1.परिरेखा समाकलन के उदाहरण का परिचय (Introduction to Examples of Contour Integration),सम्मिश्र विश्लेषण में परिरेखा समाकलन (Contour Integration in Complex Analysis):

Examples of Contour Integration

परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Examples of Contour Integration) के इस आर्टिकल में परिरेखा समाकलन द्वारा कुछ निश्चित समाकल के सवालों को सिद्ध करने के बारे मे अध्ययन करेंगे।
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2.परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Examples of Contour Integration):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
\int_0^\pi \frac{1+2 \cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta=0
Solution:माना I=\int_0^\pi \frac{1+2 \cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta \\ \text{L.H.S. } \int_0^\pi \frac{1+2 \cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta \\ =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{1+2 \cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta \\ =\frac{1}{2 i} \int_C \frac{1+z+\frac{1}{z}}{5+2\left(z+\frac{1}{z}\right)} \cdot \frac{d z}{z} \\ =\frac{1}{2 i} \int_c \frac{z^2+z+1}{z\left(2 z^2+5 z+2\right)} d z \\ =\frac{1}{4 i} \int_C \frac{z^2+z+1}{z\left(z+\frac{1}{z}\right)(z+2)} d z
जहाँ C इकाई वृत्त है।
माना f(z)=\frac{z^2+z+1}{4 i z\left(z+\frac{1}{2}\right)(z+2)} \\ z=0,-\frac{1}{2},-2, f(z)
f(z) के साधारण अनन्तक है।इनमें से z=0,-\frac{1}{2} अन्दर स्थित हैं।
z=0 पर अवशेष \underset{z \rightarrow 0}{\lim}\frac{z\left(z^2+z+1\right)}{4 i z\left(z+\frac{1}{2}\right)(z+2)}=\frac{1}{4 i}
z=-\frac{1}{2} पर अवशेष
\underset{z \rightarrow-\frac{1}{2}}{\lim} \frac{\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(z^2+z+1\right)}{4 i z\left(z+\frac{1}{2}\right)(z+2)} \\ =\underset{z \rightarrow-\frac{1}{2}}{\lim} \frac{\left(z^2+z+1\right)}{4 i z(z+2)} \\ =\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{1}}{4 i(-\frac{1}{2})\left(-\frac{1}{2}+2\right)} \\ =\frac{\frac{3}{4}}{-2 i(\frac{3}{2})}=-\frac{1}{4 i}
C के अन्दर अवशेषों का योग=\frac{1}{4 i}-\frac{1}{4 i}=0
अतः \int_0^\pi \frac{1+2 \cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta=2 \pi i(0)=0
Example:2.मान ज्ञात कीजिए (Evaluate)
\int_0^{2 \pi} \frac{\sin n \theta}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta तथा (and) \int_0^{2 \pi} \frac{\cos n \theta}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta , a^2<1 तथा (and) n धनात्मक पूर्णांक है (n is a positive integer.)
Solution: माना I=\int_0^{2 \pi} \frac{e^{i n \theta}}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta \\ =\int_C \frac{z^n}{1+a\left(z+\frac{1}{z}\right)+a^2} \cdot \frac{d z}{i z} \\ =\int_C \frac{z^n}{i\left(1+az\right)(z+a)} d z=\int_C f(z) d z
जहाँ C इकाई वृत्त है।
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं:
(1+a z)(z+a)=0 \\ \therefore z=-a,-\frac{1}{a}, f(z) के साधारण अनन्तक हैं।
केवल z=-a, C के अन्दर साधारण अनन्तक है।
z=-a पर अवशेष
\underset{z \rightarrow-a}{\lim} (z+a) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow -a}{\lim} (z+a) \frac{z^n}{i(1+a z)(z+a)} \\ =\underset{z \rightarrow-a}{\lim} \frac{z^n}{i(1+a z)} \\ =\frac{(-a)^n}{i\left(1-a^2\right)} \\ \therefore I= \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i n \theta}}{1+2 a \cdot \cos \theta+a^2} d \theta \\ =2 \pi i [C के अन्दर स्थित अनन्तकों का योग ]
=2 \pi i \cdot \frac{(-a)^n}{i\left(1-a^2\right)} \\ =\frac{2 \pi(-1)^n a^n}{1-a^2} \\ \int_0^{2 \pi} \frac{\cos n \theta}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta= \text { Real part of } \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i n \theta}}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta \\ \int_0^{2 \pi} \frac{\cos n \theta}{1+2 a \cos \theta+a^2}=\frac{2 \pi(-1)^n a^n}{1-a^2}
तथा \int_0^{2 \pi} \frac{\sin n \theta}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta=\text{Imaginary part of} \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i n \theta}}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta \\ \Rightarrow \int_0^{2 \pi} \frac{\sin n \theta}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta=0
Example:3.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_0^{2 \pi} \frac{\cos ^2 3 \theta}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta=\pi \frac{1-p+p^2}{1-p}, 0< p < 1
Solution: I =\int_0^{2 \pi} \frac{\cos ^2 3 \theta}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta \\ =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{1+\cos 6 \theta}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta \\ =\frac{1}{2} \text { Real part of } \int_0^{2 \pi} \frac{1+e^{i 6} \theta}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta \\ =\frac{1}{2} \text { real part of } \int_c \frac{1+z^6}{1-p\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+p^2} \cdot \frac{d z}{i z}
z=e^{i \theta} रखने परः
\Rightarrow d z=i e^{i \theta} d \theta \\ =\frac{1}{2} \text { Real part of } \int_C \frac{z \left(1+z^6\right)}{\left(1-p z^2\right)\left(z^2-p\right)} d z \\ =\frac{1}{2} \text { Real part of } \int_C f(z) d z
जहाँ C इकाई वृत्त है।
z= \pm \sqrt{p}, \pm \frac{1}{\sqrt{p}} के साधारण अनन्तक हैं।
जबकि 0< p <1 इसलिए z=\sqrt{p},-\sqrt{p}
साधारण अनन्तक C के अन्दर स्थित है।
z=\sqrt{p} पर अवशेष
\underset{z \rightarrow \sqrt{p}}{\lim} (z-\sqrt{p}) f(z) \\ = \underset{z \rightarrow \sqrt{p}}{\lim} \frac{(z-\sqrt{p}) z\left(1+z^6\right)}{i\left(1+z^2\right)\left(z^2-p\right)} \\ =\frac{1}{2 i} \cdot \left(\frac{1+p^3}{1-p^2}\right)
z=-\sqrt{p} पर अवशेष
\underset{z \rightarrow -\sqrt{p}}{\lim} (z+\sqrt{p}) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow -\sqrt{p}}{\lim} (z+\sqrt{p}) \frac{z\left(1+z^6\right)}{i\left(1-p^2\right)\left(z^2-p\right)} \\ =\frac{1}{2 i} \cdot \frac{1+p^3}{\left(1-p^2\right)}
C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग
=\frac{1}{i}\left(\frac{1+p^3}{1-p^2}\right) \\ \int_0^{2 \pi} \frac{1+e^{i 6 \theta}}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta=2 \pi i \cdot \frac{1}{i}\left(\frac{1+p^3}{1-p^2}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{2 \pi} \frac{1+e^{i 6 \theta}}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta=2 \pi \left(\frac{1+p^3}{1-p^2}\right) \\ \therefore \int_0^{2 \pi} \frac{\cos ^2 3 \theta}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta=\frac{1}{2} \text{real part of} \int_0^{2 \pi} \frac{1+e^{i 6 \theta}}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta \\ =\pi\left(\frac{1+p^3}{1-p^2}\right)=\pi \frac{\left(1+p+p^2\right)}{1-p} \\ \Rightarrow \int_0^{2 \pi} \frac{\cos ^2 3 \theta}{1-2 p \cos 2 \theta+p^2} d \theta=\frac{\pi\left(1+p+p^2\right)}{1-p}
Example:4.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_0^\pi \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^2}=\frac{a \pi}{\left(a^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}, a>1
Solution: \int_0^\pi \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^2} \\=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^2} \\ =\frac{1}{i} \int_C \frac{dz}{2\left[a+\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\right]^2} \\ =\frac{4}{i} \int_c \frac{z \quad dz}{\left(z^2+2 a z+1\right)^2}=\int_C f(z) dz \\ =\frac{4}{i} जहाँ C इकाई वृत्त है।
f(z) के दो द्विक अनन्तक है।
z^2+2 a z+1=0 \\ \Rightarrow z=\frac{-2 a \pm \sqrt{(2 a)^2-4 \times 1 \times 1}}{2} \\ \Rightarrow z=-\frac{2 a \pm \sqrt{4 a^2-4}}{2} \\ \Rightarrow z=-a \pm \sqrt{a^2-1}
माना \alpha=-a+\sqrt{a^2-1}, \beta=-a-\sqrt{a^2-1}
इस प्रकार z=\alpha, \beta , f(z) के दो द्विक अनन्तक है। जबकि a > b > 0 , |\beta| > 1
|\alpha \beta|=1 इसलिए, इस प्रकार z=\alpha , C के अन्दर द्विक अनन्तक है।
f(z)=\frac{4}{i} \cdot \frac{z}{\left(z^2+2 a z+1\right)^2} \\ =\frac{4}{i} \cdot \frac{z}{(z-\alpha)^2(z-\beta)^2}=\frac{1}{(z-\alpha)^2} \phi(z) \\ \phi^{\prime}(\alpha) =\left[\phi^{\prime}(z)\right]_{z=\alpha} \\ =\frac{4}{i}\left[\frac{(z-\beta)^2-2 z(z-\beta)}{(z-\beta)^2}\right]_{z=\alpha} \\ =\frac{4}{i} \left[ \frac{(\alpha-\beta)^2-2 \alpha(\alpha-\beta)}{(\alpha-\beta)^4}\right] \\ =4 i \cdot \frac{(\alpha+\beta)}{(\alpha-\beta)^3} \\ =-\frac{a i}{\left(a^2-1^2\right)^{\frac{3}{2}}}
z=\alpha द्विक अनन्तक पर अवशेष
=\frac{1}{1!} \phi^{\prime}(\alpha) \\ =\frac{-a i}{\left(a^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}
अतः \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^2}=2 \pi i [C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग]
\Rightarrow \int_0^{\pi} \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^2}=\frac{2 \pi a}{\left(a^2-1\right)^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \int_0^\pi \frac{d \theta}{(a+\cos \theta)^2}=\frac{\pi a}{\left(a^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}
Example:5.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(a+b \cos ^2 \theta\right)^2}=\frac{\pi(2 a+b)}{a^{\frac{3}{2}}(a+b)^{\frac{3}{2}}},(a>b>0)
Solution: I=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(a+b \cos ^2 \theta\right)^2}=\int_0^{2 \pi} \frac{4 d \theta}{\left(2 a+2 b \cos ^2 \theta\right)^2} \\ =\int_0^{2 \pi} \frac{4 d \theta}{[2 a+b(1+\cos 2 \theta)]^2} \\ =\int_0^{2 \pi} \frac{4 d \theta}{(2 a+b+b \cos 2 \theta)^2} \\ t=2 \theta रखने पर \Rightarrow d t=2 d \theta \\ =\int_0^{4 \pi} \frac{2 d t}{(2 a+b+b \cos t)^2} \\ =4 \int_0^{2 \pi} \frac{d t}{(2 a+b+b \cos t)^2} \\ =\frac{4}{i} \int_0 \frac{d z}{z\left[2 a+b+\frac{1}{2} b\left(z+\frac{1}{z}\right) \right]^2} \\ =\frac{4}{i} \int_C \frac{z d z}{\left(b z^2+2(2 a+b) z+b\right)^2} \\ =\frac{4}{i b^2} \int_c \frac{z d z}{\left[z^2+\frac{2(2 a+b)}{b} z+1\right]^2}=\int_C f(z) d z
जहाँ C इकाई वृत्त है।
f(z) के द्विक अनन्तक दिए जाते हैं
z^2+\frac{2(2 a+b)}{b} z+1=0 \\ \Rightarrow z =\frac{1}{2}\left[-\frac{2(2 a+b)}{b} \pm \sqrt{\left(\frac{4(2 a+b)^2}{b^2}-4\right)}\right] \\ =\left[\frac{-(2 a+b) \pm \sqrt{(2 a+b)^2-b^2}}{b}\right] \\ =\frac{-(2 a+b) \pm \sqrt{\left(4 a^2+4 a b\right)}}{b}
माना \alpha=\frac{-(2 a+b)+\sqrt{4 a^2+4 a b}}{b} \\ \beta=\frac{-(2 a+b)-\sqrt{4 a^2+4 a b}}{b}
इस प्रकार z=\alpha , \beta , f(z) के द्विक अनन्तक है जबकि a>b>0 , |\beta|>1
|\alpha \beta|=1 अतः |\alpha| < 1 इस प्रकार z=\alpha
C के अन्दर द्विक अनन्तक है।
f(z)=\frac{4}{i b^2} \cdot \frac{z}{\left[z^2+\frac{2(2 a+b)}{b} z+1\right]^2} \\ =\frac{4}{i b^2} \cdot \frac{z}{(z-\alpha)^2(z-\beta)^2} \\ =\frac{1}{(z-\alpha)^2} \phi(z) \\ \phi^{\prime}(\alpha) =\left[ \phi^{\prime}(z)\right]_{z=\alpha} \\ =\frac{4}{i b^2}\left[\frac{(z-\beta)^2-2 z(z-\beta)}{(z-\beta)^4} \right]_{z=\alpha} \\ =\frac{4}{i b^2}\left[\frac{(\alpha-\beta)^2-2 \alpha(\alpha-\beta)}{(\alpha-\beta)^4}\right] \\=\frac{4 i}{b^2} \cdot \frac{(\alpha+\beta)}{(\alpha-\beta)^3} \\ =-\frac{(2 a+b) i}{2a^{\frac{3}{2}}(a+b)^{\frac{3}{2}}} \\ z=\alpha द्विक अनन्तक पर अवशेष
=\frac{1}{1 !} \phi^{\prime}(\alpha)=\frac{-(2 a+b) i}{2 a^{\frac{3}{2}}(a+b)^{\frac{3}{2}}} \\ \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(a+b \cos ^2 \theta\right)^2}=2 \pi i [C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग]
=2 \pi i \times \frac{-(2 a+b) i}{2 a^{\frac{3}{2}}(a+b)^{\frac{3}{2}}} \\ =\frac{\pi(2 a+b)}{a^{\frac{3}{2}}(a+b)^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(a+b \cos ^2 \theta\right)} =\frac{\pi(2 a+b)}{a^{\frac{3}{2}}(a+b)^{\frac{3}{2}}}

Examples of Contour Integration

Example:6.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
\int_0^{2 \pi} \frac{(1+2 \cos \theta)^n \cos n \theta}{3+2 \cos \theta} d \theta=\frac{2 \pi}{\sqrt{5}}(3-\sqrt{5})^n ,\forall n \in I
Solution:माना I=\int_0^{2 \pi} \frac{(1+2 \cos \theta)^n \cos n \theta}{3+2 \cos \theta} d \theta \\ =\text { Real part of } \int_0^{2 \pi} \frac{(1+2 \cos \theta)^n e^{i n \theta}}{3+2 \cos \theta} d \theta \cdots(1) \\ z=e^{i \theta} रखने पर
\Rightarrow d z=i e^{i \theta} d \theta \\ \int_0^{2 \pi} \frac{(1+2 \cos \theta)^n e^{i n \theta}}{3+2 \cos \theta} d \theta=\int_C \frac{\left(1+z+\frac{1}{2}\right)^n z^n}{3+z+\frac{1}{z}} \cdot \frac{d z}{i z} \\ =\int_C \frac{\left(z^2+z+1\right)^n}{i\left(z^2+3 z+1\right)} d z=\int_C f(z) d z
जहाँ C इकाई वृत्त है।
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं z^2+3 z+1=0 \\ \Rightarrow z=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \\ z=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}=\alpha, z=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=\beta, f(z) के साधारण अनन्तक हैं।
जबकि |\alpha \beta|=1 तथा |\beta| > |\alpha| इसलिए | \alpha | < 1
इस प्रकार z=\alpha ,C के अन्दर f(z) का साधारण अनन्तक है।
z=\alpha पर अवशेष
\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} (z-\alpha) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} (z-\alpha) \frac{\left(z^2+z+1\right)^n}{i(z-\alpha)(z-\beta)} \\ =\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{\left(z^2+z+1\right)^n}{i(z-\beta)} \\ =\frac{\left(\alpha^2+\alpha+1\right)^n}{i(\alpha-\beta)} =\frac{(3-\sqrt{5})^n}{i \sqrt{5}} \\ \int_0^{2 \pi} \frac{(1+2 \cos \theta)^n e^{i n \theta}}{(3+2 \cos \theta)} d \theta=2 \pi i [C के अन्दर अनन्तकों पर अवशेषों का योग]
=2 \pi \frac{(3-\sqrt{5})^n}{\sqrt{5}}
अतः (1) से:
\int_0^{2 \pi} \frac{(1+2 \cos \theta)^n \cos n \theta}{3+2 \cos \theta} d \theta=\frac{2 \pi(3-\sqrt{5})^n}{\sqrt{5}}
Example:7.दर्शाइए कि (Show that)
\int_0^\pi \tan (\theta+i a) d \theta=i \pi, जहाँ (where) R(a)>0
Solution: I=\int_0^\pi \tan (\theta+i a) d \theta \\ =\int_0^\pi \frac{\sin (\theta+i a)}{\cos (\theta+i a)} d \theta \\ =\int_0^\pi \frac{2 \sin (\theta+i a) \cos (\theta-i a)}{2 \cos (\theta+i a) \cos (\theta-i a)} d \theta \\ =\int_0^\pi \frac{\sin 2 \theta+\sin 2 i a}{\cos 2 \theta+\cos 2 i a} d \theta
2 \theta=t रखने परः
\Rightarrow 2 d \theta=d t \\ =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{\sin t+i \sinh 2 a}{\cos t+\cosh 2 a} d t \\ =\frac{1}{2} \int_C \frac{\frac{1}{2 i}\left(z-\frac{1}{z}\right)+i \sinh 2 a}{\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{2}\right)+\cosh 2 a} \cdot \frac{d z}{i z}
जहाँ C, |z|= 1 इकाई वृत्त है।
=-\frac{1}{2} \int_C \frac{\left(z^2-2 z \sinh 2 a-1\right)}{z\left(z^2+2 z \cosh 2 a+1\right)} d z \\ =\int_C f(z) d z
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं
z\left(z^2+2 z \cosh 2 a+1\right)=0 \\ \Rightarrow z=0, z=\frac{-2 \cosh 2 a \pm \sqrt{\left(4 \cosh ^2 2 a-4\right)}}{2} \\ \Rightarrow z=0,-\cosh 2 a \pm \sinh 2 a \\ \Rightarrow z=0,-\cosh 2 a+\sinh 2 a=\alpha,-\cosh 2 a-\sinh 2 a=\beta \\ |\alpha \beta|=1,|\alpha|<1 तथा |\beta|>1 इसलिए z=0, \alpha C के अन्दर साधारण अनन्तक है
z=0 अनन्तक पर अवशेष
\underset{z \rightarrow 0}{\lim} z f(z)=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\left(z^2-2 z \sinh 2 a-1\right)}{2\left(z^2+2 z \cosh 2 a+1\right)}=\frac{1}{2}
z=\alpha अनन्तक पर अवशेष
\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} (z-\alpha) f(z)=\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} (z-\alpha) \left[\frac{-\left(z^2-2 z \sinh 2 a-1\right)}{2z(z-\alpha)(z-\beta)} \right] \\ =-\frac{\alpha^2-2 \alpha \sinh 2 a-1}{2 \alpha(\alpha-\beta)} \\ =-\frac{\alpha-2 \sinh 2 a-\beta}{2(\alpha-\beta)}=-\frac{1}{2}+\frac{\sinh 2 a}{2 \sinh 2 a}=0
C के अन्दर अनन्तक पर अवशेषों का योग=\frac{1}{2} \\ \therefore \int_0^\pi \tan (\theta+i a) d \theta=2 \pi i\left(\frac{1}{2}\right)=i \pi
Example:8.परिरेखा समाकलन विधि से सिद्ध कीजिए कि \int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cos (n \theta-\sin \theta) d \theta =\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cdot \cos (\sin \theta-n \theta) d \theta=\frac{2 \pi}{n!} ,जहाँ n एक धनात्मक पूर्णांक है।
(By the method of contour integration, prove that \int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cos (n \theta-\sin \theta) d \theta =\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cdot \cos (\sin \theta-n \theta) d \theta=\frac{2 \pi}{n!} , where n is a positive integer.)
Solution: \int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cos (n \theta-\sin \theta) d \theta \\ =\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta}(\sin \theta-n \theta) d \theta \left[\because \cos (-\theta)=\cos \theta) \right] \\ I=\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} e^{i(\sin \theta-n \theta)} d \theta \\ =\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta+i \sin \theta} \cdot e^{-i n \theta} d \theta \\ =\int_0^{2 \pi} e^{i \theta} e^{-i n \theta} d \theta \\ =\int_c e^z \cdot z^{-n} \cdot \frac{d z}{i z} [ z=e^{i \theta} रखने पर]
=\int_C \frac{e^z}{i z^n+1} d z=\int_C f(z) d z
जहाँ C इकाई वृत्त है।
फलन f(z) में z=0 (n+1) घात का अनन्तक है।
z=0 पर अवशेष=\frac{1}{n!}\left[D^n \frac{e^z}{i}\right]_{z=0} \\=\frac{1}{i n!} \\ I=2 \pi i \cdot \frac{1}{i n!}=\frac{2 \pi}{n!}
दोनों पक्षों के वास्तविक भाग की तुलना करने पर:
\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta-n \theta) d \theta=\frac{2 \pi}{n!}
Example:9.सिद्ध कीजिए कि (prove that)
\int_0^{2 \pi} e^{-\cos \theta} \cos (n \theta+\sin \theta) d \theta=(-1)^n \frac{2 \pi}{n!} जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है। (where n is positive integer.)
Solution: I=\int_0^{2 \pi} e^{-\cos \theta} e^{-i(\sin \theta+n \theta)} d \theta\\ =\int_0^{2 \pi} e^{-(\cos \theta+i \sin \theta)} e^{-i n \theta} d \theta \\ =\int_0^{2 \pi} e^{-i \theta} e^{-i n \theta} d \theta \\ z=e^{i \theta} रखने परः
\Rightarrow d z=i e^{i \theta} d \theta \\ =\int_C e^{-z} z^{-n} \cdot \frac{d z}{i z} \\ =\int_C \frac{e^{-z}}{i z^{n+1}} d z=\int_{C} f(z) \cdot dz
जहाँ C इकाई वृत्त है।
z=0, f(z) का (n+1) घात का अनन्तक है।
z=0 पर अवशेष =\frac{1}{n!}\left[D^n\left(\frac{1}{i} e^{-z}\right)\right]_{z=0} \\ =\frac{(-1)^n}{i n!} \\ \therefore I=2 \pi i \cdot \frac{(-1)^n}{i n!} \\ \Rightarrow I=(-1)^n \frac{2 \pi}{n!}
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने परः
\int_0^{2 \pi} e^{-\cos \theta} \cos (n \theta+\sin \theta) d \theta=(-1)^n \frac{2 \pi}{n!}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Examples of Contour Integration),सम्मिश्र विश्लेषण में परिरेखा समाकलन (Contour Integration in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

Examples of Contour Integration

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3.परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Frequently Asked Questions Related to Examples of Contour Integration),सम्मिश्र विश्लेषण में परिरेखा समाकलन (Contour Integration in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

परिरेखा समाकलन के उदाहरण (Examples of Contour Integration) के इस आर्टिकल में
परिरेखा समाकलन द्वारा कुछ निश्चित समाकल के सवालों को सिद्ध करने के बारे मे अध्ययन करेंगे।