1.क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form),अवकल समीकरण में क्लैरो के समीकरण में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form in DE):

Equations Reducible to Clairaut’s Form

क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form) के सवालों को हल करके व्यापक हल ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Equations Reducible to Clairaut’s Form):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:2. e^{3 x}(p-1)+p^3 e^{2 y}=0
Solution: e^{3 x}(p-1)+p^3 e^{2 y}=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

e^x=u , e^y=v
इसका अवकलन करने पर:

e^x d x=d u, e^y d y=d v \\ \frac{d v}{d u}=\frac{e^y}{e^x} \frac{d y}{d x}
माना \frac{d v}{d u}=P \\ P=\frac{v}{u} p \\ \Rightarrow p=\frac{u}{v} P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर:

\Rightarrow u^3\left(\frac{u}{v} P-1\right)+\frac{u^3}{v^3} P^3 v^2=0 \\ \Rightarrow u P-v+P^3=0 \\ \Rightarrow v=u P+P^3
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+c^3 \\ \Rightarrow e^y=c e^x+c^3
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:4. (y+p x)^2=x^2 p
Solution: (y+p x)^2=x^2 p
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

x y=v
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
y+x \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow y+x p=P \quad\left[ \text { यहाँ माना } P=\frac{d v}{d x}\right]
इसका प्रयोग दिए हुए समीकरण में करने पर:

P^2=x^2\left(\frac{P-y}{x}\right) \\ \Rightarrow P^2=P x-x y \\ \Rightarrow P^2=P x-v \\ \Rightarrow v=P x-P^2
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c x-c^2 \\ \Rightarrow x y =c x-c^2
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:5. (p x-y)(x-b y)=2 p
Solution: (p x-y)(x-b y)=2 p
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

x^2=u, y^2=v
इसका अवकलन करने पर:

2 x d x=d u, \quad 2 y d y=d v \\ \frac{d v}{d x}=\frac{y}{x} \frac{d y}{d x}
माना \frac{d v}{d u}=P \\ \Rightarrow P=\frac{y}{x} p
दिए हुए समीकरण में p का यह मान रखने पर:

\left(P \frac{x}{y} \cdot x-y\right)\left(x-\frac{x}{y} P y\right)=2 p \\ \Rightarrow\left(\frac{P x^2-y^2}{y}\right)(1-P) x=2 \frac{x}{y} P \\ \Rightarrow\left(P u-v\right)(1-P)=2 P \\ \Rightarrow Pu-v=\frac{2 P}{1-P} \\ \Rightarrow v=P u-\frac{2 P}{1-P}
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

\Rightarrow v=c u-\frac{2 c}{1-c} \\ \Rightarrow y^2=c x^2-\frac{2 c}{1-c}
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:6. x y p^2-\left(x^2+y^2-1\right) p+x y=0 
Solution: x y p^2-\left(x^2+y^2-1\right) p+x y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

x^2=u, y^2=v
इसका अवकलन करने पर:

2 x d x=d u, 2 y d y=d v \\ \frac{d v}{d x}=\frac{y}{x} \frac{d y}{d x}
माना \frac{d v}{d x}=P \\ P=\frac{y}{x} p \\ \Rightarrow p=\frac{x}{y} P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर:

x y P^2 \frac{x^2}{y^2}-(u+v-1) \cdot P \frac{x}{y}+\frac{x}{y} \cdot y^2=0 \\ x^2 \cdot \frac{x}{y} p^2-(u+v-1) P+v=0 \\ u P^2-u P-v P+P+v=0 \\ v P-v=u P(P-1)+P \\ \Rightarrow v(P-1)=u P(P-1)+P \\ v=u P+P-1 \\ v=u P+\frac{P}{P-1}
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+\frac{c}{c-1} \\ \Rightarrow y^2=c x^2+\frac{c}{c-1}
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:7. y=p x+\frac{p}{2 x}
Solution: y=p x+\frac{p}{x}
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

x^2=u, y^2=v
इसका अवकलन करने पर:

2 x d x=d u, 2 y d y=d v \\ \Rightarrow \frac{d v}{d u}=\frac{y}{x} \frac{d y}{d x}
माना P=\frac{d v}{d u} \\ \Rightarrow P=\sqrt{\frac{v}{u}} p \\ \Rightarrow p=\sqrt{\frac{u}{v}} P
दिए हुए समीकरण में p का यह मान रखने पर:

y=\sqrt{\frac{u}{v}} P+\frac{1}{x} \sqrt{\frac{u}{v}} P \\ \Rightarrow \sqrt{v}=x \sqrt{\frac{u}{v}} P+\frac{1}{\sqrt{u}} \sqrt{\frac{u}{v}} P \\ \Rightarrow v=\sqrt{u} \cdot \sqrt{u} P+P \\ \Rightarrow v=u P+P
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+c \\ \Rightarrow y^2 =c x^2+c
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।

Equations Reducible to Clairaut’s Form

Example:8. 4 y p^2+2 x p-y=0
Solution: 4 y p^2+2 x p-y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

y^2=v
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

2 y \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
माना P=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow 2 \sqrt{v} p=P \\ p=\frac{P}{2 \sqrt{v}}
दिए हुए समीकरण में p का यह मान रखने पर:

4 \sqrt{v} \cdot \frac{P^2}{4 v}+2 x \cdot \frac{P}{2 \sqrt{v}}-\sqrt{v}=0 \\ \Rightarrow P^2+x P-v=0 \\ \Rightarrow v=x P+P^2
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c x+c^2 \\ \Rightarrow y^2=c x+c^2
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:9. y=3 p x+6 y^2 p^2
Solution: y=3 p x+6 y^2 p^2
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

y^3=v
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

3 y^2 \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
माना \frac{d v}{d x}=P \\ 3 y^2 p=P \\ \Rightarrow p=\frac{P}{3 y^2}
दिए हुए समीकरण में p का यह मान रखने पर:

y=3 x \cdot \frac{P}{3 y^2}+6 y^2 \cdot \frac{P^2}{9 y^4} \\ \Rightarrow y^3=P x+\frac{2}{3} P^2 \\ \Rightarrow v=P x+\frac{2}{3} P^2
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c x+\frac{2}{3} c^2 \\ \Rightarrow 3 y^3=3 c x+2 c^2
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:10. y=2 p x+f\left(x p^2\right)
Solution: y=2 p x+f\left(x p^2\right)
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

\sqrt{x}=u, y=v
इसका अवकलन करने पर:

\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d u, d y=d v \\ \frac{d v}{d u}=2 \sqrt{x} \frac{d y}{d x}
माना \frac{d v}{d u}=P \\ P=2 \sqrt{x} p \\ \Rightarrow p=\frac{1}{2 \sqrt{x}} P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर:

v=2 x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} P+f\left(x \times \frac{1}{4 x} P^2\right) \\ \Rightarrow v=\sqrt{x} P+f\left(\frac{P^2}{4}\right) \\ \Rightarrow v=P u+f\left(\frac{p^2}{4}\right)
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+f\left(\frac{c^2}{4}\right) \\ y=c \sqrt{x}+f\left(\frac{c^2}{4}\right)
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:12. y^2(y-x p)=x^4 p^2
Solution: y^2(y-x p)=x^4 p^2
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

x=\frac{1}{u}, y=\frac{1}{v}
इसका अवकलन करने पर:

d x=-\frac{1}{u^2} d u, d y=-\frac{1}{v^2} d v \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{u^2}{v^2} \frac{d v}{d u}
माना \frac{d v}{d u}=P \\ \Rightarrow p=\frac{u^2}{v^2} P
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर:

\frac{1}{v^2}\left(\frac{1}{v}-\frac{1}{u} \cdot \frac{u^2}{v^2} P\right)=\frac{1}{u^4} \cdot \frac{u^4}{v^4} P^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{v^4}(v-u p)=\frac{1}{v^4} P^2 \\ \Rightarrow v-u P=P^2 \\ \Rightarrow v=u P+P^2
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+c^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{c}{x}+c^2 \\ \Rightarrow x=c y+c^2 x y
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:15.निम्नलिखित समीकरणों को उनके सामने लिखे प्रतिस्थापन करके क्लैरो के समीकरण में परिवर्तित कीजिए तथा इसका पूर्ण पूर्वग ज्ञात कीजिए।
(Reduce the following differential equation of Clairaut’s form by the substitution noted against the equation and find its complete primitive):
Example:15(i). x p^2-2 y p+x+2 y=0 ; y-x=u, x^2=u 
Solution: x p^2-2 y p+x+2 y=0 ; y-x=u, x^2=u  \\ \Rightarrow x\left(p^2+1\right)-2 y(p-1)=0 \cdots(1) \\ y-x=v, x^2=u
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}-1=\frac{d v}{d x}, 2 x=\frac{d u}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d u}=\frac{d y}{2 x}-1
माना \frac{d v}{d u}=P \\ \Rightarrow P=\frac{P-1}{2 x} \\ \Rightarrow p=2 x P+1
समीकरण (1) में मान रखने पर:

\Rightarrow x\left[(2 x P+1)^2+1\right]-2 y \cdot 2 x P=0 \\ \Rightarrow 4 x^2 P^2+4 x P+1+1-4 y P=0 \\ \Rightarrow 2 x^2 P^2+2 x P+1-2 y P=0 \\ \Rightarrow 2 u P^2-2 P(y-x)+1=0 \\ \Rightarrow 2 u P^2-2 P v+1=0 \\ \Rightarrow 2 Pv=2 u P^2+1 \\ \Rightarrow v=u P+\frac{1}{2 P}
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+\frac{1}{2 c} \\ \Rightarrow 2 c v=2 c^2 u+1 \\ \Rightarrow 2 c^2 u-2 c v+1=0 \\ \Rightarrow 2 c^2 x^2-2 c(y-x)+1=0
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:15(ii). x^2 p^2+y p(2 x+y)+y^2=0 ; y=u, x y=v
Solution: x^2 p^2+y p(2 x+y)+y^2=0 ; y=u, x y=v \\ \Rightarrow x^2 p^2+2 x y p+y^2+y^2 p=0 \\ \Rightarrow(x p+y)^2+y^2 p=0 \cdots(1) \\ y=u, x y=v
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:

इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}, y+x \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x} \\ P=\frac{d u}{d x} ; y+x p=\frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d u}=\frac{y+x p}{p}
माना \frac{d v}{d u}=P \\ \Rightarrow P=\frac{y+x p}{p} \cdots(2) तथा p=\frac{y}{P-x}
(1) व (2) से:

\Rightarrow P^2 p^2+y^2 p=0 \\ \Rightarrow P^2 p+y^2=0 \\ \Rightarrow P^2\left(\frac{y}{P-x}\right)+y^2=0 \\ \Rightarrow P^2+P y-x y=0 \\ \Rightarrow P^2+P y-v=0 \\ \Rightarrow v=P u+P^2
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

v=c u+c^2 \\ \Rightarrow x y=c y+c^2
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:15(iv). a y p^2+(2 x-y) p-y=0 ; 2 x-b=u, y^2=v
Solution: a y p^2+(2 x-y) p-y=0 ; 2 x-b=u, y^2=v \\ 2 x-b=u, y^2=v
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रतिस्थापन से क्लैरो के समीकरण में बदला जा सकता है:
इसका अवकलन करने पर:

2 d x=d u, 2 y d y=d v \\ \Rightarrow \frac{d v}{d u}=y \frac{d y}{d x}
माना \frac{d v}{d u}=P \\ \Rightarrow P=y p \Rightarrow p=\frac{P}{y}
दिए हुए समीकरण में p के स्थान पर यह मान रखने पर:

a y \frac{P^2}{y^2}+u \cdot \frac{P}{y}-y=0 \\ \Rightarrow a P^2+u P-y^2=0 \\ \Rightarrow a P^2+u P-v=0 \\ \Rightarrow v=P u+a P^2
यह क्लैरो के रूप का समीकरण है,इसलिए इसका व्यापक हल होगा:

\Rightarrow v =c u+a c^2 \\ \Rightarrow y^2 =c(2 x-b)+a c^2 \\ \Rightarrow a c^2+c(2 x-b)-y^2=0
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form),अवकल समीकरण में क्लैरो के समीकरण में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form in DE) को समझ सकते हैं।

3.क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण की समस्याएँ (Equations Reducible to Clairaut’s Form Problems):

Equations Reducible to Clairaut’s Form

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) y^2=p x y+f\left(p \frac{y}{x}\right)
(2.) (x p-y)\left(cx p-2 y\right)+x^3=0
उत्तर (Answers): (1.) y^2=c x^2+f(c)
(2.) c y=c^2 x^2+x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form),अवकल समीकरण में क्लैरो के समीकरण में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form in DE) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equations Reducible to Clairaut’s Form),अवकल समीकरण में क्लैरो के समीकरण में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to Clairaut’s Form in DE) से सम्बंधित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

क्लैरो के समीकरण के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरण (Equations Reducible to
Clairaut’s Form) के सवालों को हल करके व्यापक हल ज्ञात करके समझने का प्रयास करेंगे।