1.संकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit)-

Find Central Force For Central Orbit

संकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करने‌ (Find Central Force For Central Orbit) के लिए संकेन्द्र कक्षा तथा केन्द्रीय बल को समझना आवश्यक है।
केन्द्रीय बल (Central Force)-जब एक कण किसी ऐसे बल के अधीन गमन करता है जिसकी दिशा सर्वदा एक नियत बिन्दु की ओर होती है तो वह बल केन्द्रीय बल कहलाता है और नियत बिन्दु बल का केन्द्र कहलाता है।
संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit)-किसी केन्द्रीय बल के प्रभाव के अधीन चलने वाले किसी कण की गति के पथ को संकेन्द्र कक्षा कहते हैं।
एक कण एक ऐसे त्वरण सहित एक समतल में गतिमान है,जिसकी दिशा सर्वदा समतल में एक स्थिर (नियत) बिन्दु की ओर रहती है, उसके पथ का अवकल समीकरण ज्ञात करना।
(A particle moves in a plane with an acceleration which is always directed to a fixed point O in the plane; to obtain the differential equation of its path)

Find Central Force For Central Orbit

h^{2} u^{2} \left(u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=p
पदिक रूप में संकेन्द्र कक्षा का अवकल समीकरण ज्ञात करना:
(To find the differential equation of a central orbit in pedal form:)

P=\frac{h^{2}}{p^{3}} \frac{d p}{dr}
संकेन्द्र कक्षा के किसी बिन्दु पर रैखिक वेग (Linear velocity at any point of the central orbit)
प्रत्येक केन्द्रीय कक्षा में रैखिक वेग का परिमाण कण बिन्दु की स्पर्शरेखा पर केन्द्र से खींचे गए लम्ब की लम्बाई का व्युत्क्रमानुपाती है।
(In every central orbit the linear velocity varies inversely as the perpendicular from the centre upon the tangent to the path.)

v^{2}=\frac{h^{2}}{p^{2}}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]
कुछ मानक वक्रों के पदिक समीकरण
(Pedal equation of standard curves):
(1.) वृत्त (Circle):(i)ध्रुव, वृत्त के अन्दर किसी भी बिन्दु पर जो कि केन्द्र से C दूरी पर तथा ध्रुव से गुजरने वाले व्यास प्रारम्भिक रेखा तो वृत्त का पदिक समीकरण

r^{2}+a^{2}-c^{2}=2 a p
(ii)जब ध्रुव वृत्त की परिधि पर किसी बिन्दु पर स्थित हो तक

c=a: r^{2}=2 a p
(2.)परवलय (Parabola):ध्रुव नाभि पर तथा अक्ष प्रारम्भिक रेखा

p^{2}=a r
(3.)दीर्घवृत्त अथवा अतिपरवलय (Ellipse or Hyperbola):
(i)ध्रुव की दीर्घवृत्त के केन्द्र पर (प्रारम्भिक रेखा अक्ष पर):
\frac{a^{2} b^{2}}{p^{2}}=a^{2}+b^{2}-r^{2} ;(दीर्घवृत्त)

\frac{a^{2} b^{2}}{p^{2}}=a^{2}-b^{2}-r^{2} (अतिपरवलय)
(ii)ध्रुव नाभि पर: \frac{b^{2}}{p^{2}}=\frac{2 a}{r}-1 (दीर्घवृत्त)
\frac{b^{2}}{p^{2}}=1 \pm \frac{2 a}{r}(अतिपरवलय)
(4.)समकोणिक सर्पिल (Equiangular spiral):

p=r \sin \phi
यदि सर्पिल के किसी बिन्दु पर ध्रुवीय रेखा एवं स्पर्शरेखा के मध्य कोण \phi=\alpha लें,जो अचर रहता है तो पदिक समीकरण

p=r \sin \alpha
(5.)वक्र x^{n}=a^{n} \cos n \theta ,तब पदिक समीकरण

x^{n+1}=a^{n} p
दिए हुए सकेन्द्र कक्षा के समीकरण के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना
(For a given equation of central orbit,find the central force):
एक कण किसी दीर्घवृत्त में इस प्रकार गमन करता है कि उस पर लगा बल सर्वदा दीर्घवृत्त की नाभि की ओर दिष्ट हो तो बल नियम ज्ञात करना तथा किसी बिन्दु पर कण का वेग ज्ञात करना।
(A particle moves in an ellipse under its focus; to find the law of force and velocity at any point of its path.)
क्योंकि कण एक ऐसे बल के अधीन दीर्घवृत्त में गमन करता है जो सर्वदा एक नियत बिन्दु (दीर्घवृत्त की नाभि)की ओर दिष्ट है, इसलिए बल केन्द्रीय है और इस प्रकार केन्द्रीय बल के अधीन कण द्वारा निर्मित दीर्घवृत्त संकेन्द्र कक्षा है।हम जानते हैं कि संकेन्द्र कक्षा का अवकल समीकरण होता है:

\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u=\frac{P}{h^{2} u^{2}} \cdots(1)
जहां P केन्द्रीय बल है।
जब नाभि पर ध्रुव हो तब दीर्घवृत्त का ध्रुवीय समीकरण

\frac{1}{r}=1+e \cos \theta \Rightarrow u=\frac{1}{l}+\frac{e}{l} \cos \theta \\ \Rightarrow\left(\frac{d u}{d \theta}\right)=-\left(\frac{e}{l}\right) \sin \theta तथा \left(\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right)=-\left(\frac{e}{l}\right) \cos \theta
(1) में u, \left(\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right) का मान प्रतिस्थापित करने पर-

-\left(\frac{e}{l}\right) \cos \theta + \left(\frac{1}{l}\right)+\left(\frac{e}{l}\right) \cos \theta=\frac{P}{h^{2} u^{2}} \\ \Rightarrow P=\frac{h^{2} u^{2}}{l}=\frac{\mu}{r^{2}} [ जहाँ \mu=\frac{h^{2}}{l}]
अतः केन्द्रीय बल नाभि से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होगा।
(पुनः \mu=\frac{h^{2}}{l} ) \Rightarrow h=\sqrt{(\mu l)} \\ = \sqrt {\mu \times \text {(अर्ध नाभिलम्ब)}}
दीर्घवृत्त के किसी बिन्दु पर वेग के लिए:
सकेन्द्र कक्षा के किसी बिन्दु पर वेग v का सूत्र होता है

v^{2}=h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]
इस सूत्र में‌ h,u तथा \frac{du}{d \theta} का मान प्रतिस्थापित करने पर-

v^{2} =\mu l \left[\left(\frac{1+e \cos \theta}{l}\right)^{2} + \left(-\frac{e \sin \theta}{l}\right)^{2}\right]\\ =\left(\frac {\mu}{l}\right)\left[1+e^{2}+2 e \cos \theta\right] \\ =\left(\frac{\mu}{l}\right)\left[2(1+e \cos \theta)-\left(1-e^{2} \right)\right] \\ =\mu \left[2\left(\frac{1+e \cos \theta}{l}\right)-\left(\frac{1-e^{2}}{l}\right)\right] \\ =\mu \left[\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right]
जहां 2a दीर्घवृत्त का दीर्घाक्ष है तथा

\ell=\frac{b^{2}}{a}=\left\{a^{2} \frac{\left(1-e^{2}\right)}{a}\right\}=a\left(1-e^{2}\right)
अतः दीर्घवृत्त के किसी बिन्दु पर वेग v निम्न समीकरण से प्राप्त होता है:

v^{2}=\mu \left[\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right]
परिक्रमण काल (Periodic Time):हम जानते हैं कि त्रिज्या खण्डीय क्षेत्रफल निर्माण की दर (sectorial velocity) अचर \frac{h}{2} है।यदि पूरे दीर्घवृत्त के निर्माण का समय (अर्थात् परिक्रमण काल ) T है तो

\left(\frac{h}{2}\right) T=\pi a b \\ \Rightarrow T=\frac{2 \pi a b}{\sqrt{\mu (\frac{b^2}{a})}}=\frac{2 \pi }{\sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}}
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2.सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना के उदाहरण (Find Central Force For Central Orbit Examples)-

एक कण निम्न वक्र में केन्द्रीय बल P के अधीन चलता है, जहां बल केन्द्र ध्रुव है।प्रदर्शित कीजिए कि बल निम्न प्रकार है:
(A particle descibes the following curves under a central force P, when pole is the centre of force.Show that the force is as follows):
Example:1.r=a\left(\frac{\cosh \theta+1}{\cosh \theta-2}\right) ; P \alpha \frac{1}{r^{4}}
Solution-r=a\left(\frac{\cosh \theta+1}{\cosh \theta-2}\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{u}=a\left(\frac{\cosh \theta+1}{\cosh \theta-2}\right)
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेकर \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\log 1-\log u=\log a+\log (\cosh \theta+1)-\log (\cosh \theta- 2) \\ \Rightarrow-\log u=\log a+\log (\cosh \theta+1)-\cos (\cosh \theta-2) \\ -\frac{1}{u} \frac{d u}{d \theta}=0+\frac{\sinh \theta}{\cosh \theta+1}-\frac{\sin h \theta}{\cosh \theta-2} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=-u \frac{\sin h \theta}{\cosh \theta+1}+\frac{u \sinh \theta}{\cosh \theta-2} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta} =u \sinh \theta\left[\frac{-\cosh \theta+2+\cosh \theta+1}{(\cosh \theta+1)(\cosh \theta-2)}\right]\\ \Rightarrow \frac{d y}{d \theta} =\frac{3 u \sinh \theta}{(\cosh \theta+1)(\cosh \theta-2)} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=\frac{\sinh \theta}{(\cosh \theta+1) (\cosh \theta-2) } \frac{1}{a} \frac{(\cosh \theta-2)}{(\cosh \theta+1)} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=\frac{3}{a} \cdot \frac{\sinh \theta}{(\cosh \theta+1)^{2}}
पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}} =\frac{3}{a}\left[\frac{(\cosh \theta+1)^{2} \cosh \theta-\sinh \theta \cdot 2(\cosh \theta+1) \sinh \theta}{(\cosh \theta+1) ^{4}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}} =\frac{3}{a}\left[\frac{(\cosh \theta+1)(\cosh \theta)-2 \sinh ^{2} \theta}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right] \\ =\frac{3}{a} \left[\frac{\cosh ^{2} \theta+\cosh \theta-2 \sinh ^{2} \theta}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=\frac{3}{a}\left[\frac{1+\cosh \theta-\sinh ^{2} \theta}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right]\left[\because \cosh ^{2} \theta-\sinh ^{2} \theta=1 \right] \\ =\frac{3}{a}\left[\frac{1+\cosh \theta+1-\cosh ^{2} \theta}{(\cosh \theta+1)^ {3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=\frac{3}{a}\left[\frac{2+\cosh \theta-\cosh ^{2} \theta}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=\frac{3}{a}\left[\frac{2+2 \cosh \theta-\cosh \theta-\cosh ^{2} \theta}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}} =\frac{3}{a}\left[\frac{ 2(\cosh \theta+1)-\cosh \theta(\cosh \theta+1)]}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right] \\ =\frac{3}{a}\left[\frac{(\cosh \theta+1)(\cosh \theta-2)}{(\cosh \theta+1)^{3}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=-\frac{3(\cosh \theta-2)}{a(\cosh \theta+1)^{2}}
ध्रुव बिन्दु की ओर बल के अधीन संकेन्द्र कक्षा का अवकल समीकरण

\frac{P}{h^{2} u^{2}} =\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u \\ =\frac{-3(\cosh \theta-2)}{a(\cosh \theta+1)^{2}}+u \\ =- \frac{3(\cosh \theta-2)}{a(\cosh \theta+1)^{2}}+\frac{1}{a} \frac{(\cosh \theta-2)}{(\cosh \theta+1)} \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{-3(\cosh \theta-2)+(\cosh \theta-2)(\cosh \theta+1)}{(\cosh \theta+1)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{-3 \cosh \theta+6+\cosh ^{2} \theta-\cosh \theta-2}{(\cosh \theta+1)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{a}\left[\frac{\cosh ^{2} \theta-4 \cosh \theta+4}{(\cosh  \theta+1)^{2}}\right] \\ =\frac{1}{a}\left(\frac{\cosh \theta-2}{\cosh \theta+1}\right)^{2} \\ \Rightarrow \frac{P}{h^{2} u^{2}}=\frac{1}{a} \cdot a^{2} u^{2} \\ \Rightarrow P=a h^{2} u^{4} \\ \Rightarrow P=\frac{a h^{2}}{r^{4}} \quad\left[ u=\frac{1}{r}\right] \\ P \alpha \frac{1}{r^{4}}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।
Example:2.r^{n}=A \cos n \theta+B \sin n \theta ; \quad P \alpha \frac{1}{r^{2 n+3}}
Solution–r^{n}=A \cos n \theta +B \sin n \theta \\ \frac{1}{u^{n}}=A \cos n \theta+B \sin n \theta\left[\therefore r=\frac{1}{u}\right]
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac{n}{u^{n+1}} \frac{d u}{d \theta}=-A n \sin n \theta+B n \cos n \theta \\ \Rightarrow-\frac{n}{u^{n+1}} \frac{d u}{d \theta}=-A \sin n \theta+B \cos n \theta \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=u^{n+1}(A \sin n \theta-B \cos n \theta)
पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}} =(n+1) u^{n} \frac{d u}{d \theta}(A \sin n \theta-B \cos n \theta)+ u^{n+1}(A n \cos n \theta+B n \sin n \theta) \\ \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=(n+1) u^{n} \cdot\left[u^{n+1}(A \sin n \theta-B \cos n \theta)\right](A \sin n \theta -B \cos n \theta)+u^{n+1}(A n \cos n \theta+B n \sin n \theta) \\ =u^{n+1} \left[ (n+1) u^{n}(A \sin n \theta-B \cos n \theta)\right]^{2}+(A n \cos n \theta+B n \sin n \theta)
u^{n} का मान रखने पर-

=u^{n+1}\left[\frac{(n+1)(A \sin n \theta-B \cos n \theta)^{2}}{(A \cos n \theta+B \sin n \theta)}+(A \cos n \theta+B n \sin n \theta)\right] \\ =u^{n+1}\frac{(n+1)(A \sin n \theta-B \cos n \theta)^{2}+n (A \cos n \theta+B \sin n \theta)^{2}}{(A \cos n \theta +B \sin n \theta)} \\ =u^{n+1} \frac{\begin{pmatrix} n A^{2} \sin ^{2} n \theta+n B^{2} \cos ^{2} n \theta -2 A B n \sin \theta \cos n \theta \\ +A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta-2 A B \sin \theta \cos n \theta \\ +A^{2} n \cos ^{2} n \theta +B^{2} n \sin ^{2} n \theta+2 AB n \cos n \theta \sin \theta \end{pmatrix}}{A \cos n \theta+B \sin n \theta} \\ = u^{n+1} \frac{\begin{pmatrix} n A^{2}(\sin ^{2} n \theta+\cos ^{2} n \theta)+n B^{2}(\sin ^{2} n \theta+\cos ^{2} n \theta) \\ +A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta-2 A B \sin n \theta \cos n \theta \end{pmatrix}} {A \cos n \theta+B \sin n \theta} \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=u^{n+1}\left[\frac{n A^{2}+n B^{2}+A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta-2 A B \sin n \theta \cos  n \theta}{A \cos n \theta+B \sin n \theta}\right]
ध्रुव बिन्दु की ओर बल के अधीन संकेन्द्र कक्षा का अवकल समीकरण

\frac{P}{h^{2} u^{2}}=\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u \\ \Rightarrow \frac{P}{h^{2} u^{2}} =u^{n+1}\left[\frac{n A^{2}+n B^{2}+A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta-2 A B \sin n \theta \cos n \theta}{A \cos n \theta+B \sin n \theta}\right]+u \\ \Rightarrow \frac{P}{h^{2} u^{2}}=u\left[\frac{u^{n}\left(n A^{2}+n B^{2}+A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta-2 A B \sin n \theta \cos n \theta\right)}{(A \cos n \theta+B \sin n \theta)}+1\right]
u^{n} का मान रखने पर-

\Rightarrow \frac{P}{h^{2} u^{2}} =u\left[\frac{n A^{2}+n B^{2}+A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta-2 A B \sin n \theta \cos n \theta}{(A \cos n \theta+B \sin n \theta)^{2}}+1\right] \\ =u  \frac{\begin{pmatrix} n A^{2}+n B^{2}+A^{2} \sin ^{2} n \theta+B^{2} \cos ^{2} n \theta \\ -2 A B \sin n \theta \cos n \theta+A^{2} \cos ^{2} n \theta \\+B^{2} \sin ^{2} n \theta+2 A B \sin n \theta \cos n \theta \end{pmatrix} }{(A \cos n \theta+B \sin n \theta)^{2}} \\ =u\left[\frac{n A^{2}+n B^{2}+ A^{2}\left(\sin ^{2} n \theta+\cos ^{2} n \theta\right)+B^{2}\left(\cos ^{2} n \theta+\sin ^{2} n \theta\right)}{(A \cos n \theta+B \sin n \theta )^{2}}\right] \\ =u \left[\frac{n A^{2}+n B^{2}+A^{2}+B^{2}}{(A \cos n \theta+B \sin n \theta)^{2}} \right]\\ =\frac{u(n+1)\left(A^{2}+B^{2}\right)}{(A \cos n \theta+B \sin n \theta)^{2}} \\=(n+1)\left(A^{2} +B^{2}\right) u \cdot u^{2 n} \quad\left[\frac{1}{u^{n}}=A \cos n \theta+B \sin \theta\right] \\ \Rightarrow \frac{P}{h^{2} u^{2}}=(n+1)\left(A^{2}+B^{2}\right) u^{2 n+1} \\ \Rightarrow P=(n+1)\left(A^{2}+B^{2}\right) h u^{2 n+3} \\ \Rightarrow P=\frac{(n+1)\left(A^{2}+B^{2}\right) h}{r^{2 n+3}}\left[\therefore u=\frac{1}{r}\right] \\ \Rightarrow P \alpha \frac{1}{r^{2 n+3}}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।

Find Central Force For Central Orbit

Example:3.a^{2} u^{2}=\frac{\cosh 2 \theta-1}{\cosh 2 \theta+2} ; p \alpha \frac{1}{r^{7}}
Solution–a^{2} u^{2}=\frac{\cosh 2 \theta-1}{\cosh 2 \theta+2}
दोनों पक्षों का लघुगुणक लेने पर-

\log \left(a^{2} u^{2}\right)=\frac{\log (\cosh 2 \theta-1)}{(\cos h 2 \theta+2)} \\ \Rightarrow \log (a u)^{2}=\log (\cosh 2 \theta-1)-\log (\cosh 2 \theta+2) \\ \Rightarrow 2 \log a+2 \log u=\log (\cosh 2 \theta-1)-\log (\cosh 2 \theta+2)
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

0+\frac{2}{u} \cdot \frac{d u}{d \theta}=\frac{2 \sinh 2 \theta}{\cosh 2 \theta-1}-\frac{2 \sinh 2 \theta}{\cosh 2 \theta+2} \\ \Rightarrow 2\left(\frac{1}{u} \frac{d u}{d \theta}\right)=2 \sinh 2 \theta\left[\frac{1}{\cosh 2 \theta-1}-\frac{1}{\cosh 2 \theta+2}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d \theta}= \sinh 2 \theta\left[\frac{\cosh 2 \theta+2-\cosh 2 \theta+1}{(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{u} \frac{d u}{d \theta}=\frac{3 \sin h 2 \theta}{(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)} \\ \Rightarrow \frac{d u}{d \theta}=\frac{3u \sinh 2 \theta}{(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)}
पुनः \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=3 \frac{\begin{pmatrix} (\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)\left[\frac{d u}{d \theta} \sinh 2 \theta+2 u \cosh 2 \theta\right]\\-u \sinh 2 \theta[2 \sinh 2 \theta(\cosh 2 \theta+2)+2 \sinh 2 \theta (\cosh 2 \theta-1)\end{pmatrix}}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}} \\ =3 \frac{ \begin{pmatrix} (\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2) \\ \left\{\frac{3u \sinh 2 \theta \cdot \sinh 2 \theta}{(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)}+2u \cosh 2 \theta \right\}\\-2 u \sinh^{2} 2 \theta(\cosh 2 \theta +2+ \cosh 2 \theta -1) \end{pmatrix}}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}} \\ =\frac{3\left[3 u \sinh ^{2} 2 \theta+2 u \cosh 2 \theta(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)-2 u \sinh ^{2} 2 \theta(2 \cosh 2 \theta+1)\right]}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}} \\ =3u \frac{3 \sinh ^{2} 2 \theta+2 \cosh 2 \theta\left(\cosh ^{2} 2 \theta+\cosh 2 \theta-2 \right)-2 \sinh ^{2} 2 \theta(2 \cosh 2 \theta+1)}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}} \\ = 3u\frac{3\left(\cosh ^{2} 2 \theta-1\right)+2 \cos h^{3} 2 \theta+2 \cosh ^{2} 2 \theta-4 \cosh 2 \theta-2\left(\cosh ^{2} 2 \theta-1\right)(2 \cosh 2 \theta+1)}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}} \\= \frac{3u \left[2 \cosh ^{3} 2 \theta+5 \cosh ^{2} 2 \theta-4 \cosh 2 \theta-3-4 \cosh ^{3} 2 \theta-2 \cosh ^{2} 2 \theta + 4 \cosh 2 \theta +2 \right]}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}} \\ = 3u \left[\frac{-2 \cosh ^{3} 2 \theta+3 \cosh ^{2} 2 \theta-1}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cos h 2 \theta+2)^{2}}\right]\\ =3u \left[\frac{-2 \cosh ^{2} 2 \theta+2 \cosh ^{2} 2 \theta+ \cosh ^{2} \theta-1}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2) ^{2}}\right] \\ =3u\left[\frac{-2 \cosh ^{2} 2 \theta(\cosh 2 \theta-1)+(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+1)}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =3 u\left[\frac{(\cosh 2 \theta-1)\left(-2 \cosh ^{2} 2 \theta+ \cosh 2 \theta+1\right)}{(\cosh 2 \theta-1)^{2}(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =3u\left[\frac{-2 \cosh ^{2} 2 \theta+2 \cosh 2 \theta-\cosh 2 \theta+1}{(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =3u \left[\frac{-2 \cosh 2 \theta(\cosh 2 \theta-1)-(\cosh 2 \theta-1)}{(\cosh 2 \theta-1)(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =3 u\left[\frac{(\cosh 2 \theta-1)(-2 \cosh 2 \theta-1)}{\left(\cosh 2 \theta-1\right)(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ \Rightarrow \frac{d^{2} u}{d \theta^{2}} =-\frac{3 u(2 \cosh 2 \theta+1)}{(\cosh 2 \theta+2)^{2}}
ध्रुव बिन्दु की ओर बल के अधीन संकेन्द्र कक्षा का अवकल समीकरण

\frac{P}{h^{2} u^{2}} =\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u \\=\frac{-3 u(2 \cosh 2 \theta+1)}{(\cosh 2 \theta+2)^{2}}+u \\ =u \left[\frac{-6 \cosh 2 \theta-3+(\cosh 2 \theta+2)^{2}}{(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =u \left[\frac{-6 \cosh 2 \theta-3+\cosh ^{2} 2 \theta+4 \cosh 2 \theta+4}{(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =u\left[\frac{\cosh ^{2} 2 \theta-2 \cosh 2 \theta+1}{(\cosh 2 \theta+2)^{2}}\right] \\ =u\left(\frac{\cosh 2 \theta-1}{\cosh 2 \theta+2}\right)^{2} \\ =u \cdot\left(a^{2} u^{2}\right)^{2} \\ =u a^{4} u^{4} \\ \Rightarrow \frac{P}{h^{2} u^{2}}=a^{4} u^{5} \\ \Rightarrow P=a^{4} h^{2} u^{7} \\\Rightarrow P=\frac{a^{4} h^{2}}{r^{7}} \quad\left[\because u=\frac{1}{r}\right] \\ \Rightarrow P \propto \frac{1}{r^{7}}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।
Example:4.r^{2}=2 a p \quad ; P \propto \frac{1}{r^{5}}
Solution–r^{2}=2 a p \cdots(1)
r के सापेक्ष अवकलन करने पर-

2 r=2 a \frac{d p}{d r} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d r}=\frac{r}{a}
संकेन्द्र कक्षा का पदिक रूप में अवकल समीकरण-

\frac{h^{2}}{p^{3}} \cdot \frac{d p}{d r}=P=\frac{\mu}{r^{2}} \\ \Rightarrow \frac{h^{2}}{p^{3}} \cdot \frac{r}{a}=P \\ \Rightarrow P=\frac{h^{2} r}{a p^{3}}
p का मान समीकरण (1) से रखने पर-

\Rightarrow P=\frac{h^{2} r}{a \cdot\left(\frac{r^{2}}{2 a}\right)^{3}} \\ \Rightarrow P=\frac{h^{2} r}{a \cdot \frac{r^{6}}{8 a^{3}}} \\ \Rightarrow P=\frac{8 h^{2} a^{2}}{r^{5}} \\ \Rightarrow P \propto \frac{1}{r^{5}}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।
Example:5.\frac{b^{2}}{p^{2}}=\frac{2 a}{r}+1 \quad ; p \propto \frac{2}{r^{2}}
Solution–\frac{b^{2}}{p^{2}}=\frac{2 a}{r}+1 \cdots(1)
r के सापेक्ष अवकलन करने पर-

-\frac{2 b^{2}}{p^{3}} \cdot \frac{d p}{d r}=-\frac{2 a}{r^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d p}{d r}=\frac{a p^{3}}{b^{2} r^{2}} \cdots(2)
संकेन्द्र कक्षा का पदिक रूप में अवकल समीकरण-

\frac{h^{2}}{p^{3}} \cdot \frac{d p}{d r}=P=\frac{\mu}{r^{2}} \\ \Rightarrow P=\frac{h^{2}}{p^{3}} \cdot \frac{d p}{d r} \\ \Rightarrow P =\frac{h^{2}}{p^{3}} \cdot \frac{a p^{3}}{b^{2} r^{2}} \\ \Rightarrow P=\frac{a h^{2}}{b^{2}} \cdot\left(\frac{1}{r^{2}}\right) \\ \Rightarrow p \propto \frac{1}{r^{2}}

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।
Example-6.यदि r दूरी पर त्वरण \frac{\mu}{r^{5}} है और कोई कण बल केन्द्र O से a दूरी पर दिशा त्रिज्या से  \alpha कोण पर \sqrt{\left(\frac{\mu}{2 a^{4}}\right)} वेग से प्रक्षिप्त होता है तो सिद्ध कीजिए कि कक्ष एक वृत्त है।
(If the acceleration at a distance r is and the particle is projected at a distance a from the centre of force O with velocity at an angle to the radius vector,prove that the orbit is a circle.)
Solution–p=r \sin \phi
r=a तथा \phi=\alpha \\ \Rightarrow p=a \sin \alpha \\ \frac{1}{p^{2}}=u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}=\frac{1}{(a \sin \alpha)^{2}}
प्रारम्भ में r=a अतः u=\frac{1}{a}

v=\sqrt{\left(\frac{\mu}{2 a^{4}}\right)} तथा  u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{P_{0}^{2}}=\frac{1}{a^{2} \sin ^{2} \alpha} \\ \frac{v^{2}}{2}=-\int_{\infty}^{a} p d r=-\int_{\infty}^{a} \frac{\mu}{r^{5}} dr=\left[\frac{\mu}{4 r^{4}}\right]_{\infty}^{0}=\frac{\mu}{4 a^{4}}
पथ का अवकल समीकरण-

h^{2}\left[u+\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}\right]=\frac{P}{u^{2}}=\frac{\mu u^{5}}{u^{2}}=\mu u^{3} \cdots(1)
दोनों पक्षों को 2 \left(\frac{d u}{d \theta}\right) से गुणा करके,समाकलन करने पर-

h^{2}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\frac{2 \mu u^{4}}{4}+A \\ \Rightarrow v^{2}=h^{2} \left[u^{2}+\left(\frac{du}{d \theta}\right)^{2}\right]=\frac{1}{2} \mu a^{4}+A \cdots(2) \\ h^{2}=\frac{\mu \sin ^{2} \alpha}{2 a^{2}} तथा  A=0
h^{2} तथा A का मान समीकरण (2) में रखने पर-

\frac{\mu \sin ^{2} \alpha}{2 a^{2}}\left[u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}\right]=\frac{\mu u^{4}}{2} \\ \Rightarrow u^{2}+\left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}=\frac{a^{2} u^{4}}{\sin ^{2} \alpha} \\ \Rightarrow \left(\frac{d u}{d \theta}\right)^{2}=\frac{a^{2} u^{4}}{\sin ^{2} \alpha}-u^{2}
u=\frac{1}{r},\frac{d u}{d \theta}=-\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d \theta} रखने पर-

\left(-\frac{1}{r} \frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{r^{4} \sin ^{2} \alpha}-\frac{1}{r^{2}} \\ \Rightarrow \left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}=a^{2}\left(cosec ^{2} \alpha-r^{2}\right) \\ \Rightarrow \frac{dr}{d \theta}= \sqrt{a^{2} cosec^{2} \alpha-r^{2}} \\ d \theta=\frac{d r}{\sqrt{a^{2} \operatorname{cosec}^{2} \alpha-r^{2}}}
समाकलन करने पर- \theta=\sin^{-1} \left(\frac{r}{a \operatorname{cosec} \alpha}\right)+B
प्रारम्भ में r=a, \theta=\alpha तब B=0

\theta=\sin^{-1} \left(\frac{r}{ a \operatorname{cosec} \alpha}\right) \Rightarrow r=(a \operatorname{cosec} \alpha) \sin \theta
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।

3.सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना की समस्याएं (Find Central Force For Central Orbit Problems)-

Find Central Force For Central Orbit

(1.)संकेन्द्र कक्षा के किसी बिन्दु पर वेग एक वृत्तीय संकेन्द्र कक्षा के एक बिन्दु जिसकी ध्रुव से दूरी उतनी ही है जितनी कि पहले बिन्दु की है,के वेग के \frac{1}{n} भाग के बराबर है।प्रदर्शित कीजिए कि केन्द्रीय बल \frac{1}{r^{2n^{2}+1}} के समानुपाती है तथा सकेन्द्र कक्षा समीकरण है:
(The velocity at any point of a central orbit is th of What it be for a circular orbit at the same distance; Show that the central force varies as \frac{1}{r^{2n^{2}+1}} and the equation to the orbit is \frac{1}{n}

r^{n^{2}-1}=a^{n^{2}-1} \cos (n^{2}-1) \theta
(2.)एक इकाई संहति का कण समानकोणिक सर्पिल में (समान कोण \alpha) एक बल के अधीन जो कि सर्वदा कण तथा सर्पिल के ध्रुव से मिलाने वाले रेखा के लम्बवत् चलता है।प्रदर्शित करो कि बल \mu r^{2 \sec^{2} \alpha-3} है तथा त्रिज्या खण्डीय क्षेत्रफल की निर्माण दर \frac{1}{2} \sqrt{\left( \mu \cos \alpha \sin \alpha \right)} r^{\sec ^{2} \alpha}  है।
(A particle of unit mass describes an equiangular spiral , of angle \alpha ,under a force which is always in a direction perpendicular to the straight line joining the particle to the pole of the spiral.Show that the force is \mu r^{2 \sec^{2} \alpha-3},and that the rate of description of sectorial area about the pole is. \frac{1}{2} \sqrt{\left( \mu \cos \alpha \sin \alpha \right)} r^{\sec ^{2} \alpha} )
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit) के बारे में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

Find Central Force For Central Orbit

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सकेन्द्र कक्षा के लिए केन्द्रीय बल ज्ञात करना (Find Central Force For Central Orbit),संकेन्द्र कक्षा (Central Orbit) को समझ सकते हैं।