Factorisation of Polynomials Class 9
1.बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9), गणित में बहुपद के गुणनखण्डन (Factorisation of Polynomials in Maths):
बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9) में गुणनखण्डन की प्रक्रिया की तब तक पुनरावृत्ति करते रहते हैं जब तक कि बहुपद के सभी व्यंजक रैखिक (Linear) रूप में न आ जाए या फिर उन व्यंजकों के रूप में जिनका आगे गुणनखण्ड करना सम्भव नहीं हो।
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2.बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 के साधित उदाहरण (Factorisation of Polynomials Class 9 Solved Examples):
Example:1.बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x+1 है:
1(i): x^{3}+x^{2}+x+1
Solution: p(x)=x^{3}+x^{2}+x+1 \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ P(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1 \\ =-1+1-1+1 \\=2-2 \\ =0 \\ \Rightarrow P(-1)=0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x+1 बहुपद का गुणनखण्ड है।
1(ii): x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1
Solution: P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \\ P(-1) =(-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1 \\ =1-1+1-1+1 \\ =3-2 \\ \Rightarrow P(-1) =1 \neq 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x+1 बहुपद का गुणनखण्ड नहीं है।
1(iii): x^{4}+3 x^{3}+3 x^{2}+x+1
Solution: p(x)=x^{4}+3 x^{3}+3 x^{2}+x+1 \\ P(-1)=(-1)^{4}+3(-1)^{3}+3(-1)^{2}+(-1)+1 \\ =1-3+3-1+1 \\ \Rightarrow p(-1)=1 \neq 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x+1 बहुपद का गुणनखण्ड नहीं है।
1(iv): x^{3}-x^{2}-(2+\sqrt{2}) x+\sqrt{2}
Solution: p(x)=x^{3}-x^{2}-(2+\sqrt{2}) x+\sqrt{2} \\ p(-1)=(-1)^{3}-(-1)^{2}-(2+\sqrt{2})(-1)+\sqrt{2} \\ \Rightarrow p(-1)=-1-1+2+\sqrt{2}+\sqrt{2} \\ \Rightarrow p(-1)=2 \sqrt{2} \neq 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x+1 बहुपद का गुणनखण्ड नहीं है।
Example:2.गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं:
2(i): p(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1, g(x)=x+1
Solution: p(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1 \\ g(x)=x+1 \\ \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1 \\ p(-1) =2(-1)^{3}+(-1)^{2}-2(-1)-1 \\ =-2+1+2-1 \\ =3-3=0 \\ \Rightarrow p(-1) =0
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x+1 बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
2(ii): p(x)=x^{3}+3 x^{2}+1, g(x)=x+2
Solution: p(x)=x^{3}+3 x^{2}+1 \\ f(x) =x+2 \\ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \\ p(-2) =(-2)^{3}+ 3(-2)^{2}+1 \\ =-8+12+1 \\ \Rightarrow p(-2) =5
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x+2 बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।
2(iii): p(x)=x^{3}-4 x^{2}+x+6, g(x)=x-3
Solution: p(x)=x^{3}-4 x^{2}+x+6 \\ g(x)=x-3 \\ x-3=0 \Rightarrow x=3 \\ p(3)=(+3)^{3}-4(+3)^{2}+(+3)+6 \\ =+27-36+3+6 \\ =36-36 \\ \Rightarrow p(-3)=0
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा x-3 बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।
Example:3.k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x-1),p(x) का एक गुणनखण्ड होः
3(i): p(x)=x^{2}+x+k\\ x-1=0 \Rightarrow x=1
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा:
p(1)=(1)^{2}+(1)+k=0 \\ \Rightarrow 1+1+k=0\\ \Rightarrow k=-2
3(ii): p(x)=2 x^{2}+k x+\sqrt{2}
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा:
p(1)=2(1)^{2}+k(1)+\sqrt{2}=0\\ \Rightarrow 2+k+\sqrt{2}=0\\ \Rightarrow K=-(2+\sqrt{2})
3(iii): p(x)=k x^{2}-\sqrt{2} x+1
Solution:-p(x)=k x^{2}-\sqrt{2} x+1
x=1
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा:
p(1)=k(1)^{2}+\sqrt{2}(1)+1=0 \\ \Rightarrow k-\sqrt{2}+1=0 \\ \Rightarrow k=\sqrt{2}-1
3(iv): p(x)=k x^{2}-3 x+k
Solution:-p(x)=k x^{2}-3 x+k
x=1
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा:
Example:4.गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए:
4(i): 12 x^{2}-7 x+1
Solution: 12 x^{2}-7 x+1
सिरों के पदों का गुणनफल=12×1=12
12 के गुणनखण्ड:
1×12=12
2×6=12
3×4=12
इनमें से 3 व 4 का योग – 3-4=-7 है।
12 x^{2}-(3+4) x+1\\ \Rightarrow 12 x^{2}-3 x-4 x+1 \\ \Rightarrow 3 x(4 x-1)-1(4 x-1) \\ \Rightarrow (3 x-1)(4 x-1)
4(ii): 2 x^{2}+7 x+3
Solution: 2 x^{2}+7 x+3
सिरों के पदों का गुणनफल=2×3=6
6 के गुणनखण्ड:
1×6=6
2×3=6
इनमें से 1 व 6 का योग 7 है।
2 x^{2}+7 x+2 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+(1+6) x+3 \\ \Rightarrow 2 x^{2}+x+6 x+3 \\ \Rightarrow x(2 x+1)+3(2 x+1) \\ \Rightarrow(x+3)(2 x+1)
4(iii): 6 x^{2}+5 x-6
Solution: 6 x^{2}+5 x-6
सिरों के पदों का गुणनफल=6×6=36
36 के गुणनखण्ड:
1×36=36
2×18=36
3×12=36
4×9=36
6×6=36
इनमें से 4 व 9 का अन्तर 9-4=5 है।
\Rightarrow 6x^{2}+9 x-4 x-6 \\ \Rightarrow 3 x(2 x+3)-2(2 x+3) \\ \Rightarrow(3 x-2)(2 x+3)
4(iv): 3 x^{2}-x-4
Solution: 3 x^{2}-x-4
सिरों के पदों का गुणनफल=3×4=12
12 के गुणनखण्ड:
1×12=12
2×6=12
3×4=12
इनमें से 3 व 4 का अन्तर 3-4=-1 है।
\Rightarrow 3 x^{2}-(3-4) x-4 \\ \Rightarrow 3 x^{2}-3 x+4 x-4 \\ \Rightarrow 3 x(x-1)+4(x-1) \\ \Rightarrow(3 x+4)(x-1)
Example:5.गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए:
5(i): x^{3}-2 x^{2}-x+2
Solution: p(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2
अचर पद 2 के सभी गुणनखण्ड \pm 1, \pm 2 \\ P(1)=(1)^{3}-2(1)^{2}-1+2 \\ \Rightarrow p(1)=1-2-1+2=0
गुणनखण्ड प्रमेय से x-1 बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।अब p(x) को x-1 से भाग देने पर :
\begin{array}{c|c} & x^{2}-x-2 \\ \hline x-1 & x^{3}-2 x^{2}-x+2 \\ & x^{3}-x^{2} \\ & - \quad \quad + \\ \hline & -x^{2}-x+2 \\ & -x^{2}+x \\ & + \quad \quad - \\ \hline & -2 x+2 \\ & -2 x+2 \\ & + \quad \quad + \\ \hline & 0\end{array}
अतः x^{3}-2 x^{2}-x+2=(x-1)\left(x^{2}-x-2\right)
मध्य पद को विभक्त करने पर:
p(x) =(x-1)\left[x^{2}-2 x+x-2\right] \\ =(x-1)[x(x-2)+1(x-2)] \\ \Rightarrow p(x)=(x-1)(x+1)(x-2)
5(ii): x^{3}-3 x^{2}-9 x-5
Solution: p(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-5
अचर पद 5 के सभी गुणनखण्ड \pm 1, \pm 5 \\ p(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)-5 \\ =-1-3+9-5 \\ \Rightarrow p(-1)=0
गुणनखण्ड प्रमेय से x+1 बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।अब p(x) को x+1 से भाग देने पर :
\begin{array}{c|c} & x^{2}-4 x-5 \\ \hline x+1 & x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 \\ & x^{3}+x^{2} \\ & - \quad \quad - \\ \hline & -4 x^{2}-9 x+5 \\ & -4 x^{2}-4 x \\ & + \quad \quad + \\ \hline & -5 x-5 \\ & -5 x-5 \\ & + \quad \quad + \\ \hline & 0\end{array}
अतः x^{3}-3 x^{2}-9 x-5=(x+1)\left(x^{2}-4 x-5\right)
मध्य पद को विभक्त करने पर:
p(x) =(x+1)\left[x^{2}-5 x+x-5\right] \\ =(x+1)[x(x-5)+x(x-5)] \\ =(x+1)(x+1)(x-5) \\ =(x+1)^{2}(x-5)
5(iii): x^{3}+13 x^{2}+32 x+20
Solution: p(x)=x^{3}+13 x^{2}+32 x+20
अचर पद 20 के सभी गुणनखण्ड \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 10 \\ p(1) =(-1)^{3}+ 13(-1)^{2} +32(-1)+20 \\ =-1+13-32+20 \\ =33-30 \\ \Rightarrow p(-1)=0
गुणनखण्ड प्रमेय से x+1 बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।अब p(x) को x+1 से भाग देने पर :
\begin{array}{c|c} & x^{2}+12 x+20 \\ \hline x+1 & x^{3}+13 x^{2}+32 x+20 \\ & x^{3}+x^{2} \\ & - \quad \quad - \\ \hline & 12 x^{2}+32 x+20 \\ & 12 x^{2}+12 x \\ & - \quad \quad - \\ \hline & 20 x+20 \\ & 20 x+20 \\ & - \quad \quad - \\ \hline & 0\end{array}
अतः x^{3}+13 x^{2}+32 x+20=(x+1)\left(x^{2}+12 x+20\right)
मध्य पद को विभक्त करने पर:
p(x) =(x+1)\left(x^{2}+10 x+2 x+20\right) \\ =(x+1)[x(x+10)+2(x+10)] \\ \Rightarrow p(x) =(x+1)(x+2)(x+10)
5(iv): 2 y^{3}+y^{2}-2 y-1
Solution: p(y)=2 y^{3}+y^{2}-2 y-1
अचर पद 1 के सभी गुणनखण्ड \pm 1 \\ p(1) =2(1)^{3}+(1)^{2}-2 \times 1-1 \\ =2+1-2-1 \\ =3-3=0 \\ \Rightarrow p(1) =0
गुणनखण्ड प्रमेय से y-1 बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।अब p(x) को y-1 से भाग देने पर :
\begin{array}{c|c} & 2 y^{2}+3 y+1 \\ \hline y-1 & 2 y^{3}+y^{2}-2 y-1 \\ & 2 y^{3}-2 y^{2} \\ & - \quad \quad + \\ \hline & 3 y^{2}-2 y-1\\ & 3 y^{2}-3 y \\ & - \quad \quad + \\ \hline & y-1 \\ & y-1 \\ & - \quad \quad + \\ \hline & 0\end{array}
अतः 2 y^{3}+y^{2}=2 y(y-1)+2(y-1)\left(2 y^{2}+3 y+1\right)
मध्य पद को विभक्त करने पर:
p(y)=(y-1)\left(2 y^{2}+2 y+y+1\right) \\ =(y-1)[2 y(y+1)+1(y+1)\\ \Rightarrow p(y) =(y-1)(y+1)(2 y+1)
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9), गणित में बहुपद के गुणनखण्डन (Factorisation of Polynomials in Maths) को समझ सकते हैं।
2.बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 के सवाल (Factorisation of Polynomials Class 9 Questions):
(1.)गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके निश्चित कीजिए कि क्या g(x),f(x) का गुणनखण्ड है:
(i) f(x)=x^{3}+x^{2}+3 x+175, g(x)=x+5
(ii) f(x)=8 x^{4}+12 x^{3}-8 x+4, g(x)=x-1
(2.)गुणनखण्ड कीजिए:
(i) x^{3}-2 x^{2}-x+2 (ii) 3 x^{2}-4 x^{2}-12 x+16
उत्तर (Answers) :1(i)नहीं
1(ii)नहीं
2(i) (x-1)^{2}(x+1) (ii)(x-2)(x+2)(3x-4)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9), गणित में बहुपद के गुणनखण्डन (Factorisation of Polynomials in Maths) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9), गणित में बहुपद के गुणनखण्डन (Factorisation of Polynomials in Maths) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.गुणनखण्ड प्रमेय को सिद्ध करो। (Prove the Factorisation Theorem):
उत्तर:प्रमेय (Theorem):यदि p(x) घात वाला एक बहुपद हो और a कोई वास्तविक संख्या हो तो:
(i)x-a, p(x) का एक गुणनखण्ड होता है,यदि p(a)=0 हो और
(ii) p(a)=0 होता है यदि x-a, p(x) का एक गुणनखण्ड हो।
उपपत्ति:शेषफल प्रमेय द्वारा p(x)=(x-a) q(x)+p(a)
(i) यदि p(a)=0 तब p(x)=(x-a) q(x) जो दर्शाता है कि x-a, p(x) का एक गुणनखण्ड है।
(ii) चूँकि x-a, p(x) का एक गुणनखण्ड है तो किसी बहुपद g(x) के लिए p(x)=(x-a) g(x) होगा। इस स्थिति में p(a)=(a-a) g(a)=0
प्रश्न:2.द्विघाती बहुपद के गुणनखण्ड कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the factors of quadratic Polynomial?):
उत्तर:द्विघाती बहुपद के गुणनखण्ड ज्ञात करने की कई विधियां हैं:
गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा,मध्य पद को विभक्त करके, वैदिक पद्धति से,तर्क विधि इत्यादि।
प्रश्न:3.त्रिघाती बहुपद के गुणनखण्ड कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the factors of cubic Polynomial?):
उत्तर:गुणनखण्ड प्रमेय द्वारा,वैदिक पद्धति से,तर्क विधि इत्यादि से त्रिघाती बहुपद के गुणनखण्ड ज्ञात किए जा सकते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9), गणित में बहुपद के गुणनखण्डन (Factorisation of Polynomials in Maths) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9
(Factorisation of Polynomials Class 9)
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बहुपद के गुणनखण्डन कक्षा 9 (Factorisation of Polynomials Class 9) में गुणनखण्डन
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About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
