c=6m
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+11+6}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{32}{2}=16
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ =\sqrt{16(16-15)(16-11)(16-6)} \\ =\sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} \\=\sqrt{4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 2} \\= 4 \times 5 \sqrt{2} \\= 20 \sqrt{2} {m}^{2}

Formula of Heron

Example:4.उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18cm और 10cm हैं तथा उसका परिमाप 42cm है।
Solution:माना a=18cm,b=10cm,c=42-(18+10)
c=42-28=14

s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{18+10+14}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{42}{2}=21
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \\ =\sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} \\=\sqrt{3 \times 7 \times 3 \times 11 \times 7} \\ =\sqrt{3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 11} \\ = 3 \times 7 \sqrt{11} \\= 21 \sqrt{11} m^{2}
Example:5.एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात=12:17:15
Solution: माना त्रिभुज की भुजाएँ a=12x,b=17x,c=25x

s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{12 x+17 x+25 x}{2} \\ \Rightarrow s=\frac{54 x}{2}=\frac{540}{2} \\ \Rightarrow 54 x=540 \\ \Rightarrow x=10
a=12x=12×10=120cm
b=17x=17×10=170
c=25x=25×10=250
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ =\sqrt{270(270-120)(270-170)(270-250)} \\ =\sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} \\ =\sqrt{9 \times 3 \times 10 \times 5 \times 3 \times 10 \times 5 \times 2 \times 10 \times 2 \times 10} \\ =\sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10} \\ =2 \times 3 \times 5 \times 3 \times 10 \times 10 \\ =9000 {cm}^{2}
Example:6.एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12cm लम्बाई की है।इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Solution:माना a=b=12cm
परिमाप 2s=30cm
s=15cm
c=30-(12+12)
\Rightarrow c=30-24=6
हीरोन का सूत्र (Formula of Heron):
त्रिभुज का क्षेत्रफल=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ =\sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)}\\ =\sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9}\\ =3 \times 3 \times \sqrt{15}=9 \sqrt{15}{cm}^{2}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero) को समझ सकते हैं।

3.हीरोन का सूत्र की समस्याएं (Formula of Heron Problems):

Formula of Heron

(1.)एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 8cm और 11cm हैं जिसका परिमाप 32cm है।
(2.)एक त्रिभुजाकार पार्क ABC की भुजाएँ 120m,80m और 50m हैं (देखिए आकृति)।एक मालिन धनिया को इसके चारों ओर एक बाड़ लगानी है और इसके अन्दर घास उगानी है।उसे कितने क्षेत्रफल में घास उगानी है?एक ओर 3m चौड़े एक फाटक के लिए स्थान छोड़ते हुए इसके चारों ओर 20रु. प्रतिमीटर की दर से काँटेदार बाड़ लगाने का व्यय भी ज्ञात कीजिए।
(3.)एक त्रिभुजाकार भूखण्ड (plot) की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 है और उसका परिमाप 300m है।इस भूखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1)8 \sqrt{30} {cm}^{2} (2.)375 \sqrt{15} {m}^{2},बाड़ लगाने का व्यय=4940रु. (3.)1500 \sqrt{3} {m}^{2}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर हीरोन का सूत्र (Formula of Heron),हीरो का सूत्र (Formula of Hero) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.हीरोन का सूत्र (Formula of Heron) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

हीरोन का सूत्र (Formula of Heron) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में प्रयोग किया जाता है।
यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।