1.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma),यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid Division Algorithm):

Euclid Division Lemma

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) की जानकारी संभवतः पहले से थी परन्तु लिखित रूप में इसका सर्वप्रथम उल्लेख यूक्लिड एलीमेंट्स (Euclid’s Elements) की पुस्तक VII में किया गया।
प्रमेय (Theorem):यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma):दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर,ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान हैं कि a=bq+r,0 \leq r<b है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) इसी प्रमेयिका (Lemma) पर आधारित है।
एल्गोरिथ्म (Algorithm):सुपरिभाषित चरणों की एक श्रृंखला होती है जो एक विशेष प्रकार की समस्या को हल करने की एक प्रक्रिया या विधि प्रदान करती है।
शब्द ‘एल्गोरिथ्म’ 9वीं शताब्दी के एक फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी के नाम से लिया गया है।वास्तव में शब्द ‘एलजबरा’ (Algebra) भी इन्हीं की लिखित पुस्तक ‘हिसाब अल-जबर वा अल मुकाबला’ से लिया गया है।
प्रमेयिका एक सिद्ध किया हुआ कथन होता है और इसे एक अन्य कथन को सिद्ध करने में प्रयोग करते हैं।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF परिकलित करने की एक तकनीक है।दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का HCF वह सबसे बड़ा पूर्णांक d है जो a और b दोनों को (पूर्णतया) विभाजित करता है।यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के चरण निम्न हैं:
चरण:1.c और d के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) का प्रयोग कीजिए।इसलिए हम ऐसे q और r ज्ञात करते हैं कि c=dq+r,0 \leq r<d हो।
चरण:2.यदि r=0 है तो d पूर्णांकों c और d का HCF है।यदि r \neq 0 है तो d और r के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) का प्रयोग कीजिए।
चरण:3.इस प्रक्रिया को तब भी जारी रखिए जब तक शेषफल 0 न प्राप्त हो जाए।इसी स्थिति में प्राप्त भाजक ही वांछित HCF है।
यह एल्गोरिथ्म इसलिए प्रभावशाली है क्योंकि HCF (c,d)=HCF(d,r)

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2.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के उदाहरण (Euclid Division Lemma Examples):

निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:(प्रश्न 1 से 3):
Example:1.135 और 225

Solution:चरण:I.225>135,225 और 135 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) का प्रयोग करने पर:
225=135×1+90

\begin{array}{r|rr} & 1 \\ \hline 135 & 225 \\ & -135 \\ \hline & 90\end{array}
चरण:II.शेषफल शून्य नहीं है।
अतः 135 और 90 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) प्रयोग करने पर:

\begin{array}{r|rr} & 1 \\ \hline 90 & 135 \\ & -90 \\ \hline & 45\end{array}
चरण:3.शेषफल शून्य नहीं है।
अतः 90 और 45 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) प्रयोग करने पर:
90=45×2+0

\begin{array}{r|rr} & 2 \\ \hline 45 & 90 \\ & 90 \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल 0 है तथा भाजक 45 है।
अतः 90 और 45 का HCF=45 है।
फलतः 135 और 225 का =HCF=45 होगा।
Example:2.196 और 38220
Solution:196 और 38220 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) प्रयोग करने पर:
38220=196×195+0

\begin{array}{r|rr} & 195 \\ \hline 196 & 38220 \\ & -38220 \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल शून्य है।
अतः 38220 और 196 का HCF=196
Example:3.867 और 255
Solution:867 और 255 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) प्रयोग करने पर:
867=255×3+102
255=102×2+51
102=51×2+0

\begin{array}{r|rr} & 3 \\ \hline 255 & 867 \\ & -765 \\ \hline & 102\end{array} \\  \\ \begin{array}{r|rr} & 2 \\ \hline 102 & 255 \\ & -204 \\ \hline & 51\end{array} \\ \begin{array}{r|rr} & 2 \\ \hline 51 & 102 \\ & -102 \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल 0 है।अतः
867 और 255 का HCF=51

Euclid Division Lemma

Example:4.दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है,जहाँ q कोई पूर्णांक है।
Solution:माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है।a और b (=6) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर:
a=6q+r जहाँ 0 \leq r<6
संभावित शेषफल r=0,1,2,3,4,5 अर्थात् a संख्याओं 6q,6q+1,6q+2,6q+3,6q+4,6q+5 के रूप का हो सकता है।
चूँकि a एक विषम पूर्णांक है इसलिए यह 6q,6q+2,6q+4 के रूप का नहीं हो सकता है क्योंकि ये 2 से विभाज्य है।
इसलिए कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1,6q+3,6q+5 के रूप का होगा।
Example:5.किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है।दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है।इन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है,जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
Solution:सेना के दो समूहों वाले बैण्ड की संख्या 616 और 32 है।स्तम्भों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए HCF ज्ञात करना होगा।
अतः 616 और 32 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) प्रयोग करने पर:
616=32×19+8
32=8×4+0

\begin{array}{r|rr} & 19 \\ \hline 32 &  616 \\ & -32 \quad \\ \hline & 296 \\ & -288 \\ \hline & 8\end{array} \\ \begin{array}{r|rr} & 4 \\ \hline 8 & 32 \\ & -32 \\ \hline & 0\end{array}
शेषफल शून्य है अतः
616 और 32 का HCF=8
अतः मार्च करने के लिए अधिकतम स्तम्भों की संख्या=8
Example:6.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग,किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है।
Solution:माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है।हम जानते हैं कि कोई धनात्मक पूर्णांक 3q,3q+1 या 3q+2 के रूप का होता है।
स्थिति:I.जब a=3q+0
\Rightarrow (a)^{2}=(3q)^{2}=9q^{2} \\=3(3q^{2}) \\ \Rightarrow (a)^{2}=3m (जहाँ m=3q^{2})
स्थिति:II.जब a=3q+1
\Rightarrow(a)^{2} =(3 q+1)^{2} \\ =9 q^{2}+6 q+1 \\ =3\left(3 q^{2}+2 q\right)+1 \\ \Rightarrow(a)^{2}=3 m+1(जहाँ m=\left(3 q^{2}+2 q\right) )
स्थिति:III.a=3q+2
\Rightarrow a^{2} =(3 q+2)^{2} \\ =9 q^{2}+12 q+4 \\=9 q^{2}+12 q+3+1 \\=3\left(3 q^{2}+4 q+1\right)+1 \\ \Rightarrow (a)^{2}=3 m+1 (जहाँ m=\left(3 q^{2}+4 q+1\right))
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप का होता है।
Example:7.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m,9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।
Solution:माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है।हम जानते हैं कि कोई धनात्मक पूर्णांक 3q,3q+1 या 3q+2 के रूप का हो सकता है।
स्थिति:I.जब a=3q
\Rightarrow (a)^{3}=(3q)^{3} \\=27q^{3} \\=9(3q^{3}) \\ \Rightarrow (a)^{3}=9m (जहाँ m=3q^{3} )
स्थिति:II.a=3q+1
\Rightarrow(a)^{3} =(3 q+1)^{3} \\ =27q^{2}+27 q^{2}+9 q+1 \\ =9\left(3q^{3}+3 q^{2}+ q\right)+1 \\ \Rightarrow(a)^{3}=9 m+1(जहाँ m=\left(3q^{3}+3 q^{2}+ q\right))
स्थिति:II.a=3q+2
\Rightarrow a^{3} =(3 q+2)^{3} \\ =27q^{3}+54 q^{2}+36 q+8 \\=9\left(3q^{3}+6 q^{2}+4 q\right)+8 \\ \Rightarrow (a)^{3}=9 m+8(जहाँ m=\left(3q^{3}+6 q^{2}+4 q\right))
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m,9m+1,9m+8 के रूप का होता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma),यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid Division Algorithm) को समझ सकते हैं।

3.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के सवाल (Euclid Division Lemma Questions):

(1.)4052 और 12576 का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए।
(2.)दर्शाइए कि एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है,जहाँ q एक पूर्णांक है।
उत्तर (Answer):(1.)HCF=4
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma),यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid Division Algorithm) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बिन्दु (HIGHLIGHTS):

Euclid Division Lemma

(1.)यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म न केवल,बड़ी संख्याओं के HCF परिकलित करने में उपयोगी है अपितु यह इसलिए भी महत्त्वपूर्ण है कि यह उन एल्गोरिथ्मों में से एक है जिनका कम्प्यूटर में एक प्रोग्राम के रूप में सबसे पहले प्रयोग किया गया।
(2.)यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका और विभाजन एल्गोरिथ्म परस्पर इतने अन्तर्निहित हैं कि लोग प्रायः यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को ही यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कहते हैं।
(3.)यद्यपि यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका/एल्गोरिथ्म को केवल धनात्मक पूर्णांकों के लिए ही लिखा गया है परन्तु इसे सभी पूर्णांकों (शून्य को छोड़कर अर्थात्) के लिए लागू किया जा सकता है।

5.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma),यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid Division Algorithm) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid Division Lemma) की जानकारी संभवतः पहले से थी परन्तु लिखित रूप में
इसका सर्वप्रथम उल्लेख यूक्लिड एलीमेंट्स (Euclid’s Elements) की पुस्तक VII में किया गया।