1.यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations),nवें कोटि के यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations of nth Order):

Exact Linear Differential Equations

यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations) का व्यापक हल ज्ञात करना सीख चुके हैं।इस आर्टिकल में द्वि तथा उच्च कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों का हल ज्ञात करना सीखेंगे।
एक n कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के लिये यथातथ का प्रतिबन्ध (Condition of Exactness for a Linear Equation of Order n):
मानलो n कोटि का रैखिक अवकल समीकरण हैः

P_0 \frac{d^n y}{d x^n}+P_1 \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\cdots \cdots+P_n y=Q \cdots(1)
जहाँ P_0, P_1, \ldots, P_n और Q सिर्फ x के फलन हैं।मानलो (1) यथातथ है अर्थात् यह (n-1) कोटि के समीकरण से अवकलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।चूँकि (1) का प्रथम पद, P_0 \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} का एक अवकलन करके प्राप्त किया जा सकता है,अतः (1) का प्रथम समाकलन निम्न रूप का होगाः

P_0 \frac{d^{n-1}y}{d x^{n-1}}+Q_1 \frac{d^{n-2} y}{d x^{n-2}}+\cdots \cdots+Q_{n-1} y=\int Q d x+c \cdots(2)
जहाँ Q_1, Q_2, \ldots, Q_{n-1} सिर्फ x के फलन हैं।(2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हमें प्राप्त होगाः

P_0 \frac{d^n y}{d x^n}+\left(P_0^{\prime}+Q_1\right) \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+ \left( Q_1^{\prime} +Q_2\right) \frac{d^{n-2}y}{d x^{ n-2}}+\left(Q_{n-2}^{\prime}+Q_{n-1}\right) \frac{d y}{d x}+Q_{n-1}^{\prime} y=Q \cdots(3)
समीकरण (1) तथा (3) समान होने चाहिए।अतः इनके गुणांकों की तुलना करने पर,
P_0=P_{0,}, P_1=P_0^{\prime}+Q_1, P_2=Q_1^{\prime}+Q_2, P_3=Q_2^{\prime}+Q_3 \ldots \ldots P_{n-1}=Q_{n-2}^{\prime}+Q_{n-1} \text { तथा } P_n=Q_{n-1}^{\prime}
अब प्रतिबन्ध ज्ञात करने के लिए हम सभी Q’s का विलोपन कर P’s में कुछ सम्बन्ध ज्ञात करेंगे।अतः उपर्युक्त सम्बन्धों से,

Q_1=P_1-P_0^{\prime} \\ Q_2=P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime} \\ Q_3=P_3-P_2^{\prime}+ P_1^{\prime \prime}-P_0^{\prime \prime} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ Q_{n-1}=P_{n-1}-P_{n-2}^{\prime}+P_{n-3}^{\prime \prime \prime}+\ldots \ldots+(-1)^{n-1} P_0^n \\ \Rightarrow P_n-P_{n-1}^{\prime}+P_{n-2}^{\prime \prime}-P_{n-3}^{\prime \prime \prime}+ \ldots \ldots+(-1)^n P_0^n=0 \cdots(4)
जो कि समीकरण (1) के यथातथ होने का अभीष्ट प्रतिबन्ध है
अब उपर्युक्त सम्बन्धों से Q_1,Q_2, Q_3 \ldots \ldots Q_{n-1} के मान (2) में रखने पर (1) का प्रथम समाकल निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

P_0 \cdot \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d^{n-2} y}{d x^{n-2}}+ \left(P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}\right) \frac{d^{n-1}y}{d x^{n-1}}+\ldots \ldots+\left(P_{n-1}-P_{n-2}^{\prime}+P_{n-3}^{ \prime \prime \prime}+\cdots+\left(-1\right)^{n-1} P_0^{n-1}\right) y =\int Q d x+c \cdots(5)
अतः समीकरण (1) के लिए यदि प्रतिबन्ध (4) सन्तुष्ट हो तो इसका प्रथम समाकल (5) द्वारा दिया जा सकता है।
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2.यथातथ रैखिक अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Exact Linear Differential Equations Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Sovle the following differential equations):
Example:1. \left(1+x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x \frac{d y}{d x}+y=0
Solution: \left(1+x^2\right) \frac{d^{2}y}{d x^2}+3 x \frac{d y}{d x}+y=0
यहाँ P_0=1+x^2, P_1=3 x, P_2=1
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=1-3+2=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P^{\prime}\right) y=C_1 \\ \left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=C_1 \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\frac{x}{1+x^2} y =\frac{C_{1}}{1+x^2} \cdots(2)
यहाँ I.F.=e^{\int \frac{x}{1+x^2} d x} \\ =e^{\frac{1}{2} \log \left(1+x^2\right)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\sqrt{1+x^2}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \sqrt{1+x^2} =\int \sqrt{\left(1+x^2\right)} \cdot \frac{C_1}{\left(1+x^2\right)} d x+C_2 \\ =\int \frac{C_1}{\sqrt{1+x^2}} d x+C_2 \\ \Rightarrow y \cdot \sqrt{1+x^2} =C_1 \log \left\{x+ \sqrt{1+ x^2} \right\}+C_2
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:2. x \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(x^2-3\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 x \frac{d y}{d x}+2 y=0
Solution: x \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(x^2-3\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+4 x \frac{d y}{d x}+2 y=0
यहाँ P_0=x, P_1=x^2-3, P_2=4 x \text { तथा } P_3=2
अब P_3-P_2^{\prime}+P_1^{\prime \prime}+P_0^{\prime \prime \prime}=2-4+2-0=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d y}{d x}+\left(P_2-P_1^{\prime}+ P_0^{\prime \prime}\right) y=C_{1} \\ x \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x^2-3-1\right) \frac{d y}{d x}+(4 x-2 x+0) y=C_{1} \\ \Rightarrow x \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x^2-4\right) \frac{d y}{d x}+2 x y=C_{1} \cdots(1)
पुनः समीकरण (1) मेंः

P_0=x, P_1=x^2-4, P_2=2 x \text { तथा } Q=C_{1}
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=2 x-2 x+0=0
अतः समीकरण (1) भी यथातथ है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int C_1 d x+C_2 \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x} +\left(x^2-4-1\right) y=C_{1} x+C_{2}\\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}+\left(x^2-5\right) y=C_{1} x+C_{2} \cdots(2)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\left(x-\frac{5}{x}\right) y=C_{1}+\frac{C_{2}}{x} \cdots(3)
यहाँ I.F.=e^{\int \left(x-\frac{5}{x}\right) d x} \\ =e^{\frac{x^2}{2}-5 \log x} \\ =e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^{-5 \log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{x^5}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot\left(\frac{e^{x^2}}{x^5}\right)=C_1 \int \frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{x^5} d x+C_2 \int \frac{e^{\frac{x^2}{2}}}{x^6} d x+C_{3}
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:3. \sin x \frac{d^2 y}{d x^2}-\cos x \frac{d y}{d x}+2 y \sin x=0
Solution: \sin x \frac{d^2 y}{d x^2}-\cos x \frac{d y}{d x}+2 y \sin x=0
यहाँ P_0=\sin x, P_1=-\cos x तथा P_2=2 \sin x
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=2 \sin x-\sin x-\sin x=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=C_{1} \\ \Rightarrow \sin x \frac{d y}{d x}+(-\cos x-\cos x) y=C_{1} \\ \Rightarrow \sin x \frac{d y}{d x}-(2 \cos x) y=C_{1} \ldots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}-(2 \cot x) y=\frac{C_{1}}{\sin x} \cdots(2)
यहाँ I .F.=e^{(-2 \cot x) d x} \\ =e^{-2 \log \sin x} \\ \Rightarrow \text { I.F.}=\frac{1}{\sin ^2 x}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \frac{1}{\sin^2 x}=\int \frac{1}{\sin^2 x} \frac{C_{1}}{\sin x} dx+C_2 \\ \Rightarrow \frac{y}{\sin^2 x}= C_{1} \int \operatorname{cosec}^2 x \cdot \operatorname{cosec} x dx+C_{2} \\ =C_{1} \operatorname{cosec} x \int \operatorname{cosec}^2 x dx-C_{1} \left[ \int \frac{d}{d x} \operatorname{cosec} x \int \operatorname{cosec}^2 x dx\right] d x+C_2 \\ = -C_1 \operatorname{cosec} x \cot x-\int \operatorname{cosec} x \cot x \cdot \cot x dx+C_{2} \\ =-C_1 \operatorname{cosec} x \cot x-\int \operatorname{cosec} x \cot ^2 x d x+C_{2} \\ =-C_1 \operatorname{cosec} x \cot x-\int \operatorname{cosec} x \left(\operatorname{cosec}^2 x-1\right)dx+C_{2} \\=-C_{1}\operatorname{cosec}  x \cot x-\int \operatorname{cosec}^3 x d x+\int \operatorname{cosec} x dx+C_{2} \\ =-\frac{1}{2} C_{1} \operatorname{cosec} x \cot x+\frac{1}{2} \log \tan \frac{x}{2}+C_{2} \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{2} C_{1} \operatorname{cosec} x \cot x \sin^2 x+\frac{1}{2} \sin^2 x \log \left(\tan \frac{x}{2}\right)+C_{2} \sin^2 x \\ \Rightarrow y=-\frac{1}{2} C_1 \operatorname{cosec} x+\frac{1}{2} \sin^2 x \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)+C_2 \sin^2 x
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:4. \left(x^3-4 x\right) \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(9 x^2-12\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+18 x \frac{d y}{d x}+6 y=0
Solution: \left(x^3-4 x\right) \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(9 x^2-12\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+18 x \frac{d y}{d x}+6y=0
यहाँ P_0=x^3-4 x, P_1=9 x^2-12, P_2=18 x \text { तथा } P_3=6
अब P_2-P_2^{\prime}+P_1^{\prime \prime}-P_0^{\prime \prime \prime}=6-18+18-6=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d^2 y}{d x^{2}}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d y}{d x}+\left(P_2-P_1^{\prime} +P_0^{\prime \prime}\right) y=C_1 \\ \Rightarrow \left(x^3-4 x\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(9 x^2-12-3 x^2+4\right) \frac{d y}{d x}+(18 x-18 x +6 x) y=C_1 \\ \Rightarrow \left(x^3-4 x\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(6 x^2-8\right) \frac{d y}{d x}+6 x y=C_1 \cdots(1)
पुनः समीकरण (1) मेंः

P_0=x^3-4 x, P_1=6 x^2-8, P_2=6 x \text { तथा } Q=C_{1}
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=6 x-12 x+6 x=0
अतः समीकरण (1) भी यथातथ है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int C_1 d x+C_2 \\ \Rightarrow \left(x^3-4 x \right) \frac{d y}{d x}+\left(6 x^2-8-3 x^2+4\right) y=C_1 x+C_2 \\ \Rightarrow \left(x^3-4 x\right) \frac{d y}{d x}+\left(3 x^2-4\right) y=C_1 x+C_2 \cdots(2)
पुनः समीकरण (2) मेंः

P_0=x^3-4 x, P_1=3 x^2-4 \text { तथा } Q=C_{1} x+C_2
अब P_1-P_0^{\prime}=3 x^2-4-3 x^2+4=0
अतः समीकरण (2) भी यथातथ है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_{0} y=\int\left(C_{1} x+C_2\right) d x+C_3 \\ \Rightarrow \left(x^3-4 x\right) y=C_1 \frac{x^2}{2}+C_2 x+C_3
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:5. x \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(x^2+x+3\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+(4 x+2) \frac{d y}{d x}+2y=0
Solution: x \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(x^2+x+3\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+(4 x+2) \frac{d y}{d x}+2y=0
यहाँ P_0=x, P_1=x^2+x+3, P_2=4x+2 तथा P_3=2
अब P_3-P_2^{\prime}+P_1^{\prime \prime}-P_0^{\prime \prime \prime}=2-4+2-0=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d y}{d x}+\left(P_2-P_1^{\prime}+ P_0^{\prime \prime}\right) y=C_{1} \\ \Rightarrow x \frac{d^2 y}{d x^{2}}+\left(x^2+x+3-1\right) \frac{d y}{d x}+(4 x+2-2 x-1+0) y=C_{1} \\ \Rightarrow x \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(x^2+x+2\right) \frac{d y}{d x}+(2 x+1) y=C_{1} \cdots(1)
पुनः समीकरण (1) में

P_0=x, P_1=x^2+x+2, P_2=2 x+1 \text { तथा } Q=C_{1}
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=2 x+1-2 x-1+0=0
अतः समीकरण (1) भी यथातथ है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int C_1 d x+C_2 \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x} +\left(x^2+x+2-1\right) y=C_{1} x+C_2 \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}+\left(x^2+x+1\right) y=C_1 x+C_{2} \cdots(2)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\left(x+1+\frac{1}{x}\right) y=\left(C_1 x+C_2\right) \frac{1}{x} \cdots(3)
यहाँ I.F.=e^{\int (x+1+\frac{1}{x}) d x} \\ =e^{\frac{x^2}{2}+x+\log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}= e^{\frac{1}{2} x(x+2)} \cdot x
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot e^{\frac{1}{2} x(x+2)}=\int\left(C_1 x+C_2\right) e^{\frac{1}{2} x(x+2)} d x+C_3
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:6. x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{(1-x)^2}
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x \frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{(1-x)^2}
यहाँ P_0=x^2, P_1=3 x, P_2=1 तथा Q=\frac{1}{(1-x)^2}
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=1-3+2=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int \frac{1}{(1-x)^2} d x+C_{1} \\ \Rightarrow x^2 \frac{d y}{d x}+(3 x-2 x) y=\frac{1}{1-x}+C_1 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d y}{d x}+x y=\frac{1}{1-x}+C_{1} \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x} +\frac{y}{x}=\frac{1}{x^2(1-x)}+\frac{C_{1}}{x^2} \cdots(2)
यहाँ I.F.=e^{\int \frac{1}{x} d x} \\ =e^{\log x} \\ \Rightarrow \text {I.F.}=x
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot x =\int x-\frac{1}{x^2(1-x)} d x+\int x \cdot \frac{C_{1}}{x^2} d x+C_{2}\\ \Rightarrow x y =\int \frac{1}{x(1-x)} d x+\int \frac{C_{1}}{x} d x+C_{2} \\ \Rightarrow x y =\int\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right] dx+C_{1} \log x+C_{2} \\ \Rightarrow x y =\log x-\log (1-x)+C_{1} \log x+C_{2} \\ \Rightarrow yx=\log \left(\frac{x}{1-x}\right)+C_{1} \log x+C_2
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।

Exact Linear Differential Equations

Example:7. x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-y=e^x
Solution: x \frac{d^2 y}{d x^2}+(1-x) \frac{d y}{d x}-y=e^x
यहाँ P_0=x, P_1=1-x, P_2=-1 तथा Q=e^x
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=-1+1+0=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int e^x d x+C_{1} \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}+(1-x-1) y=e^x+C_{1} \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}-x y=e^x+C_{1} \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d x}{d x}-y=\frac{e^x}{x}+\frac{C_{1}}{x} \ldots(2)
यहाँ I.F.=e^{\int(-1) d x} \\ \Rightarrow \text {I.F.}=e^{-x}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot e^{-x}=\int e^{-x} \cdot \frac{e^x}{x} d x+C_{1} \int \frac{e^{-x}}{x} d x+C_{2} \\ \Rightarrow y e^{-x}=\int \frac{1}{x} dx+C_{1} \int \frac{e^{-x}}{x} d x+C_{2} \\ \Rightarrow y=e^x \log x+C_{1} e^x \int \frac{e^{-x}}{x} d x+C_{2} e^x
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:8(a). \frac{d^2 y}{d x^2}+2 e^x \frac{d y}{d x}+2 e^x y=x^2
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+2 e^x \frac{d y}{d x}+2 e^x y=x^2
यहाँ P_0=1, P_1=2 e^x, P_2=2 e^x[/katex] तथा Q=x^2
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=2 e^x-2 e^x=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int x^2 dx+C_{1} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}+2 e^x y=\frac{1}{3} x^3+C_{1} \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+2 e^x y=\frac{1}{3} x^3+C_{1} \ldots(2)
यहाँ I.F.=e^{\int 2 e^x} d x \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{2 e^x}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot e^{2 e^x}=\frac{1}{3} \int e^{2 e^x} x^3 d x+C_{1} \int e^{2 e^x} d x+C_2
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:8(b). x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 \frac{d y}{d x}-2 y=x
Solution: x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 \frac{d y}{d x}-2 y=x
यहाँ P_0=x^2, P_1=3, P_2=-2 तथा Q=x
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=-2+0+2=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int x d x+C_1 \\ \Rightarrow x^2 \frac{d y}{d x}+(3-2 x) y=\frac{1}{2} x^2+C_1 \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\left(\frac{3-2 x}{x^2}\right) y=\frac{1}{2}+\frac{C_{1}}{x^2} \cdots(2)
यहाँ I.F.=e^{\int\left(\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}\right) d x} \\ =e^{-\frac{3}{x}-2 \log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{e^{-\frac{3}{x}}}{x^2}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \frac{e^{-\frac{3}{x}}}{x^2}=\frac{1}{2} \int \frac{e^{-\frac{3}{x}}}{x^2} d x+C_1 \int e^{-\frac{3}{x}} dx+C_2
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:9. \left(a x-b x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+2 a \frac{d y}{d x}+2 by=x
Solution: \left(a x-b x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+2 a \frac{d y}{d x}+2 by=x
यहाँ P_0=a x-b x^2, P_1=2 a, P_2=2 b तथा  Q=x
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=2 b-0-2 b=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int x d x+C_1 \\ \Rightarrow \left(a x-b x^2\right) \frac{d y}{d x}+(a+2 b x) y=\frac{1}{2} x^2+C_1
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः

\frac{d y}{d x}+\left(\frac{a+2 b x}{a x-b x^2}\right) y=\frac{\frac{1}{2} x}{(a-b x)}+\frac{C_{1}}{x(a-b x)}
यहाँ I.F.=e^{\int \frac{a+2 b x}{x(a-b x)} d x} \\ =e^{\int\left[\frac{1}{x}+\frac{3 b}{a-b x}\right] d x} \\ =e^{[\log x-3 \log (a-b x)]} \\=e^{\log \frac{x}{(a-b x)^{3}}} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{x}{(a-b x)^3}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः

y \cdot \frac{x}{(a-b x)^3}=\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{(a-b x)^4} d x+\int \frac{C_1}{(a-b x)^4} d x+C_2
प्रथम समाकल में bx=a \sin ^2 \theta रखने परः

b dx=2 a \sin \theta \cos \theta d \theta \\ \text { तथा } \tan ^2 \theta =\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta =\frac{\frac{b}{a}}{\left(1-\frac{b x}{a} \right)} \\ \Rightarrow \tan ^2 \theta =\frac{b x}{(a-b x)} \\ =\frac{1}{a b^3} \int \tan ^5 \theta \cdot \sec ^2 \theta d \theta+\frac{C_1}{3 b(a-bx)^3}+C_2 \\ =\frac{1}{6 a^2 b^3} \tan ^6 \theta+\frac{C_1}{3 b(a-b x)^3}+C_2 \\ =\frac{1}{6 a^2 b^3}\left(\frac{b x}{a-b x}\right)^3+\frac{C_{1}}{3 b(a-b x)^3}+C_2 \\ \Rightarrow y x=\frac{x^3}{6 a}+\frac{C_{1}}{3 b}+C_2(a-b x)^3
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:10.प्रदर्शित कीजिए कि समीकरण (Show that the equation)

x^3 \frac{d^3 y}{d x^3}+4 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x\left(x^2+2\right)+3 x^2 y=2x
यथातथ है और इसका प्रथम समाकल ज्ञात कीजिए (is exact and find the first integral).
Solution: x^3 \frac{d^3 y}{d x^3}+4 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+x\left(x^2+2\right)+3 x^2 y=2x
यहाँ P_0=x^3, P_1=4 x^2, P_2=x^2+2 x तथा  Q=2 x
अब P_3-P_2^{\prime}+P_1^{\prime \prime}-P_0^{\prime \prime \prime}=3 x^2-3 x^2-2-8+6=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d y}{d x}+\left(P_2-P_1^{\prime}+ P_0^{\prime \prime}\right) y=2 \int x d x+C_1 \\ \Rightarrow x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(4 x^2-3 x^2\right) \frac{d y}{d x}+\left(x^2+2 x-8 x+6 x\right)y=x^2+C_{1} \\ \Rightarrow x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}+x^2 \frac{d y}{d x} +x^3 y=x^2+C_{1}
Example:11.सिद्ध कीजिए कि समीकरण (Show that the equation)

x^3 \frac{d^3 y}{d x^3}+9 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+18 x \frac{d y}{d x}+6 y=\cos x
यथातथ है और इसका प्रथम समाकल ज्ञात कीजिए (is exact and find the first integral).
Solution: x^3 \frac{d^3 y}{d x^3}+9 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+18 x \frac{d y}{d x}+6 y=\cos x
यहाँ P_0=x^3, P_1=9 x^2, P_2=18 x, P_3=6 \text { तथा } Q=\cos x
अब P_3-P_2^{\prime}+P_1^{\prime \prime}-P_0^{\prime \prime \prime}=6-18+18-6=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d y}{d x}+\left(P_2-P_1^{\prime}+ P_0^{\prime \prime}\right) y=\int \cos x dx+C_1 \\ \Rightarrow x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(9 x^2-3 x^2\right) \frac{d y}{d x}+(18 x-18 x+6 x) y=\sin x+C_{1} \\ \Rightarrow x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}+6 x^2 \frac{d y}{d x}+6 x y=\sin x+C_{1}
Example:12.निम्न समीकरण का प्रथम समाकल ज्ञात कीजिएः(Find the first integral of the following equation):

x^5 \cdot \frac{d^6 y}{d x^6}+x^4 \frac{d^5 y}{d x^5}+x \frac{d y}{d x}+y=\log x
Solution: x^5 \cdot \frac{d^6 y}{d x^6}+x^4 \frac{d^5 y}{d x^5}+x \frac{d y}{d x}+y=\log x
यहाँ P_0=x^5, P_1=x^4, P_2=0, P_3=0, P_4=0, P_5=x, P_6=1 \text { तथा } Q=\log x
अब P_6-P_5^{\prime}+P_4^{\prime \prime}-P_3^{\prime \prime \prime}+P_2^{\prime \prime \prime \prime}-P_1^{\prime \prime \prime \prime \prime}+P_0^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime}=1-1+0-0+0-0+0=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (Exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः

P_0 \frac{d^5 y}{d x^5}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) \frac{d^{4}y}{d x^4}+\left(P_2-P_1^{\prime}+ P_0^{\prime \prime}\right) \frac{d^3 y}{d x^3} +\left(P_3-P_2^{\prime}+P_1^{\prime \prime}-P_0^{\prime \prime \prime}\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(P_4-P_3^{\prime}+P_2^{\prime \prime}-P_1^{\prime \prime \prime}+P_0^{\prime \prime \prime \prime}\right) \frac{d y}{d x}+\left(P_5-P_4^{\prime}+ P_3^{\prime \prime}-P_2^{\prime \prime}+P_1^{\prime \prime \prime \prime}-P_0^{\prime \prime \prime \prime \prime}\right) y=\int \log x dx+C_{1} \\ \Rightarrow x^5 \frac{d^5 y}{dx^5}+\left(x^4-5 x^4\right) \frac{d^{4}y}{d x^4}+\left(0-4 x^3+20 x^3\right)\frac{d^3 y}{d x^3}+\left(0-0+12 x^2-60 x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+(0-0+0-24 x+120 x) \frac{d y}{d x}+(x-0+0-0+24-120) y=x \log x-x+C_{1} \\ \Rightarrow x^5 \frac{d^5 y}{dx^5}-4 x^4 \frac{d^{4}y}{d x^4}+16 x^3 \frac{d^3 y}{d x^3}-48 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} +96 x \frac{d y}{d x}-96 y=x \log x-x+C_{1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations),nवें कोटि के यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations of nth Order) को समझ सकते हैं।

3.यथातथ रैखिक अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Exact Linear Differential Equations):

Exact Linear Differential Equations

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Sovle the following differential equations):

(1.)\left(x^2-x\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+2(2 x+1) \frac{d y}{d x}+2 y=0
(2.) \left(x^3+4x\right) \frac{d^3 y}{d x^3}+\left(9 x^2-12\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+18 x \frac{d y}{d x}+6 y=0
उत्तर (Answers): (1.) y (1-x)^{5}=C_2 x^3+C_{1}\left(x^4-4 x^3\log x-6 x^2+2 x-\frac{1}{3}\right)
(2.) y\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^{\frac{3}{2}}=C_3+\int \frac{(C_{1} x+C_{2})}{x^3-4 x}\left(\frac{x+2}{x-2}\right)^{\frac{3}{2}}dx
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations),nवें कोटि के यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations of nth Order) को समझ सकते हैं।

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4.यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Exact Linear Differential Equations),nवें कोटि के यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations of nth Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

यथातथ रैखिक अवकल समीकरण (Exact Linear Differential Equations) का व्यापक हल ज्ञात
करना सीख चुके हैं।इस आर्टिकल में द्वि तथा उच्च कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों का हल
ज्ञात करना सीखेंगे।