1.फिशर का आदर्श सूचकांक (Fisher Ideal Index Number),लेसपेयर सूचकांक सूत्र (Lespeyer Index Number Formula):

फिशर का आदर्श सूचकांक (Fisher Ideal Index Number) के परिकलन के लिए फिशर ने लेसपेयर तथा पाशे के सूत्रों को गुणोत्तर माध्य में प्रयुक्त किया।सूत्र निम्न प्रकार हैः

P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_{1} q_{0}}{\Sigma p_{0} q_{0}} \times \frac{\Sigma p_{1} q_{1}}{\Sigma p_{0} q_{1}}} \times 100 \text { or } P_{01}=\sqrt{(L \times P)}
सूत्र में प्रयुक्त p_{0},q_{0},p_{1} तथा q_{1} इसे तात्पर्य पूर्व के बताये गये सूत्रों के अनुसार ही है तथा L से तात्पर्य लेसपेयर के सूत्र से तथा P से तात्पर्य पाशे के सूत्र से है।
(2.)लेसपेयर का सूत्र (Laspeyer’s Formula):
लेसपेयर द्वारा सूचकांकों के निर्माण में आधार वर्ष की मात्रा का प्रयोग किया गया था,अतः उनके द्वारा प्रतिपादित सूत्र को उनके नाम से जाना जाने लगा।सूत्र:

P_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_0} \times 100

P_{01}=Price Index for current Year based on base yaer
p_1=Current year price

p_{0}=Base year Price
q_0=Base year quantity
(3.)पाशे का सूत्र (Paasche’s Formula):
पाशे ने सूचकांकों के परिकलन में प्रचलित वर्ष (चालू वर्ष) की मात्राओं के भार के रूप में प्रयुक्त किया, अतः इस विधि को पाशे के सूत्र के नाम से जाना जाता है।इस विधि में आधार वर्ष के मूल्यों को प्रचलित वर्ष की मात्राओं में तथा प्रचलित वर्ष के मूल्यों को प्रचलित वर्ष की मात्राओं से गुणा किया जाता है।गुणनफलों का योग प्राप्त कर लिया जाता है।तत्पश्चात निम्न सूत्र के माध्यम से सूचकांकों का परिकलन किया जाता हैः

P_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_{1}}{\Sigma p_0 q_{1}} \times 100
सूत्र में प्रयुक्त p_{0},q_{0},p_{1}, q_{1} व \Sigma से तात्पर्य वही है जो लेसपेयर के सूत्र में था।
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2.फिशर का आदर्श सूचकांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Fisher Ideal Index Number):

Example:1.निम्नलिखित समंकों से लेसपेयर,पाशे तथा फिशर के सूचकांकों का परिकलन कर उनके सापेक्ष गुणों की समीक्षा कीजिएः
(Calculate Laspeyer’s, Paasche’s and Fisher’s Index Numbers from the following data and comment on the relative merits of the three):

Commodity	Base year		Current year
	Qty.(kg)	Price per kg(Rs.)	Qty.	Price  per kg(Rs.)
A	10	0.80	11	0.70
B	8	0.85	9	0.90
C	5	1.30	5.5	0.80

Solution:Calculation Table of Index Number by Different Formulae

Commodity			A	B	C	Total
Base Year	Price	p_{0}	0.80	0.85	1.30
	Qty.	q_{0}	10	8	5
Current Year	Price	p_{1}	0.70	0.90	0.80
	Qty.	q_{1}	11	9	5.5
		p_{1}q_{0}	7	7.2	4	18.2
		p_{0}q_{0}	8	6.8	6.5	21.3
		p_{1}q_{1}	7.7	8.1	4.4	20.2
		p_{0}q_{1}	8.8	7.65	7.15	23.60

(i) लेसपेयर के सूत्रानुसार

P_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_0} \times 100 \\ P_{01}=\frac{18.2}{21.3} \times 100=85.44
(ii) पाशे के सूत्रानुसार

P_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_0 q_1} \times 100 \\ =\frac{20.2}{23.60} \times 100=\frac{2020}{23.60} \\ \Rightarrow P_{01} =85.59
(iii) फिशर के सूत्रानुसार

P_{01} =\sqrt{\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_0 q_1} }\times 100 \\ =\sqrt{\frac{18.2}{21.3} \times \frac{20.2}{23.60}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{367.64}{502.68}} \times 100 \\ =0.8551 \times 100 \\ =85.51
Example:2.निम्नलिखित समंकों से फिशर के आदर्श सूचकांक की गणना कीजिएः
(From the following data,calculate Fisher’s Ideal Index):

Item	Price per unit(Rs.)		Qunatity used
	2003	2004	2003	2004
A	9.25	15.00	5	5
B	8.00	12.00	10	11
C	4.00	5.00	6	6
D	1.00	1.25	4	8

Solution:Calculation Table of Fisher’s Ideal Index Number

Commodity			A	B	C	D	Total
Base Year	Price	p_{0}	9.25	8.00	4.00	1.00
	Qty.	q_{0}	5	10	6	4
Current Year	Price	p_{1}	15.00	12.00	5.00	1.25
	Qty.	q_{1}	5	11	6	8
		p_{1}q_{0}	75	120	30	5	230
		p_{0}q_{0}	46.25	80	24	4	154.25
		p_{1}q_{1}	75	132	30	10	247
		p_{0}q_{1}	46.25	88	24	8	166.25

फिशर के सूत्रानुसारः

P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_0 q_1}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{230}{154.25} \times \frac{247}{166.25}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{56810}{25644.0625}} \times 100 \\ =1.4883 \times 100 \\ \Rightarrow P_{01}=148.83

Example:3.निम्नलिखित समंकों से फिशर के आदर्श सूचकांक का परिकलन कीजिए तथा प्रदर्शित कीजिए कि यह समय उत्क्राम्यता तथा तत्त्व उत्क्राम्यता परीक्षण को किस प्रकार सन्तुष्ट करता हैः
(Calculate Fisher’s Index from the following data and show how it satisfies time reversal test and factor reversal test):

Items		A	B	C	D	E
Price(Rs.)	2000	8	2	1	2	1
	2004	20	6	2	5	5
Qty.(kg)	2000	50	15	20	10	40
	2004	60	10	25	8	30

Solution:Calculation Table of Fisher’s Ideal Index Number

Item			A	B	C	D	E	Total
Base Year	Price	p_{0}	8	2	1	2	1
	Qty	q_{0}	50	15	20	10	40
Current Year	Price	p_{1}	20	6	2	5	5
	Qty	q_{1}	60	10	25	8	30
		p_{1}q_{0}	1000	90	40	50	200	1380
		p_{0}q_{0}	400	30	20	20	40	510
		p_{1}q_{1}	1200	60	50	40	150	1500
		p_{0}q_{1}	480	20	25	16	30	571

फिशर के सूत्रानुसारः

P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_1 q_{0}}{\Sigma p_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma p_1 q_{1}}{\Sigma p_0 q_{1}}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{1380}{510} \times \frac{1500}{571}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{2070000}{291210}} \times 100 \\ =2.6661 \times 100 \\ =266.61
समय उत्क्राम्यता परीक्षणः =P_{01} \times P_{10}=1 \\ P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_0} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_{0} q_{1}}}=\sqrt{\frac{1380}{570} \times \frac{1500}{571}} \\ P_{10}=\sqrt{\frac{\Sigma p_0 q}{\sum p_1 q_1} \times \frac{\Sigma p_0 q_0}{\Sigma p_1 q_0}}= \sqrt{\frac{571}{1500} \times \frac{510}{1380}} \\ P_{01} \times P_{10}=\sqrt{\frac{1380}{510} \times \frac{1500}{571} \times \frac{571}{1500} \times \frac{510}{1380}}=\sqrt{1}=1
अतः समय उत्क्राम्यता परीक्षण पूर्ण होता है।
तत्त्व उत्क्राम्यता परीक्षणः=P_{01} \times Q_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_{1}}{\Sigma p_0 q_{0}} \\ =\frac{1500}{510} \\ P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma P_1 q_{0} }{\Sigma P_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma P_1 q_{1}}{\Sigma P_0 q_{1}}}=\sqrt{\frac{1350}{510} \times \frac{1500}{571}} \\ Q_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_0 q_1}{\Sigma p_0 q_0} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_1 p_0}}=\sqrt{\frac{571}{510} \times \frac{1500}{1380}} \\ P_{01} \times Q_{01}=\sqrt{\frac{1380}{510} \times \frac{1500}{571} \times \frac{571}{510} \times \frac{1500}{1380}}=\frac{1500}{510}
अतः तत्त्व उत्क्राम्यता परीक्षण पूर्ण होता है।
Example:4.निम्नलिखित समंकों से लेसपेयर,पाशे तथा फिशर के सूत्रों द्वारा सूचकांकों की पाशे तथा फिशर के सूत्रों द्वारा सूचकांकों की रचना कीजिएः
(Construct Index Numbers by Laspeyer’s, Paasche’s and Fisher’s formula):

Year	Bread		Butter		coffee
	Qty.	Price	Qty.	Price	Qty.	Price
2000	10	10	12	5.0	5	8.0
2004	8	1.5	10	6.0	2	10.0

Solution:Calculation Table of Index Number by Different Formulae

Item			Bread	Butter	coffee	Total
Base year	Price	p_{0}	1.0	5.0	8.0
	Qty	q_{0}	10	12	5
Current year	Price	p_{1}	1.5	6.0	10.0
	Qty	q_{1}	8	10	2
		p_{1}q_{0}	15	72	50	137
		p_{0}q_{0}	10	60	40	110
		p_{1}q_{1}	12	60	20	92
		p_{0}q_{1}	8	50	16	74

(i) लेसपेयर के सूत्रानुसारः P_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_0} \times 100 \\ =\frac{137}{110} \times 100=124.54
(ii) पाशे के सूत्रानुसारः P_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_0 q_1} \times 100 \\ =\frac{92}{74} \times 100=124.32
(iii) फिशर के सूत्रानुसारः P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_1 q_0}{\Sigma p_0 q_0} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\sum p_0 q_1} } \times 100 \\ =\sqrt{\frac{137}{110} \times \frac{92}{74}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{12604}{8140}} \times 100 \\ =124.43

Example:5.निम्नलिखित समंकों से फिशर के आदर्श निर्देशांक की रचना कीजिएः
(Construct the Fisher’s Ideal Index from the following data):

Articles	Base Year		Current Year
	Price per unit	Total Expenditure	Total Value(Rs.)	Quantity(kgs)
वस्तुएँ (रुपयों में)	मूल्य प्रति इकाई (रुपयों में)	(रुपयों में)	कुल मूल्य (रुपयों में)	मात्रा (किग्रा)
A	6	300	560	56
B	2	200	240	120
C	4	240	360	60
D	10	300	288	24
E	8	320	432	36

यह भी सिद्ध कीजिए कि फिशर का आदर्श निर्देशांक सूत्र तत्त्व उत्क्राम्यता परीक्षण को सन्तुष्ट करता है।
(Also prove that Fisher’s Ideal formula satisfies the Factor Reversal Test.)
Solution:Calculation Table of Fisher’s Ideal Index Number

Articles			A	B	C	D	E	Total
Base Year	Price	p_{0}	6	2	4	10	8
	Qty	q_{0}	50	100	60	30	40
Current Year	Price	p_{1}	10	2	6	12	12
	Qty	q_{1}	56	120	60	24	36
		p_{1}q_{0}	500	200	360	360	480	1900
		p_{0}q_{0}	300	200	240	300	320	1360
		p_{1}q_{1}	560	240	300	288	432	1880
		p_{0}q_{1}	336	240	240	240	288	1344

फिशर के सूत्रानुसारः P_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_{1} q_{0}}{\Sigma p_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma p_1 q_{1}}{\Sigma p_0 q 1}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{1900}{1360} \times \frac{1880}{1344}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{3572000}{1827840}}\times 100=139.79 \\ \approx 139.8
तत्त्व उत्क्राम्यता परीक्षणः=P_{01} \times Q_{01}=\frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_0 q_0} \\ P_{01} =\sqrt{\frac{\Sigma p_{1} q_{0}}{\Sigma p_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_0 q_{1}}}= \sqrt{\frac{1900}{1360} \times \frac{1880}{1344}} \\ Q_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_{0} q_{1}}{\Sigma p_0 q_0} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_1 q_0}}=\sqrt{\frac{1344}{1360} \times \frac{1880}{1500}} \\ P_{01} \times Q_{01}=\sqrt{\frac{1900}{1360} \times \frac{1880}{1344} \times \frac{1344}{1360} \times \frac{1880}{1900}} \\ \Rightarrow P_{01} \times Q_{01}=\sqrt{\frac{1880 \times 1880}{1360 \times 1360}}=\frac{1880}{1360}
अतः तत्त्व उत्क्राम्यता परीक्षण पूर्ण होता है।
Example:6.फिशर के सूत्र द्वारा निम्न समंकों से मात्रा सूचकांक बनाइएः
(Compute by Fisher’s Formula the Quantity Index Numbers from the following data):

Articles	2000		2004
	Price	Total Value(Rs)	Price	Total Value(Rs)
I	5	50	4	48
II	8	48	7	49
III	6	18	5	20

Solution:Calculation Table of Fisher’s Quantity Index Number

Articles			I	II	III	Total
2000	Price	p_{0}	5	8	6
	Qty	q_{0}	10	6	3
2004	Price	p_{1}	4	7	5
	Qty	q_{1}	12	7	4
		p_{1}q_{0}	40	42	15	97
		p_{0}q_{0}	50	48	18	116
		p_{1}q_{1}	48	49	20	117
		p_{0}q_{1}	60	56	24	140

फिशर के सूत्र से मात्रा सूचकांकः Q_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_{0} q_1}{\Sigma p_0 q_{0}} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_1 q_0} }\times 100 \\ =\sqrt{\frac{140}{116} \times \frac{117}{97} }\times 100 \\ =\sqrt{\frac{16380}{11252} }\times 100 \\ =120.65 \\ Q_{01} \approx 120.6
Example:7.निम्नलिखित समंकों से फिशर का वर्ष 2004 को आधार लेकर 2000 के लिए मात्रा सूचकांकों की गणना कीजिएः
(From the following data compute Fisher’s quantity Index Numbers for the year 2000 taking 2004 as base year):

Year	Commodity I		Commodity II		Commodity III
	Price	Quantity	Price	Quantity	Price	Quantity
2000	5	10	8	6	6	3
2004	4	12	7	7	5	4

Solution:Calculation Table of Fisher’s Quantity Index Number

Commodity			I	II	III	Total
2004	Price	p_{0}	4	7	5
	Qty	q_{0}	12	7	4
2000	Price	p_{1}	5	8	6
	Qty	q_{1}	10	6	3
		p_{1}q_{0}	60	56	24	140
		p_{0}q_{0}	48	49	20	117
		p_{1}q_{1}	50	48	18	116
		p_{0}q_{1}	40	42	15	97

फिशर के सूत्र से मात्रा सूचकांकः

Q_{01}=\sqrt{\frac{\Sigma p_0 q_1}{\Sigma p_0 q_0} \times \frac{\Sigma p_1 q_1}{\Sigma p_1 q_0}} \times 100 \\ =\sqrt{\frac{97}{117} \times \frac{116}{140} }\times 100 \\ =\sqrt{\frac{11252}{16380} } \times 100 \\ \Rightarrow Q_{01}=82.88

3.भारित सूचकांकों का निर्माण (Weighted Index Number):

Example:8.निम्नलिखित समंकों से पारिवारिक व्यय रीति तथा भारित सामूहिक रीति द्वारा जीवन निर्वाह सूचकांक की रचना कीजिएः
(Construct cost of living index numbers from the data given below by Family Budget Method and Weighted Aggregative Expenditure Method):

Articles	Qty.  Consumed	Unit	Price(2000)	Price(2004)
			Base Year	Current Year
Wheat	400 kgms	per 100 kgms	200	240
Rice	100 kgms	per 100 kgms	320	400
Gram	100 kgms	per 100 kgms	160	200
Pulses	40 kgms	per 100 kgms	320	400
Ghee	40 kgms	per kgm	20	30
Sugar	50 kgms	per kgm	4	6
Fuel	500 kgms	per 100 kgms	40	50
House Rent	one flat	per flat	200	340

Solution:Calculation Table of Index Number for 2004
(by Weighted Aggregative and Weighted Relatives Method)

Articles	Quantity	Unit	price(2000)	Price (2004)
	q_{0}		p_{0}	p_{1}
Wheat	4 kgms	per 100 kgms	200	240
Rice	1 kgms	per 100 kgms	320	400
Gram	1 kgms	per 100 kgms	160	200
Pulses	0.40 kgms	per 100 kgms	320	400
Ghee	40 kgms	per kgm	20	30
Sugar	50 kgms	per kgm	4	6
Fuel	5 kgms	per 100 kgms	40	50
House Rent	one flat	per flat	200	340
Total

p_{1}q_{0}	p_{0}q_{0}(W)	R	RW
960	800	120	96000
400	320	125	40000
200	160	125	20000
160	128	125	16000
1200	800	150	120000
300	200	150	30000
250	200	125	25000
340	200	170	34000
	2808		381000

(i) पारिवारिक व्यय रीति:
(1.)सर्वप्रथम प्रत्येक मद या वस्तु के मूल्यानुपात R ज्ञात किए जाते हैं।सूत्रः R=\frac{p_1}{p_0} \times 100
(2.)फिर मूल्य भार (Value Weights) ज्ञात किये गये हैं।W=आधार वर्ष की मात्रा व मूल्य का गुणनफल।
(3.)R को W से गुणा कर उनका योग \sigma W किया गया
(4.)इसी प्रकार W या p_{0} q_{0} का भी भारित सूचकांक ज्ञात करने हेतु निम्न सूत्र का प्रयोग करेंगेः

P_{01}=\frac{\Sigma R W}{\Sigma W}=\frac{381000}{2808}=135.68 \\ P_{01} \approx 135.7
(ii) भारित सामूहिक रीतिः
(1.)आधार वर्ष की मात्रा व प्रचलित वर्ष (2004) के मूल्यों को गुणा कर उनका योग (\Sigma p_{0} q_{0}) ज्ञात किया गया जिसे प्रचलित वर्ष का भारित समूह कहते हैं।
(2.)फिर इसी आधार वर्ष का भारित समूह (\Sigma p_{1} q_{0}) ज्ञात किया गया है।
(3.)अब निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग कर 2004 वर्ष का भारित सूचकांक ज्ञात करेंगे।

P_{01}(2004) =\frac{\Sigma p_1 q_{0}}{\Sigma p_{0} q_{0}} \times 100 \\ =\frac{3810}{2808} \times 100 \\=135.68 \\ P_{(01)}(2004) \approx 135.7
Example:9.निम्नलिखित सूचना से भारित सामूहिक रीति द्वारा 1995 के आधार पर 2003 तथा 2004 के लिए उपभोक्ता मूल्य सूचकांक का परिकलन कीजिएः
(From the following information calculate consumer price index numbers for the years 2003 and 2004 taking 1995 as the base using aggregative expenditure method):

Items	Qty.	Unit	Price in Rupees
	consumed		1995	2003	2004
A	2 Qtl.	Qunital	50	60	60
B	45 Qtl.	Qunital	100	120	160
C	10 kg.	Qunital	100	100	120
D	10 kg.	kg.	10	20	20
E	6.25 Qtl.	kg.	2	4	3
F	9 pieces	Dozen	20	24	12
G	6 dozen	Gross	60	72	60
H	one flat	Flat	50	60	80

Solution:Calculation Table of Consumer Index Number
(Aggregative Expenditure Method)

Items	Qty used	Unit	1995	2003	2004
	q_{0}		p_{0}	p_{1}	p_{2}
A	2 Qtl.	Qunital	50	60	60
B	45 Qtl.	Qunital	100	120	160
C	10 kg.	Qunital	100	100	120
D	10 kg.	kg.	10	20	20
E	6.25 Qtl.	kg.	2	4	3
F	9 pieces	Dozen	20	24	12
G	6 dozen	Gross	60	72	60
H	one flat	Flat	50	60	80
Total

Aggregate Expenditure
p_{0}q_{0}	p_{1}q_{0}	p_{2}q_{0}
100	120	120
4500	5400	7200
10	10	12
100	200	200
50	100	75
15	18	9
30	36	30
50	60	80
4855	5944	7726

Consumer Price Index 2003: P_{01}=\frac{\Sigma p_{1} q_{0}}{\Sigma p_0 q_{0}} \times 100=\frac{5944}{4855} \times 100 \\ =122.43

Consumer Price Index 2004: P_{01}=\frac{\Sigma p_2 q_0}{\Sigma p_{0} q_{0} } \times 100 =\frac{7726}{4855} \times 100 \\=159.3
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा फिशर का आदर्श सूचकांक (Fisher Ideal Index Number),लेसपेयर सूचकांक सूत्र (Lespeyer Index Number Formula) को समझ सकते हैं।

4.फिशर का आदर्श सूचकांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Fisher Ideal Index Number):

(1.)निम्न समंकों से फिशर का आदर्श सूचकांक परिगणित कीजिएः
(From the following data, calculate Fisher’s ideal index number):

Article	Base Year		Current Year
	Price	Qty	Price	Qty
A	6	50	9	55
B	2	100	3	125
C	4	60	6	65
D	10	30	14	25

(2.)फिशर के आदर्श सूत्र का प्रयोग करके निम्न सारणी से मात्रा सूचकांक परिकलित कीजिएः
(Using Fisher’s ideal formula,calculate the quantity index number from the following):

	Base Year		Current Year
Commodity	Price(Rs.)	Qty(kg.)	Price(Rs.)	Qty(kg.)
A	5	50	10	56
B	3	100	4	120
C	4	60	6	60
D	11	30	14	24
E	7	40	10	36

उत्तर (Answers):(1.)147 (2.)100.24
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर फिशर का आदर्श सूचकांक (Fisher Ideal Index Number),लेसपेयर सूचकांक सूत्र (Lespeyer Index Number Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.फिशर का आदर्श सूचकांक (Frequently Asked Questions Related to Fisher Ideal Index Number),लेसपेयर सूचकांक सूत्र (Lespeyer Index Number Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

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Fisher Ideal Index Number

फिशर का आदर्श सूचकांक
(Fisher Ideal Index Number)

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