1.प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण (Equations of 1st Order and 1st Degree),प्रथम कोटि और प्रथम घात के अवकल समीकरण (Differential Equations of First Order and First Degree):

Equations of 1st Order and 1st Degree

प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरणों (Equations of 1st Order and 1st Degree) को हल करने के लिए विभिन्न विधियों का प्रयोग किया जाता है।इस आर्टिकल में उन विधियों का प्रयोग करके कुछ उदाहरणों को हल करेंगे।
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2.प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण के साधित उदाहरण (Equations of 1st Order and 1st Degree Solved Examples):

Example:1. \frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{y^2-1}}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{y^2-1}} \\ \Rightarrow \int \sqrt{y^2-1} d y=\int \sqrt{x^2-1} d x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} y \sqrt{y^2-1}-\frac{1}{2} \cosh ^{-1} y=\frac{1}{2} x \sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2} \cosh^{-1} x+c
Example:2. \frac{d y}{d x}=e^{3 x-2 y}+x^2 e^{-2 y}
Solution: \frac{d y}{d x}=e^{3 x-2 y}+x^2 e^{-2 y}
उपर्युक्त समीकरण में चरों को पृथक करने पर:

\Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{-2 y}\left(e^{3 x}+x^2\right) \\ \Rightarrow e^{2 y} d y=\left(e^{3 x}+x^2\right) d x \\ \Rightarrow \int e^{2 y} d y=\int e^{3 x} d x+\int x^2 d x \\ \Rightarrow \frac{1}{2} e^{2 y}=\frac{1}{3} e^{3 x}+\frac{1}{3} x^3+c
Example:3. \frac{d y}{d x}=\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+y \cos y}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+y \cos y}
उपर्युक्त समीकरण में चरों को पृथक करने पर:

(\sin y+y \cos y) d y=(2 x \log x+x) d x \\ \Rightarrow \int \sin y d y+\int y \cos y d y=\int 2 x \log x d x+\int x d x \\ \Rightarrow -\cos y+y \int \cos y-\int\left[\frac{1}{d y}(y) \int \cos y d y\right] d y = 2 \cdot \log x \int x d x-2 \int\left[\frac{d}{d x}(\log x) \int x d x\right] d x+\frac{x^2}{2}+c \\ \Rightarrow -\cos y+y \sin y-\int \sin y d y=x^2 \log x -2 \int \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2} d x+\frac{x^2}{2}+c \\ \Rightarrow -\cos y+y \sin y+\cos y=x^2 \log x+C \\ \Rightarrow y \sin y=x^2 \log x+c
Example:4. \left(x^3+3 x y^2\right) d x+\left(y^3+3 x^2 y\right) d y=0
Solution: \left(x^3+3 x y^2\right) d x+\left(y^3+3 x^2 y\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है।

\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x^3+3 x y^2\right)}{y^3+3 x^2 y} \cdots(1)
इसलिए माना कि

y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3+3 x \cdot v^2 x^2}{v^3 x^3+3 x^2 v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3\left(1+3 v^2\right)}{x^3\left(v^3+3 v\right)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{1+3 v^2}{v^3+3 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{-3 v^2-v^4-3 v^2}{v^3+3 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-1-v^4-6 v^2}{v^3+3 v} \\ \int \frac{\left(v^3+3 v\right) d v}{1+v^4+6 v^2}=-\int \frac{d x}{x} \\ \text { Put } 1+v^4+8 v^2=t \\ \left(4 v^3+12 v\right) d v=d t \\ 4\left(v^3+3 v\right) d v=d t \\ \Rightarrow \frac{1}{4} \int \frac{1}{t} d t=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log t=-4 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log t=\log \frac{c}{x^4} \\ \Rightarrow t=\frac{c}{x^4} \\ \Rightarrow v^4+6 v^2+1=\frac{c}{x^4} \\ \Rightarrow \frac{y^4}{x^4}+\frac{6 y^2}{x^2}+1=\frac{c}{x^4} \\ \Rightarrow y^4+6 x^2 y^2+x^4=c \Rightarrow \frac{y^4}{x^4}+\frac{6 y^2}{x^2}+1=\frac{c}{x^4} \\ \Rightarrow y^4+6 x^2 y^2+x^4=c
Example:5. \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x} \cdots(1)
यह एक घात का समघात समीकरण है।
इसलिए माना कि

y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
(2) का (1) में प्रयोग करने पर:

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x}{x}+\tan \left(\frac{v x}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=v+\tan v-v \\ \Rightarrow \int \frac{d v}{\tan v}=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \cot v d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log (\sin v)=\log x+\log c \\ \Rightarrow \sin v=c x \\ \Rightarrow \sin \left(\frac{y}{x} \right)=c x
Example:6. (3 y-7 x+7) d x+(7 y-3 x+3) d y=0
Solution: (3 y-7 x+7) d x+(7 y-3 x+3) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B} \Rightarrow-\frac{3}{7} \neq \frac{7}{-3}
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  …. (2)

तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा:

\frac{d Y}{d X}=\frac{-3Y+7X-7-3K+7 h}{7Y-3X+7K-3 h+3} \cdots(3)
अचर h तथा k का चयन इस प्रकार करें कि
\left.\begin{matrix}7 h-3 k-7 =0 \\ -3 h+7 k+3 =0\end{matrix}\right\} \cdots(4)
हल करने पर: h=1,k=0
(4) का (3) में प्रयोग करने पर:

\frac{d Y}{d X}=\frac{-3 Y+7 X}{7 Y-3 X} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण है।
इसलिए Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d x}
लेने पर, समीकरण (5) का नया रूप होगा:

v+X\frac{d v}{d x}=-\frac{3 v X+7 X}{7 v X-3 X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d x}=\frac{X(-3 v+7)}{X(7 v-3)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d x}=\frac{-3 v+7-7 v^2+3 v}{7 v-3} \\ \Rightarrow \frac{(7 v-3) d v}{7-7 v^2} =\int \frac{d X}{X} \\ A \frac{d}{d v}\left(7 -v^2\right)+B=7 v-3 \\ A(-14 v)+B=7 v-3 \\ \\ B=-3,-14 A=7  \Rightarrow A=-\frac{1}{2} \\ \int \frac{-\frac{1}{2}(-1 u v)}{7-7 v^2} d v-\int \frac{3}{7-7 v^2} d v=\int \frac{d X}{X} \\ \text { Put } 1-v^2=u \Rightarrow -2v dv=d u \\ =-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u-\frac{3}{7} \int \frac{1}{1-v^2} d v=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow-\frac{1}{2} \log u-\frac{3}{14} \log \frac{1+v}{1-v}=\log X+\log C \\ \Rightarrow-\frac{1}{2} \log \left(1-v^2\right)-\frac{3}{14} \log \frac{1+v}{1-v}=\log CX \\ \Rightarrow-7 \log \left(1-v^2\right)-3 \log \frac{1+v}{1-v}=\log C^{14} \times X^{14} \\ \Rightarrow \log \left(1-v^{2}\right)^{-7} \frac{(1-v)^3}{(1+v)^3}=\log C^{14} \times X^{14} \\ \Rightarrow (1-v)^{-4}(1+v)^{-10}=C^{14} \times X^{14} \\ \Rightarrow(1-v)^{4}(1+v)^{10} X^{14}=\frac{1}{C^{14}} \\ \Rightarrow(1-v)^{2}(1+v)^{5} X^{7}=\frac{1}{C^{7}} \\ \Rightarrow\left(1-\frac{Y}{X}\right)^2 \left(1+\frac{Y}{X}\right)^5 X^7=\frac{1}{C^7} \\ \Rightarrow \frac{(X-Y)^2}{X^2} \cdot \frac{(X+Y)^5}{X^5} \times X^{7}=\frac{1}{C^7} \\ \Rightarrow(x-1-y)^2(x-1+y+5)^5=\frac{1}{C^7} \\ \Rightarrow(y-x+1)^2(x+y-1)^5=c_1  
Example:7. \frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2 y}{1+x^3}=\frac{\sin ^2 x}{1+x^3}
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2 y}{1+x^3}=\frac{\sin ^2 x}{1+x^3}
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{3 x^2}{1+x^3}} d x \\ \Rightarrow \text{I.F.}=e^{\log \left(1+x^3\right)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\left(1+x^3\right)
इसलिए समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

y \cdot (\text{I.F.})=\int (\text{I.F.}) Q d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^3\right)=\int\left(1+x^3\right) \frac{\sin ^2 x}{1+x^3} d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^3\right)=\int(1-\cos 2 x) d x+C \\ \Rightarrow y\left(1+x^3\right)=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 2 x+C
Example:8. x^2 y \frac{d y}{d x}=x y^2 \cdot e^{-\frac{1}{x^3}}
Solution: x^2 y \frac{d y}{d x}=x y^2 \cdot e^{-\frac{1}{x^3}}
दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

y \frac{d y}{d x}-\frac{y^2}{x}=-\frac{e^{-\frac{1}{x^3}}}{x^2} \cdots(1)
यह बरनौली का समीकरण है।अतः

y^2=v \Rightarrow 2 y \frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगा:

\Rightarrow \frac{1}{2} \frac{d v}{d x}-\frac{v}{x}=-\frac{e^{-\frac{1}{x^3}}}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}=-\frac{2 v}{x}=-\frac{2 e^{-\frac{1}{x^3}}}{x^2}
यह v में एक रैखिक समीकरण (linear equation) है जिसका
I.F.=e^{\int-\frac{2}{x} d x}=e^{-\log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{x^2}
दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

Equations of 1st Order and 1st Degree

Example:9. \left(2 x-10 y^3\right) \frac{d y}{d x}+y=0
Solution:दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

y \frac{d x}{d y}+2 x-10 y^3=0 \\ \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{2 x}{y}=10 y^2
यह रैखिक अवकल समीकरण है 
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{2}{y} d y} \\ \Rightarrow \text{(I.F.)}=e^{2 \log y}=y^2
इसलिए समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

(I.F.)=\int \text{(I.F.)} Q(y) dy+C \\ \Rightarrow x y^2=\int y^2 \cdot 10 y^2 d y+C \\ \Rightarrow x y^2=2 y^5+C \\ \Rightarrow x y^2-2 y^5=C \\ \Rightarrow y^2\left(x-2 y^3\right)=C
Example:10. y \log y d x+(x-\log y) d y=0
Solution: y \log y d x+(x-\log y) d y=0
यहाँ M=y \log y तथा N=x-\log y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=1+\log y, \frac{\partial N}{\partial x}=1 \\ \therefore \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{y \log y}(1-1-\log y) \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{1}{y}
अतः I.F.=e^{\int -\frac{1}{y} d y}=e^{-\log y} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{y}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए समीकरण को गुणा करने पर:

\log y d x+\left(\frac{x}{y}- \frac{\log y}{y}\right) d y=0
यहाँ M=\log y, N=\frac{x}{y}-\frac{\log y}{y} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{y}, \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{y} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ अवकल समीकरण एक यथातथ (exact) समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

\text { (1.) } U(x, y)=\int M d x=\int \log y d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x \log y \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{x}{y} \\ \text { (3.) } N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=\frac{x}{y}-\frac{\log y}{y}-\frac{x}{y} \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\frac{\log y}{y} \\ \text { (4.) } V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int-\frac{\log y}{y} d y \\ \text { put } \log y=t \Rightarrow \frac{1}{y} d y=d t \\ \Rightarrow V(y)=\int-t d t \\ \Rightarrow V(y)=-\frac{1}{2} t^2 \\ \Rightarrow V(y)=-\frac{1}{2}(\log y)^2
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow x \log y-\frac{1}{2}(\log y)^2=c \\ \Rightarrow x \log y=c+\frac{1}{2}(\log y)^2
Example:11. \cos x(\cos x-\sin \alpha \sin y )d x+\cos y(\cos y-\sin \alpha \sin x) d y=0
Solution: \cos x(\cos x-\sin \alpha \sin y )d x+\cos y(\cos y-\sin \alpha \sin x) d y=0
दिए हुए समीकरण में

M=\cos x(\cos x-\sin \alpha \sin y), N=\cos y(\cos y-\sin \alpha \sin x)
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=-\sin \alpha \cos x \cos y तथा \frac{\partial M}{\partial x}=-\sin \alpha \cos x \cos y \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ अवकल समीकरण एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।इसका हल प्राप्त करने के लिए

\text { (1.) } U(x, y) =\int M d x=\int \cos x(\cos x-\sin \alpha \sin y) d x \\ =\int \left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right) d x-\int \cos x \sin \alpha \sin y d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}-\sin x \sin \alpha \sin y \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=-\sin x \sin \alpha \cos y \\ \text { (3.) } N-\left( \frac{\partial U}{\partial y}\right)=\cos y(\cos y-\sin \alpha \sin x)+\sin x \cdot \sin \alpha \cos y \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=\cos ^2 y \\ \text { (4.) } V(y)=\int N-\left( \frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int \frac{1+\cos 2 y}{2} \\ \Rightarrow v(y)=\frac{y}{2}+\frac{\sin 2 y}{4}
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:

U(x, y)+V(y)=c_1 \\ \Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}-\sin x \sin \alpha \sin y+\frac{y}{2}+\frac{\sin 2 y}{4}=C_{1} \\ \Rightarrow 2(x+y)+\sin 2 x+\sin 2 y-4 \sin x \sin \alpha \sin y=c
Example:12. \left(x^4-2 x y^2+y^4\right) d x-\left(2 x^2 y-4 x y^3+\sin y\right)dy=0
Solution: \left(x^4-2 x y^2+y^4\right) d x-\left(2 x^2 y-4 x y^3+\sin y\right)dy=0
यहाँ M=x^4-2 x y^2+y^4 तथा [katex]N=-2 x^2 y+4 x y^3-\sin y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-4 x y+4 y^3, \frac{\partial N}{\partial x}=-4 x y+4 y^3 \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (exact) समीकरण है।इसका हल प्राप्त करने के लिए

\text { (1.) } U(x, y)=\int M d x=\int\left(x^4-2 x y^2+y^4\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{x^5}{5}-x^2 y^2+x y^4 \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=-2 x^2 y+4 x y^3 \\ \text { (3.) } N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-2 x^2 y+4 x y^3-\sin y+2 x^2 y-4 x y^3 \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-\sin y \\ \text { (4.) } V(y)=\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y \\ \Rightarrow V(y)=\int-\sin y d y=\cos y
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

U(x, y)+v(y)=c \\ \frac{1}{5} x^5-x^2 y^2+x y^4+\cos y=c
Example:13. 3 x^2 y^2+\cos (xy)-x y \sin (x y)+\left(\frac{d y}{d x}\right)\left[2 x^3 y-x^2 \sin (x y)\right]=0
Solution: 3 x^2 y^2+\cos (xy)-x y \sin (x y)+\left(\frac{d y}{d x}\right)\left[2 x^3 y-x^2 \sin (x y)\right]=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिख सकते हैं:

\left[3 x^2 y^2+\cos (x y)-x y \sin (x y)\right] d x+\left[2 x^3 y-x^2 \sin (x y)\right] d y=0
यहाँ M=3 x^2 y^2+\cos (x y)-x y \sin (x y) ,N=2 x^3 y-x^2 \sin x y
इसलिए M x-N y=3 x^3 y^2+x \cos (x y)-x^2 y \sin (x y)-2 x^3 y^2+x^2 y \sin x y \\ \Rightarrow M x-N y=x^3 y^2+x \cos x y
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{x^3 y^2+x \cos x y}
अब दिए हुए समीकरण को समाकलन गुणक (I.F.) से गुणा करने पर:

\frac{\left[3 x^2 y^2+\cos (x y)-x y \sin (x y)\right] d x}{x^3 y^2+x \cos x y}+ \frac{\left[2 x^3 y-x^2 \sin (x y)\right]}{x^3 y^2+x \cos x y} d y=0
यहाँ M=\frac{3 x^2 y^2+\cos x y-x y \sin (x y)}{x^3 y^2+x \cos x y} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\begin{bmatrix} \left(x^3 y^2+x \cos x y\right)\left(6 x^2 y-x \sin x y-x \sin (xy)-x^2 y \cos x y\right) \\ -\left[\left(3 x^2 y^2+\cos x y-x y \sin (x y)\right )-\left(2 x^3 y-x^2 \sin x y\right)\right] \end{bmatrix}}{\left(x^3 y^2+x \cos x y\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{-x^5 y^3 \cos x y+4 x^3 y \cos x y-x^2 \cos (x y) \sin x y-x^3 y+3 x^4 y^2 \sin x y \cos (x y)}{\left(x^3 y^2+x \cos x y\right)^2}\\ N=\frac{\left[2 x^3 y-x^2 \sin (x y)\right]}{x^3 y^2+x \cos x y} \\ \frac{\partial N}{\partial x}= \frac{\left(x^3 y^2+x \cos x y\right)\left(6 x^2 y-2 x \sin (xy)-x^2 y \cos (x y)\right)-\left(2 x^3 y-x^2 \sin x y\right)\left(3 x^2 y^2+\cos x y-x y \sin (x y)\right)}{\left(x^3 y^2+x \cos x y\right)^2} \\  \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{-x^5 y^3 \cos x y+4 x^3 y \cos x y-x \cos (x y)\sin x y-x^3 y+3 x^4 y^2 \sin (x y) \cos (x y)}{\left(x^3 y^2+x \cos x y\right)^2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
जो कि एक यथार्थ (exact) समीकरण है।इसका हल प्राप्त करने के लिए

\text { (1.) } U(x, y)=\int M d x=\int \frac{3 x^2 y^2+\cos x y-x y \sin (x y)}{x^3 y^2+x \cos x y} d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\log \left(x^3 y^2+x \cos x y\right) \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{2 x^3 y-x^2 \sin x y}{x^3 y^2+x \cos (x y)} \\ \text { (3.) } N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=\frac{2 x^3 y-x^2 \sin x y}{x^3 y^2+x \cos (x y)}-\frac{2 x^3 y-x^2 \sin x y}{x^3 y^2+x \cos (x y)} \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=0 \\ \text { (4.) } V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) dy =\int 0 dy\\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:

U(x, y)+V(y)=\log C \\ \log \left(x^3 y^2+x \cos x y\right)=\log C \\ \Rightarrow x^3 y^2+x \cos x y=c \\ \Rightarrow x\left(x^2 y^2+\cos x y\right)=c
Example:14. \left(y^4+2 y\right) d x+\left(x y^3+2 y^4-4 x\right) d y=0
Solution: \left(y^4+2 y\right) d x+\left(x y^3+2 y^4-4 x\right) d y=0
यहाँ M=y^4+2 y तथा N=x y^3+2 y^4-4 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 y^3+2, \frac{\partial N}{\partial x}=y^3-4 \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{y^3-4-4 y^3-2}{y^4+2 y} \\ \Rightarrow \frac{-3 y^3-6}{y^4+2 y}= \frac{-3\left(y^3+ 2\right)}{y\left(y^3+2\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{3}{y}
अतः I.F.=e^{\int-\frac{3}{y} d y}=e^{-3 \log y} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{y^3}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को गुणा करने पर:

यहाँ M=\frac{y^3+2}{y^2} तथा N=\frac{x y^3+2 y^4-4 x}{y^3} \\ \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{y^2 \cdot 3 y^2-\left(y^3+2\right) \cdot 2 y}{y^4} \\ =\frac{3 y^4-2 y^4-4 y}{y^4}= \frac{y\left(y^3-4\right)}{y^4} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{y^3-4}{y^3} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{y^3}\left(y^3-4\right) \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
जो कि एक यथार्थ (exact) समीकरण है।इसका हल प्राप्त करने के लिए

\text { (1.) } U(x, y)=\int M d x=\int \frac{y^3+2}{y^2} d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{x\left(y^3 +2\right)}{y^2} \\ \text { (2.) } \frac{\partial U}{\partial y}=\frac{x \left[y^2 \cdot 3 y^2-\left(y^3+2\right) \cdot 2 y\right]}{y^4} \\ =\frac{x(y^4-4 y)}{y^4} \\ \text { (3.) } N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right) =\frac{x y^3+2 y^4-4 x}{y^3}-\frac{(x y^4 -4 xy)}{y^4} \\ =\frac{2 y^5}{y^4} \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right) =2y \\ \text { (4.) } V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 2y d y \\ \Rightarrow V(y) =y^2
अतः दिए हुए समीकरण का व्यापक हल होगा:

U(x,y)+V(y) = \frac{x\left(y^3+2\right)}{y^2}+ y^2=c
Example:15.एक व्यक्ति के पेराशूट द्वारा नीचे की ओर गिरने वाली दूरी x
(The distance x descended by a person falling by means of a parachute satisfies the differential equation)

\left(\frac{d x}{d t}\right)^2=k^2\left(1-e^{-\frac{2 g x }{k^2}}\right)
समीकरण को सन्तुष्ट करती है,जहाँ k तथा g अचर है (where k and g are constants) और (and) x=0,जब (when) t=0 तो प्रदर्शित कीजिए कि (then show that)

\left(\frac{d x}{d t}\right)^2=k^2\left(1-e^{-\frac{2 g x }{k^2}}\right)
Solution: \left(\frac{d x}{d t}\right)^2=k^2\left(1-e^{-\frac{2 g x }{k^2}}\right) \\ \Rightarrow \left(\frac{d x}{d t}\right)^2=k^2 \frac{\left(e^{\frac{2 g x}{k^2}}-1\right)}{e^{\frac{2 g x}{k^2}}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=k \frac{\sqrt{e^{\frac{2 g x}{k^2}}-1}}{e^{\frac{g x}{k^2}}} \\ \Rightarrow \int \frac{e^{\frac{g x}{k^2}}}{\sqrt{\left(e^{\frac{2 g x}{k^2}}-1\right)}}=\int k d t \\ \text { Put } e^{\frac{g x}{k^2}}=u \Rightarrow \frac{g}{k^2} e^{\frac{g x}{k^2}} d x=d u \\ \Rightarrow \frac{k^2}{g} \int \frac{d u}{\sqrt{u^2-1}}=\int k d t \\ \Rightarrow \frac{k}{g} \cosh^{-1} u=t+c \\ \frac{k}{g} \cosh ^{-1} \left(e^{\frac{g x}{k^2}}\right)=t+c
जब x=0 तो t=0

\frac{k}{g} \cosh ^{-1}(1)=c \\ \Rightarrow c=0[\because \cosh^{-1} (1)=0] \\ \frac{k}{g} \cosh ^{-1} \left(e^{\frac{g x}{k^2}}\right)=t \\ \Rightarrow e^{\frac{2 x}{k^2}}=\cosh \left(\frac{g t}{k}\right)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\frac{g x}{k^2}=\log \cosh \left(\frac{g t}{k}\right) \\ \Rightarrow x=\frac{k^2}{g} \log \cosh \left(\frac{gt}{k}\right)
Example:16.उर्ध्वारतः नीचे की ओर गिर रहे पेराशूट का वेग v
(The velocity v of a parachute falling vertically satisfies the equation)

v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^2}{k^2}\right)
समीकरण को सन्तुष्ट करता है,जहाँ g और k अचर है (where g and k are constants)।यदि शुरू में v और x दोनों शून्य हो,तो सिद्ध कीजिए कि
(If v and x are both initially zero,prove that)

v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^2}{k^2}\right)
Solution: v \frac{d v}{d x}=g\left(1-\frac{v^2}{k^2}\right) \\ \Rightarrow \int \frac{v}{\left(1-\frac{v^2}{k^2} \right)} d v=\int g d x \\ \text{put } 1-\frac{v^2}{k^2}=t \\ \Rightarrow-\frac{2 v}{k^2} d v=d t \\ \Rightarrow -\frac{k^2}{2} \int \frac{1}{t} d t=g x+c \\ \Rightarrow -\frac{k^2}{2} \log t=g x+c
प्रारम्भ में t=0 तो x=0

-\log 0=c \\ \Rightarrow-\frac{k^2 }{2} \log t=g x\\ \Rightarrow \log \left(1-\frac{v^2}{k^2}\right)=-g x \times \frac{2}{k^2} \\ 1-\frac{v^2}{k^2}=e^{-\frac{2 g x}{k^2}} \\ \Rightarrow v^2=k^2\left(1-e^{-\frac{2 g x}{k^2}}\right)
Example:17.निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए (Solve the following equation)

L \frac{d i}{d t}+R i=E
जहाँ L,E और R अचर है (where L,E and R are constants)।दिया हुआ है कि जब t=0 तो i=0 (Given that when t=0,then i=0)
Solution: L \frac{d i}{d t}+R i=E
दिए हुए समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

\frac{d i}{d t}+\frac{R}{L} i=\frac{E}{L}
यह रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{R}{L} d t} \\ \Rightarrow \text{(I.F.)}=e^{\frac{R}{L} t}
इसलिए समीकरण का अभीष्ट हल होगा:

जब t=0 तो i=0

\Rightarrow 0=\frac{E}{R} e^0+c \\ \Rightarrow c=-\frac{E}{R} \\ \Rightarrow i e^{\frac{R}{L} t}=\frac{E}{R} e^{\frac{R}{L} t}-\frac{E}{R} \\ \Rightarrow i e^{\frac{R}{L} t}=\frac{E}{R}\left(e^{\frac{R}{L} t}-1\right) \\ \Rightarrow i=\frac{E}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L} t}\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण (Equations of 1st Order and 1st Degree),प्रथम कोटि और प्रथम घात के अवकल समीकरण (Differential Equations of First Order and First Degree) को समझ सकते हैं।

3.प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Equations of 1st Order and 1st Degree):

Equations of 1st Order and 1st Degree

हल करो (Solve):

\text { (1.) } (x y \sin x y+\cos x y) y d x+(x y \sin x y-\cos x y) x d y=0 \\ \text { (2.) }\left(y+\frac{1}{3} y^3+\frac{1}{2} x^2\right) d x+\frac{1}{4}\left(x+x y^2\right) d y=0
उत्तर (Answers): \text { (1.) } x \sec (x y)=c y \\ \text { (2.) } x^6+3 x^4 y+x^4 y^3=3c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण (Equations of 1st Order and 1st Degree),प्रथम कोटि और प्रथम घात के अवकल समीकरण (Differential Equations of First Order and First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equations of 1st Order and 1st Degree),प्रथम कोटि और प्रथम घात के अवकल समीकरण (Differential Equations of First Order and First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरणों (Equations of 1st Order and 1st Degree) को
हल करने के लिए विभिन्न विधियों का प्रयोग किया जाता है।इस आर्टिकल में उन विधियों का
प्रयोग करके कुछ उदाहरणों को हल करेंगे।