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Equations Reducible to an Exact DE

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1 1.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation):
1.2 3.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Equations Reducible to an Exact DE):

1.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation):

यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE) से तात्पर्य है कि जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें समाकलन गुणक से गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है और फिर यथातथ अवकल समीकरण को हल करने की विधि से हल ज्ञात कर लिया जाता है।
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2.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन के साधित उदाहरण (Equations Reducible to an Exact DE Solved Examples):

प्रश्नावली I(l)
निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:6. x^2 y^2 d x+\left(x^3 y-2\right) d y=0
Solution: x^2 y^2 d x+\left(x^3 y-2\right) d y=0
यहाँ M=x^2 y^2 तथा N=x^3 y-2 \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x^2 y, \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^2 y \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{3 x^2 y-2 x^2 y}{x^2 y^2}=\frac{1}{y}
अतः I.F.=e^{\int \frac{1}{y} d y}=e^{\log y}=y
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

x^2 y^3 d x+\left(x^3 y^2-2 y\right) d y=0 \ldots(1) \\ M=x^2 y^3, N=x^3 y^2-2 y
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=3 x^2 y तथा \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^2 y^2 \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int x^2 y^3 d x=\frac{1}{3} x^3 y^3
(2.) \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=x^3 y^2
(3.) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=x^3 y^2-2 y-x^3 y^2=-2 y
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int(-2 y) d y \\ \Rightarrow V(y)=-y^2
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=C_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} x^3 y^3-y^2=C_{1} \\ \Rightarrow x^3 \cdot y^3-3 y^2=C \quad[\because C=3 C_{1}]
Example:7. \left(2 x^2 y-3 y^2\right) d x+\left(2 x^3-12 x y+\log y\right) d y=0
Solution: \left(2 x^2 y-3 y^2\right) d x+\left(2 x^3-12 x y+\log y\right) d y=0
यहाँ M=2 x^2 y-3 y^2 तथा N=2 x^3-12 x y+\log y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x^2-6 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^2-12 y \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{6 x^2-12 y-2 x^2+6 y}{2 x^2 y-3 y^2} \\ =\frac{4 x^2-6 y}{2 x^2 y-3 y^2}= \frac{2\left(2 x^2-3 y\right)}{y\left(2 x^2-3 y\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{2}{y}
अतः I.F.=e^{\int \frac{2}{y} d y}=e^{2 \log y}=e^{\log y^2}=y^2
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\left(2 x^2 y^3-3 y^4\right) d x+\left(2 x^3 y^2-12 x y^3+y^2 \log y\right) d y=0 \ldots(1) \\ M=2 x^2 y^3-3 y^4, N=2 x^3 y^2-12 x y^3+y^2 \log y
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^2 y^2-12 y^3 तथा \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^2 y^2-12 y^3 \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial y}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x,y)=\int M d x=\int\left(2 x^2 y^3-3 y^4\right) dx \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{2}{3} x^3 y^3-3 x y^4
(2.)\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=2 x^3 y^2-12 x y^3
(3.) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=2x^3 y^2-12 x y^3+y^2 \log y-2 x^3 y^2+12 xy^3 \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=y^2 \log y
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int y^2 \log y d y \\ = \frac{y^3}{3} \log y-\int\left[\frac{d}{d x}(\log y) \int y^2 d y\right] d y \\ =\frac{y^3}{3} \log y-\int \frac{1}{y} \cdot \frac{y^3}{3} d y \\ \Rightarrow V(y)=\frac{y^3}{3} \log y-\frac{1}{9} y^3
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=C_{1} \\ \Rightarrow \quad \frac{2}{3} x^3 \cdot y^3-3 x y^4+\frac{y^3}{3} \log y-\frac{1}{9} y^3=C_{1} \\ \Rightarrow 6 x^3 y^3-27 x y^4+3 y^3 \log y-y^3=C_{1}[\because 9 C_{1}=C]
Example:8. \left(y^2 e^x+2 x y\right) d x-x^2 d y=0
Solution: \left(y^2 e^x+2 x y\right) d x-x^2 d y=0
यहाँ M =y^2 e^x+2 x y तथा N=-x^2 \\ \frac{\partial M}{\partial y} =2 y e^x+2 x, \frac{\partial N}{\partial x}=-2 x \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{-2 x-2 y e^x-2 x}{y^2 e^x+2 x y} \\ =-\frac{2\left(y e^x+2 x\right)}{y\left(y e^x+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =-\frac{2}{y}
अतः I.F.=\int-\frac{2}{y} d y=e^{-2 \log y}=e^{\log \left(y^{-2}\right)} \\ \Rightarrow I.F.=y^{-2}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\left(e^x+\frac{2 x}{y}\right) d x-\frac{x^2}{y^2} d y \ldots(1) \\ M=e^x+\frac{2 x}{y}, N=-\frac{x^2}{y^2}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2 x}{y^2} तथा \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{2 x}{y^2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(e^x+\frac{2 x}{y}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=e^x+\frac{x^2}{y}
(2.) \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{x^2}{y^2}
(3.) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^2}{y^2}=0
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ \Rightarrow V(y)=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow e^x+\frac{x^2}{y}=c \\ \Rightarrow y e^x+x^2=c y

Example:9. \left(x^2+y^2+1\right) dx+x(x-2 y) d y=0
Solution: \left(x^2+y^2+1\right) dx+x(x-2 y) dy=0 \\ \left(x^2+y^2+1\right) dx+\left(x^2-2 xy\right) dy =0
यहाँ M=x^2+y^2+1 तथा N=x^2-2 x y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 y, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x-2 y \\ \therefore \frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\frac{2 y-2 x+2 y}{x^2-2 x y} \\ =\frac{-2(x-2 y)}{x(x-2 y)} \\ \Rightarrow \frac{1}{N} \left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)^x=-\frac{2}{x}
अतः I.F.=e^{\int -\frac{2}{x} d x}=e^{-\log x}=e^{\log x^2} \\ \Rightarrow I.F.=\frac{1}{x^2} 
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\left(1+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right) d x+\left(1-\frac{2 y}{x}\right) d y=0 \cdots(1) \\ M=1+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}, \quad N=1-\frac{2 y}{x} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{2 y}{x^2} तथा \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{2 y}{x^2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।अतः इसका हल प्राप्त करने के लिए

(1.) U(x, y)=\int \sin x=\int\left(1+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x-\frac{y^2}{x}-\frac{1}{x}

(2.)\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{2 y}{x}
(3.)N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=1-\frac{2 y}{x}+\frac{2 y}{x}=1
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 1 d y \\ \Rightarrow V(y)=y
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x-\frac{y^2}{x}-\frac{1}{x}+y=c \\ \Rightarrow x^2-y^2-1+x y=c x
प्रश्नावली I(m)
निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:10. x(4 y dx+2x dy)+y^3(3 y d x+5 x d y)=0
Solution: x(4 y dx+2x dy)+y^3(3 y d x+5 x d y)=0
समीकरण को x^h y^k से गुणा करने तथा उसको Mdx+Ndy=0 के रूप में लिखने से:

\Rightarrow \left(4 x^{h+1} y^{k+1}+3 x^h y^{k+4}\right) d x+\left(2 x^{h+2} y^k+5 x^{h+1} y^{k+3}\right) dy=0 \ldots(1)
यहाँ M=4 x^{h+1} y^{k+1}+3 x^h y^{k+4} \\ =0 \\ N=2 x^{h+2} y^k+5 x^{h+1} y^{k+3} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=4(k+1) x^{h+1} y^k+3(k+4) x^h y^{k+3} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=2(h+2) x^{h+1} y^k+5(h+1) x^h y^{k+3}
यथार्थ समीकरण होने के लिए
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 (प्रत्येक x और y के लिए)

\Rightarrow \left[4(k+1) x^{h+1} y^k+3(k+4) x^h y^{k+3}\right]-\left[2(h+2) x^{h+1} y^k+5(h+1) x^h y^{k+3}\right]=0 \\ \Rightarrow (4 k+4-2 h-4) x^{h+1} y^k+(3 k+12-5 h-5)x^h y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow(4 k-2 h) x^{h+1} y^k+(3 k-5 h+7) x^h y^{k+3}=0
यह तब ही सम्भव है जबकि
4k-2h=0
तथा 3k-5h+7=0
हल करने पर:h=2,k=1
अब I.F.=x^2 y
अब समीकरण (1) का रूप होगा:

\left(4 x^3 y^2+3 x^2 y^5\right) d x+\left(2 x^4 y+5 x^3 y^4\right) d y=0
यह एक यथार्थ समीकरण है।इसलिए यथार्थ समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर:

(1.) U(x, y)=\int M d x=\int\left(4 x^3 y^2+3 x^2 y^5\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x^4 y^2+x^3 y^5
(2.) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^4 y+5 x^3 y^4
(3.) N-\left(\frac{\partial y}{\partial y}\right)=2 x^{4} y+5 x^3 y^4-2 x^4 y-5 x^3 y^4 \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0
(4.) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y =\int 0 d y=0 \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x^4 y^2+x^3 y^5=c
Example:11. x^3 y^3(2 y dx+x d y)-(5 y dx+7 x dy)=0
Solution: x^3 y^3(2 y dx+x d y)-(5 y dx+7 x dy)=0 
समीकरण को x^h y^k समाकलन गुणक (I.F.) से गुणा करने तथा उसको Mdx+Ndy=0 के रूप में लिखने से:

\left(2 x^{h+3} y^{k+4}-5 x^h y^{k+1}\right) d x+\left(x^{h+4} y^{k+3}-x^{h+1}  y^k\right) d y=0 
यहाँ M=2 x^{h+3} y^{k+4}-5 x^h y^{k+1} \\ N=x^{h+4} y^{k+3}-7 x^{h+1} y^k \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=2(k+4) x^{h+3} y^{k+3}-5(k+1) x^h y^k \\ \frac{\partial N}{\partial x}=(h+4) x^{h+3} y^{k+3}-7(h+1) x^h y^k
यथार्थ समीकरण होने के लिए
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 (प्रत्येक x और y के लिए)

\Rightarrow\left[2(k+4) x^{h+3} y^{k+3}-5(k+1) x^h y^k\right]-\left[(h+4) x^{h+3} y^{y+3}-7(h+1) x^h y^k\right]=0 \\ \Rightarrow(2 k+8-h-4) x^{h+3} Y^{k+3}-(5 k+5-7 h-7) x^h y^k=0 \\ \Rightarrow(2 k-h+4) x^{h+3} y^{k+3}-(5 k-7 h-2) x^h y^k=0
यह तब ही सम्भव है जबकि
2k-h+4=0
तथा -5k+7h+2=0
हल करने पर: k=-\frac{10}{3}, h=-\frac{8}{3}
अब I.F.=x^{-\frac{8}{3}} y^{-\frac{10}{3}}
अब समीकरण (1) का रूप होगा:

\left(2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}-5 x^{-\frac{8}{3}} y^{-\frac{7}{3}}\right) d x+\left(x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}}-7 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{10}{3}}\right)dy=0
यह एक यथार्थ समीकरण है।इसलिए यथार्थ समीकरण की विधि द्वारा समाकलन करने पर:

(1) U(x, y)=\int M dx=\int\left(2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}-5^{-\frac{8}{3}} y^{-\frac{7}{3}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}+3 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{7}{3}}
(2.)\frac{\partial U}{\partial y}=x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}}-7 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{10}{3}}
(3.) N-\left( \frac{\partial U}{\partial y} \right)=x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}}-7 x^{-\frac{5}{3}} \cdot y^{-\frac{10}{3}}-x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{1}{3}} +7 x^{-\frac{5}{3}} y^{-\frac{10}{3}} \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=0
(4.) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए यथातथ अवकल समीकरण का हल होगा:

U(x,y)+V(y)=C_1 \\ \Rightarrow \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}+3 x^{\frac{5}{3}} \cdot y^{-\frac{7}{3}}=C_{1} \\ \Rightarrow \frac{x^{\frac{4}{3}+\frac{5}{3}} y^{\frac{2}{3}+\frac{7}{3}}+2}{x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{7}{3}}}=\frac{C_{1}}{3} \\ \Rightarrow x^3 y^3+2=c x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{7}{3}}\left[\because C=\frac{C_{1}}{3}\right]

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Equations Reducible to an Exact DE):

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \left(3 x^2 y^4+2 x y\right) d x+\left(2 x^3 y^3-x^2\right) d y=0
(2.) \left(y^4+2 y\right) d x+\left(x y^3+2 y^4-4 x\right) d y=0
उत्तर (Answers):

(1.) x^3 y^3+x^2=c y
(2.) x y+2 x y^{-2} y^{2}=0

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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4.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Frequently Asked Questions Related to Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 का समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करते हैं? (How to Find the Integrating Factor of Differential Equation Mdx+Ndy=0?):

Solution:नियम (V).जब \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) केवल y का फलन या अचर हो:
यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 में, हो अर्थात् केवल y का फलन हो (यह एक अचर भी हो सकता है) तो समीकरण का समाकलन गुणक (I.F.) होगा:
e^{\int f(y) dy}
नियम (VI). x^a y^b(m y d x+n x d y)+x^r y^s(p y d x+q x d y)=0 रूप के समीकरण का समाकलन गुणक (integrating factor):
यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 का रूप x^a y^b(m y d x+n x d y)+x^r y^s(p y d x+q x d y)=0 हो, जिसमें a,b,m,n,r,s,p तथा q सब अचर राशियाँ हैं,तो समाकलन गुणक (I.F.) x^h y^k होगा,जहाँ h और k इस आधार पर विदित होते हैं कि समीकरण को x^h y^k से गुणा करने पर वह यथार्थ (exact) समीकरण बन जाता है।

प्रश्न:2.यथातथ अवकल समीकरण में समानयन के लिए समाकलन गुणक ज्ञात करने की कौन-कौनसी विधियाँ हैं? (What are the Methods of Finding Out the Integrating Factors for Reducible in Exact Differential Equations?):

उत्तर:(1.)निरीक्षण द्वारा (by inspection) समाकलन गुणक ज्ञात करना
(2.)समघात समीकरण का समाकलन-गुणक ज्ञात करना (integrating factor of the homogeneous equation): \frac{1}{M x+N y}होगा
(3.) f_1(x y) y d x+f_2(x y) x d y=0 के रूप के समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करना
I.F.=\frac{1}{M x-N y}
(4.)जब केवल x का फलन या अचर हो तो समाकलन गुणक ज्ञात करना
\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=f(x) \Rightarrow I.F.=e^{\int f(x) d x}
उपर्युक्त (V) व (VI) विधि से ज्ञात करने की विधि का विवरण प्रश्न 1 के उत्तर में बताया गया है।

प्रश्न:3.Mdx+Ndy=0 के रूप के अवकल समीकरण का हल ज्ञात करने की क्रियाविधि क्या है? (What is Working Rule to Find the Solution of the Differential Equation in the Form of Mdx+Ndy=0?):

उत्तर:सर्वप्रथम प्रश्न 1 व 2 के उत्तर के अनुसार समाकलन गुणक ज्ञात करते हैं।इसके पश्चात दिए हुए अवकल समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करके यथातथ समीकरण की विधि से हल ज्ञात करते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to an Exact Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Equations Reducible to an Exact DE

यथातथ अवकल समीकरण में समानयन
(Equations Reducible to an Exact DE)

Equations Reducible to an Exact DE

यथातथ अवकल समीकरण में समानयन (Equations Reducible to an Exact DE) से तात्पर्य है कि
जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें समाकलन गुणक से गुणा
करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है

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