1.समघात पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function)-

Euler theorem of homogeneous function

समघात फलन  पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function) को कुछ सवालों के हल द्वारा समझेंगे।समघात फलन का अर्थ होता है कि दो या दो से अधिक चरों के फलन में प्रत्येक पद के चरों की घातों का योग सदैव समान रहता है।
समघात फलन पर आयलर प्रमेय ( Euler theorem of homogeneous function) को इससे पूर्व आर्टिकल में बताया गया है। अतः समघात फलन पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function) को समझने के लिए पहले उस आर्टिकल को पढ़ना चाहिए।
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2.समघात फलन पर आयलर प्रमेय ( Euler theorem of homogeneous function) पर आधारित सवाल-

Question-1.यदि (If) ,u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 4 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 5 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } tanu
Solution-यहां u समघात फलन नहीं है, परन्तु दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं-
sinu=\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 4 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 4 } } }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 5 } }+{ y }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } =z(माना)
अब z=\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 4 } }\left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 5 } }\left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 5 } } \right] } \\ z=\frac { { x }^{ \frac { 1 }{ 20 } }\left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 4 } } \right] }{ \left[ 1+{ \left( \frac { y }{ x } \right) }^{ \frac { 1 }{ 5 } } \right] }

अतः z, चरों x तथा y का \frac { 1 }{ 20 } घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } z....(1)\\ z=sinu\\ \frac { \partial z }{ \partial x } =cosu\frac { \partial u }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } =cosu\frac { \partial u }{ \partial y }
समीकरण (1) में तथा का मान रखने पर-

x.cosu\frac { \partial u }{ \partial x } +y.cosu\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } sinu\\ \Rightarrow x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } \frac { sinu }{ cosu } \\ \Rightarrow x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 20 } tanu

Question-2.यदि (If) , u=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { y }^{ 2 } }{ x } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that){ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =-sin2u.{ sin }^{ 2 }u
Solution-u=\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { { y }^{ 2 } }{ x } \right) } \\ tanu=\frac { { y }^{ 2 } }{ x } =z(माना)

अतः z, चरों x तथा y का एक घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =1.z....(1)\\ z=tanu\\ \frac { \partial z }{ \partial x } ={ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial x }

तथा \frac { \partial z }{ \partial y } ={ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial y }
समीकरण (1) में \frac { \partial z }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } का मान रखने पर-

x.{ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial x } +y.{ sec }^{ 2 }u\frac { \partial u }{ \partial y } =tanu\\ \Rightarrow x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { tanu }{ { sec }^{ 2 }u } \\ \Rightarrow x.\frac { \partial u }{ \partial x } +y.\frac { \partial u }{ \partial y } =tanu.{ cos }^{ 2 }u......(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =1.\frac { \partial u }{ \partial x } +2tanu.cosu\left( -sinu \right) \frac { \partial u }{ \partial x } \\ \Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =\left( 1-2{ sin }^{ 2 }u \right) \frac { \partial u }{ \partial x } \\ \Rightarrow \frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =cos2u\frac { \partial u }{ \partial x } .....(3)

पुनःसमीकरण (2) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =1.\frac { \partial u }{ \partial y } +2tanu.cosu\left( -sinu \right) \frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =\left( 1-2{ sin }^{ 2 }u \right) \frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =cos2u\frac { \partial u }{ \partial y } ......(4)
समीकरण (3) को x से तथा (4) को y से गुणा करके जोड़ने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =x.cos2u\frac { \partial u }{ \partial x } +y.cos2u\frac { \partial u }{ \partial y } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =\left( x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \right) \left( cos2u-1 \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =tanu.{ cos }^{ 2 }u\left( cos2u-1 \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =sinu.cosu\left( -2{ sin }^{ 2 }u \right) \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =-sin2u.\left( { sin }^{ 2 }u \right)

Euler theorem of homogeneous function

Question-3.यदि (If) ,u=\sin ^{ -1 }{ \left[ \frac { x+y }{ x-y } \right] } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that){ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ { \partial y }^{ 2 } } =0
Solution-u=\sin ^{ -1 }{ \left\lfloor \frac { \left( x+y \right) }{ \left( x-y \right) } \right\rfloor } \\ \sin { u= } \left( \frac { x+y }{ x-y } \right) =z(माना)
अतः z, चरों x तथा y का शून्य घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =0.z\\ x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =0......(1)\\ z=\sin { u } \\ \frac { \partial z }{ \partial x } =\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } }
तथा \frac { \partial z }{ \partial y } =\cos { u\frac { \partial u }{ \partial y } }
समीकरण (1) में \frac { \partial z }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } का मान रखने पर-

x.\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } +y } .\cos { u\frac { \partial u }{ \partial y } =0 } \\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =0......(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac { \partial u }{ \partial x } +x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } =0.......(3)
पुनःसमीकरण (2) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial y\partial x } +\frac { \partial u }{ \partial y } +y\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0.........(4)
समीकरण (3) को x से तथा (4) को y से गुणा करके जोड़ने पर-

x\frac { \partial u }{ \partial x } +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }y }{ \partial { x }^{ 2 } } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +y\frac { \partial u }{ \partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ \Rightarrow \left( x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } \right) +{ x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ { \Rightarrow 0+x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0\\ { \Rightarrow x }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +2xy\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial x\partial y } +{ y }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0

Question-4.यदि (If) ,u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) } तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that)x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan { u }
Solution-u=\sin ^{ -1 }{ \left( \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } \right) } \\ \sin { u= } \frac { x+y }{ \sqrt { x } +\sqrt { y } } =z(माना)
अतः z, चरों x तथा y का घात का समघात फलन है।
आयलर प्रमेय से-

x\frac { \partial z }{ \partial x } +y\frac { \partial z }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } z\\ z=\sin { u } \\ \frac { \partial z }{ \partial x } =\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } }
तथा \frac { \partial z }{ \partial y } =\cos { u } \frac { \partial u }{ \partial y }

समीकरण (1) में \frac { \partial z }{ \partial x } तथा \frac { \partial z }{ \partial y } का मान रखने पर-

x.\cos { u\frac { \partial u }{ \partial x } +y } \cos { u } \frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \sin { u } \\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { \sin { u } }{ \cos { u } } \\ x\frac { \partial u }{ \partial x } +y\frac { \partial u }{ \partial y } =\frac { 1 }{ 2 } \tan { u }
उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा समघात पर आयलर प्रमेय (Euler theorem of homogeneous function) को समझा जा सकता है।

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