1.अवशेष प्रमेय के उदाहरण (Examples of Residue Theorem),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis):

Examples of Residue Theorem

अवशेष प्रमेय के उदाहरण (Examples of Residue Theorem) के इस आर्टिकल में साधारण अनन्तकों,कोटि m के अनन्तकों तथा अनन्त पर अवशेष पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.अवशेष प्रमेय के उदाहरण (Examples of Residue Theorem):

Example:1.फलन f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2(z+2)} के अनन्तकों तथा प्रत्येक बिन्दु पर अवशेष ज्ञात कीजिए।
इसलिए \int_{C} f(z)dz का मान ज्ञात करें जहाँ C वृत्त |z|=2.5 है।
(Determine the poles of the function f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2(z+2)} and the residue at each point.
Hence evaluate \int_{C} f(z)dz where C is the circle |z|=2.5 .)
Solution: f(z)=\frac{z^2}{(z-1)^2(z+2)}=\frac{1}{(z-1)^2} \phi(z)
जहाँ \phi(z)=\frac{z^2}{z+2}
z=1,f(z) का कोटि 2 का अनन्तक है तथा z=-2 साधारण अनन्तक है।
z=1 पर अवशेष
\frac{1}{1!}\left[\phi^{\prime}(z)\right]_{z=1}=\left[\frac{d}{d z}\left(\frac{z^2}{z+2} \right) \right]_{z=1} \\ =\left[\frac{z^2+4 z}{(z+2)^2}\right]_{z=1}=\frac{5}{9}
z=-2 पर अवशेष
\underset{z \rightarrow -2}{\lim} (z+2) f(z)=\underset{z \rightarrow -2}{\lim} \frac{z^2}{(z-1)^2 }=\frac{4}{9}
फलन f(z), |z|=2 पर विश्लेषिक है और इसके अन्दर z=1,-2 के अतिरिक्त अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=2 \pi i [z=-2 पर अवशेष+z=1 पर अवशेष]
=2 \pi i\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{9}\right)=2 \pi i
Example:2. \frac{z^2}{z^2+a^2} का अवशेष z=ia पर ज्ञात कीजिए।
(Find the residue \frac{z^2}{z^2+a^2} of at z=ia.)
Solution: f(z)=\frac{z^2}{\left(z^2+a^2\right)}=\frac{z^2}{(z+ia)(z-i a)}
यहाँ z=ia,f(z) का साधारण अनन्तक है।
z=ia पर अवशेष
\underset{z \rightarrow i a}{\lim} (z-i a) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow i a}{\lim}(z-i a) \cdot \frac{z^2}{(z-i a)(z+i a)} \\ =\underset{z \rightarrow i a}{\lim} \frac{z^2}{(z+i a)} \\ =\frac{(i a)^2}{(i a+i a)}=\frac{i^2 a^2}{2 i a}=\frac{1}{2} i a
Example:3. \frac{1}{\left(z^2+a^2\right)^2} का अवशेष z=ia पर ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of \frac{1}{\left(z^2+a^2\right)^2} at z=ia.)
Solution:यहाँ f(z)=\frac{1}{\left(z^2+a\right)^2} \\ =\frac{1}{(z+i a)^2(z-i a)^2}=\frac{\phi(z)}{(z-i a)^2}
जहाँ \phi(z) =\frac{1}{(z+i a)^2}
z=ia, f(z) का दो कोटि का अनन्तक है।
z=ia पर अवशेष \phi^{\prime}(z) \\ \phi^{\prime}(z)=-\frac{2}{(z+i a)^3}
अतः z=ia पर अवशेष \phi^{\prime}(i a)=\frac{-2}{\left(2ia\right)^3} \\ =-\frac{i}{4 a^3}
Example:4.परिमित तल में e^z \operatorname{cosec}^2 z के सभी अनन्तकों पर उसके अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residues of e^z \operatorname{cosec}^2 z at all its poles in the finite plane.)
Solution:माना f(z)=e^z \operatorname{cosec}^2 z=\frac{e^2}{\sin ^2 z}
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं:
\sin ^2 z=0 \\ \Rightarrow z=m \pi , m \in I, f(z)
इन अनन्तकों का सीमा बिन्दु z=\infty है जो कि अवियुक अनिवार्य विचित्रता है।
f(z) में z=m \pi+ t रखने परः
f(m \pi+t)=\frac{e^{m \pi t}}{\sin ^2(m \pi+t)} \\ =e^{m \pi} e^t \frac{1}{\sin ^2(m \pi+t)} \\ =\frac{e^{m \pi}\left(1+t+\frac{1}{2!} t^2+\cdots\right)}{\left(t-\frac{1}{3!} t^3+\frac{1}{5!} t^5-\cdots \cdot\right)^2} \\ =e^{m \pi} \frac{1}{t^2}\left(1+t+\frac{t^2}{2!}+\cdots\right)\left[1-\left(\frac{t^2}{3!}-\frac{t^4}{5!}+\cdots\right)\right]^{-2} \\ =e^{m \pi} \frac{1}{t^2}\left(1+t+\frac{t^2}{2!}+ \cdots\right)\left[1+ 2\left(\frac{t^2}{3!}-\frac{t^4}{5!}+\cdots\right)+3\left(\frac{t^2}{3!}-\frac{t^4}{5!}+\cdots\right)^2 +\cdots\right]
उपर्युक्त प्रसार में z=m \pi पर अवशेष \frac{1}{t} का गुणांक=e^{m \pi}
Example:5.फलन \frac{z^4}{\left(c^2+z^2\right)^4} के अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of the function \frac{z^4}{\left(c^2+z^2\right)^4} .)
Solution: f(z)=\frac{z^4}{\left(c^2+z^2\right)^4} \\ =\frac{z^4}{(z+i c)^4(z-i c)^4}
z=ic तथा z=-ic फलन f(z) के कोटि 4 के अनन्तक हैं।
z=ic पर अवशेषः
f(z) में z=t+ic रखने परः
f(z)=\frac{(t+i c)^4}{t^4(t+2 i c)^4} \\ =\frac{(t+i c)^4\left(1+\frac{t}{2 i c}\right)^{-4}}{t^4(2 i c)^4} \\ =\frac{1}{t^4(2 i c)^4} \left(t^4+4 i c t^3-6 c^2 t^2-4 i c^3 t+c^4\right)\left(1-\frac{4 t}{2 i c}+\frac{10}{(2 i c)^2} t^2-\frac{20}{(2 i c)^3 t^3}+\cdots\right)
अतः f(z) में \frac{1}{t} का गुणांक=\frac{1}{16 c^4}\left(4 i c-12 i c+10 i c-\frac{5}{2} i c\right) \\ =-\frac{i}{32 c^3}

Examples of Residue Theorem

Example:6. \int_c \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z का मान ज्ञात कीजिए जहाँ C वृत्त हैः
(Evaluate \int_c \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z where C is the circle.)
Example:6(i). |z|=1
Solution:माना f(z)=\frac{z-3}{z^2+2 z+5}
अनन्तक दिए जाते हैं: z^2+2 z+5=0 \\ \Rightarrow z=-1 \pm 2 i
अवशेष z=-1+2i,-1-2i,वृत्त |z|=1 के बाहर स्थित हैं इसलिए f(z),C के अन्दर प्रत्येक जगह विश्लेषिक है।
कोशी प्रमेय सेः
\int_c \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z=0
Example:6(ii). |z+1-i|=2
Solution:केवल एक अनन्तक z=-1+2i वृत्त के अन्दर स्थित है अतः f(z),z=-1+2i के अतिरिक्त C के अन्दर प्रत्येक बिन्दु पर विश्लेषिक है।
\underset{z \rightarrow-1+2 i}{\lim} \left[z-(-1+2 i)\right] f(z) \\ =\underset{z \rightarrow-1+2 i}{\lim} \frac{(z+1-2 i)(z-3)}{z^2+2 z+5} \\ =\underset{z \rightarrow-1+2 i}{\lim} \frac{z-3}{z+1+2 i} \\ = \frac{-4+2 i}{4 i} \\ =\frac{1}{2}+i
अवशेष प्रमेय सेः
\int_c f(z) d z=2 \pi i [ अवशेष (-1+2i) पर ]
=2 \pi i \cdot\left(\frac{1}{2}+i\right) \\ =\pi(-2+i)
Example:6(iii). |z+1+i|=2
Solution:केवल z=-1-2i अनन्तक वृत्त C के अन्दर स्थित है जो दिया जाता है |z+1+i|=2 अतः f(z),z=-1-2i के अतिरिक्त C के अन्दर विश्लेषिक है।
z=-1-2i पर अवशेष
\underset{z \rightarrow-1-2 i}{\lim} \frac{(z+1+2 i)(z-3)}{z^2+2 z+5} \\ =\underset{z \rightarrow-1-2 i}{\lim} \left(\frac{z-3}{z+1-2 i}\right) \\ =\frac{-4-2 i}{-4 i}=\frac{1}{2}-i
अवशेष प्रमेय सेः
\int_c f(z) d z =2 \pi i [-1-2i पर f(z) का अवशेष]
=2 \pi i\left(\frac{1}{2}-i\right)=\pi(2+i)
Example:7.अनन्त पर \frac{z^2}{(z-a)(z-b)(z-c)} का अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of \frac{z^2}{(z-a)(z-b)(z-c)} at infinity.)
Solution: f(z)=\frac{z^2}{(z-a)(z-b)(z-c)}
f(z) का अनन्त पर अवशेष:
=\underset{z \rightarrow \infty}{\lim} [-z f(z)] \\ =\underset{z \rightarrow \infty}{\lim} (-z) \cdot \frac{z^2}{(z-a)(z-b)(z-c)}=-1
Example:8. z=\infty पर \frac{z^3}{z^2-1} का अवशेष ज्ञात कीजिए।
(Find the residue of \frac{z^3}{z^2-1} at z=\infty )
Solution: f(z)=\frac{z^3}{z^2-1} \\ =z\left(1-\frac{1}{z^2}\right)^{-1} \\ =z\left(1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^4}+\cdots\right)
अनन्त पर अवशेष=-f(z) के प्रसार में \frac{1}{z} का गुणांक
=-1
Example:9.z=1,2,3 तथा अनन्त पर अवशेषों को ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि उनका योग शून्य है।
(Evaluate the residues of \frac{z^3}{(z-1)(z-2)(z-3)} at z=1,2,3 and infinity and show that their sum is zero.)
Solution: f(z)=\frac{z^3}{(z-1)(z-2)(z-3)}
z=1,2,3, f(z) के साधारण अनन्तक हैं।
z=1 पर अवशेष=\underset{z \rightarrow 1}{\lim}(z-1) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow 1}{\lim} \frac{z^3}{(z-2)(z-3)}=\frac{1}{2}
इसी प्रकार z=2 पर अवशेष=\underset{z \rightarrow 2}{\lim} (z-2) f(z) \\=\underset{z \rightarrow 2}{\lim} \frac{z^3}{(z-1)(z-3)}=-8
z=3 पर अवशेष=\underset{z \rightarrow 3}{\lim} \frac{z^3}{(z+1)(z-2)}=\frac{27}{2} \\ f(z)=\left(1-\frac{1}{z}\right)^{-1}\left(1-\frac{2}{z}\right)^{-1}\left(1-\frac{3}{z}\right)^{-1} \\ =\left(1+\frac{1}{z}+ \cdots\right) \left(1+\frac{2}{z}+\cdots\right)\left(1+\frac{3}{z}+\cdots\right) \\ =1+\frac{6}{z}+ हर पद में z  की  उच्चतम घातों के अनन्त पर अवशेष=-[f(z) के विस्तार में \frac{1}{z} का गुणांक]
=-6
अवशेषों का योग(z=1,2,3 और अनन्त पर)
=\frac{1}{2}+(-8)+\frac{27}{2}-6=0
Example:10. \int_c \frac{\sin \pi z^2+\cos \pi z^2}{(z-1)^2(z-2)} d z का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ C वृत्त |z|=3 है।
(Evaluate \int_c \frac{\sin \pi z^2+\cos \pi z^2}{(z-1)^2(z-2)} d z , where C is the circle |z|=3.)
Solution: f(z)=\frac{\sin \pi z^2+\cos \pi z^2}{(z-1)^2(z-2)}
z=1,2 अनन्तक के अतिरिक्त f(z),C के अन्दर प्रत्येक बिन्दु पर विश्लेषिक है।
z=2 पर अवशेष=\underset{z \rightarrow 2}{\lim} (z-2) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow 2}{\lim} \frac{\sin \pi z^2+\cos \pi z^2}{(z-1)^2}=1
z=1 पर अवशेष=\frac{1}{1!}\left[\frac{d}{d z}(z-1)^2 f(z)\right] \\ =\left[\frac{d}{d z}\left(\frac{\sin \pi z^2+\cos \pi z^2}{z-2}\right)\right]_{z=1} \\ =2 \pi+1
अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=2 \pi i [z=1 तथा z=2 पर अवशेषों का योग]
=2 \pi i[1+(2 \pi+1)]=4 \pi i (\pi+1)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवशेष प्रमेय के उदाहरण (Examples of Residue Theorem),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

Examples of Residue Theorem

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3.अवशेष प्रमेय के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Residue Theorem),सम्मिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय (Residue Theorem in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवशेष प्रमेय के उदाहरण (Examples of Residue Theorem) के इस आर्टिकल में
साधारण अनन्तकों,कोटि m के अनन्तकों तथा अनन्त पर अवशेष पर आधारित सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।