1.परिरेखा समाकलन का मूल्यांकन (Evaluation of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration):

Evaluation of Contour Integration

परिरेखा समाकलन का मूल्यांकन (Evaluation of Contour Integration) के इस आर्टिकल में परिरेखा समाकलन पर आधारित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.परिरेखा समाकलन का मूल्यांकन के साधित उदाहरण (Evaluation of Contour Integration Solved Illustrations):

Illustration:1.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2+4 x+5} d x=-\frac{\pi}{e} \sin 2
Solution:समाकल \int_c \frac{e^{iz}}{z^2+4 z+5} d z=\int_c f(z) d z पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है।
z^2+4 z+5=0 \Rightarrow z=-2 \pm i
इस प्रकार z=-2+i=\alpha,-2-i=\beta, f(z) के साधारण अनन्तक हैं।
इनमें से केवल z=\alpha ,C के अन्दर स्थित हैं।

Evaluation of Contour Integration

z=\alpha पर अवशेष
\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} (z-\alpha) f(z) \\ =\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{e^{i z}(z-\alpha)}{(z-\alpha)(z-\beta)}=\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{e^{i z}}{z-\beta} \\ =\frac{e^{i \alpha}}{\alpha-\beta}=\frac{e^{i(-2+i)}}{2 i}=\frac{e^{-2 i} \cdot e^{-1}}{2 i}
कोशी अवशेष प्रमेय से:
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x^2+4 x+5} d x+\int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{z^2+4 z+5} d z=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \underset{z \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{z^2+4 z+5}=0 (जोरदाँ उपप्रमेय से)
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x^2+4 x+5} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{x^2+4 x+5} d x=2 \pi i \cdot \frac{e^{-2 i} \cdot e^{-1}}{2 i}=\frac{\pi}{e} e^{2 i}
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2+4 x+5} d x=-\frac{\pi}{e} \sin 2
Illustration:2.सिद्ध करो कि (Show that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2-2 x+5} d x=\frac{\pi}{2 e^2} \sin 1
Solution: \int_c \frac{e^{i z}}{z^2-2 z+5} d z=\int_c f(z) d z पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है।
z^2-2 z+5=0 \Rightarrow z=\frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow z=1 \pm 2 i
इस प्रकार z=1+2 i=\alpha, 1-2 i=\beta ,f(z) के साधारण अनन्तक हैं।
इनमें से केवल z=1+2 i=\alpha ,C के अन्दर स्थित है।

Evaluation of Contour Integration

z=\alpha पर अवशेष
\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} (z-\alpha) f(z)= \underset{z \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e^{i z}(z-\alpha)}{(z-\alpha)(z-\beta)} \\ =\underset{z \rightarrow \alpha}{\lim} \frac{e^{i z}}{z-\beta} \\ =\frac{e^{i \alpha}}{\alpha-\beta}=\frac{e^{i(1+2 i)}}{4 i}=\frac{e^i \cdot e^{-z}}{4 i}
कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x^2-2 x+5} d x+\int_{\Gamma}\frac{e^{iz}}{z^2+4 z+5} d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
जबकि \underset{z \rightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{z^2-2 z+5}=0 (जोरदाँ उपप्रमेय से)
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \therefore \lim _{R \rightarrow \infty} \int_{-R}^{R} \frac{e^{i x}}{x^2-2 x+5} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{x^2-2 x+5} d x=2 \pi i \cdot \frac{e^i e^{-2}}{4 i}=\frac{\pi}{2 e^2} e^i
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2-2 x+5} d x=\frac{\pi}{2 e^2} \sin 1
Illustration:3.समाकलन के द्वारा (By integration) \frac{e^{i z}}{(z-a i)},(a>0) एक उपयुक्त परिरेखा के चारों ओर (round a suitable contour),सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{a \cos x+x \sin x}{x^2+a^2} d x=2 \pi e^{-a}
Solution:समाकल \int_c \frac{e^i z}{z-i a}=\int_c f(z) d z पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है।
z=ia, f(z) का साधारण अनन्तक है जो C के अन्दर स्थित है।

Evaluation of Contour Integration

z=ia पर अवशेष
\underset{z \rightarrow i a}{\lim} (z-i a) f(z)=\underset{z \rightarrow i a}{\lim} e^{i z}=e^{-a}
कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x-i a} d x+\int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{z-i a} d z = 2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{z-i a} d z=0 \\ =\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x-i a} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{x-i a} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(\cos x+i \sin x)(x+i a)}{(x-i a)(x+i a)} d x=2 \pi i e^{-a} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \cos x-a \sin x+i(x \sin x+a \cos x)}{x^2+a^2} d x=i 2 \pi e^{-a}
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin x+a \cos x}{x^2+a^2} d x=2 \pi e^{-a}
Illustration:4.एक उपयुक्त परिरेखा के चारों ओर \frac{e^{i z}}{z+a i} के समाकलन द्वारा,सिद्ध करो कि
(By integrating \frac{e^{i z}}{z+a i} round a suitable contour, prove that)
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{-a \cos x+x \sin x}{x^2+a^2} d x=0
Solution: \int_c \frac{e^{i z}}{z+a i}=\int_c, f(z) पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है।
z=-ia, f(z) का साधारण अनन्तक है परन्तु यह वास्तविक अक्ष के ऊपर नहीं है,फलस्वरूप f(z) का कोई अनन्तक नहीं है जो C के अन्दर स्थित है।

Evaluation of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_c f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x+i a} d x+\int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{z+i a} dx=2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{z \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{z+i a} d z=0 \\ \therefore \lim _{R \rightarrow \infty} \int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{x+i a} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{x+i a} d x=0 [ C के अन्दर अनन्तक नहीं है]
\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(\cos x+i \sin x)(x-i a)}{(x+i a)(x-i a)}=0
दोनों पक्षों के काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \sin x-a \cos x}{x^2+a^2} d x=0
Illustration:4.मान ज्ञात करो (Evaluate)
\int_0^{\infty} \frac{\cos a x}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x, a>0, b>0
Solution: \int_c \frac{e^{(a z}}{\left(z^2+b^2\right)^2} d z=\int_c f(z) d z
पर विचार करें,जहाँ C परिरेखा है।

Evaluation of Contour Integration

कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{e^{i a x}}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x+\int_{\Gamma} \frac{e^{i a z}}{\left(z^2+b^2\right)^2} dz= 2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{e^{i a z}}{\left(z^2+b^2\right)^2} d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{e^{i a x}}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a x}}{\left(x^2+b^2\right)} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
z=\pm i b ,f(z) का द्विक अनन्तक है।इनमें से केवल z=ib ऊपरी अर्ध तल में स्थित है।
z=ib पर अवशेष
\phi^{\prime}(i b)=\left[D \frac{e^{i a z}}{(z+i b)^2}\right]_{z=i b}\\ =\left[\frac{i a e^{i a z}(z+i b)^2-2 e^{ia z}(z+i b)}{(z-i b)^4}\right]_{z=ib} \\ =\frac{e^{-a b}[i a(2 i b)-2]}{(2 i b)^3} \\ =\frac{e^{-a b}}{4 b^3 i}(a b+1)
समीकरण (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a x}}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x=2 \pi i \cdot \frac{e^{-a b}}{4 i b^3}(a b+1) \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos a x+i \sin a x}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x=\frac{\pi e^{-a b}}{2 b^3}(a b+1)
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos a x}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x=\frac{\pi(a b+1)}{2 b^3 e^{a b}} \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{\cos a x}{\left(x^2+b^2\right)^2} d x=\frac{\pi(1+a b)}{4 b^3 e^{a b}}

Illustration:5.सिद्ध करो कि (prove that)
\int_0^{\infty} \frac{\cos x}{\left(x^2+1\right)^2} d x=\frac{\pi}{2 e}
Solution: \int_c \frac{e^{i z}}{\left(z^2+1\right)^2} d z=\int_c f(z) d z पर विचार करें जहाँ C परिरेखा है।
कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_c f(z) d z=\int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{\left(x^2+1\right)^2} d x+\int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{\left(z^2+1\right)^2} d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} \frac{e^{i z}}{\left(z^2+1\right)^2}=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R \frac{e^{i x}}{\left(x^2+1\right)^2} d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x}}{\left(x^2+1\right)^2} d x=2 \pi i \Sigma R^{+}
z=\pm i ,f(z) का द्विक अनन्तक हैं।इनमें से केवल z=i ऊपरी अर्धतल में स्थित है।

Evaluation of Contour Integration

z=i पर अवशेष
\phi^{\prime}(i) =\left[D\frac{ e^{i z}}{(z+i)^2}\right]_{z=i} \\ =\left[\frac{i e^{i z}(z+i)^2-2 e^{i z}(z+i)}{(z+i)^4}\right]_{z=i} \\ =e^{-1}\left[\frac{i(2 i)-2}{(2 i)^3}\right]=\frac{e^{-1}}{4 i}(2)
समीकरण (1) से:
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^i x}{\left(x^2+1\right)^2} d x=2 \pi i \cdot \frac{e^{-1}}{4 i}(2) \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x+i \sin x}{\left(x^2+1\right)^2} d x=\pi e^{-1}
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{\left(x^2+1\right)^2} d x=\frac{\pi}{e} \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{\cos x}{\left(x^2+1\right)^2} d x=\frac{\pi}{2 e}
Illustration:6.मान ज्ञात करो (Evaluate)
\int_0^{\infty} \frac{\cos ^2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x
Solution:माना I=\int_0^{\infty} \frac{\cos ^2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x=\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \frac{1+\cos 2x}{\left(1+x^2\right)^2} dx \\ \int_c f(z) d z=\int_c \frac{1+e^{2 i z}}{\left(1+z^2\right)^2} d z , जहाँ C परिरेखा है।
कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow 0}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0 \\ \therefore \underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{-R}^R f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
z=\pm i ,f(z) का द्विक अनन्तक है जिनमें z=i,C के अन्दर स्थित है।

Evaluation of Contour Integration

z=i पर अवशेषः
\phi^{\prime}(i)=\left[\frac{d}{d z} \frac{1+e^{i 2 z}}{(i+2)^2}\right]_{z=i} \\ =\left[\frac{2 i e^{i2 z}(i+z)^2-\left(1+e^{i 2z}\right) 2(i+z)}{(i+z)^4}\right]_{z=i} \\ =\frac{2 i e^{-2} \cdot 2 i-2\left(1+e^{-2} \right)}{2 i} \\ =\frac{-4 e^{-2}-2\left(1+e^{-2}\right)}{-8 i} \\ =\frac{1+3 e^{-2}}{4 i}
समीकरण (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1+e^{i 2 x}}{\left(1+x^2\right)^2} d x=2 \pi i\left(\frac{1+3 e^{-2}}{4 i}\right) \\ \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1+e^{i 2 x}}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{\pi}{2}\left(1+3 e^{-2} \right)
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1+\cos 2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x=\frac{\pi}{2}\left(1+3 e^{-2}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{1+\cos 2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x=\frac{\pi}{4}\left(1+3 e^{-2}\right)
Illustration:7.सिद्ध करो कि (Prove that)
\int_0^{\infty} \frac{\cos m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2 a^3} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{2}\right)
निगमन कीजिए (Deduce that)
\int_0^{\infty} \frac{x \sin m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2 a^3} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \frac{ma}{\sqrt{2}}
Solution: \int_C \frac{e^{i m z}}{z^4+a^4} d z=\int_C f(z) d z पर विचार करो,जहाँ C परिरेखा है।
कोशी अवशेष प्रमेय सेः
\int_C f(z) d z=\int_{-R}^R f(x) d x+\int_{\Gamma} f(z) d z=2 \pi i \Sigma R^{+}
जोरदाँ उपप्रमेय सेः
\underset{R \rightarrow \infty}{\lim} \int_{\Gamma} f(z) d z=0
जब R \rightarrow \infty तब \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=2 \pi i \Sigma R^{+} \cdots(1)
f(z) के अनन्तक दिए जाते हैं z^4+a^4=0 \Rightarrow z=a e^{i(2 n+1) \frac{\pi}{4}}, n=0,1,2,3
इस प्रकार z=a e^{i \frac{\pi}{4}}, a e^{3 i \frac{\pi}{4}}, a e^{5 i \frac{\pi}{4}}, a e^{\frac{7 i \pi}{4}}, f(z) के साधारण अनन्तक हैं।इनमें से केवल दो C के अन्दर स्थित हैं।

Evaluation of Contour Integration

इनमें से एक को \alpha द्वारा प्रदर्शित करें तो
z=\alpha पर अवशेष=\left[\frac{e^{i m z}}{D\left(z^4+a^4\right)} \right]_{z=\alpha}=\frac{e^{i m \alpha}}{4 \alpha^3}
C के अन्दर अनन्तको पर अवशेषों का योग :
=\frac{1}{4}\left[\frac{e^{i m a e^i{ \frac{\pi}{4}}}}{a^3 e^{\frac{i 3 \pi}{4}}}+\frac{e^{i m a e^{\frac{3 i \pi}{4}}}}{a^3 e^{\frac{9i \pi}{4}}}\right] \\ =\frac{1}{4 a^3}\left[\frac{e^{i m a \frac{(1+i)}{\sqrt{2}}}}{-e^{-\frac{i \pi}{4}}}+\frac{e^{i m a \frac{(-1+i)}{\sqrt{2}}}}{e^{\frac{i \pi}{4}}}\right] \\ =\frac{e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}}}{4 a^3}\left[\frac{e^{\frac{i m a}{\sqrt{2}}}}{-e^{-\frac{i \pi}{4}}}+\frac{e^{\frac{i m a}{\sqrt{2}}}}{e^{\frac{i \pi}{4}}}\right] \\ =\frac{-e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}}}{4 a^3}\left[\exp \left(\frac{m a}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right) i-\exp \left(-\frac{m a}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4}\right)i\right] \\ =\frac{-e^{-m a} \sqrt{2}}{4 a^3} \cdot 2 i \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)
समीकरण (1) सेः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i m x}}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{a^3} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)
दोनों पक्षों के वास्तविक भागों की तुलना करने परः
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{a^3} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right) \\ \int_0^{\infty} \frac{\cos m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2 a^3} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)
दोनों पक्षों का m के सापेक्ष अवकलन करने पर : 
\int_0^{\infty} \frac{-x \sin m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2 a^3}\left[e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}}\left(-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)+e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\right] \\ =\frac{a \pi e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}}}{2 \sqrt{2} a^3}\left[-\sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ =-\frac{\pi}{2 a^2} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right) \\ \Rightarrow \int_0^{\infty} \frac{x \sin m x}{x^4+a^4} d x=\frac{\pi}{2 a^2} e^{-\frac{m a}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{m a}{\sqrt{2}}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा परिरेखा समाकलन का मूल्यांकन (Evaluation of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration) को समझ सकते हैं।

Evaluation of Contour Integration

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3.परिरेखा समाकलन का मूल्यांकन (Frequently Asked Questions Related to Evaluation of Contour Integration),परिरेखा समाकलन (Contour Integration) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

परिरेखा समाकलन का मूल्यांकन (Evaluation of Contour Integration) के इस आर्टिकल
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