1.त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of Trigonometric Ratio 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios Class 10):

Examples of Trigonometric Ratio 10th

त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण (Examples of Trigonometric Ratio 10th) के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय अनुपात के मानों,पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण (Examples of Trigonometric Ratio 10th):

Example:1. \frac{\sin 45^{\circ} \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\cos 45^{\circ} \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)} का मान लिखिए ।
Solution: \frac{\sin 45^{\circ} \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\cos 45^{\circ} \sin \left(90^{\circ}-\theta\right)} \\ =\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sin \theta}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta} \left[ \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta, \sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta \right] \\ =\tan \theta
Example:2. \left[\cos 0^{\circ}-\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)\right]\left[\cos 0^{\circ}+\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)\right] का मान लिखिए।
Solution: \left[\cos 0^{\circ}-\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)\right]\left[\cos 0^{\circ}+\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)\right] \\ =(1-\cos \theta)(1+\cos \theta) \\ =1-\cos ^2 \theta \\ =\sin ^2 \theta
सिद्ध कीजिए:
Example:3. 3\left(\tan ^2 30^{\circ}+\cot ^2 30^{\circ}\right)-8\left(\sin ^2 45^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}\right)=0
Solution: 3\left(\tan ^2 30^{\circ}+\cot ^2 30^{\circ}\right)-8\left(\sin ^2 45^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}\right)=0 \\ \text { L.H.S. } 3\left(\tan ^2 30^{\circ}+\cot ^2 30^{\circ}\right)-8\left(\sin ^2 45^{\circ}+\cos ^2 30^{\circ}\right)=0 \\ =3\left[\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+(\sqrt{3})^2\right] -8\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right] \\ =3\left[\frac{1}{3}+3\right]-8\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right] \\ =3 \times \frac{10}{3}-8 \times\left(\frac{2+3}{4}\right) \\ =10-2 \times 5 \\ =10-10=0=\text { R.H.S. }
Example:4. 4\left(\sin ^4 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right)-3\left(\cos ^2 45^{\circ}-\sin ^2 90^{\circ}\right)=\frac{15}{4}
Solution: 4\left(\sin ^4 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right)-3\left(\cos ^2 45^{\circ}-\sin ^2 90^{\circ}\right)=\frac{15}{4} \\ \text { L.H.S. } 4\left(\sin ^4 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right)-3\left(\cos ^2 45^{\circ}-\sin ^2 99^{\circ}\right. \\ =4\left[\left(\frac{1}{2}\right)^4+\frac{1}{2}\right]-3\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2-(1)^2\right] \\ =4\left[\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\right]-3\left[\frac{1}{2}-1\right] \\ =4\left[\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\right]-3\left[\frac{1}{2}-1\right] \\=4\left(\frac{1+8}{16}\right)-3\left(\frac{-1}{2}\right) \\ =4 \times \frac{9}{16}+\frac{3}{2} \\ =\frac{9}{4}+\frac{3}{2} \\ =\frac{3+6}{4}=\frac{15}{4}=\text { R.H.S. }
Example:5. \tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}=1
Solution: \tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}=1 \\ \text { L.H.S. } \tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ} \\ =\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right) \tan (90^{\circ}-5) \\ =\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \cot 25^{\circ} \cot 5^{\circ} \\ =\left(\tan 5^{\circ} \cot 5^{\circ}\right)\left(\tan 25^{\circ} \cot 25^{\circ}\right) \tan 45^{\circ} \\ =(1)(1)(1) \\ =1=R.H.S.
Example:6. \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta \right)}+\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta \right)}=1
Solution: \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)} +\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}=1 \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin \theta \cos \left(90^{\circ}-\theta\right) \cdot \cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}+\frac{\cos \theta \sin \left(90^{\circ}-\theta\right) \sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)} \\ =\frac{\sin \theta \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta \cos \theta \sin \theta}{\sin \theta} \\ =\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1=R.H.S.
Example:7. यदि \theta=30^{\circ} तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
\frac{3 \cot \left(90^{\circ}-\theta\right)-\tan ^3 \theta}{1-3 \cot ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)}
Solution: \frac{3 \cot \left(90^{\circ}-\theta\right)-\tan ^3 \theta}{1-3 \cot ^2\left(90^{\circ}-\theta\right)} \\ =\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta} \\ \theta=30^{\circ} रखने पर:
=\frac{3 \tan 30^{\circ}-\tan ^3 30^{\circ}}{1-3 \tan ^2 30^{\circ}} \\ =\frac{3 \times \frac{1}{\sqrt{3}}-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3}{1-3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \\=\frac{\frac{3}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3 \sqrt{3}}}{1-\frac{3}{3}} \\ =\frac{\frac{9-1}{3 \sqrt{3}}}{1-1}=\frac{\frac{8}{3 \sqrt{3}}}{0} \\ =\infty

Examples of Trigonometric Ratio 10th

Example:8.यदि \theta=60^{\circ} तो सिद्ध कीजिए:
\left[\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+1}{\cot \left(90^{\circ}-\theta \right)}\right]^2=\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+1}{\sec \theta-1}
Solution: \left[\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+1}{\cot \left(90^{\circ}-\theta\right)}\right]^2=\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+1}{\sec \theta-1} \\ \text{L.H.S. } \left[\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-\theta\right)+1}{\cot \left(90^{\circ}-\theta\right)}\right]^2 \\ \theta=60^{\circ} रखने पर:
\left[\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-60^{\circ}\right)+1}{\cot \left(90^{\circ}- 60^{\circ}\right)} \right]^2 \\ =\left(\frac{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+1}{\cot 30^{\circ}}\right)^2 \\ =\left(\frac{2+1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ =\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\frac{9}{3}=3 \\ \text { R.H.S. } \frac{\operatorname{cosec} \left(90^{\circ}-\theta\right)+1}{\sec \theta-1} \\ \theta=60^{\circ} रखने पर:
=\frac{\operatorname{cosec}\left(90^{\circ}-60^{\circ}\right)+1}{\sec 60^{\circ}-1} \\ =\frac{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+1}{\sec 60^{\circ}-1} \\ =\frac{2+1}{2-1} \\ =\frac{3}{1}=3
L.H.S = R.H.S.
सिद्ध कीजिए:
Example:9. 4 \tan ^2 45^{\circ}-\sec ^2 60^{\circ}+\sin ^2 90^{\circ} +\cos ^2 60^{\circ}+\sin ^3 30^{\circ}=\frac{9}{8}
Solution: 4 \tan ^2 45^{\circ}-\sec ^2 60^{\circ}+\sin ^2 90^{\circ} +\cos ^2 60^{\circ}+\sin ^3 30^{\circ}=\frac{9}{8} \\ \text { L.H.S. } 4 \tan ^2 45^{\circ}-\sec ^2 60^{\circ}+\sin ^2 90^{\circ}+\cos ^2 60^{\circ} +\sin ^3 30^{\circ} \\ =4 \times(1)^2-(2)^2+(1)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3 \\ =4-4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \\ =\frac{8+2+1}{8}=\frac{9}{8}=R.H.S.
Example:10. \sqrt{\frac{1-\cos 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}}}=\tan 30^{\circ}
Solution: \sqrt{\frac{1-\cos 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}}}=\tan 30^{\circ} \\ \text { L.H.S } \sqrt{\frac{1-\cos 60^{\circ}}{1+\cos 60^{\circ}}} \\ =\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}} \\ =\sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}} \\ =\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^{\circ}=R.H.S.
Example:11. 4 \sin 30^{\circ} \sin ^2 60^{\circ}+3 \cos 60^{\circ} \tan 45^{\circ}=2 \sec 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 90^{\circ}
Solution: 4 \sin 30^{\circ} \sin ^2 60^{\circ}+3 \cos 60^{\circ} \tan 45^{\circ}=2 \sec 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 90^{\circ} \\ \text { L.H.S. } 4 \sin 30^{\circ} \sin ^2 60^{\circ}+3 \cos 60^{\circ} \tan 45^{\circ} \\ =4 \times \frac{1}{2} \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+3 \times \frac{1}{2} \times 1 \\ =2 \times \frac{3}{4}+\frac{3}{2} \\=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\\ \text { R.H.S } 2 \sec ^2 45^{\circ}-\operatorname{cosec}^2 90^{\circ}\\ =2 \times(\sqrt{2})^2-(1)^2 \\ =\frac{2 \times 2}{2}-1=2 \times 2-1=4-1=3
L.H.S =R.H.S.
Example:12. 4 \cos ^3 \frac{\pi}{6}-3 \cos \frac{\pi}{6}=0
Solution: 4 \cos ^3 \frac{\pi}{6}-3 \cos \frac{\pi}{6}=0 \\ \text { L.H.S. } 4 \cos ^3 \frac{\pi}{6}-3 \cos \frac{\pi}{6} \\ = 4 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ = 4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8}-\frac{3 \sqrt{3}}{2} \\ =\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=0=R.H.S.
Example:13. \left(1-\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{6}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{3}\right)=\frac{7}{4}
Solution: \left(1-\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{6}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{3}\right)=\frac{7}{4} \\ \text { L.H.S }\left(1-\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{6}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{3}\right) \\ =\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right) \\ =\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\=\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{9}{4}-\frac{1}{2}=\frac{9-2}{4}=\frac{7}{4}=R.H.S
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण (Examples of Trigonometric Ratio 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios Class 10) को समझ सकते हैं।

3.त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Examples of Trigonometric Ratio 10th):

Examples of Trigonometric Ratio 10th

सिद्ध कीजिए:
(1.)\frac{4}{3} \cot ^2 30^{\circ}+3 \sin ^2 60^{\circ}-2 \operatorname{cosec}^2 60^{\circ}-\frac{3}{4} \tan ^2 30^{\circ}=3 \frac{1}{3}
(2.) 4 \sin 30^{\circ} \sin ^2 60^{\circ}+3 \cos 60^{\circ} \tan 45^{\circ}=2 \sec ^2 45^{\circ}-\operatorname{cosec}^2 90^{\circ}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण (Examples of Trigonometric Ratio 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios Class 10) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.0° से 90° के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान (Values of Trigonometric Ratios from 0° to 90°):

सारणी I
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{कोण} \to & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & \text{} \\ \text{त्रिकोणमितीय}& \text{या} & \text{या} & \text{या} & \text{या} & \text{या} & \\ \text{अनुपात} \downarrow & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \text{Range}\\ \hline \sin \theta & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{7}} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0 \leq \sin \theta \leq 1\\ & & =0.5 & =0.707 & =0.866 & & 0 \text{ से } 1 \\ \hline \tan \theta & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & \infty & 0 \leq \tan \theta \leq \infty \\ & & =0.577 & & =1.732 & \text{अपरिभाषित} & 0 \text{से} \infty \\ \hline \sec \theta & 1 & \frac{2}{\sqrt{3}} & \sqrt{2} & 2 & \infty & 0 \leq \sec \theta \leq \infty \\ & & =1.154 & =1.414 & & \text{अपरिभाषित} & 1 \text{से} \infty \\ \hline \end{array}
सारणी I में दिए गए मानों से स्पष्ट प्रतीत होता है कि:
\sin 30^{\circ}>\sin 0^{\circ} , \sin 45^{\circ}>\sin 30^{\circ},\sin 60^{\circ}>\sin 45^{\circ} तथा \sin 90^{\circ} > \sin 60^{\circ} इसी प्रकार \tan 30^{\circ} > \tan 0^{\circ}, \tan 45^{\circ} > \tan 30^{\circ} , \tan 60^{\circ} > \tan 45^{\circ} तथा \tan 90^{\circ} > \tan 60^{\circ} . इसी प्रकार \sec 30^{\circ} > \sec 0^{\circ} , \sec 45^{\circ} > \sec 30^{\circ} , \sec 60^{\circ} > \sec 45^{\circ} तथा \sec 90^{\circ} > \sec 60^{\circ}
इस प्रकार कोण के 0° से 90° के तक बढ़ने पर उनके त्रिकोणमितीय अनुपात यथा \sin \theta , \tan \theta तथा \sec \theta के मान निरन्तर बढ़ते हैं।
सारणी II
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{कोण} \to & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & \text{} \\ \text{त्रिकोणमितीय}& \text{या} & \text{या} & \text{या} & \text{या} & \text{या} & \\ \text{अनुपात} \downarrow & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \text{Range}\\ \hline \operatorname{cosec} \theta & \infty & 2 & \sqrt{2} & \frac{2}{\sqrt{3}} & 1 & \infty \leq \operatorname{cosec} \theta \leq 1\\ & \text{अपरिभाषित} & & 1.414 & 1.555 & & \infty \text{से} 1 \\ \hline \cot \theta & \infty & \sqrt{3} & 1 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \infty \leq \cot \theta \leq 0 \\ & \text{अपरिभाषित} & =1.732 & & 0.577 & & \infty \text{से} 0 \\ \hline \cos \theta & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & 0 & 1 \leq \cos \theta \leq 0 \\ & & =0.866 & =0.707& 0.5 & & 1 \text{से} 0 \\ \hline \end{array}
सारणी II में दिए मानों को देखने से स्पष्ट प्रतीत होता है कि कोण \theta के 0° से 90° तक बढ़ने पर उनके त्रिकोणमितीय अनुपात यथा \operatorname{cosec} \theta , \cot  \theta तथा \cos \theta के मान निरन्तर घटते हैं।

5.चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय अनुपातों की सीमाएँ (Limits of Values of Trigonometric Ratios in Quadrants):

सारणी III
\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline & \text{I चतुर्थांश} & \text{II चतुर्थांश} & \text{III चतुर्थांश} & \text{IV चतुर्थांश} \\ \hline \sin \theta & 0 \text{ से } 1 & 1 \text{ से } 0 & 0 \text{ से } -1 & -1 \text{ से } 0 \\ \cos \theta & 1 \text{ से } 0 & 0 \text{ से } -1 & -1 \text{ से } 0 & 0 \text{ से } 1 \\ \tan \theta & 0 \text{ से } \infty & -\infty \text{ से } 0 & 0 \text{ से } \infty & -\infty \text{ से } 0 \\ \cot \theta & \infty \text{ से } 0 & 0 \text{ से } -\infty & \infty \text{ से } 0 & 0 \text{ से } -\infty \\ \sec \theta & 1 \text{ से } \infty & -\infty \text{ से } -1 & -1 \text{ से } \infty & \infty \text{ से } 1 \\ \operatorname{cosec} \theta & \infty \text{ से } 1 & 1 \text{ से } \infty & -\infty \text{ से } -1 & -1 \text{ से } -\infty \\ \hline \end{array}

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6.त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Trigonometric Ratio 10th),त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios Class 10) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिकोणमितीय अनुपात 10वीं के उदाहरण (Examples of Trigonometric Ratio 10th)
के इस आर्टिकल में त्रिकोणमितीय अनुपात के मानों,पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय
अनुपात पर आधारित सवालों को हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।