1.अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for p in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree):

Equations Solvable for p in DE

अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for p in DE) के बारे में अध्ययन करेंगे जो प्रथम कोटि के हों और उनकी घात एक से अधिक हो।
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2.अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Equations Solvable for p in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. p^2-7 p+12=0
Solution: p^2-7 p+12=0
दिए हुए समीकरण को p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) मानकर हल करने से:

p^2-4 p-3 p+12=0 \\ \Rightarrow p(p-4)-3(p-4)=0 \\ \Rightarrow(p-3)(p-4)=0
अतः p=3 और p=4
जब p=3 तब \frac{d y}{d x}=3 \\ \Rightarrow y=3 x+c
तथा जब p=4
तब \frac{d y}{d x}=4 \\ \Rightarrow y=4 x+c
इसलिए दिए हुए समीकरण के दो स्वतन्त्र हल होंगे:
y-3x-c=0,y-4x-c=0
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
(y-3x-c)(y-4x-c)=0
Example:2. p^2-2 p-3=0
Solution: p^2-2 p-3=0
दिए हुए समीकरण को p में द्विघात समीकरण (quadratic equation) मानकर हल करने पर:

p^2-3 p+p-3=0 \\ \Rightarrow p(p-3)+1(p-3)=0 \\ \Rightarrow (p+1)(p-3)=0
अतः p=-1 और p=3
जब p=-1 तब \frac{d y}{d x}=-1 \\ \Rightarrow y=-x+c
तथा जब p=3 तब \frac{d y}{d x}=3 \\ \Rightarrow y=3 x+c
इसलिए दिए हुए समीकरण के दो स्वतन्त्र हल होंगे:
y+x-c=0,y-3x-c=0
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:
(y+x-c)(y-3x-c)=0
Example:3.p(p-y)=x(x+y)
Solution:p(p-y)=x(x+y)
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

p^2-p y-x^2-x y=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{y \pm \sqrt{(-y)^2-4 \times 1 \times\left(-x^2-x y\right)}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow p=\frac{y \pm \sqrt{y^2+4 x^2+4 x y}}{2} \\ \Rightarrow p=\frac{y \pm \sqrt{(y+2 x)^2}}{2} \\ \Rightarrow p=\frac{y \pm(y+2 x)}{2} \ldots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{y+y+2 x}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=x+y \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}-y=x
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है इसलिए समाकलन गुणक होगा:

I.F.=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}
समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

y \cdot\left(I.F.\right)=\int\left(I. F.\right) Q d x+c \\ \Rightarrow y e^{-x} =\int e^{-x} x d x+c \\ \Rightarrow y e^{-x} =x \int e^{-x} d x-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x+c \\ =-x e^{-x}+ \int e^{-x} d x+c \\ =-x e^{-x}-e^{-x}+c \\ \Rightarrow y =-x-1+c e^x \\ \Rightarrow y+x+1-c e^x=0 \ldots(2)
पुनः (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{y-(y+2 x)}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-x \Rightarrow 2 \frac{d y}{d x}=-2 x
समाकलन करने पर:

2 y=-x^2+c \\ \Rightarrow 2 y+x^2-c=0 \ldots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(y+x+1-c e^x\right)\left(2 y+x^2-c\right)=0
Example:4. x y p^2+p\left(3 x^2-2 y^2\right)-6 x y=0
Solution: x y p^2+p\left(3 x^2-2 y^2\right)-6 x y=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-\left(3 x^2-2 y^2\right) \pm \sqrt{\left(3 x^2-2 y^2\right)^2-4 \times x y \times-6 x y}}{2 x y} \\ \Rightarrow =\frac{-3 x^2+2 y^2 \pm \sqrt{9 x^4+4 y^4-12 x^2 y^2+24 x^2 y^2}}{2 x y} \\ =\frac{-3 x^2+2 y^2 \pm \sqrt{9 x^4+4 y^2+12 x^2 y^2}}{2 x y} \\=\frac{-3 x^2+2 y^2 \pm \sqrt{\left(3 x^2+2 y^2\right)^2}}{2 x y} \\ \Rightarrow p =\frac{-3 x^2+2 y^2 \pm\left(3 x^2+2 y^2\right)}{2 x y} \cdots(1)
(1)में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-3 x^2+2 y^2+3 x^2+2 y^2}{2 x y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{4 y^2}{2 x y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{2}{x} d x
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y}=\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \log y=2 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log y=\log c x^2 \\ \Rightarrow y=c x^2 \\ \Rightarrow y-c x^2=0 \cdots(2)
पुनः (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-3 x^2+2 y^2-\left(3 x^2+2 y^2\right)}{2 x y} \\ =\frac{-3 x^2+2 y^2-3 x^2-2 y^2}{2 x y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{-6 x^2}{2 x y} \\ \Rightarrow 2 y d y =-6 x d x
समाकलन करने पर:

\int 2 y d y=-6 \int x d x+c \\ \Rightarrow y^2=-3 x^2+c \\ \Rightarrow y^2+3 x^2-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(y-c x^2\right)\left(y^2+3 x^2-c\right)=0
Example:5. 4 y^2 p^2+2 p x y(3 x+1)+3 x^3=0
Solution: 4 y^2 p^2+2 p x y(3 x+1)+3 x^3=0 \\ \Rightarrow 4 y^2 p^2+\left(6 x^2 y+2 x y\right) p+3 x^3=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-\left(6 x^2 y+2 x y\right) \pm \sqrt{\left(6 x^2 y+2 x y\right)^2-4 \times 4 y^2 \times 3 x^3}}{2 \times 4 y^2} \\ =\frac{-6 x^2 y-2 x y \pm \sqrt{36 x^4 y^2+4 x^2 y^2+24 x^3 y^2-48 x^3 y^2}}{8 y^2} \\ =\frac{-6 x^2 y-2 x y \pm \sqrt{36 x^4 y^2+4 x^2 y^2-24 x^3 y^2}}{8 y^2} \\ =\frac{-6 x^2 y-2 x y \pm \sqrt{\left(6 x^2 y-2 x y\right)^2}}{8 y^2} \\ \Rightarrow p =\frac{-6 x^2 y-2 x y \pm\left(6 x^2 y-2 x y\right) }{8 y^2}\ldots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-6 x^2 y-2 x y+6 x^2 y-2 x y}{8 y^2} \\ =-\frac{4 x y}{8 y^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{2 x}{4 y}
समाकलन करने पर:

\int 4 y d y=-\int 2 x d x+c \\ 2 y^2=-x^2+c \\ \Rightarrow 2 y^2+x^2-c=0 \cdots(2)
पुन: (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-6 x^2 y-2 x y-\left(6 x^2 y-2 x y\right)}{8 y^2} \\ =\frac{-6 x^2 y-2 x y-6 x^2 y+2 x y}{8 y^2} \\ =-\frac{12 x^2 y}{8 y^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{3 x^2}{2 y}
समाकलन करने पर:

\int 2 y d y=-\int 3 x^2 d x+c \\ y^2=-x^3+c \\ \Rightarrow y^2+x^3-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

Equations Solvable for p in DE

Example:7. p^3+2 x p^2-y^2 p^2-2 x y^2 p=0
Solution: p^3+2 x p^2-y^2 p^2-2 x y^2 p=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

p\left[p^2+\left(2 x-y^2\right) p-2 x y^2\right]=0
p=0 तथा p^2+\left(2 x-y^2\right) p-2 x y^2=0
जब p=0 तो \frac{d y}{d x}=0
समाकलन करने पर:
y=c \Rightarrow y-c=0 \cdots(1)
जब p^2+\left(2 x-y^2\right) p-2 x y^2=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-\left(2 x-y^2\right) \pm \sqrt{(2 x-y^2)^2-4 \times 1 \times-2 x y^2}}{2 \times 1} \\ =\frac{-2 x+y^2 \pm \sqrt{4 x^2+y^4-4 x y^2+8 x y^2}}{2} \\ =\frac{-2 x+y^2 \pm \sqrt{4 x^2+y^4+4 x y^2}}{2} \\ =\frac{-2 x+y^2 \pm \sqrt{\left(2 x+y^2\right)^2}}{2} \\ \Rightarrow p =\frac{-2 x+y^2 \pm\left(2 x+y^2\right)}{2} \cdots(2)
(2) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-2 x+y^2+2 x+y^2}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y^2 \\ \Rightarrow \frac{d y}{y^2}=d x
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y^2}=\int d x \\ \Rightarrow-\frac{1}{y}=x+c \\ \Rightarrow x y+c y+1=0 \cdots(3)
पुन: (2) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-2 x+y^2-\left(2 x+y^2\right)}{2} \\ =\frac{-2 x+y^2-2 x-y^2}{2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-2 x
समाकलन करने पर:

\int d y=-\int 2 x d x+c \\ y=-x^2+c \\ \Rightarrow y^2+x^2-c=0 \ldots(4)
इसलिए (1),(3) और (4) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

(y-c)(x y+c y+1)\left(y^2+x^2-c\right)=0
Example:8. x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+(y-x) \frac{d y}{d x}-y=0
Solution:दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

x p^2+(y-x) p-y=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-(y-x) \pm \sqrt{(y-x)^2-4 \times x x-y}}{2 \times x} \\ =\frac{x-y \pm \sqrt{y^2+x^2-2 x y+4 x y}}{2 x} \\ =\frac{x-y \pm \sqrt{x^2+y^2+2 x y}}{2 x} \\ =\frac{x-y \pm \sqrt{(x+y)^2}}{2 x} \\ \Rightarrow p =\frac{x-y \pm(x+y)}{2 x} \ldots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{x-y+(x+y)}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=1
समाकलन करने पर:

\int y=\int x+c \\ \Rightarrow y=x+c \\ \Rightarrow y-x-c=0 \ldots(2)
पुन: (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{x-y-(x+y)}{2 x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y}=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log y=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \log y=\log \frac{c}{x} \\ \Rightarrow y=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow x y-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

(y-x-c)(x y-c)=0
Example:9. x^2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+x y \frac{d y}{d x}-6 y^2=0
Solution: x^2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+x y \frac{d y}{d x}-6 y^2=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

x^2 p^2+x y p-6 y^2=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-x y \pm \sqrt{x^2 y^2-4 \times x^2 \times-6 y^2}}{2 x^2} \\ =\frac{-x y \pm \sqrt{x^2 y^2 +24 x^2 y^2}}{2 x^2} \\ =\frac{-x y \pm \sqrt{25 x^2 y^2}}{2 x^2} \\ \Rightarrow p =\frac{-x y \pm 5 x y}{2 x^2} \cdots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-x y+5 x y}{2 x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y} =\int \frac{2}{x} d x \\ \log y=2 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log y =\log c x^2 \\ \Rightarrow y =c x^2 \\ \Rightarrow y-c x^2=0 \cdots(2)
पुन: (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-x y-5 x y}{2 x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{3 y}{x}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y}=-3 \int \frac{1}{x} d x \\ \Rightarrow \log y=-3 \log x+\log c \\ \Rightarrow y=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow x^3 y-c=0 \ldots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(y-c x^2\right)\left(x^3 y-c\right)=0
Example:10. x^2 p^2+3 x y p+2 y^2=0
Solution: x^2 p^2+3 x y p+2 y^2=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-3 x y \pm \sqrt{(3 x y)^2-4 \times x^2 \times 2 y^2}}{2 x^2} \\ =\frac{-3 x y \pm \sqrt{9 x^2 y^2-8 x^2 y^2}}{2 x^2} \\ =\frac{-3 x y \pm \sqrt{x^2 y^2}}{2 x^2} \\ \Rightarrow p=\frac{-3 x y \pm x y}{2 x^2} \cdots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-3 x y+x y}{2 x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int \frac{d y}{y}=-\int \frac{1}{x} d x \\ \Rightarrow \log y=-\log x+\log c \\ \log y=\log \frac{c}{x} \\ \Rightarrow y=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow x y-c=0 \cdots(2)
पुन: (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-3 x y-x y}{2 x^2} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{2 y}{x}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y}=-2 \int \frac{1}{x} d x \\ \Rightarrow \log y=-2 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log y=\log \frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow y=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow x^2 y-c=0 \cdots(3)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\Rightarrow (x y-c)\left(x^2 y-c\right)=0
Example:12. y=x\left[p+\sqrt{\left(1+p^2\right)}\right]
Solution: y=x\left[p+\sqrt{\left(1+p^2\right)}\right] \\ \Rightarrow \frac{y}{x}=p+\sqrt{1+p^2} \\ \Rightarrow \frac{y}{x}-p=\sqrt{1+p^2}
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

\Rightarrow\left(\frac{y}{x}-p\right)^2=1+r^2 \\ \Rightarrow \frac{y^2}{x^2}-\frac{2 y}{x} p+ p^2=1+p^2 \\ \Rightarrow \frac{2 y}{x} p=\frac{y^2}{x^2}-1 \\ \Rightarrow p=\frac{y^2-x^2}{x^2} \times \frac{x}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^2-x^2}{2 x y}
यह एक समघात अवकल समीकरण है,अतः इसमें
y=vx लेने पर:

\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ v+x \frac{d v}{d x} =\frac{v^2 x^2-x^2}{2 x \cdot vx} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(v^2-1\right)}{2 x^2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-1-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-\left(1+v^2\right)}{2 v}
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int \frac{2 v}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left(1+v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \log \left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=\log \frac{c}{x} \\ \Rightarrow \frac{x^2+y^2}{x^2}=\frac{c}{x}\\ \Rightarrow x^2+y^2=c x
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:13. x+y p^2+(1+x y) p=0
Solution: x+y p^2+(1+x y) p=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

y p^2+(1+x y) p+x=0
इसको p में द्विघात समीकरण मानकर हल करने पर:

p=\frac{-(1+x y) \pm \sqrt{(1+x y)^2-4 \times y \times x}}{2 y} \\ =\frac{-1-x y \pm \sqrt{1+x^2 y^2+2 x y-4 x y}}{2 y} \\ =\frac{-1-x y \pm \sqrt{1+x^2 y^2-2 x y}}{2 y}\\=\frac{-1-x y \pm \sqrt{(1-x y)^2}}{2 y} \\ \Rightarrow p=\frac{-1-x y \pm(1-x y)}{2 y} \ldots(1)
(1) में धनात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-1-x y+1-x y}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-2 x y}{2 y}
समाकलन करने पर:

2 \int d y=-2 \int x d x+c \\ \Rightarrow 2 y=-x^2+c \\ \Rightarrow 2 y+x^2-c=0 \cdots(2)
पुन: (1) में ऋणात्मक चिन्ह लेने पर:

p=\frac{-1-x y-(1-x y)}{2 y} \\=\frac{-1-x y-1+x y}{2 y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\frac{2}{2 y}
समाकलन करने पर:

\int 2 y d y=-2 \int d x+c \\ y^2=-2 x+c \\ \Rightarrow y^2+2 x-c=0 \cdots(2)
इसलिए (2) और (3) से दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल होगा:

\left(2 y+x^2-c\right)\left(y^2+2 x-c\right)=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for p in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों की समस्याएँ (Equations Solvable for p in DE Problems):

Equations Solvable for p in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.)p^4-(x+2 y+1) p^3+(x+2 y+2 x y) p^2-2 x y p=0
(2.) x y\left(p^2+1\right)=\left(x^2+y^2\right) p
उत्तर (Answers): (1.) (y-c)(y-x-c)\left(2 y-x^2-c\right)\left(y-c e^{2 x}\right)=0
(2.) \left(y^2-x^2-c\right)(y-c x)=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for p in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Frequently Asked Questions Related to Equations Solvable for p in DE),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में समीकरण जो p के लिए हल होने योग्य हों (Equations Solvable for
p in DE) के बारे में अध्ययन करेंगे जो प्रथम कोटि के हों और उनकी घात एक से अधिक हो।