1.उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples):

Examples of Subgroups

उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups):यदि H ग्रुप (समूह) G का एक अरिक्त उपसमुच्चय है तथा G की द्विचर संक्रिया (binary operation) H में ऐसी द्विचर संक्रिया को प्रेरित (Induced Binary Composition) करें जिसके लिए H स्वयं भी ग्रुप हो तो H को ग्रुप G का उपग्रुप (उपसमूह) कहलाता है।
ग्रुप G के दो तुच्छ (Trival) उपग्रुप होते हैं इन्हें विषम उपग्रुप (Improper Subgroup) कहते हैं।(i)G (स्वयं) (ii){e},तत्समक ग्रुप
इनके अतिरिक्त अन्य सभी उपग्रुप उचित उपग्रुप (Proper Subgroup) कहलाते हैं।
प्रमेय (Theorem):4.किसी ग्रुप G एक अरिक्त उपसमुच्चय H उसका उपग्रुप होगा यदि और केवल यदि
(A non empty subset H of a group G is a subgroup of G if and only
(i) a \in H, b \in H \Rightarrow a b \in H
(ii)a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):माना कि H,G का उपग्रुप है, इसलिए उपग्रुप की परिभाषा से a \in H, b \in H \Rightarrow a b \in H
तथा a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H
जो कि प्रतिबन्ध (i) और (ii) है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition(:माना कि H,G का अरिक्त उपसमुच्चय है तो पहले प्रतिबन्ध a \in H, b \in H \Rightarrow a b \in H से स्पष्ट है कि जो द्विचर संक्रिया G में सत्य है वह H पर भी लागू होता है।अतः G का एक उपसमुच्चय H,G की द्विचर संक्रिया से युक्त है।
क्योंकि G ग्रुप है तथा इसमें साहचर्य नियम का पालन होता है इसलिए H में भी साहचर्य नियम सत्य है।
अब यदि a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H [(ii) प्रतिबन्ध से]
पुनः प्रतिबन्ध (i) से a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H \Rightarrow a a^{-1}=e \in H \forall a \in H
अतः H,G का उपग्रुप है।
प्रमेय (Theorem):5.किसी ग्रुप G के किन्हीं दो उपग्रुपों का सर्वनिष्ठ ग्रुप G का उपग्रुप होता है।
(The Intersection of any two subgroups of a group G is also a subgroup of G.)
उपपत्ति (Proof):माना कि H_{1} तथा H_{2} ग्रुप G के दो उपग्रुप है।अतः G का तत्समक अवयव e, H_{1} तथा H_{2} दोनों में विद्यमान है।
अतः H_{1} \cap H_{2} \neq \phi
अब माना कि a, b \in H_{1} \cap H_{2} \\ a \in H_{1} \cap H_{2} \Rightarrow a \in H_{1}, a \in H_{2} \\ b \in H_{1} \cap H_{2} \Rightarrow b \in H_{1}, b \in H_{2}
परन्तु H_{1}  तथा H_{2}  ग्रुप G के उपग्रुप है इसलिए

\left.\begin{matrix} a \in H_{1}, b \in H_{2} \Rightarrow a b^{-1} \in H_{2}\\ \text{ तथा  } a \in H_{2}, b \in H_{2} \Rightarrow a b^{-1} \in H_{2} \end{matrix}\right\} \Rightarrow ab^{-1} \in H_{1} \cap H_{2}
H_{1} \cap H_{2} भी G का उदाहरण है।
प्रमेय (Theorem):6.किसी ग्रुप G के दो उपग्रुपों का संघ एक उपसमूह है यदि और केवल यदि एक दूसरे में अन्तर्विष्ट (निहित) है।
(The union of two subgroups of a group G is a subgroup iff one is contained in the other .)
उपपत्ति (Proof):प्रतिबन्ध की आवश्यकता (Necessary Condition):माना कि H_{1}  तथा H_{2} ग्रुप G के कोई दो उपग्रुप हैं।माना H_{1} \subseteq H_{2} या H_{2} \subseteq H_{1} तब
H_{1} \cup H_{2} =H_{2} या H_{1} \Rightarrow H_{1} \cup H_{2} भी G में उपग्रुप है।
प्रतिबन्ध की पर्याप्तता (Sufficient Condition):माना H_{1}  तथा H_{2}, G के उपग्रुप हैं H_{1} \cup H_{2} भी G के उपग्रुप है, तब हमें सिद्ध करना है कि H_{1} \subseteq H_{2} या H_{2} \subseteq H_{1}
यदि सम्भव है तो माना H_{1} \nsubseteq H_{2} तथा H_{2} \nsubseteq H_{1}[/katex]
अब H_{2} \subseteq H_{2} \Rightarrow \Rightarrow \exists a \in H_{1} \quad \wedge a \notin H_{2}
इसी प्रकार H_{2} \nsubseteq H_{1} \Rightarrow \exists b \in H_{2} \wedge b \notin H_{1}
परन्तु a \in H_{1} \Rightarrow a \in H_{1} \cup H_{2} \\ b \in H_{2} \Rightarrow b \in H_{1} \cup H_{2}
साथ हमने यह माना कि H_{1} \cup H_{2} एक उपग्रुप है, इसलिए

a \in H_{1} \cup H_{2}, b \in H_{1} \cup H_{2} \Rightarrow a b \in H_{1} \cup H_{2}
परन्तु a b \in H_{1} \cup H_{2}, \Rightarrow  a b \in H_{1} या a b \in H_{2}
अब यदि a b \in H_{1} तथा H_{1} एक उपग्रुप होने के कारण

a \in H_{1} , ab \in H_{1}\Rightarrow a^{-1} \in H_{1}, a b \in H_{1} \\ \Rightarrow a^{-1} \cdot (a b) \in H_{1} \\ \Rightarrow(a^{-1} a) b \in H_{1}=e b \in H_{1} \\ \Rightarrow b \in H_{1}
जो उपर्युक्त का विरोधाभास (Contradiction) है।साथ ही यदि a b \in H_{2} तथा H_{2} एक उपग्रुप है।

a b \in H_{2}, b \in H_{2} \Rightarrow(a b)(b^{-1}) \in H_{2} \\ \Rightarrow a(b b^{-1}) \in H_{2} \\ \Rightarrow a e=a \in H_{2}
जो कि उपर्युक्त का पुनः विरोधाभास (Contradiction) है
H_{1} \nsubseteq H_{2} तथा H_{2} \nsubseteq H_{1}
इसलिए H_{1} \subseteq H_{2} या H_{2} \subseteq H_{1}
प्रमेय (Theorem):7.किसी ग्रुप के कोई दो उपग्रुपों के संघ का उपग्रुप होना आवश्यक नहीं है।
(The union of any two subgroups of a group is not necesarilly a subgroup.)
Example:1.माना कि पूर्णांक (Z,+) का एक ग्रुप है तथा स्पष्ट है कि

H_{1}=\left \{ 0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots \right \}
तथा H_{2}=\left \{ 0, \pm 5, \pm 10 \cdots \right \}
ग्रुप Z के दो उपग्रुप हैं।
परन्तु H_{1} \cup H_{2}=\{0, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \cdots\}
से स्पष्ट है कि 4 \in H_{1} \cup H_{2}, 5 \in H_{1} \cup H_{2} परन्तु
4+5 \notin H_{1} \cup H_{2} अतः H_{1} \cup H_{2} ग्रुप G की संक्रिया के लिए संवृत्त नहीं है।
अतः H_{1} \cup H_{2},Z का उपग्रुप नहीं है।
Example:2.माना  H_{1}=\left\{(1),(1 \quad 2)\right\}, H_{2}=\left\{(1),(2 \quad  3)\}\right\} सममित ग्रुप S_{3} के दो उपग्रुप हैं।
परन्तु H_{1} \cup H_{2}=\{(1),(1 \quad  2),(2 \quad 3)\}
से स्पष्ट है कि (1 \quad  2)(2 \quad  3)=(1 \quad  2 \quad  3) \notin H_{1} \cup H_{2}
जबकि यह दोनों क्रमचय H_{1} \cup H_{2} के अवयव हैं।
अतः H_{1} \cup H_{2} ग्रुप संक्रिया के लिए संवृत्त नहीं है।
अतः H_{1} \cup H_{2},S_{3} का उपग्रुप नहीं है।
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2.उपग्रुप के उदाहरण निम्न हैं (Examples of Subgroups):-

Example:1.एक परिमेय संख्या के गुणज ग्रुप H का उपग्रुप ज्ञात कीजिए जिसका जनक 2 है।
(Find the subgroup of multiplicative group H of rationals generated 2.)
Solution:H=\left\{2^{n} \in Q, n \in N \right\}
स्पष्टतः G \neq \phi अतः G \in H
माना x_{1}=2^{n_{1}} ; x_{2}=2^{n_{2}}, n_{1}, n_{2} \in N \\ x_{2}^{-1}= \left(2^{n_{2}}\right)^{-1}=\frac{1}{2^{n_{2}}} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} =2^{n_{1}}\left(\frac{1}{2^{n_{2}}}\right) \\ =2^{n_{1}-n_{2}} \in Q
अतः x_{1} \in G, x_{2} \in G \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in G
फलतः G,H का उपग्रुप है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि इकाई के n वें मूलों का समुच्चय गुणात्मक ग्रुप \left ( C_{0},\cdot \right ) का एक उपग्रुप है।
(Prove that the set of the nth roots of unity is a subgroup of multiplicative group \left ( C_{0},\cdot \right ))
Solution:(1)^{\frac{1}{n}}=\cos \frac{2 m \pi}{n}+i \sin \frac{2 m \pi}{n}
m=0,1,2,3……….,n-1 रखने पर:

1, \cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}, \cos \frac{4 \pi}{n}+i \sin \frac{4 \pi}{\pi} ;\cdots \cos \frac{2(n-1) \pi}{n}+i \sin \frac{2(n-1) \pi}{\pi}
स्पष्टतः H \neq \phi अतः H \subset \left(C_{0},\cdot \right)
माना x_{1}=\cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}, x_{2}=\cos \frac{4 \pi}{n}+i \sin \frac{4 \pi}{n} \\ x_{2}^{-1} =\left[\cos \frac{4 \pi}{n}+i \sin \frac{4 \pi}{\pi}\right]^{-1} \\ =\cos \frac{4 \pi}{n}-i \sin \frac{4 \pi}{n} \\ x_{1} x_{2}^{-1} =\left(\cos \frac{2 \pi}{n}+i \sin \frac{2 \pi}{n}\right)\left(\cos \frac{4 \pi}{n}-i \sin \frac{4 \pi}{n}\right) \\ = \cos \frac{2 \pi}{n} \cdot \cos \frac{4 \pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n} \cdot \sin \frac{4 \pi}{n}+i\left(\sin \frac{2 \pi}{n} \cos \frac{4 \pi}{n}-\sin \frac{4 \pi}{n} \cos \frac{2 \pi}{n}\right) \\ =\cos \left(\frac{4 \pi}{n}-\frac{2 \pi}{n}\right)-i \sin \left(\frac{4 \pi}{n}-\frac{2 \pi}{n}\right) \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=\cos \frac{2 \pi}{n}-i \sin \frac{2 \pi}{n} \in H
अतः x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतः इकाई के n वें मूलों का समुच्चय गुणनात्मक ग्रुप \left ( C_{0},\cdot \right ) का एक उपग्रुप है।

Examples of Subgroups

Example:3.सिद्ध करो कि H={(a),(a \quad b),(c \quad d),(a \quad b)(c  \quad d)} क्रमविनिमेय समूह S_{A} जहाँ A={a,b,c,d} का परिमित क्रमविनिमेय उपग्रुप है।
(Prove that H={(a),(a \quad b),(c \quad d),(a \quad b)(c  \quad d)} is a finite abelian subgroup of S_{A} where A={a,b,c,d}
Solution:H={(a),(a \quad b),(c \quad d),(a \quad b)(c  \quad d)}
H=\phi अतः स्पष्टतः H \subset S_{A} \\ (a),(a \quad b) \in H \\ x_{1}=(a), \quad x_{2}=(a \quad b) \\ \Rightarrow x_{2}=\left(\begin{array}{ll} a & b\\ b & a\end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} b & a \\ a & b \end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{2}^{-1} =\left(\begin{array}{ll} b & a \end{array}\right) \\ x_{1} x_{2}^{-1} =(a)(b \quad a) \\ =(a) \left(\begin{array}{ll} b & a \\ a & b \end{array}\right) \\ =(b \quad a) \\ =(b \quad a)(a) [(a) तत्समक है]

=x_{2}^{-1} x_{1}
अतः x_{1} \in H_{1} x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
अतः H,S_{A} का परिमित क्रमविनिमेय उपग्रुप है।
Example:4.यदि A={a,b,c,d} तथा S_{A} ,A का क्रमचय ग्रुप है तो सिद्ध कीजिए कि T_{a}=\left\{\rho \in S_{A}: \rho(A)=a\right\}, S_{A} का उपग्रुप है।
(If A={a,b,c,d} and is a group of pormutations of the set A then prove that T_{a}=\left\{\rho \in S_{A}: \rho(A)=a\right\},  is a subgroup of S_{A}.)
Solution: S_{A}=(a),(b),(c),(d),(a \quad b),(b \quad c),(c \quad d),(a \quad b \quad c),(b \quad c \quad d),\\ (a \quad c \quad d), (a  \quad b \quad c \quad d), (a \quad b)(c \quad d),(a \quad c)(b \quad d), \\ (a \quad d)(b \quad c)
माना \rho(a)= a, \rho(b \quad c)=b c, a, b \in S_{A} \\ \rho(b  \quad c)=\left(\begin{array}{ll} b & c \\ c & b \end{array} \right),\left[\rho(b)\right]^{-1}=\left(\begin{array}{ll} c & b \\ b & c \end{array}\right) \\ \rho(a) \rho(b \quad c)^{-1}= (a) \left(\begin{array}{ll} c & b \\ b & c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} c & b \\ b & c \end{array}\right) =(c \quad b) \in S_{A} \\ \rho(a) \in T_{a},\rho(b \quad c) \in T_{a} \Rightarrow \rho(a) [\rho(b \quad c)]^{-1} \in T_{a}
फलतः T_{a},S_{A} का एक उपग्रुप है।
Example:5.क्या \left(Q_{0} , \cdot \right)  ग्रुप \left ( G,\cdot \right ) का उपग्रुप है?जहाँ G=\left\{(a+b \sqrt{2}) \mid a, b \in Q \text{ तथा } a^{2}+b^{2} \neq 0 \right\}
(Is a subgroup of? Where G=\left\{(a+b \sqrt{2}) \mid a, b \in Q \text{and} a^{2}+b^{2} \neq 0 \right\}
Solution:\left(Q_{0} , \cdot \right) \neq 0 स्पष्टतः \left(Q_{0} ,\cdot \right) \subset \left(G, \cdot \right)
माना x_{1}=a_{1}+b_{1} \sqrt{2}, x_{2}=a_{2}+b_{2} \sqrt{2} जहाँ a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in Q
तथा a^{2}+b^{2} \neq 0 \\ x_{2}^{-1}=\frac{1}{a_{2}+b_{2} \sqrt{2}} \times \frac{a_{2}-b_{2} \sqrt{2}}{a_{2}-b_{2} \sqrt{2}} \\ x_{2}^{-1}=\frac{a_{2}-b \sqrt{2}}{a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}} \\ \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1}=\left(a_{1}+ b_{1} \sqrt{2} \right) \frac{\left(a_{2}-b_{2} \sqrt{2}\right)}{\left(a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}\right)} \\ =\frac{a_{1}a_{2}-\sqrt{2}a_{1} b_{2}+\sqrt{2} a_{2} b_{1}-2 b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}} \\ =\frac{a_{1} a_{2}-2 b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}-2b_{2}^{2}}+\sqrt{2} \frac{\left(a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}\right)}{a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2}}
a_{2}^{2}-2 b_{2}^{2} \neq 0 क्योंकि a_{2}^{2}-2 b^{2}=0 \Rightarrow a_{2}^{2}=2 b_{2}^{2} \Rightarrow a_{2}=\pm \sqrt{2} b_{2} \notin Q
जो असत्य है तथा a_{2}^{2}+b_{2}^{2} \neq 0 \Rightarrow a_{2}^{2} \neq 0, b_{2}^{2} \neq 0
अतः x_{1} \in H, x_{2} \in H \Rightarrow x_{1} x_{2}^{-1} \in H
फलतः H,ग्रुप (G,.) का उपग्रुप है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups), उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) को समझ सकते हैं।

3.उपग्रुप के उदाहरण की समस्याएं (Examples of Subgroups Problems):-

(1.)सिद्ध कीजिए कि H=\{a+i b \mid a, b \in Q\} समूह (C,+) का उपसमूह है।
(Prove that H=\{a+i b \mid a, b \in Q\} subgroup of (C,+).)
(2.)सममित ग्रुप के दो उपसमूह H={(1),(1 2)} और K={(1),(1 3)} है तो सिद्ध कीजिए कि HK \neq KH
(Let H={(1),(1 2)} and K={(1),(1 3)} be two subgroups of the symetric group,then show that HK \neq KH.)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),
उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बातें (Highlights):

Examples of Subgroups

(1.) समूह G का एक उपसमुच्चय जो समान संक्रिया के नियम के साथ एक समूह बनाता है।
(2.)प्रत्येक ग्रुप के दो तुच्छ उपग्रुप (Trival Subgroup )होते हैं,ग्रुप स्वयं तथा तत्समक ग्रुप {e} (Identity group)।ये दो तुच्छ उपग्रुप होते हैं।
(3.)तुच्छ उपग्रुप (Trival Subgroup) के अतिरिक्त अन्य सभी उपग्रुप उचित उपग्रुप (Proper Subgroups) होते हैं।
(4.)यदि H किसी ग्रुप का उपग्रुप है तो H का तत्समक वही अवयव है जो G का तत्समक अवयव (Identity Element) है।
(5.)यदि H किसी ग्रुप का उपग्रुप है तो H के किसी अवयव a का प्रतिलोम अवयव (Inverse Element) वही है जो G में a का प्रतिलोम है।
(6.)यदि H किसी ग्रुप का उपग्रुप है तो H के किसी अवयव a की कोटि (Order) वही है जो G में a की कोटि है।

5.उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

Examples of Subgroups

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा उपग्रुप के उदाहरण (Examples of Subgroups),उपग्रुप (उपसमूह) उदाहरण (Subgroups Examples) के बारे में ओर अधिक समझ सकते हैं।