1.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र (Euler-Maclaurin Summation Formula),ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Euler-Maclaurin Summation Formula):

Euler-Maclaurin Summation Formula

ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र (Euler-Maclaurin Summation Formula) के इस आर्टिकल में प्राकृत संख्याओं के वर्ग,घन व चतुर्थघात के योग के सूत्रों का निगमन तथा कुछ योगफल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र स्थापित करो (Establish Euler-Maclaurin Summation Formula):

यदि \Delta F(x)=f(x) ,तो \Delta^{-1} प्रतिलोम संकारक को F(x)=\Delta^{-1} f(x) से परिभाषित करते हैं।
अब \Delta F\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) अतः F\left(x_1\right)-F\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)
इसी प्रकार F\left(x_2\right)-F\left(x_1\right)=f\left(x_1\right) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ F\left(x_n\right)-F\left(x_{n-1}\right)=f\left(x_{n-1}\right)
उपर्युक्त सभी का योग करने पर:
F\left(x_n\right)-F\left(x_0\right)=\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum}} f\left(x_i\right) \cdots(1)
जहाँ x_0, x_1, \cdots, x_n ;x के सभी मान n+1 समदूरस्थ मान हैं तथा इनकी समदूरी h है।साथ ही F(x)=\Delta^{-1} f(x)=(E-1)^{-1} f(x)
अतः F(x)=\left(e^{h D}-1\right)^{-1} f(x)\left[\because E=e^{hD}\right] \\ =\left(h D+\frac{h^2 D^2}{2!}+\frac{h^3 D^3}{3!}+\cdots\right)^{-1} f(x) \\ =(h D)^{-1}\left[1+\left(\frac{h D}{2!}+\frac{h^3 D^3}{3!} \cdot \cdots\right)\right]^{-1} f(x) \\ =\frac{1}{h} D^{-1}\left[1-\left(\frac{h D}{2!}+\frac{h^2 D^2}{3!}+ \cdots \right)+\frac{(-1)(-2)}{2!}\left(\frac{h D}{2!}+\frac{h^2 D^2}{3!}+\cdots\right)^2-\ldots \ldots\right] f(x) \\ =\frac{1}{h} D^{-1}\left[1-\frac{h D}{2}+\frac{h^2 D^2}{12}-\frac{h^4 D^4}{720}+\frac{h^6 D^6}{30240}-\ldots \ldots \right]f(x) \\ =\left(\frac{1}{h} D^{-1}-\frac{1}{2}+\frac{h D}{12}-\frac{h^3 D^3}{720}+\frac{h^5 D^5}{30240}-\cdots\right) f(x)
अतः F(x)=\left[\frac{1}{h} \int f(x) d x\right]-\frac{1}{2} f(x)+\frac{h}{12} f^{\prime}(x)-\frac{h^3}{720} f^{\prime \prime \prime}(x)+\frac{h^5}{30240} f^{(v)}(x) \ldots (2)
सीमाओं x=x_0+n h=x_n तथा x=x_0 को (2) में प्रतिस्थापित कर घटाने पर:
F\left(x_n\right)-F\left(x_0\right)=\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_n} f\left(x_0\right) d x-\frac{1}{2}\left[f\left(x_n\right)-f\left(x_0\right)\right]+\frac{h}{12}\left[f^{\prime}\left(x_n\right)-f^{\prime} \left(x_0\right)\right]-\frac{h^3}{720}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_n\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right]+\frac{h^5}{30240}\left[f^{(v)}\left(x_n\right)-f^{(v)}\left(x_0\right)\right] \ldots (3)
अब (1) तथा (3) से:
\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum}} f\left(x_i\right)=\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_n} f\left(x_1\right) d x-\frac{1}{2}\left[f\left(x_n\right)-f\left(x_0\right)\right]+\frac{h}{12}\left[f^{\prime}\left(x_n\right)-f^{\prime} \left(x_0\right)\right]-\frac{h^3}{720}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_n\right)-f^{\prime \prime \prime} \left(x_0\right)\right]+\frac{h^5}{30240}\left[f^v\left(x_n\right)-f^{(v)}\left(x_0\right)\right] \ldots(5)
चूँकि \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}} f\left(x_i\right)=\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum}} f\left(x_i\right)+f\left(x_n\right) \ldots(5)
इसलिए (4) तथा (5) से हम प्राप्त करते हैं:
\therefore \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_n} f(x) d x=\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}} f\left(x_i\right)-\frac{1}{2} \left[f\left(x_n\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12} \left[f^{\prime}\left(x_n\right)-f^{\prime}\left(x_0\right)\right] +\frac{h^3}{120}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_n\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right]-\frac{h^5}{30240} \left[f^{(v)}\left(x_n\right)-f^{(v)} \left(x_0\right) \right]+\cdots

3.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र के साधित उदाहरण (Euler-Maclaurin Summation Formula Solved Examples):

Example:18.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र की सहायता से सिद्ध कीजिए:
(Use Euler-Maclaurin’s formula to prove the following):
Example:18(i). \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}
Solution: \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^4=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}
ऑयलर-मेकलारिन संकलन के व्यापक सूत्र से:
\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+n h} f(x) d x=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} f(x+n h)-\frac{1}{2}\left[f \left(x_0+n h\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{2}\left[f^{\prime }\left(x_0+n h\right)-f^{\prime} \left(x_0\right)\right]+\frac{h^3}{720} \left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+n h\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right] \ldots \ldots \\ x_0=0, h=1, f(x)=x^4 रखने पर:
\int_0^n x^4 d x=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^4-\frac{1}{2}\left[n^4+0^4\right]-\frac{1}{12}\left[4 n^3-4(0)^3\right]+\frac{1}{720}[24 n-24(0)] \\ \Rightarrow \frac{n^5}{5}=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^4-\frac{1}{2} n^4-\frac{1}{3} n^3+\frac{n}{30} \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^4=\frac{n^5}{5}+\frac{1}{2} n^4+\frac{1}{2} n^3-\frac{n}{30}
Example:18(ii). \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
Solution: \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
ऑयलर-मेकलारिन संकलन के व्यापक सूत्र से:
\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+n h} f(x) d x=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} f(x+n h)-\frac{1}{2}\left[f\left(x_0+nh\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12}\left[f^{\prime}\left(x_0+nh\right)-f^{\prime}\left(x_0\right)\right]+\frac{h^3}{720} \left[f^{\prime \prime \prime }\left(x_0+nh\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right]-\ldots \ldots \\ x_0=0, h=1, f(x)=x^3 रखने पर:
\int_0^n x^3 d x= \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^3-\frac{1}{2}\left[n^3+0^3\right]-\frac{1}{12}\left[3 n^2-3(0)^2\right] \\ \Rightarrow \frac{n^4}{4} = \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^3-\frac{1}{2} n^3-\frac{1}{4} n^2 \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^3 =\frac{n^4}{4}+\frac{1}{2} n^3+\frac{1}{4} n^2 \\ =\frac{n^2}{4}\left(n^2+2 n+1\right) \\ =\frac{n^2}{4}(n+1)^2 \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^3 =\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
Example:18(iii). \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
Solution: \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
ऑयलर-मेकलारिन व्यापक सूत्र से:
f(x)=x^2, f(x)=2 x, x_0=0, h=1, \\ x_0+nh=n, x_n=x_0+nh=n रखने पर:
\int_0^n x^2 d x=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^2-\frac{1}{2}\left[n^2+0\right]-\frac{1}{12}[2 n-0] \\ \Rightarrow \frac{n^3}{3}=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^2-\frac{1}{2} x^2-\frac{n}{6} \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^2=\frac{n^3}{3}+\frac{1}{2} n^2+\frac{n}{6} \\ =\frac{n}{6}\left[2 n^2+3 n+1\right] \\ =\frac{n}{6}\left[2 n^2+2 n+n+1\right] \\ =\frac{n}{6}[2 n(n+1)+1(n+1)] \\ =\frac{n}{6}(n+1)(2 n+1) \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
Example:18(iv). \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^5=\frac{n^6}{6}+\frac{n^3}{2}+\frac{5 n^4}{12}-\frac{n^2}{12}
Solution: \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^5=\frac{n^6}{6}+\frac{n^3}{2}+\frac{5 n^4}{12}-\frac{n^2}{12}
ऑयलर-मेकलारिन संकलन के व्यापक सूत्र से:
\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+n h} f(x) d x= \overset{n}{\underset{0}{\sum}} f(x+nh)-\frac{1}{2} \left[f\left(x_0+n h\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12} \left[f^{\prime}\left(x_0+nh\right) +f^{\prime}\left(x_0\right)\right]+\frac{h^3}{720}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+nh\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right]- \ldots \ldots \\ x_0=0, h=1, f(x)=x^5, f^{\prime}(x)=5 x^4, f^{\prime \prime}(x)=20 x^3, f^{\prime \prime \prime}=600 x^2, x_n=x_0+n h=n रखने पर:
\int_0^n x^5 d x= \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^5-\frac{1}{2}\left[n^5+0^5\right]-\frac{1}{12} \left[5 n^4-5(0)^4\right]+\frac{1}{720}\left[60 n^2-60(0)^2\right] \\ \Rightarrow \frac{n^6}{6}= \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^5-\frac{1}{2} n^5-\frac{5}{12} n^4+\frac{1}{12} n^2 \\ \Rightarrow \overset{n}{\underset{0}{\sum}} x^5=\frac{n^6}{6}+\frac{1}{2} n^5+\frac{5}{12} n^4-\frac{1}{12} n^2

Euler-Maclaurin Summation Formula

Example:19.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र की सहायता से निम्न का योग ज्ञात कीजिए:
(Find the sum of the following by using Euler-Maclaurin’s formula):
Example:19(i). \frac{1}{201^2}+\frac{1}{203^2}+\cdots+\frac{1}{299^2}
Solution: \frac{1}{201^2}+\frac{1}{203^2}+\cdots+\frac{1}{299^2}
ऑयलर-मेकलारिन संकलन के व्यापक सूत्र से:
\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+n h} f(x) d x=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} f(x+n h)-\frac{1}{2}\left[f\left(x_0+nh\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12}\left[f^{\prime}\left(x_0+n h\right) +f^{\prime}\left(x_0\right)\right] +\frac{h^3}{720}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+n h\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right]-\ldots \ldots \\ f(x) \equiv \frac{1}{x^2}, x_0=201, h=2, n=\frac{299-201}{2}=49 रखने पर:
\frac{1}{2} \int_{201}^{201+2 \times 49} \frac{1}{x^2} d x=\overset{49}{\underset{0}{\sum}} f\left(x_0+n h\right)-\frac{1}{2} \left[f\left(x+n h\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12} \left[f^{\prime} \left(x_0+n h\right)-f^{\prime}\left(x_0\right)\right]+\frac{h^3}{720}\left[f^{\prime \prime \prime} \left(x_0+nh\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right] \\ f(x)=\frac{1}{x^2}, f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^3}, f^{\prime}\left(x_0\right)=\frac{-2}{(201)^3}, f^{\prime}\left(x_0+n h\right)=\frac{-2}{(289)^3}, f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{24}{x^5}, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=-\frac{24}{(201)^5}, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+n h\right)=\frac{-24}{(299)^5} \\ \frac{1}{2} \int_{201}^{299} \frac{1}{x^2} d x=\overset{49}{\underset{0}{\sum}} f(201+2 n)-\frac{1}{2} \left[\frac{1}{299^2}+\frac{1}{201^2}\right]-\frac{1}{6}\left[-\frac{2}{299^3}+\frac{2}{201^3}\right]+\frac{1}{90} \left[-\frac{24}{299^5}+\frac{24}{205^5}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{x}\right]_{201}^{299}=\left[\frac{1}{201^2}+\frac{1}{203^2}+\cdots+\frac{1}{299^2}\right]- \frac{1}{2}\left[\frac{1}{299^2}+\frac{1}{201^2} \right]-\frac{1}{6}\left[\frac{-2}{299^3}+\frac{2}{201^3}\right]+\frac{1}{90}\left[\frac{-24}{299^5}+\frac{24}{200^5}\right] \\ \Rightarrow \overset{299}{\underset{201}{\sum}} \frac{1}{x^2}- \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{299}+\frac{1}{201}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{299^2}+\frac{1}{201^2}\right] +\frac{1}{6}\left[\frac{2}{201^3}-\frac{2}{299^3}\right]-\frac{1}{90}\left[\frac{24}{201^5}-\frac{24}{299^5}\right] \\=\frac{1}{2}(-0.0033448160+0.0049751243) +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{89401}+\frac{1}{40401}\right)+\frac{1}{3} \left(\frac{1}{8120601}-\frac{1}{26730899}\right) -\frac{4}{15}\left(\frac{1}{201^5}-\frac{1}{299^5}\right) \\ =\frac{1}{2}(0.0016303083)+\frac{1}{2}(0.0000111855 +0.0000247518)+\frac{1}{3}(0.0000001231-0.0000000374)+ 0 \\ =0.0008151541+\frac{1}{2}(0.0000359373) +\frac{1}{3}(0.0000000857) \\ =0.0008151541+0.0000179686 +0.0000000285 \\ =0.0008331512 \\ \Rightarrow \overset{299}{\underset{201}{\sum}} \frac{1}{x^2} \approx 0.000833151
Example:19(ii). \frac{1}{400}+\frac{1}{402}+\cdots+\frac{1}{498}+\frac{1}{500}
Solution: \frac{1}{400}+\frac{1}{402}+\cdots+\frac{1}{498}+\frac{1}{500}
ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र से:
\frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0+nh} f(x) d x=\overset{n}{\underset{0}{\sum}} f(x+n h)-\frac{1}{2}\left[f\left(x_0+n h\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12}\left[f^{\prime}\left(x_0+n h\right) +f^{\prime}\left(x_0\right)\right] +\frac{h^3}{720}\left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+n h\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right] \cdots \cdots \\ f(x)=\frac{1}{x}, x_0=400, h=2, n=\frac{500-400}{2}=50 रखने पर:
\frac{1}{2} \int_{400}^{400+2 \times 50} \frac{1}{2} d x=\frac{50}{2} f\left(x_0+n h\right)-\frac{1}{2}\left[f\left(x_0+n h\right)+f\left(x_0\right)\right]-\frac{h}{12}\left[f^{\prime}\left(x_0+n h\right)-f^{\prime}\left(x_0\right)\right]+\frac{h^3}{720} \left[f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+n h\right)-f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)\right] \\ f(x)=\frac{1}{x}, f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}, f^{\prime}\left(x_0\right)=-\frac{1}{400^2} ,f^{\prime}\left(x_0+n h\right)=-\frac{1}{500^2}, f^{\prime \prime \prime}(x)=-\frac{6}{x^4} ,f^{\prime \prime \prime}\left(x_0\right)=-\frac{6}{400^4}, f^{\prime \prime \prime}\left(x_0+n h\right)=\frac{-6}{500^4} \\ \frac{1}{2} \int_{400}^{500} \frac{1}{x} d x= \overset{50}{\underset{0}{\sum}} f(400+2 n)-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{500}+\frac{1}{400}\right]-\frac{1}{6}\left[-\frac{1}{500^2}+\frac{1}{400^2}\right]+\frac{1}{90}\left[-\frac{6}{500^4}+\frac{6}{400^4}\right] \\ \Rightarrow \frac{1}{2}[\log x]_{400}^{500}=\left[\frac{1}{400}+\frac{1}{402}+\cdots+\frac{1}{498}+\frac{1}{500}\right]-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{500}+\frac{1}{400}\right]-\frac{1}{6}\left[-\frac{1}{500^2}+\frac{1}{400^2}\right]+\frac{1}{90}\left[-\frac{6}{500^4}+\frac{6}{400^4}\right] \\ \Rightarrow \overset{500}{\underset{400}{\sum}} \frac{1}{x}=\frac{1}{2} \log \left(\frac{500}{400}\right)+\frac{1}{2}\left[\frac{1}{500} +\frac{1}{400}\right]+\frac{1}{6}\left[-\frac{1}{500^2}+\frac{1}{400^2}\right]-\frac{1}{15}\left(-\frac{1}{500^4} +\frac{1}{400^4}\right) \\=\frac{1}{2}(0.223143551)+\frac{1}{2}(0.002+0.0025) +\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{250000}+\frac{1}{160000}\right)-\frac{1}{15}\left(-\frac{1}{500^4}+\frac{1}{400^4}\right) \\ =0.111571775+\frac{1}{2}(0.0045)+\frac{1}{6}(-0.000004+0.00000625)-\frac{1}{15} \left(-\frac{1}{500^4}+\frac{1}{400^4}\right) \\=0.111571775+0.00225+\frac{1}{6}(0.00000225)+0 \\=0.111571775+0.00225+0.000000375 \\=0.11382215 \\ \Rightarrow \overset{500}{\underset{400}{\sum}} \frac{1}{x}=0.11382215
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र (Euler-Maclaurin Summation Formula),ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Euler-Maclaurin Summation Formula) को समझ सकते हैं।

4.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र की समस्याएँ (Euler-Maclaurin Summation Formula Problems):

Euler-Maclaurin Summation Formula

(1.)ऑयलर-मेकलारिन सूत्र से \int_0^1 \frac{d x}{1+x} का पाँच दशमलव स्थान तक मान ज्ञात करो।
(Evaluate \int_0^1 \frac{d x}{1+x} correct upto five decimal places by Euler-Maclaurin’s formula.)
(2.)ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र का प्रयोग करके श्रेणी का योग ज्ञात करो।
(Sum of series \frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\frac{1}{103}+\frac{1}{104}
by using Euler-Maclaurin summation formula)
उत्तर (Answers):(1.)0.69315 (2.)0.0490291
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र (Euler-Maclaurin Summation Formula),ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Euler-Maclaurin Summation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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5.ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र (Euler-Maclaurin Summation Formula),ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Frequently Asked Questions Related to Numerical Integration by Euler-Maclaurin Summation Formula) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

ऑयलर-मेकलारिन संकलन सूत्र (Euler-Maclaurin Summation Formula) के इस
आर्टिकल में प्राकृत संख्याओं के वर्ग,घन व चतुर्थघात के योग के सूत्रों का निगमन
तथा कुछ योगफल पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।