ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण (Examples of Graphical Method Class 10) के इस आर्टिकल में रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत,यदि संगत है तो उसे ग्राफीय विधि से हल करने के बारे में अध्ययन करेंगे।
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2.ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण (Examples of Graphical Method Class 10):

Example:1.अनुपातों और की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत।
Example:1(i).2x-3y=8;4x-6y=9
Solution:2x-3y-8=0
4x-6y-9=0
व्यापक समीकरण युग्म $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ तथा $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ से तुलना करने पर:

$a_1=2, b_1=-3, c_1=-8 \\ a_2=4, b_2=-6, c_2=-9 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-8}{-9}=\frac{8}{9} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
अतः रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।
Example:1(ii).3x-y=2;6x-2y=4
Solution:3x-y-2=0
6x-2y-4=0
व्यापक समीकरण युग्म $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ तथा $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ से तुलना करने पर:

$a_1=3, b_1=-1, c_1=-2 \\ a_2=6, b_2=-2, c_2=-4 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \\ \therefore \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
अतः रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
Example:1(iii).2x-2y=2;4x-4y=5
Solution:2x-2y-2=0
4x-4y-5=0
व्यापक समीकरण युग्म $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ तथा $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ से तुलना करने पर:

$a_1=2, b_1=-2, c_1=-2 \\ a_2=4, b_2=-4, c_2=-5 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5} \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
अतः रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।
Example:1(iv). $\frac{4}{3}x+2y=8;2x+3y=12$
Solution: $\frac{4}{3}x+2y-8=0$
2x+3y-12=0
व्यापक समीकरण युग्म $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ तथा $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ से तुलना करने पर:

$a_1=\frac{4}{3}, b_1=2, c_1=-8 \\ a_2=2, b_2=3, c_2=-12 \\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}= \frac{4}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{2}{3} \\ \frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{3}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{-8}{-12}=\frac{2}{3} \\ \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
अतः रैखिक समीकरण युग्म संगत है।
Example:2.निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए एवं हल की प्रकृति बताइए।
Example:2(i).x+y=3;3x-2y=4
Solution: $x+y=3 \Rightarrow y=3-x$
x=0 रखने पर y=3-0=3
x=2 रखने पर y=3-2=1
x=3 रखने पर y=3-3=0
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline $x$ & 0 & 2 & 3 \\ \hline $y$ & 3 & 1 & 0 \\ \hline \end{tabular} \\ 3x-2y=4 \Rightarrow-2 y=4-3 x \\ \Rightarrow-2 y=-(3 x-4) \\ \Rightarrow y=\frac{3 x-4}{2}$
x=0 रखने पर $y=-\frac{4}{2}=-2$
x=2 रखने पर $y=\frac{3 \times 2-4}{2}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$
x=4 रखने पर $y=\frac{3 \times 4-4}{2}=\frac{12-4}{2}=\frac{8}{2}=4$
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 2 & 4 \\ \hline$y$ & -2 & 1 & 4 \\ \hline \end{tabular}$
अब दोनों रैखिक युग्म के बिन्दुओं से (सारणी से)
अब दोनों रैखिक युग्म के बिन्दुओं से (सारणी से) ग्राफ खींचने पर

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु P(2,1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः समीकरण युग्म का हल
x=2,y=1 समीकरणों का हल अद्वितीय है।
Example:2(ii).2x-y=4,x+y=-1
Solution: $2 x-y=4 \Rightarrow-y=4-2 x \\ \Rightarrow y=2 x-4$
x=0 पर y=2×0-4=-4
x=1 पर y=2×1-4=-2
x=2 पर y=2×2-4=0
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 1 & 2 \\ \hline$y$ & -4 & -2 & 0 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (0,-4),(1,-2),(2,0)
$x+y=-1 \Rightarrow y=-1-x$
x=0 पर y=-1-0=-1
x=1 पर y=-1-1=-2
x=2 पर y=-1-2=-3
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 1 & 2 \\ \hline$y$ & -1 & -2 & -3 \\ \hline\end{tabular}$
बिन्दु (0,-1),(1,-2),(2,-3)
अब रैखिक समीकरण के बिन्दुओं से ग्राफ खींचने पर:

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु P(1,-2) पर प्रतिच्छेद करती है।अतः समीकरण युग्म का हल x=1,y=2 तथा समीकरणों का हल अद्वितीय है।
Example:2(iii).x+y=5;2x+2y=-10
Solution: $x+y=5 \Rightarrow y=5-x$
x=1 पर y=5-1=4
x=2 पर y=5-2=3
x=3 पर y=5-3=2
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline$x$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline$y$ & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (1,4),(2,3),(3,2)
$2 x+2 y=-10 \Rightarrow 2 y=10-2 x \\ y=\frac{10-2 x}{2}$
x=1 पर $y=\frac{10-2 \times 1}{2}=\frac{8}{2}=4$
x=2 पर $y=\frac{10-2 \times 2}{2}=\frac{60}{2}=3$
x=3 पर $y=\frac{10-2 \times 3}{2}=\frac{4}{2}=2$
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline$x$ & 1 & 2 & 3 \\ \hline$y$ & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (1,4),(2,3),(3,2)
अब रैखिक समीकरणों के बिन्दुओं से ग्राफ खींचने पर

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को ढके हुए है अर्थात् संपाती हैं।अतः समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
Example:2(iv).3x+y=2,2x-3y=5

Solution: $-3 x+y=2 \Rightarrow y=2-3 x$
x=0 पर, y=2-3×0=2
x=1 पर, y=2-3×1=-1
x=-1 पर y=2-3×-1=5
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 1 & -1 \\ \hline$y$ & $2$ & -1 & 5 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (0,2),(1,-1),(-1,5)
$2 x-3 y=5 \Rightarrow-3 y=5-2 x \\ \Rightarrow-3 y=-(2 x-5) \\ \Rightarrow y=\frac{2 x-5}{3}$
x=1 पर, $y=\frac{2 \times 1-5}{3}=\frac{-3}{3}=-1$
x=4 पर, $y=\frac{2 \times 4-5}{3}=\frac{8-5}{3}=\frac{3}{3}=1$
x=-2 पर $y=\frac{2 \times-2-5}{3}=\frac{-4-5}{3}=\frac{-9}{3}=-3$
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 1 & 4 & -2 \\ \hline$y$ & -1 & 1 & -3 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (1,-1),(4,1),(-2,-3)
अब रैखिक समीकरण के बिन्दुओं से ग्राफ खींचने पर:

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु P(1,-1) पर प्रतिच्छेद करती हैं।अतः समीकरण युग्म का हल
x=1,y=-1
Example:3.निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए उन बिन्दुओं के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इनके द्वारा निरूपित रेखाएँ y-अक्ष को काटती है।
Example:3(i).2x-5y+4=0;2x+y-8=0
Solution: $2 x-5 y+4=0 \Rightarrow-5 y=-2 x-4 \\ \Rightarrow y=\frac{-(2 x+4)}{-5} \\ \Rightarrow y=\frac{2x+4}{5}$
x=-2 पर $y=\frac{2(-2)+4}{5}=\frac{0}{5}=0$
x=3 पर, $y=\frac{2 \times 3+4}{5}=\frac{6+y}{5}=\frac{10}{5}=2$
x=0 पर, $y=\frac{2 \times 0+4}{5}=\frac{4}{5}$
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & 3 & 0 \\ \hline y & 0 & 2 & \frac{4}{5} \\ \hline \end{array}$
बिन्दु (-2,0),(3,2),
2x+y-8=0
y=8-2x
x=2 पर, y=8-2×2=4
x=3 पर, y=8-2×3=2
x=0 पर, y=8-2(0)=8
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी
बिन्दु (2,4),(3,2),(0,8)
अब रैखिक समीकरणों के बिन्दुओं से ग्राफ खींचने पर:

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु (3,2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः समीकरण युग्म का हल,
x=3,y=2
तथा समीकरणों 2x-5y+4=0,y-अक्ष को बिन्दु $\left(0,\frac{4}{5}\right)$ एवं 2x+y-8=0,y-अक्ष को बिन्दु (0,8) पर काटती है।
Example:3(ii).3x+2y=12;5x-2y=4
Solution: $3 x+2 y=12 \Rightarrow 2 y=12-3 x \\ \Rightarrow y=\frac{12-3 x}{2}$
x=0 पर, $y=\frac{12-3 \times 0}{2}=\frac{12}{2}=6$
x=2 पर, $y=\frac{12-3 \times 2}{2}=\frac{12-6}{2}=\frac{6}{2}=3$
x=4 पर, $y=\frac{12-3 \times 4}{2}=\frac{12-12}{2}=\frac{0}{2}=0$
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 2 & 4 \\ \hline$y$ & 6 & 3 & 0 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (0,6),(2,3),(4,0)

$5 x-2 y=4 \Rightarrow-2 y=4-5 x \\ \Rightarrow 2 y=5 x-4 \\ \Rightarrow y=\frac{5 x-4}{2}$
x=0 पर, $y=\frac{5 \times 0-4}{2}=-\frac{4}{2}=-2$
x=2 पर, $y=\frac{5 \times 2-4}{2}=\frac{10-4}{2}=\frac{6}{2}=3$
x=4 पर, $y=\frac{5 \times 4-4}{2}=\frac{20-4}{2}=\frac{16}{2}=8$
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 2 & 4 \\ \hline$y$ & -2 & 3 & 8 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (0,-2),(2,3),(4,8)
अब रैखिक समीकरणों के बिन्दुओं से ग्राफ खींचने पर:

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु P(2,3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।अतः समीकरण युग्म का हल
x=2,y=3
तथा समीकरण 3x+2y=12,y-अक्ष को बिन्दु (0,6) एवं 5x-2y=4,y-अक्ष को बिन्दु (0,-2) पर काटती है।
Example:4.निम्न रैखिक समीकरण को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा y-अक्ष एवं युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:
4x-5y=20;3x+5y=15
Solution: $4 x-5 y=20 \\ \Rightarrow-5 y=20-4 x \\ \Rightarrow-5 y=-(4 x-20) \\ \Rightarrow y=\frac{4 x-20}{5}$
x=0 पर, $y=\frac{4 \times 0-20}{5}=\frac{-20}{5}=-4$
x=5 पर, $y=\frac{4 \times 5-20}{5}=\frac{20-20}{5}=0$
प्रथम रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline$x$ & 0 & 5 \\ \hline$y$ & -4 & 0 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (0,-4),(5,0)

$3 x+5 y=15 \\ \Rightarrow 5 y=15-3 x \\ \Rightarrow y=\frac{15-3 x}{5}$
x=0 पर, $y=\frac{15-3 \times 0}{5}=\frac{15}{5}=3$
x=5 पर, $y=\frac{15-3 \times 5 }{5}=\frac{15-15}{5}=0$
द्वितीय रैखिक समीकरण की सारणी

$\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline$x$ & 0 & 5 \\ \hline$y$ & 3 & 0 \\ \hline \end{tabular}$
बिन्दु (0,3),(5,0)
अब रैखिक समीकरणों से ग्राफ खींचने पर:

Examples of Graphical Method Class 10

उपर्युक्त ग्राफ पेपर से स्पष्ट है कि रैखिक समीकरण युग्म से निरूपित रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु P(5,0) पर प्रतिच्छेद करती हैं।अतः समीकरण युग्म का हल,
x=5,y=0
तथा y-अक्ष एवं युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज PAB है जिसके शीर्षों के निर्देशांक P(5,0),A(0,3) एवं B(0,-4) है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण (Examples of Graphical Method Class 10),रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल (Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations) को समझ सकते हैं।

3.ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण के सवाल (Examples of Graphical Method Class 10 Questions):

Examples of Graphical Method Class 10

(1.)निम्न समीकरणों को आलेख विधि से हल कीजिए।
2x+3y=13;5x-2y=4
(2.)निम्न समीकरण निकाय का आलेख विधि से हल ज्ञात कीजिए।निकाय की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
2x+3y=12;2x+3y=6
उत्तर (Answers):(1.)x=2,y=3
(2.)कोई हल विद्यमान नहीं है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण (Examples of Graphical Method Class 10),रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल (Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Graphical Method Class 10),रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल (Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के संगत या असंगत होने की शर्त लिखो। (When is Pair of Linear Equations in Two Variables Consistent and Inconsistent?):

उत्तर:(1.)यदि दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता तो युग्म ‘असंगत’ कहलाते हैं।
(2.)यदि दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का कम-से-कम एक हल हो तो युग्म ‘संगत’ कहलाते हैं।

प्रश्न:2.दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप लिखो। (Write the General Form of Pair of Linear Equations in Two Variables):प्रश्न:2.दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप लिखो। (Write the General Form of Pair of Linear Equations in Two Variables):

उत्तर:दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप $a_1 x+b_1 y+c_1=0$ तथा $a_2 x+b_2 y+c_2=0$ द्वारा व्यक्त करते हैं।

प्रश्न:3.दो चरों वाले रैखिक असमिकाओं के रूप लिखो। (Write the Form of Linear Inequalities with Two Variables):

उत्तर:दो चरों वाले रैखिक असमिकाएँ निम्न प्रकार प्रकट होती हैं:
$ax+by<c, ax+by \leq c$ तथा $ax+by \geq c$ जहाँ $a,b \neq 0$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण (Examples of Graphical Method Class 10),रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल (Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Examples of Graphical Method Class 10

ग्राफीय विधि कक्षा 10 के उदाहरण
(Examples of Graphical Method Class 10)

Examples of Graphical Method Class 10

About Author

Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.