1.न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula),एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula):

Find Root of Number by Newton Formula

न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula) के इस आर्टिकल में संख्याओं के वर्गमूल,घनमूल ज्ञात करने वाले सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें के साधित उदाहरण (Find Root of Number by Newton Formula Solved Illustration):

Illustration:15.न्यूटन सूत्र द्वारा \sqrt{12} का तीन दशमलव स्थानों तक मान ज्ञात कीजिए।
(Find \sqrt{12} by applying Newton’s formula upto three places of decimal.)
Solution:चूँकि 9<12<16 \\ \Rightarrow \sqrt{9}<\sqrt{12} < \sqrt{16} \Rightarrow 3<12<4
अतः \sqrt{12} का मान 3 तथा 4 के मध्य स्थित होगा।यदि \sqrt{12} का प्रारम्भिक सन्निकटन मान x_0=3.5 लें,तो न्यूटन के वर्गमूल सूत्र
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right) जहाँ a=12
में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन x_1 होगा
x_1=\frac{1}{2}\left(x_0+\frac{12}{x_0}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(3.5+\frac{12}{3.5}\right) \\ \approx \frac{1}{2}(3.5+3.4286) \\ \approx \frac{1}{2} \times 6.9286 \\ \Rightarrow x_1 \approx 3.4643
अब ,यदि \sqrt{12} के उत्तरोत्तर सन्निकटन x_2 ,x_3 , \ldots हों,तो
x_2=\frac{1}{2}\left(x_1+\frac{1.2}{x_1}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(3.4643+\frac{12}{3.4643}\right) \\ \approx \frac{1}{2}(3.4643+3.4639) \\ \approx \frac{1}{2} \times 6.9282 \\ \Rightarrow x_2 \approx 3.4641 \\ x_3=\frac{1}{2}\left(x_2+\frac{12}{x_2}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(3.4641+\frac{12}{3.4641}\right) \\ \approx \frac{1}{2}(3.4641+3.4641) \\ \approx \frac{1}{2} \times 6.9282 \\ \Rightarrow x_3 \approx 3.4641
स्पष्ट है कि x_2 \approx x_3 ,अतः \sqrt{12}=3.4641
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula),एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula) को समझ सकते हैं।

3.एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना के साधित उदाहरण (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula Solved Illustrations):

Illustration:16.न्यूटन-रेफसन विधि से निम्न के मान ज्ञात कीजिए:
(Evaluate the following by Newton-Raphson method):
Illustration:16(i). \sqrt{29}
Solution:माना x=\sqrt{29} \Rightarrow x^2-29=0 \\ \Rightarrow f(x)=x^2-29, f^{\prime}(x)=2 x \\ f(5)=5^2-29=-4
तथा f(6)=6^2-29=7
अतः मूल अन्तराल (5,6) में स्थित है
न्यूटन-रेफसन प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime}\left(x_0\right)} \quad\left[x_0=5\right] \\ =5-\frac{\left(5^2-29\right)}{2 \times 5} \\ =5-\frac{(-4)}{10} \\ =5+0.4 \\ \Rightarrow x_1=5.4
पुनः x_2=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f^{\prime}\left(x_1\right)} \\ =5.4-\frac{(5.4)^2-29}{2 \times 5.4} \\ =5.4-\frac{29.16-29}{10.8} \\ =5.4-\frac{0.16}{10.8} \\ \Rightarrow x_2 \approx 5.4-6.0148148 \approx 5.3851852
पुनः x_3=x_2-\frac{f\left(x_2\right)}{f^{\prime}\left(x_2\right)} \\ =5.3851852-\frac{\left[ (5.3851852)^2 -29 \right]}{2 \times 553851852} \\ \approx 5.3851852-\frac{29.0002196-29}{10.7703704} \\ \approx 5.3851852-\frac{0.0002196}{10.7703704} \\ \approx \approx 5.3851852-0.0000204 \\ \Rightarrow x_3 \approx 5.3851648
पुनः x_4=x_3-\frac{f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)} \\ =5.3851648-\frac{\left[(5.3851648)^2-29\right]}{2 \times 5.3851648} \\ \approx 5.3851648-\frac{(28.9999999-29)}{10.7703296} \\ \approx 5.3851648-\frac{(-0.0000001)}{10.7703296} \\ \Rightarrow x_4 \approx 5.3851648-0.00000001 \\ \Rightarrow x_4 \approx 5.385165
अतः छः दशमलव स्थानों तक स्पष्ट है कि
x_3 \approx x_4 अतः \sqrt{(29)}=5.385165
Illustration:16(ii). \left(10^{\frac{1}{3}}\right)
Solution:माना x=10^{\frac{1}{3}} \Rightarrow x^3-10=0 \\ \Rightarrow f(x)=x^3-10, f^{\prime}(x)=3 x^2 \\ f(2)=2^3-10=-2
तथा f(3)=3^3-10=17
अतः मूल अन्तराल (2,3) में स्थित है
न्यूटन-रेफसन प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(x_n^3-10\right)}{3 x_n^2} \\ =\frac{3 x_n^3-x_n^3+10}{3 x_n^2} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{2 x_n^3+10}{3 x_n^2} \cdots(1)
(1) में n=0 तथा x_0=2 रखने परः
x_1=\frac{2 x_0^2+10}{3 x_0^2} \\ =\frac{2(2)^3+10}{3 \times 2^2} \\ \Rightarrow x_1 =\frac{26}{12} \\ x_1 \approx 2.166667
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन x_2 होगा:
x_2=\frac{2 x_1^3+10}{3 x_1^2} \\ =\frac{2 \times(2.166667)^3+10}{3 \times(2.166667)^2} \\ \approx \frac{20.342602+10}{14.083338} \\ \Rightarrow x_2 \approx \frac{30.342602}{14.083338} \\ \Rightarrow x_2 \approx 2.154504
पुनः (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन x_3 होगाः
x_3=\frac{2 \times x_2^3+10}{3 x_2^2} \\ =\frac{2 \times(2.154504)^3+10}{3 \times(2.154504)^2} \\ \approx \frac{20.001930+10}{13.925662} \\ \approx \frac{30.001930}{13.925662} \\ \Rightarrow x_3 \approx 2.154435
पुनः (1) में n=3 रखने पर चतुर्थ सन्निकटन x_4 होगा:
x_4 =\frac{2 x_3^3+10}{3 x_3^2} \\ =\frac{2 \times(2.154435)^3+10}{3 \times(2.154435)^2} \\ \approx \frac{20.000009+10}{13.924771} \\ \approx \frac{30.000009}{13.924771} \\ \approx x_4 \approx 2.154435
अतः छः दशमलव स्थानों तक स्पष्ट है कि
x_3 \approx x_4 अतः (10)^{\frac{1}{3}} \approx 2.154435
Illustration:16(iii). \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}
Solution:माना x=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \Rightarrow 2 x^4-1=0 \\ \Rightarrow f(x)=2 x^4-1, f^{\prime}(x)=8 x^3 \\ f(0.5)=2 \times(0.5)^4-1=-0.875
तथा f(1)=2 \times(1)^4-1=1
अतः मूल अन्तराल (0.5,1) में स्थित है।
न्यूटन-रेफसन प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula) सेः
x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} \\ =x_n-\frac{\left(2 x_n^4-1\right)}{8 x_n^3} \\ =\frac{8 x_n^4-2 x_n^4+1}{8 x_n^2} \\ \Rightarrow x_{n+1} =\frac{6 x_n^4+1}{8 x_n^3} \cdots(1)
अब मूल का प्रारम्भिक मान x_0=0.5 लेकर (1) में n=0 रखने पर प्रथम सन्निकटन मान x_1 होगा:
x_1=\frac{6 x_0^4+1}{8 x_0^3} \\ =\frac{6 \times(0.5)^4+1}{8 \times(0.5)^3} \\ \Rightarrow x_1 =\frac{0.375+1}{1} \\ \Rightarrow x_1=1.375
पुनः (1) में n=1 रखने पर द्वितीय सन्निकटन x_2 होगाः
x_2=\frac{6 x_1^4+1}{8 x_1^3} \\ =\frac{6(1.375)^4+1}{8 \times(1.375)^3} \\ \approx \frac{21.446777+1}{20.796875} \\ \approx \frac{22.446777}{20.796875} \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.079334
पुनः (1) में n=2 रखने पर तृतीय सन्निकटन x_3 होगा:
x_3=\frac{6 x_2^4+1}{8 x_2^3} \\ =\frac{6 \times(1.079334)^4+1}{8 \times(1.079334)^3} \\ \approx \frac{9.142817}{10.059064} \\ \Rightarrow x_3 \approx 0.908913
इसी प्रकार (1) में n=3 रखने पर चतुर्थ सन्निकटन x_4 होगाः
x_4=\frac{6 x_3^4+1}{8 x_3^3} \\ =\frac{6 \times(0.908913)^4+1}{8 \times(0.908913)^3} \\ \approx \frac{5.094874}{6.006990} \\ \Rightarrow x_4 \approx 0.848158
पुनः (1) में n=4 रखने पर पंचम सन्निकटन x_5 होगाः
x_5=\frac{6 x_4^4+1}{8 x_4^3} \\ =\frac{6 \times(0.848158)^4+1}{8 \times(0.848158)^3} \\ \approx \frac{4.104976}{4.881129} \\ \Rightarrow x_5 \approx 0.840989
पुनः (1) में n=5 रखने पर षष्ठम सन्निकटन x_6 होगाः
x_6=\frac{6 x_5^4+1}{8 x_5^3} \\ =\frac{6 \times(0.840989)^4+1}{8 \times(0.840989)^3} \\ \approx \frac{4.001321}{4.758400} \\ \Rightarrow x_6 \approx 0.840896
पुनः (1) में n=6 रखने पर सप्तम सन्निकटन x_7 होगाः
x_7=\frac{6 x_6^4+1}{8 x_6^3} \\ =\frac{6 \times(0.840896)^4+1}{8 \times(0.840896)^3} \\ \approx \frac{3.999994}{4.756821} \\ \Rightarrow x_7 \approx 0.840896
अतः छः दशमलव स्थानों तक स्पष्ट है कि
x_6 \approx x_7 अतः \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}} \approx 0.840896

Find Root of Number by Newton Formula

Illustration:18.सिद्ध कीजिए कि निम्न दोनों अनुक्रम द्वितीय क्रम की अभिसारी है तथा समान सीमा \sqrt{a} को अभिसारी होती है:
(Show that the following two sequence, both have convergence of the second order with the same limit \sqrt{a} .)
x_{n+1}=\frac{1}{2} x_n\left(1+\frac{a}{x_n^2}\right) तथा (and) x_{n+1}=\frac{1}{2} x_n\left(3-\frac{x_n^2}{a}\right)
Solution: x_{n+1}=\frac{1}{2} x_n\left(1+\frac{a}{x_n^2}\right) \\ \Rightarrow x_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{2} x_n\left(1+\frac{a}{x_n^2}\right)-\sqrt{a} \\ =\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}-2 \sqrt{a}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\sqrt{x_n}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x_n}}\right)^2 \\ =\frac{1}{2 x_n}\left(x_n-\sqrt{a}\right)^2 \\ \Rightarrow \varepsilon_{n+1}=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x_n}\right) \varepsilon_n^2
अतः अनुक्रम द्वितीय क्रम की अभिसारी है।
पुनः x_{n+1}=\frac{1}{2} x_n\left(3-\frac{x_n^2}{a}\right) \\ \Rightarrow x_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{1}{2} x_n\left(3-\frac{x_n^2}{a}\right)-\sqrt{a} \\ =\frac{1}{2} x_n\left(1-\frac{x_n^2}{a}\right)+\left(x_n-\sqrt{a} \right) \\ =\left(x_n-\sqrt{a}\right)\left[1-\frac{x_n}{2 a}\left(x_n+\sqrt{a}\right)\right] \\ =-\frac{\left(x_n-\sqrt{a}\right)^2\left(x_n+2 \sqrt{a}\right)}{2 a} \\ \Rightarrow \varepsilon_{n+1}=-\frac{\left(x_n+2 \sqrt{a}\right)}{2 a} \varepsilon_n^2
अतः द्वितीय क्रम की अभिसारी है।
Illustration:22.18 के वर्गमूल को दशमलव के दो सही स्थानों तक,पुनरावृत्त सूत्र
(Find the square root of 18,correct to two decimal places by using the recursion (iteration formula))
x^{(i+1)}=\frac{1}{2}\left[x^{(i)}+\frac{18}{x^{(i)}}\right] , से ज्ञात कीजिए।
Solution:दिया हुआ पुनरावृत्त सूत्र
x^{(i+1)}=\frac{1}{2}\left[x^{(i)}+\frac{18}{x^{(i)}}\right] \cdots(1)
i=0 रखने परः
x^{(1)}=\frac{1}{2}\left[x^{(0)}+\frac{18}{x(0)}\right] \cdots(2) \\ x^{(0)}=\sqrt{(18)} \approx 4.2
(2) से :-
x^{(1)}=\frac{1}{2}\left[4.2+\frac{18}{4.2}\right] \\ \approx \frac{1}{2}[4.2+4.286] \\ \Rightarrow x^{(1)} \approx 4.243 \cdots(3)
(1) में i=1 रखने परः
x^{(2)}=\frac{1}{2}\left[x^{(1)}+\frac{18}{x^{(1)}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[4.243+\frac{18}{4.243}\right] [(3) से]
\approx \frac{1}{2}[4.243+4.2423] \\ \Rightarrow x^{(2)} \approx 4.24265 \ldots(4)
(1) में i=2 रखने परः
x^{(3)}=\frac{1}{2}\left[x^{(2)}+\frac{18}{x^{(2)}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[4.24265+\frac{18}{4.24265}\right] \\ \approx \frac{1}{2}[4.24265+4.24263] \\ \Rightarrow x^{(3)} \approx 4.24264 \cdots(4)
(4) व (5) सेः
\sqrt{18} \approx 4.2426
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula),एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula) को समझ सकते हैं।

4.मिथ्या-स्थिति विधि से मूल ज्ञात करना का साधित उदाहरण (Finding Root by Regula-Falsi Method Solved Illustration):

Illustration:23.समीकरण x^3+x-3 का 1.2 एवं 1.3 के मध्य वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए।
(Find the real root of the equation x^3+x-3 which lies between 1.2 and 1.3)
Solution:मानलो f(x)=x^3+x-3
तब f(1.2)=(1.2)^3+1.2-3=-0.072
तथा f(1.3)=(1.3)^3+1.3-3=0.497
f(x)=0 का एक मूल 1.2 तथा 1.3 के मध्य स्थित है।
मिथ्या-स्थिति विधि का प्रतिवर्तन सूत्र (recursion formula)
x_{n+1}=x_{n}-\frac{\left(x_n-x_{n-1}\right) f\left(x_n\right)}{f\left(x_n\right)-f\left(x_{n-1}\right)} \cdots(1)
f\left(x_{n-1}\right) \cdot f\left(x_n\right)<0
प्रथम सन्निकटन:
सूत्र (1) में n=2, x_1=1.2, f\left(x_1\right)=-0.072 ,x_2=1.3, f\left(x_2\right)=0.497 रखने परः
x_3=x_2-\frac{\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)}{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)} \\ =1.3-\frac{(1.3-1.2) \times 0.497}{0.497-(-0.072)} \\ =1.3-\frac{0.0497}{0.569} \\ \approx 1.3-0.0873 \\ \Rightarrow x_3 \approx 1.2127
अब f\left(x_3\right)=(1.2127)^3+1.2127-3 \approx-0.00385
अतः मूल अन्तराल [1.2127,1.3] में स्थित होगा।
द्वितीय सन्निकटन:
पुनः (1) में n=3, x_2=1.2127, f\left(x_2\right)=-0.00385 ,x_3=1.3, f\left(x_3\right)=0.497 रखने परः
x_4=x_3-\frac{\left(x_3-x_2\right) f\left(x_3\right)}{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)} \\ =1.3-\frac{(1.3-1.2127)(0.497)}{0.497-(-0.00385)} \\ =1.3-\frac{0.0434}{0.5606} \\ \approx 1.3-0.0867 \\ \Rightarrow x_4 \approx 1.2133
अब f(x_4)=f(1.2133)=(1.2133)^3+1.2133-3 \approx-0.0006
अतः मूल अन्तराल [1.2133,1.3] में स्थित होगा।
तृतीय सन्निकटन:
पुनः (1) में n=4, x_3=1.2133, f\left(x_3\right)=-0.0006 ,x_4=1.3, f\left(x_4\right)=0.497 रखने परः
x_5=x_4-\frac{\left(x_4-x_3\right) f\left(x_4\right)}{f\left(x_4\right)-f\left(x_3\right)} \\ =1.3-\frac{(-1.2133+1.3) \times 0.497}{0.497-(-0.0006)} \\ =1.3-\frac{0.0431}{0.4976} \\ \Rightarrow x_5 \approx 1.3-0.0866 \approx 1.2134
अतः तीन दशमलव स्थानों तक वास्तविक मूल लगभग 1.213 होगा।
उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula),एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula) को समझ सकते हैं।

5.न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Find Root of Number by Newton Formula):

Find Root of Number by Newton Formula

(1.)पुनरावृत्ति विधि द्वारा \sqrt[3]{48} का चार दशमलव स्थानों तक मान ज्ञात करो।
(By iteration method evaluate \sqrt[3]{48} , correct to four decimal places.)
(2.) (24)^{\frac{1}{3}} का मान सही तीन दशमलव स्थानों तक न्यूटन-रेफसन विधि से ज्ञात करो।
(Find the value of (24)^{\frac{1}{3}} , correct to three places of decimal by Newton-Raphson method.)
उत्तर (Answers):(1.)3.6342 (2.)2.884
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula),एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Solving Equation by Newton-Raphson

6.न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Frequently Asked Questions Related to Find Root of Number by Newton Formula),एक दी हुई संख्या का मूल न्यूटन-रेफसन सूत्र से ज्ञात करना (Finding Root of a Given Number by Newton-Raphson Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

न्यूटन सूत्र से संख्या का मूल ज्ञात करें (Find Root of Number by Newton Formula) के इस
आर्टिकल में संख्याओं के वर्गमूल,घनमूल ज्ञात करने वाले सवालों को हल करके समझने का
प्रयास करेंगे।