1.त्रिभुजों में असमता के उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of Inequalities in Triangles),त्रिभुजों में असमता कक्षा 9 (Inequalities in Triangles Class 9):

Examples of Inequalities in Triangles

त्रिभुजों में असमता के उदाहरण (Examples of Inequalities in Triangles) के इस आर्टिकल में ऐसे सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे जो त्रिभुजों की असमता पर आधारित विशिष्ट सवाल हों।
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2.त्रिभुजों में असमता के उदाहरण (Examples of Inequalities in Triangles):

Example:1.ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD सबसे बड़ी भुजा है तथा BC सबसे छोटी।सिद्ध कीजिए \angle ABC > \angle ADC

Examples of Inequalities in Triangles

Solution:दिया है (Given):ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें भुजा AD सबसे बड़ी तथा BC सबसे छोटी है।
सिद्ध करना है (To Prove): \angle ABC > \angle ADC
रचना (Construction):B को D से मिलाइए।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABD में
AD>AB  (दिया है)

\therefore \angle ABD > \angle ADB \cdots(1)
(बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है)
\triangle BCD में
CD>BC   (\because BC सबसे छोटी भुजा है)

\therefore \angle DBC>\angle CDB \cdots(2)
(\because बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है)
(1) तथा (2) को जोड़ने पर:

\angle ABD+\angle DBC>\angle ADB+\angle CDB \\ \Rightarrow \angle ABC> \angle ADC
Example:2.एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसमें AB=AC।यदि AC किसी बिन्दु D तक बढ़ा दी जाय तो सिद्ध कीजिए \angle ABD>\angle ADB

Examples of Inequalities in Triangles

Solution:दिया है (Given):में AB=AC
सिद्ध करना है (To Prove): \angle ABD>\angle ADB
रचना (Construction):B को D से मिलाया।
उपपत्ति (Proof):AB=AC   (दिया है)
\because AD>AB \\ \angle ABD >\triangle ADB
(बड़ी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है।)
Example:3. \triangle ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है,जिसमें AB=AC। यदि D,AB का मध्य बिन्दु है तो सिद्ध कीजिए कि DB < AC

Examples of Inequalities in Triangles

Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में AB=AC। D,AB का मध्य बिन्दु है ।
सिद्ध करना है (To Prove): DB < AC
रचना (Construction):DC को मिलाया।
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में AB=AC \\ \therefore \angle ABC=\angle ACB \cdots(1)
(बराबर भुजा के अभिमुख कोण बराबर होते हैं । )
\angle ABD>\angle DCB 
(1) व (2) से:
\angle ABC>\angle DCB \\ BD < DC

Example:4. दी गई आकृति में \triangle ABC कि भुजायें Ab व AC को क्रमशः D तथा E  बिन्दु तक बढ़ाया गया है \angle DBC  तथा  \angle ECB के समद्विभाजक  BO  तथा CO बिन्दु O पर मिलते है यदि AB>AC तो सिद्ध कीजिए कि OC>OB
Solution:दिया है (Given): \angle DBC तथा \angle ECB  के समद्विभाजक BO तथा CO बिन्दु O पर मिलते हैं। AB>AC है।

Examples of Inequalities in Triangles

सिद्ध करना है (To Prove):OC>OB
उपपत्ति (Proof):OB, \angle DBC का समद्विभाजक है अतः

\angle DBC= \frac{1}{2} \angle DBO=\angle CBO
इसी प्रकार \angle ECB=\frac{1}{2} \angle BCO=\frac{1}{2} \angle FCO \cdots(2)
\triangle ABC में
AB>AC \\ \Rightarrow \angle ACB>\angle ABC \cdots(3)
(बड़ी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है)

-\angle ACB < -\angle A B C \\ \Rightarrow 180-\angle ACB < 180-\angle ABC \\ \Rightarrow \angle D B C>\angle ECB \cdots(4)
[ \because \angle ABC+\angle DBC=180 तथा \angle ACB+\angle BCE=180 ]
(2),(3) व (4) से:
\frac{1}{2} \angle CBO >\frac{1}{2} \angle BCO \\ \Rightarrow \angle CBO>\angle BCO \\ \Rightarrow OC>OB
(बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
Example:5.D,E और F क्रमशः \triangle ABC की भुजा BC,CA और AB के मध्य बिन्दु हैं सिद्ध कीजिए कि
AB+BC+CA>AD+BE+CF

Examples of Inequalities in Triangles

Solution:दिया है (Given): \triangle ABC में BC,CA और AB के मध्य-बिन्दु क्रमशः D,E और F हैं।
सिद्ध करना है (To Prove):AB+BC+CA>AD+BE+CF
रचना (Construction):AD,BE व CF को मिलाया।
उपपत्ति (Proof): \triangle AOB में
AO+OB>AB   …… (1) (त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है)
\triangle BOC में
BO+OC>BC ….. (2) (त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है)

\triangle AOC में
AO+OC>AC  …. (3) (त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है)
(1),(2) व (3) को जोड़ने पर:
AO+OB+BO+OC+AO+OC>AB+BC+AC \\ \Rightarrow 2AO+2OB+2OC>AB+BC+AC \\ \Rightarrow 2(A O+O B+O C)>A B+B C+A C \\ \Rightarrow 2\left(\frac{2}{3} A D+\frac{2}{3} B E+\frac{2}{3} C F\right)>A B+BC+AC \\ \Rightarrow \frac{4}{3}(A D+B E+C F)>A B+B C+A C \\ \Rightarrow AB+BC+AC>AD+BE+CF
Example:6.दी गई आकृति में PQ को S तक इस प्रकार आगे बढ़ाया गया है कि QS=RQ यदि \angle PQR=60^{\circ}, \angle RPQ=70^{\circ} तो PS की लम्बाई RS की लम्बाई से क्यों बड़ी होगी? लिखिए।

Examples of Inequalities in Triangles

Solution: \triangle RQS में
QS=RQ
\angle QRS=\angle QSR (बराबर भुजा के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
\angle PQR=\angle QRS+\angle QSR (बहिष्कोण=अन्तराभिमुख कोणों का योग)

60^{\circ}=\angle QRS+\angle QSR \cdots(2)
(1) व (2) से:
\angle QRS=\angle QSR=30^{\circ} \\ \triangle PQR में
\angle RPQ+\angle PQR+\angle PRQ=180^{\circ} \\ \Rightarrow 70^{\circ}+60^{\circ}+\angle PRQ=180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle P R Q=180^{\circ}-130^{\circ} \\ \Rightarrow \angle PRQ= 50^{\circ} \\ \angle PRS=\angle PRQ+\angle QRS \\ \angle PRS=50^{\circ}+30^{\circ}=80^{\circ} \\ \angle RRS\left(80^{\circ}\right)>\angle R P Q\left(70^{\circ}\right) \\ \Rightarrow PS>R S
(बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
Example:7.दी हुई आकृति में सिद्ध कीजिए कि AH<HC तथा DH<DC. जबकि AD \perp BC तथा CE \perp AB

Examples of Inequalities in Triangles

Solution: दिया है (Given): AD \perp BC तथा CE \perp AB
सिद्ध करना है (To Prove): AH<HC तथा DH<DC
उपपत्ति (Proof): \triangle ADH में
\angle DAH+\angle ADH+\angle ACD=180^{\circ} \\ 60^{\circ}+90^{\circ}+\angle ACD =180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle ACD=180^{\circ}-150^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A C D=30^{\circ} \cdots(1) \\ \triangle BEC में
\angle BEC+\angle EBC+\angle BCE=780^{\circ} \\ \Rightarrow 90+70^{\circ}+\angle BCE= 180^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BCE=180^{\circ}-160^{\circ} \\ \Rightarrow \angle BCE=20^{\circ} \cdots(2)
(1) व (2) से:
\angle HCA=10^{\circ} \\ \triangle AHC में
\angle HAC\left(60^{\circ}\right) >\angle HCA \left(10^{\circ}\right) \\ AH<HC (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
\triangle DHC में
\angle DHC=180^{\circ}-\angle HDC-\angle DCH \\ \Rightarrow \angle DHC=180^{\circ} -90^{\circ} -20^{\circ} \\ \Rightarrow \angle DHC=70^{\circ} \\ \angle DHC\left(70^{\circ}\right)>\angle DCH \left(20^{\circ}\right) \\ \Rightarrow DH < DC (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

Example:8. किसी समद्विबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि विकर्ण सबसे लम्बी भुजा होती है |

Examples of Inequalities in Triangles

Solution: दिया है (Given): \triangle ABC में \angle B=90^{\circ}
सिद्ध करना है (To Prove): AC>BC तथा AC>A B
उपपत्ति (Proof): \triangle ABC में \angle B=90^{\circ}
अतः \angle A+\angle C=90^{\circ} \\ \Rightarrow \angle A < 90^{\circ}, \angle C=90^{\circ}
अतः \angle B>\angle A \\ \Rightarrow A C>B C  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
\angle B>\angle C \\ \Rightarrow AC>A B (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्रिभुजों में असमता के उदाहरण (Examples of Inequalities in Triangles),त्रिभुजों में असमता कक्षा 9 (Inequalities in Triangles Class 9) को समझ सकते हैं।

Examples of Inequalities in Triangles

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3.त्रिभुजों में असमता के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Inequalities in Triangles),त्रिभुजों में असमता कक्षा 9 (Inequalities in Triangles Class 9) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्रिभुजों में असमता के उदाहरण (Examples of Inequalities in Triangles) के इस आर्टिकल
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