1.अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation),दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of a Differential Equation Whose Solution is Given):

Formation of Differential Equation

अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation) के इस आर्टिकल में दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण करने के बारे में अध्ययन करेंगे।इस पर आधारित सवालों के हल निम्न प्रकार हैं:
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2.अवकल समीकरण का निर्माण के उदाहरण (Formation of Differential Equation Examples):

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में,स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Example:1. \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
Solution: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \frac{d y}{d x} =0 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{b}{a}
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}=0 \\ \Rightarrow y^{\prime \prime}=0
Example:2. y^2=a\left(b^2-x^2\right)
Solution: y^2=a\left(b^2-x^2\right)c \\ y=\sqrt{a} \sqrt{b^2-x^2} \ldots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{a}\left(\frac{-2 x}{2\sqrt{b^2-x^2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\sqrt{a x}}{\sqrt{b^2-x^2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{a x}{y}[(1) ]
\Rightarrow \frac{y \frac{d y}{d x}}{x}=-a
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{x\left[\left(\frac{d y}{d x}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)+y \frac{d^2 y}{d x^2} \right]-y \frac{d y}{d x} \cdot 1}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+x y \frac{d^2 y}{d x^2}-y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^2-y y^{\prime}=0
Example:3. y=a e^{3 x}+b e^{-2 x}
Solution: y=a e^{3 x}+b e^{-2 x} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=3 a e^{3 x}-2 b e^{-2 x} \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}=9 a e^{3 x}+4 b e^{-2 x} \cdots(3)
समीकरण (1) को 6 से गुणा करके समीकरण (2) में जोड़ने पर:
\frac{d y}{d x}+6 y =6 a e^{3 x}+6 b e^{-2 x}+3 a e^{3 x}-2 b e^{-2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+6 y =9 a e^{3 x}+4 b e^{-2 x} \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) से
\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d y}{d x}+6 y \\ \Rightarrow y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0
Example:4. y=e^{2 x}(a+b x)
Solution: y=a e^{2 x}+b x e^{2 x} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=2 a e^{2 x}+b e^{2 x}+2 b x e^{2 x} \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}=4 a e^{2 x}+2 b e^{2 x}+2 b e^{2 x}+4 b x e^{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}=4 a e^{2 x}+4 b e^{2 x}+4 b x e^{2 x} \cdots(3)
समीकरण (2) को 4 से गुणा करने पर:
4 \frac{d y}{d x}=8 a e^{2 x}+4 b e^{2 x}+8 b x e^{2 x} \\ 4 \frac{d y}{d x}=4 a e^{2 x}+4 b e^{2 x}+4 b x e^{2 x}+ 4(a+b x) e^{2 x} \cdots(4)
समीकरण (1),(3) और (4) से:
4 \frac{d x}{d x}=\frac{d^2 y}{d x^2}+4 y \\ \Rightarrow 4 y^{\prime}=y^{\prime \prime}+4 y \\ \Rightarrow y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0
Example:5. y=e^x(a \cos x+b \sin x)
Solution: y=e^x(a \cos x+b \sin x) \\ \Rightarrow y=a e^x \cos x+b e^x \sin x \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=a e^x \cos x-a e^x \sin x+b e^x \sin x +b e^x \cos x \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}= a e^x \cos x-a e^x \sin x-a e^x \sin x -a e^x \cos x+b e^x \sin x+b e^x \cos x +b e^x \cos x-b e^x \sin x \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}= -2 a e^x \sin x+2 b e^x \cos x \cdots(3)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर:
2 \frac{d y}{d x} =2\left(a e^x \cos x+b e^x \sin x\right)-2 a e^x \sin x+2 b e^x \cos x \cdots(4)
समीकरण (1),(3) व (4) से:
\frac{d y}{d x}=2 y+\frac{d^2 y}{d x^2} \\ \Rightarrow y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0
Example:6.y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

Formation of Differential Equation

Solution:माना वृत्तों के कुल जो y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करते हैं,का केन्द्र (a,0) है।
वृत्त का समीकरण :
(x-a)^2+\left(y-a\right)^2=a^2 \\ \Rightarrow x^2-2 a x+a^2+y^2=a^2 \\ \Rightarrow x^2+y^2=2 a x \\ \Rightarrow x+\frac{y^2}{x}=2 a
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow 1+\frac{x \cdot 2 y \frac{d y}{d x}-y^2 \cdot 1}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x^2+2 x y \frac{d y}{d x}-y^2=0 \\ \Rightarrow 2xy y^{\prime}+x^2=y^2
Example:7.ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है।

Formation of Differential Equation

Solution:परवलय जिसका शीर्ष मूलबिन्दु (0,0) तथा अक्ष धनात्मक y-अक्ष,का समीकरण
x^2=4 a y \\ \frac{x^2}{y}=4 a
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{y \cdot 2 x-x^2 \frac{d y}{d x}}{y^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{x}{y^2}\left(2 y-x \frac{d y}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow x y^{\prime}-2 y=0
Example:8.ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।

Formation of Differential Equation

Solution:दीर्घवृत्त जिसका केन्द्र मूलबिन्दु (0,0) तथा नाभियाँ y-अक्ष पर हों,का समीकरण
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \quad(a>b)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{2 x}{b^2}+\frac{2 y}{d^2} \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{y}{x} \frac{d y}{d x}=-\frac{a^2}{b^2}
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{x\left[\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+y \frac{d^2 y}{d x^2}\right]-y \frac{d y}{d x} \cdot 1}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+x y\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)-y\left(\frac{d y}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^2-y y^{\prime}=0
Example:9.ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।

Formation of Differential Equation

Solution:अतिपरवलयों के कुल का समीकरण जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर तथा केन्द्र मूलबिन्दु है:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{2 x}{a^2}-\frac{2 y}{b^2}\left(\frac{d y}{d x}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{y}{x} \frac{d y}{d x}=\frac{b^2}{a^2}
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{x\left[\left(\frac{dy}{d x}\right)^2+y \frac{d^2 y}{d x^2}\right]-y \frac{dy}{dx}\cdot 1}{x^2}=0 \\ \Rightarrow x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+x y \frac{d^2 y}{d x^2}-y \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^2-y y^{\prime}=0
Example:10.ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।

Formation of Differential Equation

Solution:वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण जिनका केन्द्र y-अक्ष (0,b) पर तथा त्रिज्या 3 इकाई है:
(x-0)^2+(y-b)^2=3^2 \\ \Rightarrow x^2+y^2-2 b y+b^2=9 \\ x^2-9=-(y-b)^2 \\ \Rightarrow \sqrt{\left(9-x^2\right)}=y-b
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{-2 x}{2 \sqrt{\left(9-x^2\right)}}=\frac{d y}{d x} \\ \sqrt{\left(9-x^2\right)} y^{\prime}=-x \\ \Rightarrow \left(9-x^2\right)\left(y^{\prime}\right)^2=x^2 \\ \Rightarrow\left(x^2-9\right) \left(y^{\prime} \right)^2+x^2=0
Example:11.निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y=c_1 e^x+c_2 e^{-x} है?
(A) \frac{d^2 y}{d x^2}+y=0 (B) \frac{d^2 y}{d x^2}-y=0
(C) \frac{d^2 y}{d x^2}+1=0 (D) \frac{d^2 y}{d x^2}-1=0
Solution: y=c_1 e^x+c_2 e^{-x} \cdots(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=c_1 e^x-c_2 e^{-x}
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}=c_1 e^x+c_2 e^{-x} \cdots(2)
(1) व (2) से:
\frac{d^2 y}{d x^2}=y \\ \Rightarrow \frac{d^2 y}{d x^2}-y=0
अतः विकल्प (B) सही है।
Example:12.निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y=x है?
(A) \frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}+x y=x (B) \frac{d^2y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}+x y=x
(C) \frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}+xy=0 (D) \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}+x y=0
Solution:y=x ……(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=1 \cdots(2)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}=0 \cdots(3)
(2) से:
x^2 \frac{d y}{d x}=x^2 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d y}{d x}=x y
(3) में से (4) घटाने पर:
\frac{d^2 y}{d x^2}-x^2 \frac{d y}{d x}+x y=0
अतः विकल्प (C) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation),दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of a Differential Equation Whose Solution is Given) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण का निर्माण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Formation of Differential Equation):

Formation of Differential Equation

(1.)उन सरल रेखाओं के कुल के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु से गुजरती है।
(2.)वक्र कुल x^2+y^2=a^2 के लिए अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.) x \frac{d y}{d x}=y
(2.) x+y \frac{d y}{d x}=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation),दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of a Differential Equation Whose Solution is Given) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण का निर्माण (Frequently Asked Questions Related to Formation of Differential Equation),दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of a Differential Equation Whose Solution is Given) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation) के इस आर्टिकल में
दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण करने के बारे में अध्ययन करेंगे।