1.यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact DE),यथार्थ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equations):

Equations Reducible to Exact DE

यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact DE) में ऐसे समीकरणों का अध्ययन करेंगे जिनको समाकलन-गुणक द्वारा यथातथ अवकल समीकरण में परिवर्तित किया जा सके और यथातथ अवकल समीकरण विधि से हल ज्ञात किया जा सके।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Bernoulli Equation Reducible to Linear

2.यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण के उदाहरण (Equations Reducible to Exact DE Examples):

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:5. \left(x y+2 x^2 y^2\right) y d x+\left(x y-x^2 y^2\right) x d y=0
Solution: \left(x y+2 x^2 y^2\right) y d x+\left(x y-x^2 y^2\right) x d y=0
यहाँ M=\left(x y+2 x^2 y^2\right) y, N=\left(x y-x^2 y^2\right) x
इसलिए M x-N y=x^2 y^2+2 x^3 y^3-x^2 y^2+x^3 y^3 \\ \Rightarrow M x-N y=3 x^3 y^3
अतः समाकलन-गुणक (I.F.)=\frac{1}{3 x^3 y^3} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने परः

\frac{\left(x y+2 x^2 y^2\right) y}{3 x^3 y^3} d x+\frac{\left(x y-x^2 y^2\right) x}{3 x^3 y^3} d y=0 \\ \Rightarrow \frac{1+2 x y}{3 x^2 y} d x+\frac{1-x y}{3 x y^2} d y=0 \cdots(1)\\ M=\frac{1+2 x y}{3 x^2 y} \quad N=\frac{1-x y}{3 x y^2} 
अतः \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{3 x^2 y(2 x)-(1+2 x y) 3 x^2}{9 x^4 y^2} \\ =\frac{6 x^3 y-3 x^2-6 x^3 y}{9 x^4 y^2} \\ =\frac{-3 x^2}{9 x^4 y^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{1}{3 x^2 y^2} \\ \frac{\partial N}{\partial y} =\frac{3 x y^2(1-x y)(-y)-(1-x y) 3 y^2}{9 x^2 y^4} \\ =\frac{-3 x^3 y^2-3 y^2+3 x y^3}{9 x^2 y^4} \\ =\frac{-3 y^2}{9 x^2 y^4} \\ \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{3 x^2 y^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x,y) =\int M d x=\int \frac{1+2 x y}{3 x^2 y} d x=\int \frac{1}{3 x^2 y} d x+\int \frac{2}{3 x} d x \\ =-\frac{1}{3 x y}+\frac{2}{3} \log x \\ \Rightarrow U(x, y)=-\frac{1}{3 x y}+\frac{2}{3} \log x \\ (2.) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{3 x y^2} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1-x y}{3 x y^2}-\frac{1}{3 x y^2} =\frac{1}{3 x y^2}-\frac{1}{3 y}-\frac{1}{3 x y^2} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{3 y} \\ (4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{3 y}\right) d y=-\frac{1}{3} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगाः

U\left(x,y\right)+V(y)=c_1 \\ \Rightarrow -\frac{1}{3 x y}+\frac{2}{3} \log x-\frac{1}{3} \log y=C_{1} \\ \Rightarrow -\frac{1}{x y}+2 \log x-\log y=\log c \left[\because \log c=3 C_{1}\right] \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x^2}{c y}\right)=\frac{1}{x y} \\ \Rightarrow \frac{x^2}{c y}=e^{\frac{1}{x y}} \\ \Rightarrow x^2=c y e^{\frac{1}{x y}}
Example:6. (1-x y) y d x=x(1+x y) d y
Solution: (1-x y) y d x=x(1+x y) d y
यहाँ M=y-x y^2, N=x-x^2 y
इसलिए M x-N y=x y-x^2 y^2+x y+x^2 y^2=2 x y
अतः समाकलन-गुणक (I.F.)=\frac{1}{2 x y} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने परः

\frac{(1-x y) y d x}{2 x y}-\frac{x(1+x y)}{2 x y} d y=0 \\ \Rightarrow \frac{1-x y}{2 x} d x-\frac{1+x y}{2 y} d y=0 \\ M=\frac{1-x y}{2 x}, \quad N=-\frac{(1+x y)}{2 y}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{2 x(-x)-(1-x y) 0}{4 x^2}=-\frac{1}{2} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=-\left[\frac{2 y(y)-(1+x y) 0]}{4 y^2}\right] \\ \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int \frac{1-x y}{2 x} d x=\int \frac{1}{2 x} d x-\int \frac{y}{2} d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{1}{2} \log x-\frac{x y}{2} \\ (2.) \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x}{2} \\ (3.) N-\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{(1+x y)}{2 y}+\frac{x}{2}=-\frac{1}{2 y}-\frac{x}{2}+\frac{x}{2} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{2 y} \\ (4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int\left(-\frac{1}{2} y\right) d y \\ \Rightarrow v(y)=-\frac{1}{2} \log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगाः

U\left(x,y\right)+V(y)=c_1 \\ \frac{1}{2} \log x-\frac{x y}{2}-\frac{1}{2} \log y=4 \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{y}\right)-x y=2 c_1 \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x}{y}\right)-x y=c \left[\because 2 C_{1}=c\right]
Example:7. \left(2 y+3 x y^2\right) d x+\left(x+2 x^2 y\right) d y=0
Solution: \left(2 y+3 x y^2\right) d x+\left(x+2 x^2 y\right) d y=0
यहाँ M=2 y+3 x y^2, N=x+2 x^2 y
इसलिए M x-N y=2 x y+3 x^2 y^2-x y-2 x^2 y^2 \\ \Rightarrow M x-N y=x y+x^2 y^2
अतः समाकलन-गुणक (I.F.)=\frac{1}{x y+x^2 y^2} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने परः

\left(\frac{2 y+3 x y^2}{x y+x^2 y^2}\right) d x+\left(\frac{x+x^2 y}{x y+x^2 y^2}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left[\frac{2 y(1+x y)}{x^y(1+x y)}+\frac{x y^2}{x y(1+x y)}\right] d x+\left[\frac{x(1+x y)}{x y(1+1 y) x y(1+x y)}\right] d y \\ \Rightarrow\left[\frac{2 y}{x}+\frac{y}{1+x y}\right] d x+\left[\frac{1}{y}+\frac{x}{1+x y}\right] d y=0 \cdots(1) \\ M=\frac{2}{x}+\frac{y}{1+x y}, N=\frac{1}{y}+\frac{x}{1+x y}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{(1+x y) \cdot 1-y \cdot x}{(1+x y)^2}=\frac{1+x y-x y}{(1+x y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial m}{\partial y}=\frac{1}{(1+x y)^2} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{(1+x y) 1-x \cdot y}{(1+x y)^2} \\ =\frac{1+x y-x y}{(1+x y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{(1+x y)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left[\frac{2}{x}+\frac{y}{1+x y}\right] d x \\ \Rightarrow U(x, y)=2 \log x+\log (1+x y) \\ (2.) \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{x}{1+x y} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{y}+\frac{x}{1+x y}-\frac{x}{1+x y}=\frac{1}{y} \\ (4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int \frac{1}{y} d y \\ \Rightarrow V(y)=\log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगाः

Equations Reducible to Exact DE

Example:8. y(2 x y+1) d x+x\left(1+2 x y-x^3 y^3\right) d y=0
Solution: y(2 x y+1) d x+x\left(1+2 x y-x^3 y^3\right) d y=0
यहाँ M=2 x y^2+y, N=x+2 x^2 y-x^4 y^3
इसलिए M x-N y=2 x^2 y^2+x y-x y-2 x^2 y^2=x^4 y^4 \\ \Rightarrow M x-N y=-x^4 y^4
अतः समाकलन-गुणक (I.F.)=\frac{1}{-x^4 y^4} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को समाकलन-गुणक (I.F.) से गुणा करने परः

\frac{y(2 x y+1)}{-x^4 y^4} d x+\frac{x\left(1+2 x y-x^3 y^3\right)}{-x^4 y^4} d y=0 \\ \Rightarrow -\frac{(2 x y+1)}{x^4 y^3} d x-\frac{\left(1+2 x y-x^3 y^3\right)}{x^3 y^4} d y=0, \\ M=-\frac{-(2 x y+1)}{x^4 y^3}, N=-\frac{\left(1+2 x y-x^3 y^3\right)}{x^3 y^4}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=-\left[\frac{\left(x^4 y^3\right) \cdot 2 x-(2 x y+1)^3 x^4 y^2}{x^8 y 6}\right] \\ =-\frac{\left(2 x^5 y^3-6 x^5 y^3-3 x^4 y^2\right)}{x^8 y^6} \\ =-\frac{\left(-4 x^5 y^3-3 x^4 y^2\right)}{x^8 y^6} \\ =\frac{x^4 y^2(4 x y+3)}{x^8 y^6} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{4 x^4+3}{x^4 y^4} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=-\left[\frac{\left(2 y-3 x^2 y^3\right) x^3 y^4-\left(1+2 x y-x^3 y^3\right)3 x^2 y^4}{x^6 y^8}\right] \\ = \frac{\left[2 x^{3} y^5-3 x^5 y^7-3 x^2 y^4-6 x^3 y^5+3 x^5 y^7\right]}{x^6 y^8} \\ =\frac{-\left[-4 x^3 y^5-3 x^2 y^4\right]}{x^6 y^8} \\ =\frac{x^2 y(4 x+y+3)}{x^6 y^8} \\ \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{4 x y+3}{x^4 y^4} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y) =\int M d x=\int\left[-\frac{(2 x y+1)}{x^4 y^3}\right] d x \\ = -\int \frac{2}{x^3 y^2} d x-\int \frac{1}{x^4 y^3} d x \\ \Rightarrow U(x, y)= \frac{1}{x^2 y^2}+\frac{1}{3 x^3 y^3} \\ (2.) \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{2}{x^2 y^3}-\frac{1}{x^3 y^4} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{\left(1+2 x y-x^3 y^3\right)}{x^3 y^4}+\frac{2}{x^2 y^3}+\frac{1}{x^3 y^4} \\ =-\frac{1}{x^3 y^4}-\frac{2}{x^2 y^3}+ \frac{1}{y}+\frac{2}{x^2 y^3}+\frac{1}{x^3 y^4} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{1}{y} \\ \text { (4.) } V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int \frac{1}{y} d y \\ \Rightarrow V(y)=\log y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगाः

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow \frac{1}{x^2 y^2}+\frac{1}{3 x^2 y^3}+\log y=c
Example:12. \left(2 x^2 y^2+y\right) d x-\left(x^3 y-3 x\right) d y=0
Solution: \left(2 x^2 y^2+y\right) d x-\left(x^3 y-3 x\right) d y=0
समीकरण को x^h y^k से गुणा करने तथा उसको Mdx+Ndy=0 के रूप में लिखने सेः

\left(2 x^{h+2} y^{k+2}+x^h y^{k+1}\right) d x+\left(-x^{h+3} y^{k+1}+3x^{h+1} y^k\right) d y=0 \cdots(1)
यहाँ M=2 x^{h+2} y^{k+2}+x^h y^{k+1} \\ N =-x^{h+3} y^{k+1}+3 x^{h+1} y^k \\ \frac{\partial M}{\partial y} =2(k+2) x^{h+2} y^{k+1}+(k+1) x^h y^k \\ \frac{\partial N}{\partial y} =-(h+3) x^{h+2} y^{k+1}+3(h+1) x^h y^k
यथार्थ समीकरण होने के लिए:

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ \Rightarrow 2(k+2) x^{h+2} y^{k+1}+(k+1) x^h y^k+(h+3) x^{h+2} y^{k+1}-3(h+1) x^h y^k=0 \\ \Rightarrow[2(k+2)+(h+3)] x^{h+2} y^{k+1}+\left[\left(k+1-3(h+1\right)\right] x^h y^k=0
यह तब ही संभव है जबकि

2(k+2)+h+3=0 \Rightarrow h+2 k+7=0 \cdots(2)\\ k+1-3(h+1)=0 \Rightarrow 3 h+k-2=0 \cdots(3)
(2) व (3) को हल करने परः

h=-\frac{11}{7}, k=-\frac{19}{7}
अतः I.F.=x^{-\frac{11}{7}} y^{-\frac{19}{7}}
अब समीकरण (1) का रूप होगा:

\left(2 x^{-\frac{11}{7}+2} y^{-\frac{19}{7}+2}+x^{-\frac{11}{7}} y^{-\frac{19}{7}+1}\right) d x+\left(-x^{-\frac{11}{7}+3} y^{-\frac{19}{7}+1}+3 x^{-\frac{11}{7}+1} y^{-\frac{19}{7}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow \left(2 x^{\frac{3}{7}} y^{-\frac{5}{7}}+x^{-\frac{11}{7}} y^{-\frac{12}{7}}\right) d x+\left(-x^{\frac{10}{7}} y^{-\frac{12}{7}}+3 x^{-\frac{4}{7}} y^{-\frac{19}{7}}\right) d y=0
यह एक यथार्थ समीकरण है।इसलिए यथार्थ समीकरण की विधि द्वारा हल करने परः

(1.) U(x+y)=\int M d x=\int\left(2 x^{\frac{3}{7}} y^{-\frac{5}{7}}+x^{-\frac{11}{7}} y^{-\frac{12}{7}} \right) d x \\ =2 \times \frac{7}{10} x^{\frac{10}{7}} y^{-\frac{5}{7}}-\frac{7}{4} x^{-\frac{4}{7}} y^{-\frac{12}{7}} \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{7}{5} x^{\frac{10}{7}} y^{-\frac{5}{7}}-\frac{7}{4} x^{-\frac{4}{7}} y^{-\frac{12}{7}} \\ (2.) \frac{\partial U}{\partial y}=-x^{\frac{10}{7}} y^{-\frac{12}{7}}+3 x^{-\frac{4}{7}} y^{-\frac{19}{7}} \\ (3.)N-\frac{\partial u}{\partial y}=-x^{\frac{10}{7}} \cdot y^{\frac{-12}{7}}+3 x^{-\frac{4}{7}} \cdot y^{\frac{-19}{7}}+x^{\frac{10}{2}} y^{-\frac{12}{7}} -3 x^{-\frac{4}{7}} y^{-\frac{19}{7}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\ (4.)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0 
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow \frac{7}{5} x^{\frac{10}{7}} y^{-\frac{5}{7}}-\frac{7}{4} x^{-\frac{4}{7}} y^{-\frac{12}{7}}=c
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact DE),यथार्थ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएँ (Equations Reducible to Exact DE Problems):

Equations Reducible to Exact DE

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.)\left(x^3 y^3+x^2 y^2+x y+1\right) y d x+\left(x^3 y^3+x^2 y^2 -x y+1\right) x d y=0
(2.)\left(x^3 y^3+x^2 y^2+x y+1\right) y d x+\left(x^3 y^3-x^2 y^2-x y+1\right) x d x=0
उत्तर (Answers): (1.) x y-\frac{1}{x y}-2 \log y=c
(2.) x y-\frac{1}{x y}-2 \log y=c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact DE),यथार्थ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Exact Differential Equations in DE

4.यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equations Reducible to Exact DE),यथार्थ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

यतातथ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Exact DE)
में ऐसे समीकरणों का अध्ययन करेंगे जिनको समाकलन-गुणक द्वारा यथातथ अवकल
समीकरण में परिवर्तित किया जा सके