1.कोशी समाकल सूत्र से मान ज्ञात करो (Evaluate from Cauchy Integral Formula)सम्मिश्र विश्लेषण में कोशी समाकल सूत्र (Cauchy Integral Formula in Complex Analysis):

Evaluate from Cauchy Integral Formula

कोशी समाकल सूत्र से मान ज्ञात करो (Evaluate from Cauchy Integral Formula) के इस आर्टिकल में सम्मिश्र विश्लेषण में कोशी समाकल सूत्र पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.कोशी समाकल सूत्र से मान ज्ञात करो के उदाहरण (Evaluate from Cauchy Integral Formula Examples):

Example:1.यदि f(z)=\frac{z^2+5 z+6}{z-2} , तो क्या कोशी का प्रमेय लागू होता है:
(i) जब समाकलन का पथ C मूलबिन्दु को केन्द्र मानकर त्रिज्या 3 का एक वृत्त है।
(ii)जब C मूलबिन्दु को केन्द्र मानकर त्रिज्या 1 का एक वृत्त है।
(If f(z)=\frac{z^2+5 z+6}{z-2},does Cauchy’s theorem apply
(i)when the path of integration C is a circle of radius 3 with origin as centre.
(ii)When C is a circle of radius 1 with origin as centre.)
Solution:यहाँ f(z)=\frac{z^2+5 z+6}{z-2} स्पष्ट रूप से f(z),z= 2 पर विश्लेषिक नहीं है।
(i)जब समाकलन का पथ वृत्त z=3 होता है,तो बिंदु z=2 C के अंदर स्थित है,इसलिए f(z) C के भीतर विश्लेषिक नहीं है,इसलिए कोशी का प्रमेय लागू नहीं होता है अर्थात्
\int_c \frac{z^2+5 z+6}{z-2} d z \neq 0
(ii)जब C वृत्त z=1 है,तो बिंदु z=2,C के बाहर स्थित है,जिसके परिणामस्वरूप f(z),C के भीतर और C पर विश्लेषिक है।इसलिए कोशी प्रमेय लागू होता है अर्थात्
\int_C \frac{z^2+5 z+6}{z-2} d z=0
Example:2.दर्शाइए कि \int_c e^{-2 z} d z , बिंदु 1-\pi i और 2+3 \pi i को मिलाने वाले पथ C से स्वतंत्र है और इसका मान ज्ञात कीजिए।
(show that \int_c e^{-2 z} d z is independent of the path C joining the points 1-\pi i and 2+3 \pi i and determine its value.)
Solution:माना f(z)=e^{-2 z}, f^{\prime}(z)=(-2) e^{-2 z} ,f^{\prime \prime}(z)=(-2)^2 e^{-2 z} ; f^{\prime \prime \prime}(z)=(-2)^3 e^{-2 z} ,f^{n}(z)=(-2)^n e^{-2 z}
f(z),z-समतल पर पूर्णतया विश्लेषिक है।
कोशी के समाकल प्रमेय के पहले परिणाम के अनुसार \int_{C} e^{-2 z} d z समाकलन पथ से स्वतन्त्र है।
\int_{1-\pi i}^{2+3 \pi i} e^{-2 z} d z=\left[\frac{e^{-2 z}}{-2}\right]_{1-\pi i}^{2+3 \pi i} \\ =-\frac{1}{2}\left[e^{-2(2+3 \pi i)}-e^{-2(1-\pi i)}\right] \\ =-\frac{1}{2}\left[e^{-4} \cdot e^{-6 \pi i}-e^{-2} \cdot e^{2 \pi i}\right] \\ =-\frac{1}{2}\left(e^{-4}-e^{-2}\right) जबकि e^{-6 \pi i}=1 तथा e^{-2 \pi i}=1
Example:3.फ़ंक्शन z^3-i z^2-5 z+2 i के लिए कोशी के प्रमेय को सत्यापित करें यदि C वृत्त |z-1|=2 है।
(Verify Cauchy’s theorem for the function z^3-i z^2-5 z+2 i if C is the circle |z-1|=2 .)
Solution: f(z)=z^3-i z^2-5 z+2 i
चूँकि f(z),z के पदों में बहुपद है इसलिए यह C में विश्लेषिक है।
C पर z-1=2 e^{i \theta}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi \\ z=1+2 e^{i \theta} \\ \therefore d z=2 i e^{i \theta} d \theta \\ \int_c f(z) d z=\int_0^{2 \pi}\left[\left(1+2 e^{i \theta}\right)^3-i\left(1+2 e^{i \theta}\right)^2-5 \left(1+2 e^{i \theta}\right)+2i \right] 2i e^{i \theta} d \theta\\ =2 i \int_0^{2 \pi}\left[8 e^{4 i \theta}+4(3-i) e^{3 i \theta}-4(1+i) e^{2 i \theta}+(-4+i) e^{i \theta}\right] d \theta \\ =0 जबकि \int_0^{2 \pi} e^{i k \theta}=0 यदि k \neq 0
इससे फलन f(z) तथा कंटूर C के लिए कोशी प्रमेय सत्यापित होती है।
Example:4. \int_c \frac{1}{z(z-1)} d z का मान ज्ञात करें जहाँ C वृत्त |z|=3 है। (Evaluate \int_c \frac{1}{z(z-1)} d z where C is the circle |z|=3 .)
Solution:वृत्त |z|=3 का केन्द्र मूलबिन्दु और त्रिज्या 3 है।
अब z(z-1)=0,z=0 तथा z=1 पर
अर्थात् O(0,0) तथा A(1,0)
ये बिन्दु C के अन्दर है,हम लिखते हैं f(z)=1,जो कि सर्वत्र विश्लेषिक है
तथा \frac{1}{z(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}
आंशिक भिन्नों में वियोजित करने पर:
1=A(z-1)+Bz
z=0 तथा z=1 रखने पर:
A=-1 तथा B=1
\therefore \frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z} \\ \therefore \int_C \frac{1}{z(z-1)} d z=\int_C \frac{f(z)}{z(z-1)} dz=\int_c \frac{f(z)}{z-1} dz-\int_c \frac{f(z)}{z} d z \cdots(1)
कोशी समाकल सूत्र से:
\int_c \frac{f(z)}{z-1} d z=2 \pi i f(1) \quad[\because z_0=1] \\ =2 \pi i \quad[\because f(1)=1]
तथा \int_c \frac{f(z)}{z} d z=\int_c \frac{f(z)}{z-0} d z=2 \pi i f(0) \left[\because z_0=0\right] \\ =2 \pi i \quad[\because f(0)=1]
(1) से:
\int_c \frac{1}{z(z-1)} d z=2 \pi i-2 \pi i=0
Example:5.मान ज्ञात करें (समाकल सूत्र का उपयोग किए बिना)
[Evaluate (without using Integral formula)]
Example:5(i). \int_c \frac{1}{z-z_0} d z जहाँ z_0 ,C के अन्दर है (Where z_0 is anypoint within C.)
Solution:माना C_1 वृत्त खींचा गया है जिसका केन्द्र z_0 तथा त्रिज्या r है।
\therefore C_1 पर , z=z_0+r e^{i \theta} कोई बिन्दु है
\therefore d z=i r e^{i \theta} d \theta \\ \frac{1}{z-z_0} , C_1 तथा C के बीच विश्लेषिक है
\int_c \frac{1}{z-z_0} d z=\int_{C_1} \frac{1}{z-z_0} d z=\int_0^{2 \pi} \frac{1}{r e^{i \theta}} i r e^{i \theta} d \theta \\ =i \int_0^{2 \pi} 1 d \theta=i[\theta]_0^{2 \pi}=2 \pi i
Example:5(ii). \int_c \frac{1}{\left(z-z_0\right)^2} d z जहाँ z_0 ,C के अन्दर है (Where z_0 is anypoint within C.)
Solution: \int_C \frac{1}{\left(z-z_0\right)^2} d z=\int_{C_1} \frac{1}{\left(z-z_0\right)^2} d z \\ =\int_0^{2 \pi} \frac{1}{r^2 e^{2 i \theta}} i r e^{i \theta} d \theta \\ =i \int_0^{2 \pi} \frac{1}{r} e^{-i \theta} \\ =\frac{i}{r}\left[\frac{e^{i \theta}}{-i}\right]_0^{2 \pi} \\ =-\frac{1}{r}\left[e^{-2 \pi i}- 1\right] \\ =-\frac{1}{r}[\cos 2 \pi-i \sin 2 \pi-1] \\ =-\frac{1}{r}[1-0-1]=0
Example:6.फ़ंक्शन 5 \sin 2z के लिए कोशी के प्रमेय को सत्यापित करें यदि C, 1 \pm i,-1 \pm i पर शीर्षों वाला वर्ग है।
(Verify Cauchy’s theorem for the function 5 \sin 2z if C is the square with vertices at 1 \pm i,-1 \pm i )
Solution: f(z)=5 \sin 2 z \\ \int_C f(z) d z=\int_C 5 \sin 2 z d z \\ =\int_{AB+BC+CD+DA} 5 \sin 2z d z \\ =\int_{AB} 5 \sin 2(x+i y)(d x+i d y)+\int_{BC} 5 \sin 2(x+i y)(d x+i d y)+\int_{CD} 5 \sin 2(x+i y)(d x+i d y)+\int_{D A} 5 \sin 2(x+i y)(d x+i d y) \cdots(1)
AB पर,x=1,dx=0,y -1 से 1 तक परिवर्तित होता है।
BC पर,y=1,dy=0,x 1 से -1 तक परिवर्तित होता है।
CD पर,x=-1,dx=0,y 1 से -1 तक परिवर्तित होता है।
DA पर,y=-1,dy=0,x -1 से 1 तक परिवर्तित होता है।
(1) से:
\int_C f(z) d z=5 \int_{-1}^1 \sin (2+2 i y) i d y+5 \int_{1}^{-1} \sin (2 x+2 i) d x+5 \int_1^{-1} \sin 2(-1+i y) i d y+5 \int_{-1}^1 \sin 2(x-i) dx \\ =5 i\left[\int_{-1}^1 \sin (2+2 i y) d y-\int_{-1}^1 \sin (-2+2 i y)\right] d y +5\left[-\int_{-1}^1 \sin (2 x+2 i) d x+\int_{-1}^1 \sin (2 x-2 i) d x\right] \\ =5 i \int_{-1}^1[\sin (2+2 i y)-\sin (-2+2 i y)] d y+ 5 \int_{-1}^1[\sin (2 x-2 i)-\sin (2 x+2 i)] d x \\=5 i \cdot 2 \int_{-1}^1 \cos 2 i y \sin 2 d y-5 \int_{-1}^1 2 \cos 2 x \sin 2 i dx \\ =10 i \sin z\left[\frac{1}{2 i} \sin 2 i y\right]_{-1}^1-10 \sin 2 i\left[\frac{1}{2} \sin 2 x\right]_{-1}^1 \\ =5 \sin z(2 \sin 2 i)-5 \sin 2 i(2 \sin z) \\ =0
अतः कोशी प्रमेय सत्यापित होती है।
Example:7. \int_c \frac{z-1}{(z+1)^2(z-2)} d z का मान ज्ञात करें जहाँ C:|z-i|=2
(Evaluate \int_c \frac{z-1}{(z+1)^2(z-2)} d z where C:|z-i|=2)
Solution:माना \frac{z-1}{(z+1)^2(z-2)}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}+\frac{C}{z-2} \\ \therefore z-1=A(z+1)(z-2)+B(z-2)+C(z+1)^2
z=-1 रखने पर: -2=B(-1-2) \Rightarrow B=\frac{2}{3}
z=2 रखने पर: 1=C(2+1)^2 \Rightarrow C=\frac{1}{9}
z=0 रखने पर: -1=A(-2)+B(-2)+C \\ \Rightarrow-1=-2 A+\frac{2}{3}(-2)+\frac{1}{9} \\ \Rightarrow 2 A=\frac{1}{1}-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9} \\ \Rightarrow A=-\frac{1}{9} \\ \int_c \frac{z-1}{(z+1)^2 (z-2)} d z=- \frac{1}{9} \int_c \frac{1}{z+1} d z+\frac{2}{3} \int_c \frac{1}{(z+1)^2} d z +\frac{1}{9} \int_c \frac{1}{z-2} d z
|z-i|=2 वृत्त है जिसका केन्द्र i तथा त्रिज्या 2 है अर्थात् केन्द्र (0,1) तथा त्रिज्या 2 है।
\int_c \frac{1}{z+1} d z
यहाँ z=-1 वृत्त |z-i|=2 के अन्दर है तथा f(z)=1
\therefore \int_c \frac{1}{z+1} d z=2 \pi i(1)=2 \pi i \\ \int_c \frac{1}{(z+1)^2} d z=\frac{2 \pi i(0)}{2!}=0 \\ \therefore f^{\prime}(z)=0 तथा f^{-1}(-1)=0 \\ \int_c \frac{1}{z-2} d z
यहाँ z=2,वृत्त |z-i|=2 के बाहर स्थित है तथा \frac{1}{z-2},|z-i|=2 में विश्लेषिक है।
कोशी समाकल प्रमेय से:
\int_c \frac{1}{z-2} d z=0 \\ \therefore \int_c \frac{z-1}{(z+1)^2(z-2)} d z=-\frac{1}{9}(2 \pi i)+0+0=-\frac{2 \pi i}{9}
Example:8. \int_c \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z का मान ज्ञात करें जहाँ C वृत्त है।
(Evaluate \int_c \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z where C is circle.)
Example:8(a). |z|=1
Solution: z^2+2 z+5=z^2+2 z+1+4 \\ =(z+1)^2-(2 i)^2 \\ =(z+1-2 i)(z+1+2 i) \\ \frac{z-3}{(z+1+2 i)(z+1-2 i)}=\frac{A}{z+1+2 i}+\frac{B}{z+1-2 i} \\ \therefore z-3=A(z+1-2 i)+B(z+1+2 i) \\ z=-1-2 i रखने पर:
-1+2 i-3=A(0)+B(-1+2 i+2 i) \\ \Rightarrow -4+2 i=4 i B \\ \Rightarrow B=\frac{2 i-4}{4 i}=\frac{1}{2}+i \\ z=-1-2i रखने पर:
-1-2 i-3=A(-1-2 i+1-2 i) \\ \Rightarrow-4-2 i=-4 i A \\ \Rightarrow A=\frac{4+2 i}{4 i}=\frac{1}{2}-i \\ \therefore \frac{z-3}{z^2+2 z+5}=\frac{\frac{1}{2}-i}{(z+1+2 i)}+\frac{\frac{1}{2}+i}{(z+1-2 i)} \\ \therefore \quad \int_{C} \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z=\left(\frac{1}{2}-i\right) \int_c \frac{1}{z+1+2 i} dz+\left(\frac{1}{2}+i\right) \int_c \frac{i}{z+1-2 i} dz \\ f(z)=\frac{1}{z+1+2 i} ,वृत्त |z|=1 के अन्दर और ऊपर विश्लेषिक है जब z=-1-2 i वृत्त |z|=1 के अन्दर स्थित है।
\therefore \int_c \frac{1}{z+1+2 i} d z=0 (कोशी समाकल सूत्र से)
इसी प्रकार f(z)=\frac{1}{z+1-2 i} वृत्त |z|=1 के अन्दर और ऊपर विश्लेषिक है जब z=-1+2 i वृत्त |z|=1 के बाहर स्थित है।
\therefore \int_c \frac{1}{z+1-2 i} d z=0 (कोशी समाकल सूत्र से)
\therefore \int_c \frac{z-3}{z^2+2 z+5} d z=0
Example:8(b). |z+1-i|=2
Solution: |z+1-i|=2 वृत्त है जिसका केन्द्र -1+i तथा त्रिज्या 2 है।
बिन्दु -1-2i वृत्त |z+1-i|=2 के बाहर स्थित है तथा बिन्दु -1+2i वृत्त |z+1-i|=2 के अन्दर स्थित है।
\therefore \int_c \frac{1}{z+1+2 i} d z=0 (कोशी समाकल सूत्र से)
तथा \int_c \frac{1}{z+1-2 i} \cdot d z=2 \pi i(1) जबकि f(z)=1 तथा f(-1+2i)=1 \\ \therefore \int_c \frac{z-3}{z^2+2z+5} d z=\left(\frac{1}{2}-i\right) \cdot 0+\left(\frac{1}{2}+i\right) 2 \pi i\\ =\pi i-2 \pi=\pi(-2+i)
Example:9. \int_{c} \frac{e^z}{z-2} d z का मान ज्ञात करो जहाँ C वृत्त है।
(Evaluate \int_{c} \frac{e^z}{z-2} d z where C is the circle)
Example:9(a). |z|=3
Solution:माना f(z)=e^z \\ e^z ,z-समतल में विश्लेषिक है। a=2 वृत्त |z|=3 के अन्दर स्थित है।
\frac{1}{2 \pi i}\int_c \frac{e^z}{z-2} d z=f(z)=e^z
Example:9(b). f(z)=\frac{e^z}{z-2}
Solution: माना f(z)=\frac{e^z}{z-2} \\ \frac{e^z}{z-2} विश्लेषिक है और वृत्त |z|=1 पर जब z=2, |z|=1 के बाहर स्थित है
कोशी समाकल सूत्र से:
\int_c \frac{e^z}{z-2} d z=0
Example:10. \int_c \frac{z^2-4}{z\left(z^2+9\right)} का मान ज्ञात करो जहाँ C वृत्त |z|=1 है।
(Evaluate \int_c \frac{z^2-4}{z\left(z^2+9\right)} where C is the circle)
Solution: |z|=1 ,इकाई त्रिज्या का वृत्त है और केन्द्र मूलबिन्दु है।
z\left(z^2+9\right)=0 \\ \Rightarrow z=0, z^2+9=0 \\ \Rightarrow z= \pm 3 i \\ \Rightarrow z\left(z^2+9\right)=0
बिन्दु
(i)z=0 या (0,0),C के अन्दर स्थित है।
(ii) z= \pm 3 i या (0,3),(0,-3) C के बाहर स्थित हैं।
f(z)=\frac{z^2-4}{z^2+9} जो कि विश्लेषिक है C के अन्दर तथा ऊपर
\therefore \int_c \frac{z^2-4}{z\left(z^2+9\right)} d z=\int_c \frac{f(z)}{z} d z=\int_c \frac{f(z)}{z-0} d z \\ =2 \pi i f(0) (कोशी समाकल सूत्र से)
परन्तु f(0)=\frac{0-4}{0+9}=-\frac{4}{9} \\ \therefore \int_c \frac{z^2-4}{z\left(z^2+9\right)} d z=2 \pi i\left(-\frac{4}{9}\right) \\ =-\frac{8 \pi i}{9}
Example:11.कोशी के समाकल सूत्र द्वारा \int_c \frac{d z}{z(z+\pi i)} का मान ज्ञात करें,जहाँ C,|z+3 i|=1 है।
(Evaluate by Cauchy’s integral formula \int_c \frac{d z}{z(z+\pi i)} ,whare C is |z+3 i|=1 )
Solution: \frac{1}{z(z+\pi i)}=\frac{1}{\pi i}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z+\pi i}\right)
स्पष्ट है कि बिन्दु z=0, z=-\pi i , C के अन्दर स्थित है।
f(z)=1, तब f(0)=1, f(-\pi i)=1 \\ \int_c \frac{d z}{z(z+\pi i)} =\frac{1}{\pi i} \int_c\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z+\pi i}\right) d z \\ =\frac{1}{\pi i} \int_c \frac{d z}{z}-\frac{1}{\pi i} \int_c \frac{d z}{z+\pi i} \\ =\frac{1}{\pi i} \int_c \frac{f(z)}{z} d z-\frac{1}{\pi i} \int_c \frac{f(z)}{z+\pi i} d z \\ =2\left[f(0)-f(-\pi i)\right]=2(1-1)=0
Example:12. \int_c \frac{e^{3 z}}{z+i} d z का मान ज्ञात करो यदि C, |z+1+i|=2 वृत्त है।
(Evaluate \int_c \frac{e^{3 z}}{z+i} d z if C is the circle |z+1+i|=2)
Solution: |z+1+i|=2 वृत्त C है जिसका केन्द्र z=-1-i तथा त्रिज्या 2 है।
अतः केन्द्र z=(-1,-1) पर
z+i=0 \Rightarrow z=-i \\ \Rightarrow z=(0,-1)
\therefore z=-i ,C के अन्दर स्थित है।
माना f(z)=e^{3 z} जो कि स्पष्ट रूप से C के अन्दर और ऊपर प्रत्येक बिन्दु पर विश्लेषिक है।
\therefore \int_C \frac{f(z)}{z+i} d z=\int_C \frac{f(z) d z}{z-z_0} जहाँ z_0=-i \\ =2 \pi i f\left(z_0\right) (कोशी समाकल सूत्र से)
=2 \pi i e^{3 z_0} \\ =2 \pi i e^{-3 i}
Example:13.कोशी समाकल सूत्र का उपयोग करके, निम्नलिखित समाकल की गणना करें:
(Using Cauchy Integral formula,calculate the following intagrals):
Example:13(i). \int_{c} \frac{z d z}{\left(9-z^2\right)(z+i)} Where C is the circle |z|=2 described in positive sense
Solution:कोशी समाकल सूत्र से, f(a)= \frac{1}{2 \pi i} \int \frac{f(z) d z}{c^{z-a}} \\ \int_c \frac{f(z)}{z-a} d z=2 \pi i f(a) \cdots(1)
जहाँ z=a कन्टूर C के अन्दर बिन्दु है तथा f(z),C के ऊपर तथा अन्दर विश्लेषिक है।
माना I=\int_C \frac{z d z}{\left(9-z^2\right)(z+i)} \\ f(z)=\frac{z}{9-z^2} \\ I=\int_c \frac{f(z)}{[z-(-i)]}=2 \pi i f(-i) [(1)से ]
=2 \pi i\left[\frac{-i}{9-(-i)^2}\right]=\frac{2 \pi}{9+1}=\frac{\pi}{5}
f(z),C के ऊपर तथा अन्दर विश्लेषिक है |z|=2 तथा z=i,C के अन्दर है।
Example:13(ii). \int_C \frac{\cosh (\pi z) d z}{z\left(z^2+1\right)} ,Where C is the Circle |z|=2
Solution:माना I=\int_c \frac{\cosh (\pi z)}{z\left(z^2+1\right)} d z \\ f(z)=\cosh (\pi z)=\cos (i \pi z) \\ I=\int_c \frac{f(z)}{z\left(z^2+1\right)} \\ =\int_c \left[\frac{A}{z}+\frac{B}{z-i}+\frac{C}{z+i}\right] f(z) dz \cdots(2) \\ \frac{1}{z(z-i)(z+i)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-i}+\frac{C}{z+i}
तब A=1, B=-\frac{1}{2}, C=-\frac{1}{2}
यहाँ z=0,i ,-i , C के अन्दर बिन्दु हैं।
(1) व (2) के अनुसार
I=2 \pi i[A f(0)+B f(i)+C f(-i)] \\ =2 \pi i\left[f(0)-\frac{1}{2} f(i)-\frac{1}{2} f(-i)\right] \\ =2 \pi i\left[\cos (0)-\frac{1}{2} \cos (i \pi)-\frac{1}{2} \cos \left(-i^2 \pi\right)\right] \\ =2 \pi i\left[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right]=4 \pi i
उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा कोशी समाकल सूत्र से मान ज्ञात करो (Evaluate from Cauchy Integral Formula)सम्मिश्र विश्लेषण में कोशी समाकल सूत्र (Cauchy Integral Formula in Complex Analysis) को समझ सकते हैं।

Evaluate from Cauchy Integral Formula

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3.कोशी समाकल सूत्र से मान ज्ञात करो (Frequently Asked Questions Related to Evaluate from Cauchy Integral Formula)सम्मिश्र विश्लेषण में कोशी समाकल सूत्र (Cauchy Integral Formula in Complex Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कोशी समाकल सूत्र से मान ज्ञात करो (Evaluate from Cauchy Integral Formula) के इस
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समझने का प्रयास करेंगे।