1.घन और घनाभ का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण का परिचय (Introduction to Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Cube and Cuboid Class 9):

Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid

घन और घनाभ का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid) के इस आर्टिकल में घन और घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.घन और घनाभ का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid):

Example:1.एक घन की कोर 5 सेमी है।उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:घन की भुजा=5 सेमी
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
=6(\text { भुजा })^2 \\ =6 \times 5^2 \\ =150 वर्गसेमी
घन का आयतन=\text { भुजा }^3 \\ =5^3
=125 घनसेमी
Example:2.एक सन्दूक की लम्बाई 50 सेमी,चौड़ाई 36 सेमी और ऊँचाई 25 सेमी है।सन्दूक का आयतन ज्ञात कीजिए।इस सन्दूक का कवर बनाने में कितने वर्गसेमी कपड़े की आवश्यकता होगी?
Solution:सन्दूक की लम्बाई (l)=50 सेमी
चौड़ाई (b)=36 सेमी
ऊँचाई (h)=25 सेमी
सन्दूक का आयतन=lbh
=50×36×25
=45,000 घनसेमी
सन्दूक का कवर बनाने में कपड़े की आवश्यकता
=2(lb+bh+lh)
=2(50×36+36×25+50×25)
=2×3950
=7900 वर्गसेमी
Example:3.एक 35 सेमी लम्बे,22 सेमी चौड़े और 6 सेमी ऊँचे डिब्बे में 11 सेमी×7 सेमी×1.5 सेमी माप की कितनी कैसेटें रखी जा सकती हैं?
Solution:डिब्बे की लम्बाई (l)=35 सेमी
चौड़ाई (b)=22 सेमी
ऊँचाई (h)=6 सेमी
डिब्बे का आयतन=lbh
=35×22×6 घनसेमी
कैसेट की लम्बाई=11 सेमी
कैसेट की चौड़ाई=7 सेमी
कैसेट की ऊँचाई=1.5 सेमी
कैसेट का आयतन=लम्बाई×चौड़ाई×ऊँचाई
=11×7×1.5 घनसेमी
कैसेटों की संख्या=\frac{\text{डिब्बे का आयतन}}{\text{कैसेट का आयतन}} \\ =\frac{35 \times 22 \times 6 \times 10}{11 \times 7 \times 15} \\ =\frac{46200}{1155} \\ =40
Example:4.6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में 180 घनमीटर हवा है।कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:माना कमरे की ऊँचाई=h
कमरे का आयतन=लम्बाई×चौड़ाई×ऊँचाई
\Rightarrow 6 \times 6 \times h=180 \\ \Rightarrow h =\frac{180}{6 \times 6} \\ \Rightarrow h =5  मीटर 
Example:5.एक घन का आयतन 512 घनमीटर है।उसकी एक भुजा ज्ञात कीजिए।
Solution:घन का आयतन= (\text { भुजा })^3 \\ \Rightarrow(\text { भुजा })^3=512 \\ \Rightarrow \text { भुजा }=\sqrt[3]{512} \\ = \sqrt[3]{8 \times 8 \times 8} \\ =\left(8^3\right)^{\frac{1}{3}} \\ =8 \\ \Rightarrow \text { भुजा }= 8 मीटर
Example:6.लकड़ी के एक बन्द सन्दूक की बाह्य लम्बाई 120 सेमी,चौड़ाई 48 सेमी तथा ऊँचाई 34 सेमी है।यदि लकड़ी की मोटाई 2 सेमी है,तो लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:लकड़ी के सन्दूक की बाह्य लम्बाई=120 सेमी
बाह्य चौड़ाई=48 सेमी
बाह्य ऊँचाई=34 सेमी
लकड़ी के सन्दूक की अन्दर की लम्बाई=120-2×2
=116 सेमी
सन्दूक की अन्दर की चौड़ाई=48-2×2=44 सेमी
सन्दूक की अन्दर की ऊँचाई=34-2×2=30 सेमी
लकड़ी सहित सन्दूक का आयतन
=लम्बाई×चौड़ाई×ऊँचाई
=120×48×34
=195840 घनसेमी
लकड़ीरहित सन्दूक का आयतन
=116×44×30
=153120 घनसेमी
लकड़ी का आयतन=195840-153120
=42720 घनसेमी
Example:7.एक घन के एक पृष्ठ (फलक) का परिमाप 28 सेमी है।घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:घन के पृष्ठ का परिमाप=4×भुजा
4×भुजा=28
\Rightarrow भुजा=\frac{28}{4}=7सेमी
घन का आयतन=\text{भुजा}^3 \\ =7^3
=343 घनसेमी

Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid

Example:8.एक घनाभ के तीन आसन्न फलकों का क्षेत्रफल क्रमशः x,y और z है।सिद्ध कीजिए कि घनाभ का आयतन \sqrt{x y z} है।
Solution:घनाभ के तीन आसन्न फलकों का क्षेत्रफल
lb=x …. (1)
bh=y ….(2)
lh=z ….. (3)
(1),(2) व (3) को गुणा करने पर:
l b \times b h \times l h=x y z \\ \Rightarrow l^2 b^2 h^2=x y z \\ \Rightarrow lbh=\sqrt{x y z}
अतः घनाभ का आयतन=\sqrt{x y z}
Example:9.घनाभ के आकार का एक हाॅल 15 मी लम्बा और 12 मी चौड़ा है।फर्श का क्षेत्रफल और सपाट छत के क्षेत्रफल का योग चारों दीवारों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।हाॅल का आयतन ज्ञात कीजिए।
Solution:माना घनाभ की लम्बाई,चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः l,b,h है।
घनाभ के आकार के हाॅल के फर्श व छत का क्षेत्रफल=2lb
=2×15×12
=360 वर्गमीटर
हाॅल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल
=2×h(l+b)=2h(15+12)
=54h
प्रश्नानुसार:
54h=360
\Rightarrow h=\frac{360}{54}=\frac{20}{3} मीटर
हाॅल का आयतन=lbh
=l b h \\ =15 \times 12 \times \frac{90}{3} \\ =1200 घनमीटर
Example:10.एक दीवार 8 मीटर लम्बी 5 मीटर ऊँची और 35 सेमी मोटी है।इस दीवार में एक दरवाजा 2मीटर×1.20मीटर का और दो खिड़कियाँ 1.20मीटर×1मीटर की हैं।दीवार बनाने का खर्च 2400 रुपये प्रति घनमीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
Solution:दीवार की लम्बाई (l)=8मीटर
दीवार की ऊँचाई (h)=5मीटर
दीवार की मोटाई (b)=35सेमी=0.35मीटर
दीवार का आयतन=lbh
=8×5×0.35
=14घनमीटर
दरवाजे की ऊँचाई (h)=2मीटर
दरवाजे की लम्बाई (l)=1.20मीटर
दरवाजे की मोटाई (b)=0.35मीटर
दरवाजे का आयतन=lbh
=2×1.20×0.35
=0.84 घनमीटर
खिड़की की ऊँचाई (h)=1.20मीटर
खिड़की की लम्बाई (l)=1मीटर
खिड़की की मोटाई (b)=0.35मीटर
दो खिड़कियों का आयतन=2lbh
=2×1×0.35×1.20
=0.84 घनमीटर
एक दरवाजे तथा दो खिड़कियों का आयतन
=0.84+0.84
=1.68घनमीटर
केवल दीवार का आयतन (एक दरवाजा+2 खिड़कियों के अलावा)=14-1.68
=12.32 घनमीटर
दीवार बनाने का खर्च=12.32×2400
=29,568 रुपये
Example:11.लकड़ी के बने एक बन्द सन्दूक की बाहरी लम्बाई,चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः 1मीटर, 85सेमी तथा 45सेमी है।यदि लकड़ी की मोटाई 2.5 सेमी हो,तो सन्दूक का भीतरी आयतन लीटर में ज्ञात कीजिए।
Solution:लकड़ी के सन्दूक की बाहरी लम्बाई
=1मीटर=100सेमी
सन्दूक की बाहरी चौड़ाई=85सेमी
सन्दूक के बाहरी ऊँचाई=45सेमी
सन्दूक के अन्दर की लम्बाई (l)=100-2×2.5
=100-5=95सेमी
\Rightarrow l=0.95मीटर
सन्दूक के अन्दर की चौड़ाई (b)=85-2×2.5
=85-5=80सेमी
\Rightarrow b=0.80मीटर
सन्दूक के अन्दर की ऊँचाई (h)=45-2×2.5
=45-5=40सेमी
\Rightarrow h=0.40मीटर
सन्दूक के अन्दर का आयतन=lbh
=0.95×0.80×0.40
=0.304घनमीटर
1000लीटर=1घनमीटर
अतः अन्दर का आयतन=0.304×1000 लीटर
=304लीटर
Example:12.एक दीवार की लम्बाई,चौड़ाई और ऊँचाई 5 मीटर,30सेमी और 3मीटर है।दीवार बनाने में 20सेमी×10सेमी×7.5सेमी नाप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी? ईंटों का भाव 150 रुपये प्रति सैकड़ा हो तो ईंटों का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
Solution:दीवार की लम्बाई (l)=5मीटर=500सेमी
दीवार की चौड़ाई (b)=30सेमी
दीवार की ऊँचाई (h)=3मीटर=300सेमी
दीवार का आयतन=lbh
=500×30×300
=4500000 घनसेमी
ईंट की लम्बाई=20सेमी
ईंट की चौड़ाई=10सेमी
ईंट की ऊँचाई=7.5सेमी
ईंट का आयतन=20×10×7.5
=1500घनसेमी
ईंटों की संख्या=\frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{ईंट का आयतन}} \\ =\frac{4500000}{1500}
=3000ईंटें
ईंटों का कुल मूल्य=300 \times \frac{150}{100}
=4500 रुपये
Example:13.एक प्लाट 30मीटर लम्बा और 20मीटर चौड़ा है।प्लाट के बाहर 15मीटर लम्बा,10मी चौड़ा और 5मीटर गहरा खड्डा खोदकर उससे निकली मिट्टी को इस प्लाट में बिछाया गया है।प्लाट में बिछाई गई मिट्टी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Solution:प्लाट की लम्बाई=30मीटर
प्लाट की चौड़ाई=20मीटर
प्लाट का क्षेत्रफल=लम्बाई×चौड़ाई
=30×20 वर्गमीटर
खड्डे की लम्बाई=15मीटर
खड्डे की चौड़ाई=10मीटर
खड्डे की गहराई=5मीटर
खड्डे से निकाली गईं मिट्टी का आयतन
=लम्बाई×चौड़ाई×गहराई
=15×10×5 घनमीटर
प्लाट में बिछाई गई मिट्टी का आयतन=\frac{\text{खड्डे का आयतन}}{\text{प्लाट का क्षेत्रफल}} \\ =\frac{15 \times 10 \times 5}{30 \times 20} \\ =1.25 मीटर
Example:14.एक मैदान 150मीटर लम्बा और 100मीटर चौड़ा है।मैदान से बाहर एक तालाब में मिट्टी खोद कर इससे निकली मिट्टी को मैदान में समान रूप से फैला दिया गया है।यदि तालाब में खोदा गया खड्डा 200मीटर लम्बा 50मीटर चौड़ा और 0.75मीटर गहरा है,तो मैदान का धरातल कितना ऊँचा उठ जाएगा।
Solution:मैदान की लम्बाई=150मीटर
मैदान की चौड़ाई=100मीटर
मैदान का क्षेत्रफल=150×100वर्गमीटर
खड्डे की लम्बाई=200मीटर
खड्डे की चौड़ाई=50मीटर
खड्डे की गहराई=0.75मीटर
खड्डे से निकाली गईं मिट्टी का आयतन
=200×50×0.75 घनमीटर
धरातल की ऊँचाई=\frac{\text{खड्डे का आयतन}}{\text{मैदान का क्षेत्रफल}} \\ =\frac{200 \times 50 \times 0.75}{150 \times 100}
=0.50मीटर

3.घन और घनाभ का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid):

Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid

(1.)बगैर ढक्कन का एक बक्सा 3सेमी मोटी लकड़ी का बना हुआ है।उसकी बाहरी लम्बाई 146सेमी,चौड़ाई 116सेमी और ऊँचाई 83सेमी है।उसके अन्दर पेन्ट की दर 2रुपये प्रति 1000वर्गसेमी है।
(2.)44मीटर लम्बी,1.5मीटर ऊँची और 35सेमी चौड़ी दीवार बनाने में 22सेमी×10सेमी×7सेमी माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
उत्तर (Answers):(1.)110.80 रुपये (2.)15000 ईंटें

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4.घन और घनाभ का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Imp Examples of Volume of Cube and Cuboid),घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल कक्षा 9 (Surface Area of Cube and Cuboid Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

घन और घनाभ का आयतन के महत्त्वपूर्ण उदाहरण (Imp Examples of Volume of Cube
and Cuboid) के इस आर्टिकल में घन और घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन पर आधारित
सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।